【数学】2020届一轮复习苏教版专题一第四讲大题考法——三角函数学案

【数学】2020届一轮复习苏教版专题一第四讲大题考法——三角函数学案

第四讲 大题考法——三角函数 题型(一)‎ 结合三角函数定义进行化简求值 主要考查以三角函数定义为背景的三角函数的化简和求值问题.‎ ‎ [典例感悟]‎ ‎[例1]　如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A.以OA为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B，AB＝.‎ ‎(1)求cos β的值；‎ ‎(2)若点A的横坐标为，求点B的坐标．‎ ‎[解]　(1)在△AOB中，cos∠AOB＝＝＝，即cos β＝.‎ ‎(2)因为cos β＝，β∈，‎ 所以sin β＝ ＝.‎ 因为点A的横坐标为，‎ 由三角函数定义可得cos α＝，‎ 因为α为锐角，所以sin α＝ ＝.‎ 所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝－，sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋×＝.‎ 所以点B.‎ ‎[方法技巧]‎ 结合三角函数定义化简求值问题的解题策略 ‎(1)利用三角函数的定义求一个角的三角函数值需明确三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x，纵坐标y，该点到原点的距离r.‎ ‎(2)当求角α的终边上点的坐标时，要根据角的范围，结合三角公式进行求解．‎ ‎(3)同角三角函数间的关系应注意正确选择公式，注意公式应用的条件．‎ ‎[演练冲关]‎ 如图，在平面直角坐标系xOy中，以O为顶点，x轴正半轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.‎ ‎(1)求tan的值；‎ ‎(2)求α＋2β的值．‎ 解：(1)由条件得cos α＝，cos β＝，α、β为锐角，‎ 故sin α>0且sin α＝.‎ 同理可得sin β＝，‎ ‎∴tan α＝7，tan β＝.‎ ‎∴tan(α＋β)＝＝＝－3.‎ ‎∴tan＝tan ‎＝＝－.‎ ‎(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]‎ ‎＝＝－1，‎ ‎∵0<α<，0<β<，‎ ‎∴0<α＋2β<，从而α＋2β＝.‎ 题型(二)‎ 三角函数求值问题 主要考查在给定三角函数值的条件下，求其他角的三角函数值或角.‎ ‎[典例感悟]‎ ‎[例2]　(2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－.‎ ‎(1)求cos 2α的值；‎ ‎(2)求tan(α－β)的值．‎ ‎[解]　(1)因为tan α ＝，tan α ＝，‎ 所以sin α ＝cos α .‎ 因为sin2α＋cos2α ＝1，‎ 所以cos2α＝，‎ 所以cos 2α ＝2cos2α－1＝－.‎ ‎(2)因为α，β 为锐角，所以α＋β∈(0，π)．‎ 又因为cos(α＋β )＝－，‎ 所以sin(α＋β )＝＝，‎ 所以tan(α＋β )＝－2.‎ 因为tan α＝，‎ 所以 tan 2α＝＝－.‎ 所以tan(α－β )＝tan[2α－(α＋β)]‎ ‎＝＝－.‎ ‎[方法技巧]‎ 三角函数求值问题的类型及解题方法 给式 求值 给出某些式子的值，求其他式子的值．解此类问题，一般应先将所给式子变形，将其转化成所求函数式能使用的条件，或将所求函数式变形为可使用条件的形式 给值 给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于 求值 ‎“变角”，使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是：①将待求式用已知三角函数表示；②将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根据这些关系来选择公式 给值 求角 解此类问题的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函数值，再确定“所求角”的范围，最后借助三角函数图象、诱导公式求角 ‎[演练冲关]‎ ‎1．已知向量a＝(sin θ，2)，b＝(cos θ，1)，且a，b共线，其中θ∈.‎ ‎(1)求tan的值；‎ ‎(2)若5cos(θ－φ)＝3cos φ，0＜φ＜，求φ的值．‎ 解：(1)由a∥b，得sin θ＝2cos θ.‎ 因为θ∈，所以cos θ≠0，‎ 所以tan θ＝2.‎ 所以tan＝＝－3.‎ ‎(2)由(1)知tan θ＝2，又因为θ∈，‎ 所以sin θ＝，cos θ＝.‎ 由5cos(θ－φ)＝3cos φ，‎ 得5(cos θcos φ＋sin θsin φ)＝3cos φ，‎ 即cos φ＋2sin φ＝3cos φ，从而tan φ＝1.‎ 因为0＜φ＜，所以φ＝.‎ ‎2．(2018·南通二调)已知sin＝，α∈.‎ ‎(1)求cos α的值；‎ ‎(2)求sin的值．‎ 解：(1)因为α∈，‎ 所以α＋∈，‎ 又sin＝， ‎ 所以cos＝－ ‎＝－＝－.‎ 所以cos α＝cos ‎＝coscos＋sinsin ‎＝－×＋×＝－.‎ ‎(2)因为α∈，cos α＝－，‎ 所以sin α＝＝ ＝.‎ 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，‎ cos 2α＝2cos2α－1＝2×2－1＝－.‎ 所以sin＝sin 2αcos－cos 2αsin＝×－×＝－.‎ 题型(三)‎ 向量与三角函数的结合 主要考查以向量为载体的三角函数性质的综合应用问题.‎ ‎[典例感悟]‎ ‎[例3]　(2017·江苏高考)已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π]．‎ ‎(1)若a∥b，求x的值；‎ ‎(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．‎ ‎[解]　(1)因为a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，a∥b，‎ 所以－cos x＝3sin x.‎ 则tan x＝－.‎ 又x∈[0，π]，所以x＝.‎ ‎(2)f(x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3，－)＝3cos x－sin x＝2cos.‎ 因为x∈[0，π]，所以x＋∈，‎ 从而－1≤cos≤.‎ 于是，当x＋＝，即x＝0时，f(x)取到最大值3；‎ 当x＋＝π，即x＝时，f(x)取到最小值－2.‎ ‎[方法技巧]‎ 平面向量与三角函数综合问题的解题思路 ‎(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立的条件，得到三角函数的关系式，然后求解；‎ ‎(2)给出用三角函数表示的向量坐标，求解的是向量的模或者其他向量的表达式，经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性求得值域等．‎ ‎[演练冲关]‎ ‎1．已知向量a＝(sin x，cos x)，b＝，函数f(x)＝a·b.‎ ‎(1)求f(x)的单调递增区间；‎ ‎(2)若α∈且cos＝，求f(α)．‎ 解：(1)f(x)＝sin xcos＋1‎ ‎＝sin xcos x－sin2x＋1‎ ‎＝sin 2x＋cos 2x＋ ‎＝sin＋，‎ 令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，‎ 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，‎ 故f(x)的单调递增区间为，k∈Z.‎ ‎(2)f(α)＝sin＋ ‎＝sincos＋，‎ ‎∵cos＝且α∈，∴sin＝，‎ ‎∴f(α)＝＋.‎ ‎2．已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos x，sin x)，c＝(sin x＋2sin α，cos x＋2cos α)，其中0＜α＜x＜π.‎ ‎(1)若α＝，求函数f(x)＝b·c的最小值及相应x的值；‎ ‎(2)若a与b的夹角为，且a⊥c，求tan 2α的值．‎ 解：(1)∵b＝(cos x，sin x)，c＝(sin x＋2sin α，cos x＋2cos α)，α＝，‎ ‎∴f(x)＝b·c＝cos xsin x＋2cos xsin α＋sin x·cos x＋2sin xcos α＝2sin xcos x＋(sin x＋cos x)．‎ 令t＝sin x＋cos x，‎ 则2sin xcos x＝t2－1，且－1＜t＜.‎ 则y＝f(x)＝t2＋t－1＝2－，－1＜t＜.‎ ‎∴t＝－时，ymin＝－，此时sin x＋cos x＝－.‎ 由于＜x＜π，故x＝.‎ ‎∴函数f(x)的最小值为－，相应x的值为.‎ ‎(2)∵a与b的夹角为，∴cos＝＝cos αcos x＋sin αsin x＝cos(x－α)．‎ ‎∵0＜α＜x＜π，∴0＜x－α＜π，∴x－α＝.‎ ‎∵a⊥c，∴cos α(sin x＋2sin α)＋sin α(cos x＋2cos α)＝0，‎ ‎∴sin(x＋α)＋2sin 2α＝0，‎ 即sin＋2sin 2α＝0.‎ ‎∴sin 2α＋cos 2α＝0，‎ ‎∴tan 2α＝－.‎ ‎[课时达标训练]‎ A组——大题保分练 ‎1．(2018·南通模拟)已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α∈，β∈.‎ ‎(1)求sin 2α的值；‎ ‎(2)求cos(α－β)的值．‎ 解：(1)∵α∈，∴2α∈.‎ ‎∵cos α＝，∴cos 2α＝2cos2α－1＝－，‎ ‎∴sin 2α＝＝.‎ ‎(2)∵α∈，β∈，‎ ‎∴α＋β∈(0，π)，又cos(α＋β)＝－，‎ ‎∴sin(α＋β)＝＝，‎ ‎∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]‎ ‎＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)‎ ‎＝×＋×＝.‎ ‎2．设函数f(x)＝6cos2x－2sin xcos x.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期和值域；‎ ‎(2)在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(B)＝0且b＝2，cos A＝，求a和sin C的值．‎ 解：(1)因为f(x)＝6×－sin 2x ‎＝3cos 2x－sin 2x＋3‎ ‎＝2cos＋3，‎ 所以f(x)的最小正周期为T＝＝π，‎ f(x)的值域为[3－2，3＋2 ]．‎ ‎(2)由f(B)＝0，得cos＝－.‎ 因为B为锐角，所以<2B＋<，所以2B＋＝，所以B＝.‎ 因为cos A＝，A∈(0，π)，‎ 所以sin A＝ ＝.‎ 在△ABC中，由正弦定理得a＝＝＝.‎ sin C＝sin(π－A－B)＝sin ‎＝cos A＋sin A＝.‎ ‎3.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，直线x＝，x＝是其相邻的两条对称轴．‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式；‎ ‎(2)若f＝－，且＜α＜，求cos α的值．‎ 解： (1)由题意知，＝－＝，所以T＝π.‎ 又T＝，所以ω＝2，‎ 所以f(x)＝2sin(2x＋φ)．‎ 因为点在函数图象上，‎ 所以2sin＝2，即sin＝1.‎ 因为－＜φ＜，即－<＋φ<，‎ 所以φ＝，所以f(x)＝2sin.‎ ‎(2) 由f＝－，得sin＝－.‎ 因为＜α＜，所以π＜α＋＜，‎ 所以cos＝－＝－.‎ 所以cos α＝cos＝coscos＋sinsin＝－×＋×＝－.‎ ‎4．在平面直角坐标系xOy中，若角α，β的顶点都为坐标原点O，始边为x轴的正半轴，角α的终边经过点P，角β的终边经过点Q(sin2θ，－1)，且·＝－.‎ ‎(1)求cos 2θ的值；‎ ‎(2)求tan(α＋β)的值．‎ 解：(1)由·＝－，‎ 得sin2θ－cos2θ＝－，‎ ‎∴sin2θ＝2cos2θ－1，‎ 即＝cos 2θ，‎ 解得cos 2θ＝.‎ ‎(2)由(1)，知sin2θ＝＝，则cos2θ＝，‎ 得P，Q，‎ ‎∴tan α＝，tan β＝－3，‎ 故tan(α＋β)＝＝＝－.‎ B组——大题增分练 ‎1．已知coscos＝－，α∈.‎ ‎(1)求sin 2α的值；‎ ‎(2)求tan α－的值．‎ 解：(1)cos·cos ‎＝cos·sin＝sin＝－，‎ 即sin＝－.‎ ‎∵α∈，∴2α＋∈，‎ ‎∴cos＝－，‎ ‎∴sin 2α＝sin ‎＝sincos－cossin＝.‎ ‎(2)∵α∈，∴2α∈，‎ 又由(1)知sin 2α＝，∴cos 2α＝－.‎ ‎∴tan α－＝－＝ ‎＝＝－2×＝2.‎ ‎2．已知向量a＝，b＝(cos x，－1)．‎ ‎(1)当a∥b时，求cos2x－sin 2x的值；‎ ‎(2)设函数f(x)＝2(a＋b)·b.已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝ ，b＝2，sin B＝，求f(x)＋4cos的取值范围．‎ 解：(1)∵a∥b，∴cos x＋sin x＝0，∴tan x＝－.‎ ‎∴cos2x－sin 2x＝＝＝.‎ ‎(2)f(x)＝2(a＋b)·b＝ sin＋.‎ 由正弦定理，得＝，可得sin A＝，‎ ‎∴A＝.∴f(x)＋4cos＝sin2x＋－.‎ ‎∵x∈，‎ ‎∴2x＋∈.‎ ‎∴－1≤f(x)＋4cos≤－.‎ ‎∴f(x)＋4cos的取值范围为.‎ ‎3.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ∈[0，π))的图象如图所示．‎ ‎(1)求f(x)的解析式；‎ ‎(2)求函数g(x)＝f(x)＋f(x＋2)在x∈[－1,3]上的最大值和最小值．‎ 解：(1)由图可得A＝3，f(x)的周期为8，则＝8，即ω＝.‎ f(－1)＝f(3)＝0，则f(1)＝3，所以sin＝1，‎ 即＋φ＝＋2kπ，k∈Z.又φ∈[0，π)，故φ＝.‎ 综上所述，f(x)的解析式为f(x)＝3sin.‎ ‎(2)g(x)＝f(x)＋f(x＋2)‎ ‎＝3sin＋3sin ‎＝3sin＋3cos ‎＝6 ‎＝6sin.‎ 当x∈[－1,3]时，x＋∈.‎ 故当x＋＝，即x＝－时，sin取得最大值1，则g(x)的最大值为g＝6；‎ 当x＋＝，即x＝3时，sin取得最小值－，则g(x)的最小值为g(3)＝6×＝－3.‎ ‎4.如图所示，角θ的始边OA落在x轴的非负半轴上，其始边、终边分别与单位圆交于点A，C，θ∈，△AOB为正三角形．‎ ‎(1)若点C的坐标为，求cos∠BOC；‎ ‎(2)记f(θ)＝BC2，求函数f(θ)的解析式和值域．‎ 解：(1)因为点C的坐标为，‎ 根据三角函数的定义，‎ 得sin∠COA＝，cos∠COA＝.‎ 因为△AOB为正三角形，所以∠AOB＝.‎ 所以cos∠BOC＝cos ‎＝cos∠COAcos－sin∠COAsin ‎＝×－×＝.‎ ‎(2)因为∠AOC＝θ，‎ 所以∠BOC＝＋θ.‎ 在△BOC中，OB＝OC＝1，由余弦定理，可得f(θ)＝BC2＝OC2＋OB2－2OC·OB·cos∠BOC＝12＋12－2×1×1×cos＝2－2cos.‎ 因为0<θ<，‎ 所以<θ＋<.‎ 所以－

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