高考文科数学专题复习练习9.1直线的倾斜角、斜率与直线的方程
第九章解析几何
9.1直线的倾斜角、斜率与直线的方程
122
直线的倾斜角与斜率
1.(2015广西玉林、贵港4月模拟,文10,直线的倾斜角与斜率,选择题)设F为抛物线y2=5x的焦点,P是抛物线上x轴上方的一点,若|PF|=3,则直线PF的斜率为( )
A.33 B.30 C.35 D.210
解析:F为抛物线y2=5x的焦点54,0,
设P点坐标为(x,y),y>0.
根据抛物线定义可知x+54=3,解得x=74,代入抛物线方程求得y=352.
直线PF的斜率为352-074-54=35.
答案:C
2.(2015广西柳州一模,文12,直线的倾斜角与斜率,选择题)过点(2,0)引直线l与曲线y=1-x2相交于A,B两点,O为坐标原点,当△ABO的面积取得最大值时,直线l的斜率等于( )
A.33 B.-33 C.±33 D.-3
解析:由y=1-x2,得x2+y2=1(y≥0).
所以曲线y=1-x2表示单位圆在x轴上方的部分(含与x轴的交点),
设直线l的斜率为k,要保证直线l与曲线有两个交点,且直线不与x轴重合,
则-1
0,b>0)右焦点的直线m,其方向向量u=(b,a),若原点到直线m的距离等于右焦点到该双曲线的一条渐近线距离的2倍,则直线m的斜率为 .
解析:双曲线x2a2-y2b2=1的右焦点F(c,0),
一条渐近线方程为y=bax,
则F到渐近线的距离为d=|bc|a2+b2=b,
直线m:y=ab(x-c),
原点到直线m的距离为|ac|a2+b2=a,
由题意可得a=2b,则直线m的斜率为ab=2.
答案:2
9.(2015甘肃嘉峪关一中三模,文9,直线的倾斜角与斜率,选择题)过点P(-3,-1)的直线l与圆x2+y2=1有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围是( )
A.0,π6 B.0,π3 C.0,π6 D.0,π3
解析:由题意可得点P(-3,-1)在圆x2+y2=1的外部,故要求的直线的斜率一定存在,设为k,则直线方程为y+1=k(x+3),即kx-y+3k-1=0.
根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得|0-0+3k-1|k2+1≤1,
即3k2-23k+1≤k2+1,解得0≤k≤3,
故直线l的倾斜角的取值范围是0,π3.
答案:D
10.(2015甘肃兰州一中三模,文10,直线的倾斜角与斜率,选择题)P是双曲线x24-y2=1右支(在第一象限内)上的任意一点,A1,A2分别是左右顶点,O是坐标原点,直线PA1,PO,PA2的斜率分别为k1,k2,k3,则斜率之积k1k2k3的取值范围是( )
A.(0,1) B.0,18 C.0,14 D.0,12
解析:设点P(x,y)(x>0,y>0),
由题意知,A1(-2,0),A2(2,0),直线PA1,PO,PA2的斜率分别为k1,k2,k3,
故k1k2k3=yx+2·yx·yx-2=y3x(x2-4)=y3x·4y2
=14·yx<14×12=18.
答案:B
5.(2015吉林长春实验中学三模,文5,直线的倾斜角与斜率,选择题)直线xsin α+y+2=0的倾斜角的取值范围是( )
A.[0,π) B.0,π4∪3π4,π
C.0,π4 D.0,π4∪π2,π
解析:直线xsin α+y+2=0的斜率为k=-sin α,
∵|sin α|≤1,∴|k|≤1.
∴倾斜角的取值范围是0,π4∪34π,π.
答案:B
123
直线的方程
1.(2015广西柳州一模,文21,直线的方程,解答题)已知椭圆x2a2+y2b2=1的一个焦点为F(2,0),且离心率为63.
(1)求椭圆方程;
(2)斜率为k的直线l过点F,且与椭圆交于A,B两点,P为直线x=3上的一点,若△ABP为等边三角形,求直线l的方程.
解:(1)∵椭圆x2a2+y2b2=1的一个焦点为F(2,0),且离心率为63.
∴c=2,ca=63,a2=b2+c2,解得a2=6,b2=2.
∴椭圆方程为x26+y22=1.
(2)直线l的方程为y=k(x-2).
联立方程组y=k(x-2),x26+y22=1,消去y并整理,
得(3k2+1)x2-12k2x+12k2-6=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2).
故x1+x2=12k23k2+1,x1x2=12k2-63k2+1.
则|AB|=1+k2|x1-x2|
=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]
=26(k2+1)3k2+1.
设AB的中点为M(x0,y0).
可得x0=6k23k2+1,y0=-2k3k2+1.
直线MP的斜率为-1k,又xP=3,
所以|MP|=1+1k2·|x0-xP|
=k2+1k2·3(k2+1)(3k2+1).
当△ABP为正三角形时,|MP|=32|AB|,
∴k2+1k2·3(k2+1)(3k2+1)=32·26(k2+1)3k2+1,
解得k=±1.
∴直线l的方程为x-y-2=0,或x+y-2=0.
20.(2015吉林三模,文20,直线的方程,解答题)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-1,0),F(1,0),过F1的直线l与椭圆C相交于A,B两点,且△ABF2的周长为42.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点(4,0)作与直线l平行的直线m,且直线m与抛物线y2=4x交于P,Q两点,若A,P在x轴上方,直线PA与直线QB相交于x轴上一点M,求直线l的方程.
解:(1)依题意,4a=42,a2-b2=1.
所以a=2,b=1.
故椭圆C的方程为x22+y2=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x3,y3),Q(x4,y4),PQ与x轴的交点记为点N,
直线l的方程为x=ty-1,直线m的方程为x=ty+4.
依题意得AF1PN=MF1MN=BF1QN,
则|y1||y3|=|y2||y4|,可得y1y2=y3y4,令y1y2=y3y4=λ(λ<0),
由x=ty-1,x22+y2=1,消去x,得(t2+2)y2-2ty-1=0,
则y1+y2=2tt2+2,y1y2=-1t2+2,把y1=λy2代入整理,得
(1+λ)2λ=-4t2t2+2.①
由x=ty+4,y2=4x,消去x,得y2-4ty-16=0,
则y3+y4=4t,y3y4=-16,把y3=λy4代入,整理得(1+λ)2λ=-t2.②
由①②消去λ,得4t2t2+2=t2,解得t=0或t=±2.
故直线l的方程为x=-1或x-2y+1=0或x+2y+1=0.
15.(2015江西上饶重点中学二模,文15,直线的方程,填空题)过点P(3,-1)引直线,使点A(2,-3),B(4,5)到它的距离相等,则这条直线的方程为 .
解析:由题意,所求直线有两条,其中一条是经过点P且与AB平行的直线;另一条是经过P与AB中点C的直线.
∵A(2,-3),B(4,5),
∴AB的斜率k=5-(-3)4-2=4.
可得经过点P且与AB平行的直线方程为y+1=4(x-3),
化简得4x-y-13=0.
∵AB中点为C(3,1),
∴经过P,C的直线方程为x=3.
综上,所求直线的方程为4x-y-13=0或x=3.
答案:4x-y-13=0或x=3
7.(2015甘肃嘉峪关一中三模,文7,直线的方程,选择题)若P(2,1)为圆(x-1)2+y2=25的弦AB的中点,则直线AB的方程为( )
A.x+y-1=0 B.2x-y-5=0
C.2x+y=0 D.x+y-3=0
解析:圆(x-1)2+y2=25的圆心为(1,0),直线AB的斜率等于-11-02-1=-1,由点斜式得到直线AB的方程为y-1=-(x-2),即x+y-3=0.
答案:D
9.2点与直线、两条直线的位置关系
124
两条直线的平行与垂直
6.(2015甘肃嘉峪关一中三模,文6,两条直线的平行与垂直,选择题)已知a≠0,直线ax+(b+2)y+4=0与直线ax+(b-2)y-3=0互相垂直,则ab的最大值等于( )
A.0 B.2 C.4 D.2
解析:若b=2,两直线方程分别为y=-a4x-1和x=3a,此时两直线相交但不垂直.
若b=-2,两直线方程分别为x=-4a和y=a4x-34,此时两直线相交但不垂直.
所以当b≠±2时,两直线方程分别为y=-ab+2x-4b+2和y=-ab-2x+3b-2,
此时两直线的斜率分别为-ab+2,-ab-2,
由-ab+2-ab-2=-1,得a2+b2=4.
因为a2+b2=4≥2ab,
所以ab≤2,即ab的最大值等于2,当且仅当a=b=2时取等号.
答案:B
4.(2015黑龙江绥化一模,文4,两条直线的平行与垂直,选择题)设a,b,c分别是△ABC中∠A,∠B,∠C所对边的边长,则直线sin A·x-ay-c=0与bx+sin B·y+sin C=0的位置关系是( )
A.平行 B.重合
C.垂直 D.相交但不垂直
解析:a,b,c分别是△ABC中∠A,∠B,∠C所对边的边长,
则直线sin A·x-ay-c=0的斜率为sinAa,
bx+sin B·y+sin C=0的斜率为-bsinB,
∵sinAa·-bsinB=sinA2RsinA·-2RsinBsinB=-1,
∴两条直线垂直.
答案:C
9.3圆的方程
128
求圆的方程
14.(2015江西上饶二模,文14,求圆的方程,填空题)以抛物线y2=20x的焦点为圆心,且与双曲线x216-y29=1的两条渐近线都相切的圆的方程为 .
解析:抛物线y2=20x的焦点坐标为(5,0),双曲线x216-y29=1的两条渐近线方程为3x±4y=0.
由题意,r=155=3,则所求圆的方程为(x-5)2+y2=9.
答案:(x-5)2+y2=9
20.(2015甘肃兰州一中三模,文20,求圆的方程,解答题)已知☉C过点P(1,1),且与☉M:(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)关于直线x+y+2=0对称.
(1)求☉C的方程.
(2)过点P作两条相异直线分别与☉C相交于A,B,且直线PA和直线PB的倾斜角互补,O为坐标原点,试判断直线OP和AB是否平行?请说明理由.
(1)解:设圆心C(a,b),则a-22+b-22+2=0,b+2a+2=1,解得a=0,b=0,
则圆C的方程为x2+y2=r2,将点P的坐标代入得r2=2,
故圆C的方程为x2+y2=2.
(2)解:由题意知,直线PA和直线PB的斜率存在,且互为相反数,故可设PA:y-1=k(x-1),PB:y-1=-k(x-1),且k≠0,
由y-1=k(x-1),x2+y2=2,得(1+k2)x2-2k(k-1)x+k2-2k-1=0,
∵点P的横坐标x=1一定是该方程的解,故可得xA=k2-2k-11+k2,
同理,xB=k2+2k-11+k2,
∴kAB=yB-yAxB-xA=-k(xB-1)-k(xA-1)xB-xA
=2k-k(xB+xA)xB-xA=1=kOP,
∴直线AB和OP一定平行.
20.(2015黑龙江哈尔滨六中四模,文20,求圆的方程,解答题)过抛物线C:x2=4y对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线l与抛物线交于A,B两点,点Q是点P关于原点的对称点.
(1)当直线l方程为x-2y+12=0时,过A,B两点的圆M与抛物线在点A处有共同的切线,求圆M的方程.
(2)设AP=λPB,证明:QP⊥(QA-λQB).
(1)解:由x-2y+12=0,x2=4y,得点A,B的坐标分别是(6,9),(-4,4),
则AB的中点为1,132,斜率为k=9-46-(-4)=12,
故AB的垂直平分线方程为4x+2y-17=0.
由x2=4y得y=14x2,y'=12x,所以抛物线在点A处的切线斜率为3.
设圆M的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,
则b-9a-6=-13,4a+2b-17=0,
解得a=-32,b=232,r2=1252.
所以圆M的方程为x+322+y-2322=1252.
(2)证明:设AB方程为y=kx+m,A,B两点的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2),
代入抛物线方程x2=4y,得x2-4kx-4m=0,x1+x2=-4k,x1x2=-4m.
由AP=λPB,得λ=-x1x2,又点Q(0,-m),从而QP=(0,2m),
QA-λQB=(x1-λx2,y1-λy2+(1-λ)m),
所以QP·(QA-λQB)=2m[y1-λy2+(1-λ)m]
=2m(x1+x2)·x1x2+4m4x2=0,
所以QP⊥(QA-λQB).
129
与圆有关的轨迹问题
6.(2015山西朔州怀仁一中一模,文6,与圆有关的轨迹问题,选择题)若△PAB是圆C:(x-2)2+(y-2)2=4的内接三角形,且PA=PB,∠APB=120°,则线段AB的中点的轨迹方程为( )
A.(x-2)2+(y-2)2=1 B.(x-2)2+(y-2)2=2
C.(x-2)2+(y-2)2=3 D.x2+y2=1
解析:设线段AB的中点为D,则
由题意,PA=PB,∠APB=120°,∴∠ACB=120°.
∵CB=2,∴CD=1,
∴线段AB的中点的轨迹是以C为圆心,1为半径的圆,
故线段AB的中点的轨迹方程是(x-2)2+(y-2)2=1.
答案:A
130
与圆有关的最值问题
14.(2015江西上饶三模,文14,与圆有关的最值问题,填空题)设m,n∈R,若直线l:mx+ny-1=0与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,且l与圆x2+y2=4相交所得弦的长为2,O为坐标原点,则mn的最大值为 .
解析:由圆x2+y2=4的方程,得到圆心坐标为(0,0),半径r=2,
∵直线l与圆x2+y2=4相交所得弦CD=2,
∴圆心到直线l的距离d=r2-CD22=3.
∴圆心到直线l:mx+ny-1=0的距离d=1m2+n2=3,整理得m2+n2=13.
令直线l解析式中y=0,解得x=1m,
∴A1m,0,即OA=1|m|.
令x=0,解得y=1n,∴B0,1n,即OB=1|n|.
∵m2+n2≥2|mn|,当且仅当|m|=|n|时取等号,
∴|mn|≤m2+n22.
又△AOB为直角三角形,
∴S△ABC=12OA·OB=12|mn|≥1m2+n2=3,当且仅当|m|2=|n|2=16时取等号,故mn的最大值为16.
答案:16
15.(2015山西太原山大附中高三月考,文15,与圆有关的最值问题,填空题)圆x2+y2+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0(a,b∈R)对称,则ab的取值范围是 .
解析:把圆的方程化为标准方程,得(x+1)2+(y-2)2=4,
∴圆心坐标为(-1,2),半径r=2,
根据题意,可知圆心在已知直线2ax-by+2=0上,
把圆心坐标代入直线方程,得-2a-2b+2=0,
即b=1-a,则设m=ab=a(1-a)=-a2+a=-a-122+14,
∴当a=12时,m有最大值,最大值为14,即ab的最大值为14.
故ab的取值范围是-∞,14.
答案:-∞,14
10.(2015江西三县部分高中一模,文10,与圆有关的最值问题,选择题)已知A(-3,0),B(0,4),M是圆C:x2+y2-4x=0上一个动点,则△MAB的面积的最小值为( )
A.4 B.5 C.10 D.15
解析:由x2-4x+y2=0,得(x-2)2+y2=4,
∴圆的圆心(2,0),半径为2,
过圆心作AB所在直线的垂线,交圆于M,此时△ABM的面积最小.
直线AB的方程为4x-3y+12=0,|AB|=5,
∴圆心到直线AB的距离为|8+12|5=4.
∴△MAB的面积的最小值为12×5×(4-2)=5.
答案:B
9.4直线与圆、圆与圆的位置关系
131
直线与圆的位置关系
11.(2015黑龙江大庆一模,文11,直线与圆的位置关系,选择题)直线y=kx+3与圆(x-3)2+(y-2)2=4相交于M,N两点,若|MN|≥23,则k的取值范围是( )
A.-34,0 B.-∞,-34∪[0,+∞)
C.-33,33 D.-23,0
解析:圆心的坐标为(3,2),且圆与x轴相切.
当|MN|=23时,弦心距最大为1,
由点到直线距离公式得|3k-2+3|1+k2≤1,
解得k∈-34,0.故选A.
答案:A
5.(2015贵州贵阳一模,文5,直线与圆的位置关系,选择题)对任意实数k,直线y=kx+1与圆x2+y2=4的位置关系一定是( )
A.相离 B.相切
C.相交且不过圆心 D.相交且过圆心
解析:对任意的实数k,直线y=kx+1恒过点(0,1),且斜率存在.
∵(0,1)在圆x2+y2=4内,
∴对任意的实数k,直线y=kx+1与圆x2+y2=4的位置关系一定是相交但直线不过圆心.
答案:C
6.(2015江西南昌零模,文6,直线与圆的位置关系,选择题)已知M(x0,y0)是圆x2+y2=a2外任意一点,则直线x0x+y0y=a2与该圆的位置关系是( )
A.相切 B.相交
C.相离 D.由点(x0,y0)的位置决定
解析:∵点M(x0,y0)是圆x2+y2=a2(a>0)外一点,
∴x02+y02>a2.
圆心O到直线x0x+y0y=a2的距离为d=|0+0-a2|x02+y024.故点(a,b)在圆C的外部.
答案:A
16.(2015甘肃嘉峪关一中三模,文16,直线与圆的位置关系,填空题)已知直线x+y+m=0与圆x2+y2=2交于不同的两点A,B,O是坐标原点,|OA+OB|≥|AB|,那么实数m的取值范围是 .
解析:∵直线x+y+m=0与圆x2+y2=2交于相异两点A,B,
∴O点到直线x+y+m=0的距离d<2.
又|OA+OB|≥|AB|,由平行四边形可知,夹角为钝角的邻边所对的对角线比夹角为锐角的邻边所对的对角线短,∴AO和OB的夹角为锐角.
∵直线x+y+m=0的斜率为-1,即直线与x的负半轴的夹角为45度,∴当AO和OB的夹角为直角时,直线与圆交于(-2,0),(0,-2),此时原点与直线的距离为1,故d>1.
综合可知1≤d<2.
过原点作一直线与x+y+m=0垂直,即y=x,两直线交点为-π2,-π2,则d=22|m|.
综上,-2=θ,θ∈[0,π].
则OA·OB=|OA||OB|cos θ=r2cos θ.
∵OC=54OA+34OB,
两边同时平方可得,OC2=2516OA2+916OB2+158OA·OB,
即r2=2516r2+916r2+r2cos θ×158,
∴cos θ=-35.
∵cos θ=2cos2θ2-1,θ2∈0,π2,
∴cos θ2>0,∴cos θ2=55.
设圆心O到直线x+y-2=0的距离为d,则d=rcos θ2=22=2,即55r=2,∴r=10.
答案:10
17.(2015黑龙江绥化一模,文17,直线与圆的位置关系,解答题)已知圆C的圆心C在第一象限,且在直线3x-y=0上,该圆与x轴相切,且被直线x-y=0截得的弦长为27,直线l:kx-y-2k+5=0与圆C相交.
(1)求圆C的标准方程;
(2)求出直线l所过的定点;当直线l被圆所截得的弦长最短时,求直线l的方程及最短的弦长.
解:(1)设圆心为(a,b)(a>0,b>0),半径为r,
则b=3a,则r=3a,圆心到直线x-y=0的距离d=|a-3a|12+12=2a,
∵圆被直线x-y=0截得的弦长为27,
∴(2a)2+(7)2=(3a)2,
即a2=1,解得a=1,则圆心为(1,3),半径为3,
则圆C的标准方程(x-1)2+(y-3)2=9.
(2)由kx-y-2k+5=0得y=k(x-2)+5,
则直线l过定点M(2,5).
要使弦长最短,则满足CM⊥l,
即k=-1kCM=-12,
则直线l方程为x+2y-12=0,|CM|=5,则最短的弦长为29-(5)2=24=4.
132
圆与圆的位置关系
8.(2015山西太原二模,文8,圆与圆的位置关系,选择题)已知点A(-1,0),B(1,0),若圆(x-2)2+y2=r2上存在点P,使得∠APB=90°,则实数r的取值范围为( )
A.(1,3) B.[1,3] C.(1,2] D.[2,3]
解析:根据直径对的圆周角为90°,结合题意可得以AB为直径的圆和圆(x-2)2+y2=r2有交点,
检验两圆相切时不满足条件,故两圆相交.
而以AB为直径的圆的方程为x2+y2=1,圆心距为2,
所以|r-1|<2<|r+1|,解得10)到圆C:(x-2)2+(y-4)2=1上任意一点距离的最小值为4,且过椭圆右焦点F2(c,0)与上顶点的直线与圆O:x2+y2=12相切.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若直线l:y=-x+m与椭圆E交于A,B两点,当以AB为直径的圆与y轴相切时,求△F1AB的面积.
解:(1)设椭圆E为x2a2+y2b2=1(a>b>0),
焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),则椭圆的右焦点到圆上任意一点的距离的最小值为
(-c-2)2+42-1=4,又c>0,∴c=1.
过椭圆右焦点和上顶点的方程为x1+yb=1,即bx+y-b=0.
由直线和圆O相切可得|-b|1+b2=22,解得b=1,
∴a2=b2+c2=2.
∴椭圆E的方程为x22+y2=1.
(2)由x22+y2=1,y=-x+m,可得3x2-4mx+2m2-2=0.
则Δ=(-4m)2-12(2m2-2)>0,即m2<3.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=4m3,x1x2=2m2-23,
则AB的中点横坐标为x1+x22=2m3.
则以AB为直径的圆的半径为r=12|AB|
=22|x1-x2|=22(x1+x2)2-4x1x2.
由条件可得22(x1+x2)2-4x1x2=x1+x22.
整理可得(x1+x2)2=8x1x2,即4m32=8·2m2-23.
∴m2=32<3,解得m=-62或62.
此时,|AB|=(1+1)(x1-x2)2
=216m29-4(2m2-2)3=263.
点F1到直线AB的距离为d=|-1-m|2,
∴当m=62时,△F1AB的面积为S=12|AB|·d=63×121+62=32+236.
当m=-62时,△F1AB的面积为S=63×12-1+62=32-236.
2.(2015广西桂林、防城港联合调研,文15,椭圆的定义及标准方程,填空题)已知椭圆x225+y216=1的左右焦点分别为F1,F2,P是椭圆上一点,且满足|PF2|=|F1F2|,那么△PF1F2的面积等于 .
解析:椭圆x225+y216=1的a=5,b=4,c=a2-b2=3,
在△PF1F2中,|PF2|=|F1F2|=2c=6,
由椭圆的定义可得|PF1|=2a-|PF2|=10-6=4,
则△PF1F2的面积为12×4×62-22=82.
答案:82
3.(2015黑龙江大庆二模,文11,椭圆的定义及标准方程,选择题)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,其中F1(-25,0),P为C上一点,满足|OP|=|OF1|,且|PF1|=4,则椭圆C的方程为( )
A.x225+y25=1 B.x230+y210=1
C.x236+y216=1 D.x245+y225=1
解析:设椭圆的焦距为2c,连接PF2,如图所示.
由F(-25,0),得c=25,
又由|OP||OF1|=|OF2|知,PF1⊥PF2,
在△PF1F2中,由勾股定理,
得|PF2|=|F1F2|2-|PF1|2=(45)2-42=8,
由椭圆定义,得|PF1|+|PF2|=2a=4+8=12,从而a=6,得a2=36,
于是b2=a2-c2=36-(25)2=16,
所以椭圆的方程为x236+y216=1.
答案:C
4.(2015江西赣州一模,文20,椭圆的定义及标准方程,解答题)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2,A是E的右顶点,P,Q是E上关于原点对称的两点,且直线PA的斜率与直线QA的斜率之积为-34.
(1)求E的方程;
(2)过E的右焦点作直线l与E交于M,N两点,直线MA,NA与直线x=3分别交于C,D两点,记△ACD与△AMN的面积分别为S1,S2,且S1·S2=187,求直线l的方程.
解:(1)根据题意,设P(x0,y0),Q(-x0,-y0),
则y02=b2a2(a2-x02),kPA·kQA=y0x0-a·y0x0+a
=y02x02-a2=-b2a2,
依题意有-b2a2=-34,
又c=1,所以a2=4,b2=3,
故椭圆E的方程为x24+y23=1.
(2)设直线MN的方程为x=my+1,代入E的方程得(3m2+4)y2+6my-9=0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),
由韦达定理知y1+y2=-6m3m2+4,y1y2=-93m2+4,
又直线MA的方程为y=y1x1-2(x-2),将x=3代入,
得yC=y1x1-2=y1my1-1,同理yD=y2my2-1,
所以|CD|=|yC-yD|=|y1-y2|m2y1y2-m(y1+y2)+1=3m2+1,
所以S1=12|CD|=32m2+1,
S2=12|AF|·|y1-y2|=6m2+13m2+4,
∵S1·S2=187,即32m2+1×6m2+13m2+4=187,
∴m2+16m2+8=17,即m=±1,
∴直线MN的方程为x=±y+1,即x±y=1.
14.(2015江西红色六校一模,文14,椭圆的定义及标准方程,填空题)已知椭圆C:x225+y216=1,点M与C的焦点不重合,若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|= .
解析:如图,设线段MN的中点为D,
连接DF1,DF2,则DF1,DF2分别是△AMN,△BMN的中位线,
则|AN|+|BN|=2|DF1|+2|DF2|=2(|DF1|+|DF2|)=2×2a=4×5=20.
答案:20
20.(2015广西梧州一模,文20,椭圆的定义及标准方程,解答题)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),A,B分别是椭圆的长轴和短轴的端点,且原点到直线AB的距离为255b.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)直线l与圆O:x2+y2=b2相切,并且被椭圆C截得的弦长的最大值为2,求椭圆C的标准方程.
解:(1)不妨设椭圆C的右顶点为A,上顶点为B,
则直线AB的方程为xa+yb=1,即bx+ay-ab=0,
依题意,原点O到直线AB的距离d=abb2+a2=255b,化简,得a2=4b2,结合b2=a2-c2,得ca=32,即离心率e=32.
(2)设直线l与椭圆C交于P(x1,y1),Q(x2,y2).
(i)当直线l的斜率存在时,设l:y=kx+m,
联立x2+y2=b2,消去y,整理,
得(1+k2)x2+2kmx+m2-b2=0.
由于直线l与圆O相切,所以Δ1=(2km)2-4(1+k2)(m2-b2)=0,得m2-b2=k2b2.
由y=kx+m,x24b2+y2b2=1,消去y,整理,
得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4b2=0,
由韦达定理,得x1+x2=-8km1+4k2,x1x2=4m2-4b21+4k2,
且Δ2=(8km)2-4(1+4k2)(4m2-4b2)>0,
从而|PQ|=k2+1·(x1+x2)2-4x1x2
=k2+1·-8km1+4k22-4×4m2-4b21+4k2
=k2+1·64k2b2-16(m2-b2)(1+4k2)2,
结合m2-b2=k2b2,整理,
得|PQ|=3b64k4+16k2(1+4k2)2
=3b-3(1+4k2)2+21+4k2+1.
又设11+4k2=t,易知,k≠0,
所以0b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点D在椭圆上.DF1⊥F1F2,|F1F2||DF1|=22,△DF1F2的面积为22.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点,求圆的半径.
解:(1)设F1(-c,0),F2(c,0),其中c2=a2-b2,
由|F1F2||DF1|=22,得|DF1|=|F1F2|22=22c,
从而S△DF1F2=12|DF1||F1F2|=22c2=22,故c=1.
从而|DF1|=22,由DF1⊥F1F2,
得|DF2|2=|DF1|2+|F1F2|2=92,
因此|DF2|=322,所以2a=|DF1|+|DF2|=22,故a=2,b2=a2-c2=1,
故椭圆的标准方程为x22+y2=1.
(2)设圆心在y轴上的圆C与椭圆x22+y2=1相交,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是两个交点,
y1>0,y2>0,F1P1,F2P2是圆C的切线,且F1P1⊥F2P2,由圆和椭圆的对称性,易知x2=-x1,y1=y2,|P1P2|=2|x1|,
由(1)知F1(-1,0),F2(1,0),
所以F1P1=(x1+1,y1),F2P2=(-x1-1,y1),
再由F1P1⊥F2P2,得-(x1+1)2+y12=0,
由椭圆方程得1-x122=(x1+1)2,
即3x12+4x1=0,解得x1=-43或0.
当x1=0时,P1,P2重合,此时题设要求的圆不存在.
当x1=-43时,过P1,P2分别与F1P1,F2P2垂直的直线的交点即为圆心C.
由F1P1,F2P2是圆C的切线,且F1P1⊥F2P2,知CP1⊥CP2,又|CP1|=|CP2|,
故圆C的半径|CP1|=22|P1P2|=2|x1|=423.
136
椭圆的几何性质
1.(2015广西柳州一中一模,文9,椭圆的几何性质,选择题)设F1,F2是椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=3a2上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为( )
A.12 B.23 C.34 D.45
解析:∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,
∴|PF2|=|F2F1|.
∵P为直线x=3a2上一点,
∴232a-c=2c,∴e=ca=34.
答案:C
20.(2015山西太原二模,文20,椭圆的几何性质,解答题)已知动点A在椭圆C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)上,动点B在直线x=-2上,且满足OA⊥OB(O为坐标原点),椭圆C上点M32,3到两焦点距离之和为43.
(1)求椭圆C方程;
(2)求|AB|取最小值时点A的坐标.
解:(1)根据题意可得2a=43,9a2+34b2=1,
解得a2=12,b2=3,
故椭圆C方程为y212+x23=1.
(2)由题意可设A(x0,y0),B(-2,t)(t∈R),
∵OA⊥OB,∴OA·OB=-2x0+ty0=0,即t=2x0y0,
∵动点A在椭圆C上,∴y0212+x023=1,
∴x02=3-14y02,
∴|AB|=(x0+2)2+(y0-t)2
=x02+4x0+4+y02-2ty0+t2
=x02+y02+4x02y02+4
=6+34y02+12y02≥23,
当且仅当34y02=12y02,即y0=±2时,|AB|取最小值,
∵x02=3-14y02,∴x0=±2.
∴点A的坐标为(2,-2)或(2,2)或(-2,-2)或(-2,2).
11.(2015江西鹰潭一模,文11,椭圆的几何性质,选择题)已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)与圆C2:x2+y2=b2,若在椭圆C1上存在点P,过P作圆的切线PA,PB,切点为A,B使得∠BPA=π3,则椭圆C1的离心率的取值范围是( )
A.32,1 B.22,32
C.22,1 D.12,1
解析:连接OA,OB,OP,依题意,O,P,A,B四点共圆,
∵∠BPA=π3,∠APO=∠BPO=π6,
在Rt△OAP中,∠AOP=π3,
∴cos∠AOP=b|OP|=12,∴|OP|=b12=2b.
∴b<|OP|≤a,∴2b≤a.
∴4b2≤a2,即4(a2-c2)≤a2,
∴3a2≤4c2,即c2a2≥34.
∴e≥32.又00,b>0)的一个焦点与抛物线y2=4的焦点重合,且椭圆的离心率等于32,则该椭圆的方程为( )
A.4x25+5y2=1 B.x24+y23=1
C.4x25+5y23=1 D.34x2+3y2=1
解析:∵抛物线y2=4x的焦点为(1,0),∴c=1.
又椭圆的离心率等于32,即1a=32,
∴a=23,∴b2=a2-c2=13.
故所求椭圆的方程为34x2+3y2=1.
答案:D
6.(2015江西上饶二模,文6,椭圆的几何性质,选择题)已知焦点在x轴的椭圆方程x2a2+y2=1,过焦点作垂直于x轴的直线交椭圆于A,B两点,且|AB|=1,则该椭圆的离心率为( )
A.32 B.12 C.154 D.33
解析:焦点在x轴的椭圆方程x2a2+y2=1,焦点坐标(±a2-1,0),不妨设Aa2-1,12,
可得a2-1a2+14=1,解得a=2,
故椭圆的离心率为e=a2-1a=32.
答案:A
5.(2015江西六校联考二模,文5,椭圆的几何性质,选择题)椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两顶点为A(a,0),B(0,b),且左焦点为F,△FAB是以角B为直角的直角三角形,则椭圆的离心率e为( )
A.3-12 B.1+54 C.5-12 D.3+14
解析:依题意可知点F(-c,0),直线AB斜率为b-00-a=-ba,直线BF的斜率为0-b-c-0=bc.
∵∠FBA=90°,∴-ba·bc=-b2ac=-a2-c2ac=-1.
整理得c2+ac-a2=0,即ca2+ca-1=0,
即e2+e-1=0,解得e=5-12或-5-12.
∵0b>0)的右焦点,点P1,32在椭圆E上,直线l0:3x-4y-10=0与以原点为圆心、以椭圆E的长半轴长为半径的圆相切.
(1)求椭圆E的方程.
(2)过点F的直线l与椭圆相交于A,B两点,过点P且平行于AB的直线与椭圆交于另一点Q.问是否存在直线l,使得四边形PABQ的对角线互相平分?若存在,求出l的方程;若不存在,说明理由.
解:(1)由题意知a=|-10|32+42=2,1a2+94b2=1⇒a=2,b=3,
所以椭圆E的方程为x24+y23=1.
(2)结论:存在直线l,使得四边形PABQ的对角线互相平分.
理由如下:由题可知直线l,PQ的斜率存在.
设直线l的方程为y=k(x-1),直线PQ的方程为y=k(x-1)+32,
由x24+y23=1,y=k(x-1),消去y得(3+4k2)x2-8k2x+(4k2-12)=0.
则|AB|=1+k2144(1+k2)3+4k2.
由x24+y23=1y=k(x-1)+32,消去y得(3+4k2)x2-(8k2-12k)x+(4k2-12k-3)=0,
则|PQ|=1+k214414+k+k23+4k2,
若四边形PABQ的对角线互相平分,则四边形PABQ为平行四边形,
∴|AB|=|PQ|,∴1+k2=14+k+k2⇒k=34.
∴直线l的方程为3x-4y-3=0时,四边形PABQ的对角线互相平分.
7.(2015江西上饶一模,文7,椭圆的几何性质,选择题)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点为F1,F2,过F2的直线与圆x2+y2=b2相切于点A,并与椭圆C交于不同的两点P,Q,如图,PF1⊥PQ,若A为线段PQ的靠近P的三等分点,则椭圆的离心率为( )
A.23 B.33 C.53 D.73
解析:连接OA,PF1,则OA⊥PQ,又PF1⊥PQ,可得OA∥PF1.
因为A为线段PQ的靠近P的三等分点,所以A为线段PF2的中点,于是PF1=2b.
结合椭圆的定义有PF2=2a-2b,在Rt△PF1F2中,
利用勾股定理得(2a-2b)2+(2b)2=(2c)2,
将c2=a2-b2代入,整理可得b=23a,
于是e=ca=a2-b2a=a2-49a2a=53.
答案:C
15.(2015广西防城港、桂林一模,文15,椭圆的几何性质,填空题)设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.直线y=3(x+c)与椭圆的一个交点为M,O为坐标原点,若|OM|=c,则椭圆的离心率是 .
解析:直线y=3(x+c)与坐标轴的交点分别为A(-c,0),B(0,3c).|AB|=2c.
直线y=3(x+c)与椭圆的一个交点为M,O为坐标原点,若|OM|=c,
可得M是AB的中点,M-c2,3c2.
则:c24a2+3c24b2=1,即e24+3c24a2-4c2=1,
化简得:e24+3e24-4e2=1,解得e=3-1.
答案:3-1
10.(2015江西赣州兴国一模,文10,直线与椭圆的位置关系,选择题)椭圆ax2+by2=1与直线y=1-x交于A,B两点,过原点与线段AB中点的直线的斜率为32,则ab的值为( )
A.32 B.233 C.932 D.2327
解析:由ax2+by2=1,y=1-x,得ax2+b(1-x)2=1,(a+b)x2-2bx+b-1=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2ba+b,y1+y2=1-x1+1-x2=2-2ba+b=2aa+b.
所以AB中点坐标为ba+b,aa+b,AB中点与原点连线的斜率k=aa+bba+b=ab=32.故ab=32.
答案:A
14.(2015山西太原五中二模,文14,椭圆的几何性质,填空题)已知椭圆mx2+4y2=1的离心率为22,则实数m等于 .
解析:由mx2+4y2=1,得x21m+y214=1,
若1m>14,得04,此时a=12,c2=14-1m=m-44m,c=m(m-4)2m,
则m(m-4)2m12=m(m-4)m=22,解得m=8.
综上,m=2或8.
答案:2或8
12.(2015山西太原山大附中高三月考,文12,椭圆的几何性质,选择题)椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,若椭圆C上恰好有6个不同的点P,使得△F1F2P为等腰三角形,则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A.13,23 B.12,1
C.23,1 D.13,12∪12,1
解析:①当点P与短轴的顶点重合时,△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形,
此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2P.
②当△F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时,
以F2P作为等腰三角形的底边为例,
∵F1F2=F1P,
∴点P在以F1为圆心,半径为焦距2c的圆上.
因此,当以F1为圆心,半径为2c的圆与椭圆C有2交点时,存在2个满足条件的等腰△F1F2P,
在△F1F2P1中,F1F2+PF1>PF2,
即2c+2c>2a-2c,由此得知3c>a.
所以离心率e>13.
当e=12时,△F1F2P是等边三角形,与①中的三角形重复,故e≠12.
同理,当F1P为等腰三角形的底边时,在e>13且e≠12时也存在2个满足条件的等腰△F1F2P.
这样,总共有6个不同的点P使得△F1F2P为等腰三角形.
综上所述,离心率的取值范围是13,12∪12,1.
答案:D
11.(2015黑龙江哈尔滨六中四模,文11,椭圆的几何性质,选择题)设F1,F2是椭圆x2+y2b2=1(0b>0)的右焦点F和上顶点B,则椭圆Γ的离心率为 .
解析:由题意得,椭圆的右焦点F为(c,0)、上顶点B为(0,b),
因为圆(x-1)2+(y-1)2=2经过右焦点F和上顶点B,
所以(c-1)2+1=2,1+(b-1)2=2,解得b=c=2,
则a2=b2+c2=8,解得a=22,
所以椭圆C的离心率e=ca=222=22.
答案:22
11.(2015甘肃兰州二诊,文11,椭圆的几何性质,选择题)已知椭圆C的中心为O,两焦点为F1,F2,M是椭圆C上一点,且满足|MF1|=2|MO|=2|MF2|,则椭圆的离心率e=( )
A.255 B.23 C.33 D.63
解析:由椭圆定义可得2a=|MF1|+|MF2|=3|MF2|,12|MF1|=|MO|=|MF2|,
所以|MF2|=23a,|MF1|=43a.
在△F1OM中,|F1O|=c,|F1M|=43a,|OM|=23a,
则cos∠MOF1=c2+49a2-169a22c·23a=3c2-4a24ac,
在△OF2M中,|F2O|=c,|MO|=|F2M|=23a,
则cos∠MOF2=49a2+c2-49a22c·23a=3c4a,
由∠MOF1=180°-∠MOF2得cos∠MOF1+cos∠MOF2=0,
即为3c2-4a24ac+3c4a=0,整理得:3c2-2a2=0,
即c2a2=23,即e2=23,即有e=63.
答案:D
11.(2015甘肃兰州一模,文11,椭圆的几何性质,选择题)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,右顶点为A,上顶点为B,若椭圆C的中心到直线AB的距离为66|F1F2|,则椭圆C的离心率e=( )
A.22 B.32 C.52 D.33
解析:设椭圆C的焦距为2c(cb>0),由题意可得,椭圆C两焦点坐标分别为F1(-1,0),F2(1,0).
∴2a=(1+1)2+322+(1-1)2+322=52+32=4.
∴a=2.
又c=1,b2=4-1=3,故椭圆的方程为x24+y23=1.
(2)当直线l⊥x轴,计算得到:
A-1,-32,B-1,32,
S△AF2B=12·|AB|·|F1F2|=12×3×2=3,不符合题意.
当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=k(x+1),
由y=k(x+1),x24+y23=1,消去y得
(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0.
显然Δ>0成立,设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=-8k23+4k2,x1·x2=4k2-123+4k2,
又|AB|=1+k2·(x1+x2)2-4x1·x2
=1+k2·64k4(3+4k2)2-4(4k2-1)3+4k2,
即|AB|=1+k2·12k2+13+4k2=12(k2+1)3+4k2,
又圆F2的半径r=|k×1-0+k|1+k2=2|k|1+k2,
所以S△AF2B=12|AB|r=12×12(k2+1)3+4k2·2|k|1+k2=12|k|1+k23+4k2=1227,
化简,得17k4+k2-18=0,即(k2-1)(17k2+18)=0,解得k=±1.
所以r=2|k|1+k2=2,
故圆F2的方程为(x-1)2+y2=2.
137
直线与椭圆的位置关系
20.(2015黑龙江绥化一模,文20,直线与椭圆的位置关系,解答题)坐标系xOy中,已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的其中一个顶点坐标为B(0,1),且点P-62,12在C1上.
(1)求椭圆C1的方程;
(2)若直线l:y=kx+m与椭圆C1交于M,N且kOM+kON=4k,求证:m2为定值.
(1)解:由题意,椭圆C1的右顶点坐标为B(0,1),所以b=1,
点P-62,-12代入椭圆x2a2+y2b2=1,得1a2=12,即a=2.
所以椭圆C1的方程为x22+y2=1.
(2)证明:直线l的斜率显然存在,设直线l的方程为y=kx+m,
得x22+y2=1,y=kx+m,消去y并整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,(*)
设M(x1,y1),N(x2,y2),
由(*)式得x1+x2=-4km1+2k2,x1·x2=2m2-21+2k2.
kOM+kON=y1x1+y2x2=kx1+mx1+kx2+mx2=2k+m(x1+x2)x1x2=2k-4km22m2-2=4k.可得m2=12.
经验证满足Δ>0,故m2=12为定值.
9.6双曲线
138
双曲线的定义与标准方程
1.(2015广西柳州一中一模,文12,双曲线的定义与标准方程,选择题)在平面直角坐标系中,已知△ABC的顶点A(-6,0)和C(6,0),顶点B在双曲线x225-y211=1的左支上,则sinBsinA-sinC等于( )
A.56 B.116 C.1125 D.65
解析:由题意可知双曲线的焦点坐标就是A,B,由双曲线的定义可知BC-AB=2a=10,c=6,sinBsinA-sinC=ACBC-AB=2c2a=65.
答案:D
2.(2015甘肃张掖4月模拟,文11,双曲线的定义与标准方程,选择题)已知双曲线x2-y22=1的焦点为F1,F2,点M在双曲线上且MF1·MF2=0,则点M到x轴的距离为( )
A.43 B.53 C.3 D.233
解析:已知双曲线x2-y22=1的焦点为F1(-3,0),F2(3,0).
∵MF1⊥MF2,∴点M在以F1F2为直径的圆x2+y2=3上,
故由x2+y2=3,x2-y22=1,得|y|=233,
∴点M到x轴的距离为233.
答案:D
11.(2015江西景德镇二模,文11,双曲线的定义与标准方程,选择题)已知双曲线x23-y2b2=1两个焦点分别为F1,F2,过点F2的直线l与该双曲线的右支交于M,N两点,且△F1MN是以N为直角顶点的等腰直角三角形,则S△F1NM为( )
A.182 B.122 C.18 D.12
解析:设|NF1|=|MN|=m,则|MF1|=2m,
由双曲线的定义,可得|NF2|=m-2a,|MF2|=2m-2a,
∵|NM|=|NF2|+|MF2|=m,
∴m-2a+2m-2a=m,
∴4a=2m.
∵a2=3,∴m2=24.
故S△F1NM=12m2=12×24=12.
答案:D
11.(2015江西上饶重点中学二模,文11,双曲线的定义与标准方程,选择题)已知双曲线x24-b2-y2b2=1(00,b>0,且b∈N*)的两个焦点为F1,F2,其中一条渐近线方程为y=12x,P为双曲线上一点,且满足|OP|<5(其中O为坐标原点),若|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列,则双曲线C的方程为( )
A.x24-y2=1 B.x2-y2=1
C.x24-y29=1 D.x24-y216=1
解析:∵|F1F2|2=|PF1|·|PF2|,
∴4c2=|PF1|·|PF2|.
∵|PF1|-|PF2|=4,∴|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=16,
即|PF1|2+|PF2|2-8c2=16.①
设∠POF1=θ,则∠POF2=π-θ,
由余弦定理得,|PF2|2=c2+|OP|2-2|OF2|·|OP|·cos(π-θ),
|PF1|2=c2+|OP|2-2|OF1||OP|·cos θ.
整理得,|PF2|2+|PF1|2=2c2+2|OP|2.②
由①②化简得,|OP|2=8+3c2=20+3b2.
∵OP<5,∴20+3b2<25,∵b∈N*,∴b2=1.
∵一条渐近线方程为y=12x,
∴ba=12,∴a=2,∴x24-y2=1.
答案:A
3.(2015山西太原外国语学校4月模拟,文3,双曲线的定义与标准方程,选择题)过双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于A.若以C的右焦点为圆心、半径为2的圆经过A,O两点(O为坐标原点),则双曲线C的方程为( )
A.x2-y23=1 B.x2-y24=1
C.x24-y212=1 D.x212-y24=1
解析:双曲线的右顶点为(a,0),右焦点F为(c,0),
由x=a和一条渐近线y=bax,可得A(a,b).
以C的右焦点为圆心、半径为2的圆经过A,O两点(O为坐标原点),
则|AF|=|OF|=c=2,即有(a-c)2+b2=2,c2=a2+b2=4,解得a=1,b=3.
故双曲线C的方程为x2-y23=1.
答案:A
139
双曲线的几何性质
1.(2015江西上饶重点中学一模,文11,双曲线的几何性质,选择题)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为60°的直线l,若直线l与抛物线在第一象限的交点为A,并且点A也在双曲线 x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线上,则双曲线的离心率为( )
A.213 B.13 C.233 D.5
解析:如图,
设A(x0,y0),则|AF|=2x0-p2,
又|AF|=x0+p2,∴2x0-p2=x0+p2,解得x0=32p,y0=32|AF|=32·2p=3p.
∵A32p,3p在双曲线 x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线上,
∴3p=ba·32p,解得b2=43a2.
由a2+b2=c2,得a2+43a2=c2,
即c2a2=73,∴双曲线的离心率e=ca=213.
答案:A
2.(2015山西太原一模,文11,双曲线的几何性质,选择题)已知点F1,F2是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右两焦点,若双曲线左支上存在点P与点F2关于直线y=bax对称,则双曲线的离心率为( )
A.2 B.52 C.2 D.5
解析:过焦点F且垂直渐近线的直线方程为y-0=-ab(x-c),
联立渐近线方程y=bax与y-0=-ab(x-c),
解之可得x=a2c,y=abc.
故对称中心的坐标为a2c,abc,
由中点坐标公式可得点P的坐标为2a2c-c,2abc,
将其代入双曲线的方程可得(2a2-c2)2a2c2-4a2b2b2c2=1,
结合a2+b2=c2,化简可得c2=5a2,故可得e=ca=5.
答案:D
3.(2015广西玉林、贵港4月模拟,文5,双曲线的几何性质,选择题)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的实轴长为2,离心率为5,则它的一个焦点到它的一条渐近线的距离为( )
A.1 B.2 C.5 D.22
解析:∵双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的实轴长为2,离心率为5,
∴a=1,c=5,b=2.
∴双曲线的一个焦点为(5,0),一条渐近线的方程为y=2x.
故双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离为254+1=2.
答案:B
4.(2015广西桂林、防城港联合调研,文10,双曲线的几何性质,选择题)若双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)与直线y=3x无交点,则离心率e的取值范围为( )
A.(1,2) B.(1,2] C.(1,5) D.(1,5]
解析:∵双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)与直线y=3x无交点,
∴双曲线的渐近线方程y=±bax,满足ba≤3,
得b≤3a,两边平方得b2≤3a2,即c2-a2≤3a2,
∴c2≤4a2,得c2a2≤4即e2≤4.
又e>1,∴10,b>0)上的动点,F1,F2分别是其左、右焦点,若|PF1|=|PF2|+2,则此双曲线的渐近线方程是 .
解析:由双曲线x2a2-y2=1的定义可得,||PF1|-|PF2||=2a,
若|PF1|=|PF2|+2,即有|PF1|-|PF2|=2,
即2a=2,解得a=1,即双曲线的方程为x2-y2=1,
则有渐近线方程为y=±x.
答案:y=±x
6.(2015广西柳州一中一模,文10,双曲线的几何性质,选择题)设F1,F2分别为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,A为双曲线的左顶点,以F1F2为直径的圆交双曲线某条渐近线于M,N两点,且满足∠MAN=120°,则该双曲线的离心率为( )
A.213 B.193 C.23 D.733
解析:不妨设圆与y=bax相交且点M的坐标为(x0,y0)(x0>0),则N点的坐标为(-x0,-y0),
联立y0=bax0,x02+y02=c2得M(a,b),N(-a,-b).
又A(-a,0)且∠MAN=120°,所以由余弦定理得4c2=(a+a)2+b2+b2-2(a+a)2+b2·bcos 120°,
化简得7a2=3c2,故e=ca=213.
答案:A
7.(2015江西赣州一模,文4,双曲线的几何性质,选择题)已知双曲线x2a2-y2b2=1(b>a>0)的两条渐近线的夹角为60°,则双曲线的离心率为( )
A.3 B.2 C.43 D.233
解析:∵b>a>0,∴ba>1.
∵双曲线x2a2-y2b2=1(b>a>0)的两条渐近线的夹角为60°,
∴ba=3,b2=3a2.∴e=a2+b2a2=4a2a2=2.
答案:B
12.(2015山西太原二模,文12,双曲线的几何性质,选择题)已知F1,F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左,右焦点,过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A,B,若|AB|=|AF2|,∠F1AF2=90°,则双曲线的离心率为( )
A.6+32 B.6+3
C.5+222 D.5+22
解析:设|AF2|=t,由题可知,|AB|=t,|BF2|=2t,
则|AF1|=|F1F2|2-|AF2|2=4c2-t2,
由双曲线的定义可知,t-4c2-t2=t+4c2-t2-2t,
解得:t=263c,∴|AF1|=233c.
∵|AF2|-|AF1|=2a,即263-233c=2a,
∴e=ca=36-3=6+3.
答案:B
3.(2015江西九江一模,文3,双曲线的几何性质,选择题)已知双曲线x2a-y24=1的渐近线方程为y=±233x,则此双曲线的离心率为( )
A.72 B.133 C.53 D.213
解析:∵双曲线x2a-y24=1的渐近线方程为y=±2ax,
则2a=233,即4a=43,
∴a=3,半焦距c=3+4=7.
∴e=73=213.
答案:D
3.(2015江西鹰潭一模,文3,双曲线的几何性质,选择题)设双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±33x,则该双曲线的离心率为( )
A.322 B.2 C.233 D.2
解析:由已知条件知,ba=33,∴b2a2=13.
∴a2+b2a2=c2a2=43.∴e=ca=233.
答案:C
20.(2015江西吉安一模,文20,双曲线的几何性质,解答题)在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C:ax2-y2=1(a>0).
(1)过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线,若该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积不超过28,求实数a的取值范围;
(2)设斜率为1的直线l交C1于P,Q两点,若l与圆x2+y2=1相切且OP⊥OQ,求双曲线的方程.
解:(1)双曲线C1:x21a-y2=1,左顶点A-1a,0,渐近线方程y=±ax,
过点A与渐近线y=ax平行的直线方程为y=ax+1a,即y=ax+1,
解方程组y=-ax,y=ax+1,得x=-12a,y=12.
∴该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积S=12·1a·12=14a,
由S≤28,解得a≥2.
(2)设直线PQ的方程是y=x+b,
∵直线PQ与已知圆相切,∴|b|2=1,解得b2=2,
由y=x+b,ax2-y2=1,得(a-1)x2-2bx-b2-1=0,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则x1+x2=2ba-1,x1x2=-1-b2a-1,
∴y1y2=(x1+b)(x2+b)=x1x2+b(x1+x2)+b2.
∵OP⊥OQ,
∴OP·OQ=x1x2+y1y2=2x1x2+b(x1+x2)+b2
=2·-1-b2a-1+2b2·1a-1+b2=0,
即为-2-4+4+2(a-1)=0,解得a=2,
故双曲线的方程为2x2-y2=1.
6.(2015黑龙江绥化重点中学二模,文6,双曲线的几何性质,选择题)已知双曲线x2a2-y21-a2=1(a>0)的离心率为2,则a的值为( )
A.12 B.22 C.13 D.33
解析:由双曲线x2a2-y21-a2=1,可得c=1,
∵双曲线的离心率为2,∴ca=2,解得a=22.
答案:B
9.(2015江西红色六校一模,文9,双曲线的几何性质,选择题)设F1,F2分别为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若在双曲线右支上存在点P,满足|PF2|=|F1F2|,且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率e为( )
A.45 B.54 C.35 D.53
解析:依题意|PF2|=|F1F2|,可知△PF2F1是一个等腰三角形,F2在直线PF1的投影是其中点,由勾股定理知|PF1|=24c2-4a2=4b.
根据双曲线定义可知4b-2c=2a,整理得c=2b-a,代入c2=a2+b2整理得3b2-4ab=0,求得ba=43.
故e=ca=c2a2=a2+b2a2=53.
答案:D
11.(2015江西鹰潭二模,文11,双曲线的几何性质,选择题)如图,已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点为A,O为坐标原点,以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P,Q,若∠PAQ=60°,且OQ=3OP,则双曲线C的离心率为( )
A.233 B.72 C.396 D.3
解析:因为∠PAQ=60°且OQ=3OP,
所以△QAP为等边三角形,设AQ=2R,则OP=R,
渐近线方程为y=bax,A(a,0),取PQ的中点M,则AM=|ab|a2+b2.
由勾股定理可得(2R)2-R2=|ab|a2+b22,
所以(ab)2=3R2(a2+b2).①
在△OQA中,(3R)2+(2R)2-a22·3R·2R=12,
所以7R2=a2.②
①②结合c2=a2+b2,可得e=ca=72.
答案:B
11.(2015广西南宁一模,文11,双曲线的几何性质,选择题)双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)与抛物线y2=2px(p>0)相交于A,B两点,公共弦AB恰好过它们的公共焦点F,则双曲线C的离心率为( )
A.2 B.1+2 C.22 D.2+2
解析:∵双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)与抛物线y2=2px(p>0)相交于A,B两点,公共弦AB恰好过它们的公共焦点F,
∴Ap2,p在双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上,p2=a2+b2=c.
∴(c,2c)在双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上,
∴c2a2-4c2b2=1.∴c4-6a2c2+a4=0,
∴e4-6e2+1=0.
∴e2=6±422=3±22=(1±2)2.
∵e>1,∴e=1+2.
答案:B
10.(2015贵州贵阳二模,文10,双曲线的几何性质,选择题)以双曲线C:x2a2-y23=1(a>0)的一个焦点F为圆心的圆与双曲线的渐近线相切,则该圆的面积为( )
A.π B.3π C.6π D.9π
解析:由题意双曲线C:x2a2-y23=1知,b2=3,c2=a2+3,圆的半径等于右焦点(c,0)到其中一条渐近线y=3ax的距离,
根据点到直线的距离公式得:
R=3a×a2+33a2+1=3.
圆的面积为S=(3)2π=3π.
答案:B
7.(2015黑龙江大庆一模,文7,双曲线的几何性质,选择题)已知抛物线x2=43y的准线经过双曲线y2m2-x2=1(m>0)的一个焦点,则双曲线的离心率为( )
A.3 B.62 C.324 D.33
解析:∵抛物线x2=43y的准线方程为y=-3,抛物线x2=43y的准线过双曲线y2m2-x2=1的一个焦点,
∴双曲线的一个焦点坐标为(0,-3).
∴双曲线中c=3.
∵双曲线y2m2-x2=1,
∴a2=m2,a=m,m2+1=3,解得m=2,
∴双曲线的离心率e=ca=32=62.
答案:B
3.(2015江西上饶三模,文3,双曲线的几何性质,选择题)双曲线 x213-y23=1的渐近线与圆(x-4)2+y2=r2(r>0)相切,则r=( )
A.4 B.3 C.2 D.3
解析:根据题意,可得双曲线的渐近线方程为y=±3913x,即x±393y=0,
∵渐近线与圆相切,
∴圆心(4,0)到渐近线的距离d与r相等,
∴r=d=41+3932=3.
答案:D
3.(2015广西梧州一模,文3,双曲线的几何性质,选择题)双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,则它的一条渐近线经过点( )
A.(1,2) B.(2,1) C.(1,3) D.(3,1)
解析:由题意可得e=ca=2,
即c=2a,
b=c2-a2=4a2-a2=3a,
双曲线x2a2-y2b2=1的渐近线方程为y=±bax,
即为y=±3x.
代入点(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),
只有(1,3)满足渐近线方程.
答案:C
12.(2015江西新余二模,文12,双曲线的几何性质,选择题)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点,若双曲线C的离心率为2,△AOB的面积为3,则△AOB的内切圆半径为( )
A.3-1 B.3+1 C.23-3 D.23+3
解析:由e=ca=a2+b2a2=1+ba2=2,可得ba=3.
由y=±3x,x=-p2,求得A-p2,32p,B-p2,-32p,
所以S△AOB=12·3p·p2=3,解得p=2.
所以A(-1,3),B(-1,-3),
则△AOB的三边分别为2,2,23,
设△AOB的内切圆半径为r,由12(2+2+23)r=3,解得r=23-3.
答案:C
11.(2015贵州贵阳一模,文11,双曲线的几何性质,选择题)已知抛物线C1:y=12px2(p>0)的焦点与双曲线C2:x23-y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M,若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线,则p=( )
A.316 B.38 C.233 D.433
解析:由抛物线C1:y=12px2(p>0),得x2=2py(p>0),
所以抛物线的焦点坐标为F0,p2.
由x23-y2=1,得a=3,b=1,c=2.
所以双曲线的右焦点为(2,0).
则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为y-0p2-0=x-20-2,即p2x+2y-p=0.①
设该直线交抛物线于Mx0,x022p,则C1在点M处的切线的斜率为x0p.
由题意可知x0p=33,得x0=33p,代入M点得M33p,p6.
把M点代入①,得3p23+23p-2p=0.
解得p=433.
答案:D
9.(2015江西南昌零模,文9,双曲线的几何性质,选择题)设F1,F2是双曲线x2a2-y2b2=1的两个焦点,若双曲线上存在点M使∠F1MF2=60°,且|MF1|-2|MF2|=0,则双曲线的离心率为( )
A.3 B.2 C.5 D.6
解析:由于|MF1|-2|MF2|=0,
则M在双曲线的右支上,
则由双曲线的定义,可得|MF1|-|MF2|=2a,
解得|MF1|=4a,|MF2|=2a.
在△F1MF2中,由余弦定理,可得
cos 60°=|MF1|2+|MF2|2-|F1F2|22|MF1|·|MF2|,
即为12=16a2+4a2-4c22×4a·2a,
化简可得,c=3a,则离心率e=ca=3.
答案:A
10.(2015江西重点中学协作体一模,文10,双曲线的几何性质,选择题)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线与圆C:x2+y2-6x+1=0相交于A,B两点,且|AB|=4,则该双曲线离心率等于( )
A.355 B.62 C.32 D.55
解析:由题意可知双曲线的一条渐近线方程为bx+ay=0,
圆C:x2+y2-6x+1=0的圆心(3,0),半径为22,
双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线与圆C:x2+y2-6x+1=0相交于A,B两点,且|AB|=4,
可得3ba2+b22+22=8,9b2a2+b2=4,
即5b2=4a2,可得5(c2-a2)=4a2,5c2=9a2,
解得e=ca=355.
答案:A
11.(2015江西重点中学协作体二模,文11,双曲线的几何性质,选择题)中心在原点,焦点在x轴上的双曲线C的离心率为2,直线l与双曲线C交于A,B两点,线段AB中点M在第一象限,并且在抛物线y2=2px(p>0)上,且M到抛物线焦点的距离为p,则直线l的斜率为( )
A.2 B.32 C.1 D.12
解析:∵M在抛物线y2=2px(p>0)上,且M到抛物线焦点的距离为p,
∴M的横坐标为p2,∴Mp2,p.
设双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),A(x1,y1),B(x2,y2),则代入两式相减,并将线段AB中点M的坐标代入,可得p(x1-x2)a2-2p(y1-y2)b2=0,
∴y1-y2x1-x2=b22a2=e2-12=12,即直线l的斜率为12.
答案:D
14.(2015江西重点中学协作体二模,文14,双曲线的几何性质,填空题)已知过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)右焦点且倾斜角为45°的直线与双曲线右支有两个交点,则双曲线的离心离e的取值范围是 .
解析:根据题意,得ba1,故e的范围是(1,2).
答案:(1,2)
12.(2015江西新八校联考一模,文12,双曲线的几何性质,选择题)双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),M,N为双曲线上关于原点对称的两点,P为双曲线上的点,且直线PM,PN斜率分别为k1,k2,若k1·k2=54,则双曲线离心率为( )
A.2 B.32 C.2 D.52
解析:由题意,设M(x1,y1),P(x2,y2),则N(-x1,-y1),
∴kPM·kPN=y2-y1x2-x1·y2+y1x2+x1=y22-y12x22-x12.
∵x12a2-y12b2=1,x22a2-y22b2=1,
∴两式相减可得y22-y12x22-x12=b2a2.
∵kPM·kPN=54,∴b2a2=54.
∴b=52a,∴c=a2+b2=32a,∴e=ca=32.
答案:B
16.(2015江西红色六校二模,文16,双曲线的几何性质,填空题)已知点A是抛物线C1:y2=2px(p>0)与双曲线C2:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的交点,若点A到抛物线C1的准线的距离为p,则双曲线的离心率等于 .
解析:取双曲线的一条渐近线y=bax,联立y2=2px,y=bax,解得x=2pa2b2,y=2pab,故A2pa2b2,2pab.
∵点A到抛物线的准线的距离为p,
∴p2+2pa2b2=p,化为a2b2=14.∴b2a2=4.
∴双曲线C2的离心率e=ca=1+b2a2=5.
答案:5
4.(2015山西四校联考三模,文4,双曲线的几何性质,选择题)若椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12,则双曲线x2a2-y2b2=1的渐近线方程为( )
A.y=±32x B.y=±3x
C.y=±12x D.y=±x
解析:∵椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12,
∴c2a2=14,即a2-b2a2=14,解得ba=32,
∴双曲线x2a2-y2b2=1的渐近线方程为y=±32x.
答案:A
12.(2015山西四校联考三模,文12,双曲线的几何性质,选择题)已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点,点B为抛物线的焦点,P在抛物线上且满足|PA|=m|PB|,当m取最大值时,点P恰好在以A,B为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为( )
A.5-12 B.2+12 C.2+1 D.5-1
解析:过P作准线的垂线,垂足为N,则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|,
∵|PA|=m|PB|,∴|PA|=m|PN|,
∴1m=|PN||PA|.
设PA的倾斜角为α,则sin α=1m,
当m取得最大值时,sin α最小,此时直线PA与抛物线相切,
设直线PM的方程为y=kx-1,代入x2=4y,可得x2=4(kx-1),
即x2-4kx+4=0,∴Δ=16k2-16=0,
∴k=±1,∴P(2,22),
∴双曲线的实轴长为PA-PB=2(2-1).
∴双曲线的离心率为22(2-1)=2+1.
答案:C
7.(2015江西赣州兴国一模,文7,双曲线的几何性质,选择题)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点到它的一条渐近线的距离等于实轴长的14,则该双曲线的离心率为( )
A.2 B.3 C.52 D.5
解析:∵焦点F(c,0)到渐近线y=bax的距离等于实轴长的14,∴bca2+b2=2a×14,∴a=2b.
∴e2=1+b2a2=54,∴e=52.
答案:C
15.(2015黑龙江哈尔滨九中三模,文15,双曲线的几何性质,填空题)已知A,B,P是双曲线x2a2-y2b2=1上不同的三点,且A,B连线经过坐标原点,若直线PA,PB的斜率乘积kPA·kPB=23,则该双曲线的离心率为 .
解析:A,B一定关于原点对称,设A(x1,y1),B(-x1,-y1),P(x,y).
则x12a2-y12b2=1,kPA·kPB=b2a2=23,e=1+b2a2=153.
答案:153
9.(2015黑龙江哈尔滨六中四模,文9,双曲线的几何性质,选择题)双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离为3,则C的焦距等于( )
A.2 B.22 C.23 D.4
解析:双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离为3,可得ca=2,b=3,可得c2=4a2=a2+b2,解得a2=1,c=2,所以2c=4,即C的焦距为4.
答案:D
11.(2015黑龙江哈尔滨三中四模,文11,双曲线的几何性质,选择题)双曲线C的中心在原点,焦点在y轴上,离心率为2,双曲线C与抛物线y2=4x的准线交于A,B两点,|AB|=4,则双曲线C的实轴长为( )
A.2 B.3 C.4 D.23
解析:由题意可知,双曲线为焦点在y轴上的等轴双曲线,设等轴双曲线C的方程为y2-x2=λ,①
∵抛物线y2=4x,∴2p=4,p=2,∴p2=1,
∴抛物线的准线方程为x=-1.
设等轴双曲线与抛物线的准线x=-1的两个交点A(-1,y),B(-1,-y)(y>0),
则|AB|=|y-(-y)|=2y=4,∴y=2.
将x=-1,y=2代入①,得22-(-1)2=λ,
∴λ=3.∴等轴双曲线C的方程为x2-y2=3,
即y23-x23=1.∴双曲线C的实轴长为23.
答案:D
13.(2015吉林实验中学六模,文13,双曲线的几何性质,填空题)若双曲线y2a2-x2b2=1的离心率为3,则其渐近线方程为 .
解析:∵双曲线C方程为y2a2-x2b2=1(a>0,b>0),
∴双曲线的渐近线方程为y=±abx.
又双曲线离心率为3,∴c=3a,可得b=2a.
故双曲线的渐近线方程为y=±22x.
答案:y=±22x
20.(2015甘肃兰州一模,文20,双曲线的几何性质,解答题)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为y=3x,焦点F到直线x=a2c的距离为32.
(1)求双曲线C的方程;
(2)斜率为1且在y轴上的截距大于0的直线与曲线C相交于B,D两点,已知A(1,0),若DF·BF=1,证明:过A,B,D三点的圆与x轴相切.
解:(1)依题意有ba=3,c-a2c=32,
∵a2+b2=c2,∴c=2a,∴a=1,c=2,∴b2=3.
∴曲线C的方程为x2-y23=1.
(2)证明:设直线l的方程为y=x+m,则B(x1,x1+m),D(x2,x2+m),BD的中点为M,
由y=x+m,x2-y23=1,得2x2-2mx-m2-3=0.
∴x1+x2=m,x1x2=-m2+32.
∵DF·BF=1,即(2-x1)(2-x2)+(x1+m)(x2+m)=1,∴m=0(舍去)或m=2.
∴x1+x2=2,x1x2=-72,M点的横坐标为x1+x22=1.
∵DA·BA=(1-x1)(1-x2)+(x1+2)(x2+2)=5+2x1x2+x1+x2=5-7+2=0,
∴AD⊥AB.∴过A,B,D三点的圆以点M为圆心,BD为直径.
∵M点的横坐标为1,∴MA⊥x.
∵MA=12BD,
∴过A,B,D三点的圆与x轴相切.
3.(2015甘肃庆阳一诊,文3,双曲线的几何性质,选择题)双曲线x24-y2b2=1(b>0)的焦距为6,则双曲线的渐近线方程为( )
A.y=±52x B.y=±54x
C.y=±255x D.y=±455x
解析:因为双曲线x24-y2b2=1(b>0)的焦距为6,所以a=2,c=3,所以b=5,故双曲线的渐近线方程为y=±52x.
答案:A
15.(2015甘肃河西五地一模,文15,双曲线的几何性质,填空题)已知双曲线x2-y2=1,点F1,F2为其两个焦点,点P为双曲线上一点,若PF1⊥PF2,则|PF1|+|PF2|的值为 .
解析:∵PF1⊥PF2,∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2.
∵双曲线方程为x2-y2=1,
∴a2=b2=1,c2=a2+b2=2,可得F1F2=22.
∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=8.
又P为双曲线x2-y2=1上一点,
∴|PF1|-|PF2|=±2a=±2,(|PF1|-|PF2|)2=4.
∴(|PF1|+|PF2|)2=2(|PF1|2+|PF2|2)-(|PF1|-|PF2|)2=12,
故|PF1|+|PF2|的值为23.
答案:23
11.(2015甘肃张掖一模,文11,双曲线的几何性质,选择题)已知二次曲线x24+y2m=1,则当m∈[-2,-1]时,该曲线的离心率e的取值范围是( )
A.22,32 B.22,62
C.52,62 D.32,62
解析:由当m∈[-2,-1]时,二次曲线为双曲线,
双曲线x24+y2m=1即为x24-y2-m=1,
且a2=4,b2=-m,则c2=4-m,
即有e=ca=4-m2∈52,62.
答案:C
9.7抛物线
140
抛物线的定义与标准方程
20.(2015江西上饶二模,文20,抛物线的定义与标准方程,解答题)已知抛物线y2=2px的焦点为F,若该抛物线上有一点A,满足直线FA的倾斜角为120°,且|FA|=4.
(1)求抛物线方程;
(2)若抛物线上另有两点B,C满足FA+FB+FC=0,求直线BC的方程.
解:(1)如图,设抛物线的准线为l,过A作AM⊥l,垂足为M.
由|AF|=4,可得|AM|=4,由∠AFx=120°,
可知|NF|=|AM|+|AF|cos 60°=6,由抛物线的定义可得p=|NF|=6,故抛物线方程为y2=12x.
(2)由(1)可知点A(1,23),可设点B(x1,y1),C(x2,y2),
由FA+FB+FC=0可得,
(-2,23)+(x1-3,y1)+(x2-3,y2)=(0,0),
即得x1+x2=8,y1+y2=-23,
即BC中点坐标为(4,-3).
∵y12=12x1,y22=12x2,∴y12-y22=12(x1-x2).
而BC斜率k=y1-y2x1-x2=12y1+y2=-23,
∴直线BC方程为y+3=-23(x-4),
即23x+y-73=0.
4.(2015江西新八校联考一模,文4,抛物线的定义与标准方程,选择题)O为原点,F为y2=4x的焦点,A为抛物线上一点,若OA·AF=-4,则A点坐标为( )
A.(2,±22) B.(1,±2)
C.(1,2) D.(2,22)
解析:y2=4x的焦点F(1,0),设Ab24,b,
∵OA·AF=-4,∴b24,b·1-b24,-b=-4,
解得b=±2,A点坐标为(1,±2).
答案:B
5.(2015山西太原山大附中高三月考,文5,抛物线的定义与标准方程,选择题)若抛物线y=ax2的焦点坐标是(0,1),则a=( )
A.1 B.12 C.2 D.14
解析:抛物线y=ax2的标准方程为x2=1ay,
∵抛物线y=ax2的焦点坐标为(0,1),
∴14a=1,∴a=14.
答案:D
141
抛物线的几何性质
1.(2015广西桂林、防城港联合调研,文8,抛物线的几何性质,选择题)设点P在曲线y=x2上,点Q在直线y=2x-2上,则PQ的最小值为( )
A.55 B.255 C.355 D.455
解析:点P在曲线y=x2上,可设P(m,m2),
则P到直线y=2x-2即2x-y-2=0的距离为
d=|2m-m2-2|5=|(m-1)2+1|5,
当m=1时,d取得最小值55.
答案:A
2.(2015江西赣州一模,文7,抛物线的几何性质,选择题)已知抛物线C:y2=8x焦点为F,点P是C上一点,若△POF的面积为2,则|PF|=( )
A.52 B.3 C.72 D.4
解析:由抛物线C:y2=8x,得
抛物线的准线方程为x=-2,焦点F(2,0),
又P为C上一点,设|PF|=t,∴xP=t-2.
代入抛物线方程,得|yP|=22(t-2),
所以S△POF=12×|OF|×|yP|
=12×2×22(t-2)
=22(t-2)=2,解得t=52.
故|PF|=52.
答案:A
3.(2015甘肃张掖4月模拟,文15,抛物线的几何性质,填空题)已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为-2,则该抛物线的准线方程为 .
解析:∵抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于A,B两点,
∴直线AB的方程为y=-x+p2,
∴x=-y+p2.
把x=-y+p2代入抛物线方程,
整理得y2+2py-p2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=-2p,
∵线段AB的中点的纵坐标为-2,∴y1+y2=-4.
∴p=2,∴抛物线方程为y2=4x.
故该抛物线的准线方程为x=-1.
答案:x=-1
11.(2015江西九江一模,文11,抛物线的几何性质,选择题)过抛物线y2=8x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,交抛物线的准线于C,若|AF|=6,BC=λFB,则λ的值为( )
A.34 B.32 C.3 D.3
解析:由题意,抛物线y2=8x的准线为x=-2,|AF|=6,
所以A(4,42)(另一种情况同理).
所以直线AF的斜率为22,方程为y=22(x-2),
代入抛物线方程可得x2-5x+4=0,
所以可得B(1,-22),
因为BC=λFB,所以λ=1+22-1=3.
答案:D
9.(2015江西景德镇二模,文9,抛物线的几何性质,选择题)已知抛物线y=14x2的焦点为F,定点M(1,2),点A为抛物线上的动点,则|AF|+|AM|的最小值为( )
A.32 B.52 C.3 D.5
解析:设点A到准线的距离为|AE|,由定义知|AF|=|AE|,则|AM|+|AF|=|AF|+|AM|≥|ME|≥|MN|=2+1=3(M到准线的垂足设为N)取等号时,M,A,E三点共线.故|AM|+|AF|的最小值等于3.
答案:C
8.(2015江西鹰潭二模,文8,抛物线的几何性质,选择题)已知点A(-1,0),B(1,0)及抛物线y2=2x,若抛物线上点P满足|PA|=m|PB|,则m的最大值为( )
A.3 B.2 C.3 D.2
解析:设Py22,y,由题意可得
m2=PA2PB2=y22+12+y2y22-12+y2=y4+4+8y2y4+4
=1+8y2y4+4≤1+8y224y4=3,
所以m≤3,当且仅当y2=2时,等号成立.
答案:C
9.(2015江西上饶三模,文9,抛物线的几何性质,选择题)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若FP=3FQ,则|QF|=( )
A.83 B.43 C.2 D.1
解析:设Q到l的距离为d,则由抛物线的定义可得|QF|=d,∵FP=3FQ,∴|PQ|=2d.
∴直线PF的斜率为±3.
∵F(1,0),准线l:x=-1,
∴直线PF的方程为y=±3(x-1),与y2=4x联立可得x=13,∴|QF|=d=1+13=43.
答案:B
8.(2015广西防城港、桂林一模,文8,抛物线的几何性质,选择题)已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,点P为抛物线上一点,且在第一象限,PA⊥l,垂足为A,若|PF|=4,则直线AF的倾斜角为( )
A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6
解析:∵抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,
∴|PF|=|PA|,F(1,0),准线l的方程为x=-1,
设F在l上的射影为F',又PA⊥l,
设P(m,n),依|PF|=|PA|得,m+1=4,
解得m=3.
∴n=23.
∵PA∥x轴,∴点A的纵坐标为23,点A的坐标为(-1,23),
则直线AF的斜率为23-0-1-1=-3,
故直线AF的倾斜角等于2π3.
答案:C
12.(2015甘肃河西五地二模,文12,抛物线的几何性质,选择题)已知抛物线C:x2=8y的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若PF=2FQ,则|QF|=( )
A.6 B.3 C.83 D.43
解析:抛物线C:x2=8y的焦点为F(0,2),准线为l:y=-2,
设P(a,-2),Qm,m28,
则PF=(-a,4),FQ=m,m28-2,
∵PF=2FQ,∴4=m24-4.∴m2=32.
由抛物线的定义可得|QF|=m28+2=4+2=6.
答案:A
6.(2015甘肃兰州二诊,文6,抛物线的几何性质,选择题)已知点F是抛物线y2=4x焦点,M,N是该抛物线上两点,|MF|+|NF|=6,则MN中点到准线距离为( )
A.32 B.2 C.3 D.4
解析:∵F是抛物线y2=4x的焦点,
∴F(1,0),准线方程x=-1.
设M(x1,y1),N(x2,y2),
∴|MF|+|NF|=x1+1+x2+1=6,
解得x1+x2=4,
∴线段AB中点的横坐标为2,
∴线段AB的中点到该抛物线准线的距离为2+1=3.
答案:C
14.(2015甘肃兰州一模,文14,抛物线的几何性质,填空题)抛物线y2=12x的准线与双曲线x29-y23=1的两条渐近线所围成的三角形的面积等于 .
解析:抛物线y2=12x的准线为x=-3,双曲线x29-y23=1的两条渐近线方程分别为y=33x,y=-33x,这三条直线构成边长为23的等边三角形,因此,所求三角形面积等于12×23×23×sin 60°=33.
答案:33
12.(2015甘肃庆阳一诊,文12,抛物线的几何性质,选择题)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,已知点A,B为抛物线上的两个动点,且满足∠AFB=120°.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN,垂足为N,则|AB||MN|的最小值为( )
A.33 B.233 C.1 D.3
解析:如图,过A,B分别作准线的垂线AQ,BP,垂足分别是Q,P,
设|AF|=a,|BF|=b,连接AF,BF,
由抛物线定义,得|AF|=|AQ|,|BF|=|BP|.
在梯形ABPQ中,2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b.
由余弦定理得,|AB|2=a2+b2-2abcos 120°=a2+b2+ab(a+b)2-ab,
因为ab≤a+b22,
则(a+b)2-ab≥(a+b)2-a+b22
=34(a+b)2,即|AB|2≥34(a+b)2,
所以|AB|2|MN|2≥34(a+b)214(a+b)2=3,
即|AB||MN|≥3.故所求的最小值是3.
答案:D
11.(2015甘肃河西五地一模,文11,抛物线的几何性质)已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y0).若点M到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|=( )
A.22 B.23 C.4 D.25
解析:由题意,抛物线关于x轴对称,开口向右,设方程为y2=2px(p>0),
∵点M(2,y0)到该抛物线焦点的距离为3,
∴2+p2=3.
∴p=2,∴抛物线方程为y2=4x.
∵M(2,y0),∴y02=8,
∴|OM|=4+8=23.
答案:B
14.(2015甘肃张掖一模,文14,抛物线的几何性质,填空题)过抛物线y2=4x的焦点作一条直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点M的横坐标为2,则|AB|等于 .
解析:由抛物线y2=4x可得p=2.
设A(x1,y1),B(x2,y2).
∵线段AB的中点M的横坐标为2,
∴x1+x2=2×2=4.
∵直线AB过焦点F,
∴|AB|=x1+x2+p=4+2=6.
答案:6
142
直线与抛物线的位置关系
15.(2015江西吉安一模,文15,直线与抛物线的位置关系,填空题)直线l过点(0,1),而且它与抛物线y2=4x仅有一个交点,则满足条件的直线l的条数为 .
解析:若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=0,满足条件.
当直线l的斜率存在时,不妨设l:y=kx+1,代入y2=4x,得k2x2+(2k-4)x+1=0.
由条件知,当k=0时,即直线y=1与抛物线有一个交点.
当k≠0时,由Δ=(2k-4)2-4×1×k2=0,可得k=1时直线与抛物线有一个交点.
故满足条件的直线有3条.
答案:3
16.(2015吉林三模,文16,直线与抛物线的位置关系,填空题)已知直线l:x-y+1=0与抛物线C:x2=4y交于A,B两点,点P为抛物线C上一动点,且在直线l下方,则△PAB的面积的最大值为 .
解析:直线l:x-y+1=0与抛物线C:x2=4y联立,可得A(2-22,3-22),B(2+22,3+22),
∴|AB|=2·|2+22-2+22|=8.
平行于直线l:x-y+1=0的直线设为x-y+c=0,与抛物线C:x2=4y联立,可得x2-4x-4c=0,
∴Δ=16+16c=0,∴c=-1,两条平行线间的距离为22=2.
∴△PAB的面积的最大值为12×8×2=42.
答案:42
10.(2015江西六校联考二模,文10,直线与抛物线的位置关系,选择题)已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )
A.2 B.3 C.115 D.3716
解析:直线l2:x=-1为抛物线y2=4x的准线,由抛物线的定义知,P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F(1,0)的距离,故本题化为在抛物线y2=4x上找一个点P使得P到点F(1,0)和直线l2的距离之和最小,最小值为F(1,0)到直线l2:4x-3y+6=0的距离,即d=|4-0+6|5=2.
答案:A
9.8圆锥曲线的综合应用
143
轨迹与轨迹方程
10.(2015江西红色六校一模,文10,轨迹与轨迹方程,选择题)在平面直角坐标系中,两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的“L-距离”定义为|P1P2|=|x1-x2|+|y1-y2|.则平面内与x轴上两个不同的定点F1,F2的“L-距离”之和等于定值(大于|F1F2|)的点的轨迹可以是( )
解析:设F1(-c,0),F2(c,0),
再设动点M(x,y),动点到定点F1,F2的“L-距离”之和等于m(m>2c>0),
由题意可得|x+c|+|y|+|x-c|+|y|=m,
即|x+c|+|x-c|+2|y|=m.
当x<-c,y≥0时,方程化为2x-2y+m=0;
当x<-c,y<0时,方程化为2x+2y+m=0;
当-c≤x0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),
则x1+x2=4k22k2+1,x1x2=2k2-22k2+1,
设MN的中点为Q,
则xQ=2k22k2+1,yQ=k(xQ-1)=-k2k2+1,
∴Q2k22k2+1,-k2k2+1,
由题意知k≠0,
又直线MN的垂直平分线的方程为y+k2k2+1=-1kx-2k22k2+1,
令x=0,得yP=k2k2+1=12k+1k,
当k>0时,∵2k+1k≥22,∴0yP≥-122=-24.
综上所述,点P纵坐标的取值范围是-24,24.
20.(2015山西四校联考三模,文20,轨迹与轨迹方程,解答题)已知点A(1,0),点P是圆C:(x+1)2+y2=8上的任意一点,线段PA的垂直平分线与直线CP交于点E.
(1)求点E的轨迹方程;
(2)若直线y=kx+m与点E的轨迹有两个不同的交点P和Q,且原点O总在以PQ为直径的圆的内部,求实数m的取值范围.
解:(1)由题意知|EP|=|EA|,|CE|+|EP|=22,
∴|CE|+|EA|=22>2=|CA|.
∴E的轨迹是以C,A为焦点的椭圆,其轨迹方程为x22+y2=1.
(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则将直线与椭圆的方程联立,得y=kx+m,x2+2y2=2,
消去y,得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0,Δ>0,m2<2k2+1,①
x1+x2=-4km2k2+1,x1x2=2m2-22k2+1,
∵O在以PQ为直径的圆的内部,
∴OP·OQ<0,即x1x2+y1y2<0.
而y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=m2-2k22k2+1,
由x1x2+y1y2=2m2-22k2+1+m2-2k22k2+1<0,
得m2<2k2+23,∴m2<23,且满足①式.
故m的取值范围是-63,63.
20.(2015甘肃兰州二诊,文20,轨迹与轨迹方程,解答题)已知点P为y轴上的动点,点M为x轴上的动点,点F(1,0)为定点,且满足PN+12NM=0,PM·PF=0.
(1)求动点N的轨迹E的方程;
(2)过点F且斜率为k的直线l与曲线E交于两点A,B,试判断在x轴上是否存在点C,使得|CA|2+|CB|2=|AB|2成立,请说明理由.
解:(1)设N(x,y),则由PN+12NM=0,得P为MN的中点.
∴P0,y2,M(-x,0).
∴PM=-x,-y2,PF=1,-y2.
∴PM·PF=-x+y24=0,即y2=4x.
∴动点N的轨迹E的方程为y2=4x.
(2)设直线l的方程为y=k(x-1),
由y=k(x-1),y2=4x,消去x得y2-4ky-4=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4k,y1y2=-4.
假设存在点C(m,0)满足条件,则CA=(x1-m,y1),CB=(x2-m,y2),
∴CA·CB=x1x2-m(x1+x2)+m2+y1y2
=y1y242-my12+y224+m2-4
=-m4[(y1+y2)2-2y1y2]+m2-3
=m2-m4k2+2-3.
∵关于m的方程m2-m4k2+2-3=0的Δ=4k2+22+12>0,
∴m2-m4k2+2-3=0有解.
∴假设成立,即在x轴上存在点C,使得|CA|2+|CB|2=|AB|2成立.
144
圆锥曲线中的范围、最值问题
1.(2015山西太原一模,文20,圆锥曲线中的范围、最值问题,解答题)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左,右焦点分别是点F1,F2,其离心率e=12,点P为椭圆上的一个动点,△PF1F2面积的最大值为43.
(1)求椭圆的方程;
(2)若A,B,C,D是椭圆上不重合的四个点,AC与BD相交于点F1,AC·BD=0,求|AC|+|BD|的取值范围.
解:(1)由题意知,当P是椭圆的上下顶点时,△PF1F2的面积取最大值,
∴12·2c·b=43,
即a2-c2c=43.①
由离心率为e=12,得ca=12.②
∴由①②解得a=4,c=2,b2=12.
∴椭圆的方程为x216+y212=1.
(2)由(1)知F1(-2,0),∵AC·BD=0,∴AC⊥BD.
(ⅰ)当直线AC,BD中一条直线斜率不存在时,|AC|+|BD|=8+6=14.
(ⅱ)当直线AC斜率为k,k≠0时,其方程为y=k(x+2),将该方程代入椭圆方程并整理,
得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-48=0.
若设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=-16k23+4k2,x1x2=16k2-483+4k2.
∴|AC|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=24(k2+1)3+4k2.
直线BD的方程为y=-1k(x+2),
同理可得|BD|=24(k2+1)4+3k2.
∴|AC|+|BD|=168(k2+1)2(3+4k2)(4+3k2).
令k2+1=t,t>1,
∴|AC|+|BD|=168t2(4t-1)(3t+1)
=168t212t2+t-1=16812+t-1t2.
设f(t)=t-1t2(t>1),f'(t)=-t+2t3,
∴t∈(1,2)时,f'(t)>0,t∈(2,+∞)时,f'(t)<0.
∴当t=2时,f(t)取最大值14.
又f(t)>0,∴0b>0)的离心率为63,且过点1,63.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设与圆O:x2+y2=34相切的直线l交椭圆于A,B两点,M为圆O上的动点,求△ABM面积的最大值及取得最大值时的直线l的方程.
解:(1)由题意可得1a2+23b2=1,ca=63.
a2=3,b2=1,故椭圆C的方程为x23+y2=1.
(2)①当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=±32,(S△ABM)max=32.
②当直线l的斜率存在时,设直线为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),
由x23+y2=1,y=kx+m,得(1+3k2)x2+6km+3m2-3=0.
∴x1+x2=-6km1+3k2,x1x2=3m2-31+3k2.
圆O:x2+y2=34与直线l相切,可得d=r,可得4m2=3(1+k2).
|AB|=1+k2-6km1+3k22-12(m2-1)1+3k2
=3·1+10k2+9k41+6k2+9k4
=3·1+41k2+9k2+6≤3×43=2,
当且仅当k=±33时取等号.
S△ABM=12|AB|h=h(h为M到AB的距离),
∵hmax=2r=3,∴(S△ABM)max=3,此时直线方程为y=±33x±1.
∵32<3,∴(S△ABM)max=3,此时直线l的方程为y=±33x±1.
20.(2015江西九江一模,文20,圆锥曲线中的范围、最值问题,解答题)已知椭圆C的中心在坐标原点,右焦点为F(7,0),A,B是椭圆C的左、右顶点,D是椭圆C上异于A,B的动点,且△ADB面积的最大值为12.
(1)求椭圆C的方程;
(2)求证:当点P(x0,y0)在椭圆C上运动时,直线l:x0x+y0y=2与圆O:x2+y2=1恒有两个交点,并求直线l被圆O所截得的弦长L的取值范围.
(1)解:设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),
∵△ADB面积的最大值为12,
∴12×2ab=12,即ab=12.
由ab=12,c=7,a2=b2+c2,解得a=4,b=3,
∴椭圆C的方程为x216+y29=1.
(2)证明:∵点P(x0,y0)在椭圆C上运动,
∴x0216+y029=1,∴y02=91-x0216.
∴圆心O到直线l:x0x+y0y=2的距离
d=2x02+y02=2x02+9-916x02
=2716x02+9<1(0≤x02≤16),
∴直线l:x0x+y0y=2与圆O:x2+y2=1恒有两个交点.
L=2r2-d2=21-4716x02+9,
∵0≤x02≤16,∴9≤716x02+9≤16.
∴253≤L≤3.
21.(2015江西鹰潭一模,文21,圆锥曲线中的范围、最值问题,解答题)已知抛物线y2=4x,直线l:y=-12x+b与抛物线交于A,B两点.
(1)若x轴与以AB为直径的圆相切,求该圆的方程;
(2)若直线l与y轴负半轴相交,求△AOB面积的最大值.
解:(1)联立y=-12x+b,y2=4x,得y2+8y-8b=0.
依题意应有Δ=64+32b>0,解得b>-2.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
设圆心Q(x0,y0),则应有x0=x1+x22,y0=y1+y22=-4.
∵以AB为直径的圆与x轴相切,得到圆半径为r=|y0|=4,
又|AB|=(1+4)[(y1+y2)2-4y1·y2]=5(64+32b).
∴|AB|=2r,即5(64+32b)=8,解得b=-85.
∴x0=x1+x22=2b+8=245,
∴圆心为245,-4.
故所求圆的方程为x-2452+(y+4)2=16.
(2)∵直线l与y轴负半轴相交,∴b<0.
又l与抛物线交于两点,由(1)知b>-2,
∴-2b>0)的上顶点为(0,2),且离心率为32.
(1)求椭圆C的方程;
(2)证明:过圆x2+y2=r2上一点Q(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r2;
(3)过椭圆C上一点P向圆x2+y2=1引两条切线,切点分别为A,B,当直线AB分别与x轴、y轴交于M,N两点时,求|MN|的最小值.
解:(1)由题意可得b=2,e=ca=32,
又c2=a2-b2,即有a=4,b=2,
则椭圆C方程为x216+y24=1.
(2)证明:当切线的斜率k存在时,设切线方程为y-y0=k(x-x0),
又因为k=-x0y0,故切线方程为y-y0=-x0y0(x-x0),即有x0x+y0y=r2.
当k不存在时,切点坐标为(±r,0),对应切线方程为x=±r,符合x0x+y0y=r2,
综上,切线方程为x0x+y0y=r2.
(3)设点P坐标为(xP,yP),PA,PB是圆x2+y2=1的切线,切点A(x1,y1),B(x2,y2),过点A的圆的切线为x1x+y1y=1,过点B的圆的切线为x2x+y2y=1.
由两切线都过P点,x1xP+y1yP=1,x2xP+y2yP=1.
则切点弦AB的方程为xPx+yPy=1,
由题知xPyP≠0,
即有M1xP,0,N0,1yP.
|MN|2=1xP2+1yP2=1xP2+1yP2·xP216+yP24
=116+14+116·xP2yP2+14·yP2xP2
≥116+14+2164·xP2yP2·yP2xP2=916,
当且仅当xP2=163,yP2=83时取等号,
则|MN|≥34,|MN|的最小值为34.
20.(2015江西鹰潭二模,文20,圆锥曲线中的范围、最值问题,解答题)如图,已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T:(x+2)2+y2=r2(r>0),设圆T与椭圆C交于点M与点N.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设点P是椭圆C上异于M,N的任意一点,且直线MP,NP分别与x轴交于点R,S,O为坐标原点,求|OR|+|OS|的最小值.
解:(1)依题意,得a=2,e=ca=32,
所以c=3,b=a2-c2=1.
故椭圆C的方程为x24+y2=1.
(2)点M与点N关于x轴对称,
设M(x1,y1),N(x2,y2),P(x0,y0),
则直线MP的方程为y-y0=y0-y1x0-x1(x-x0),
令y=0,得xR=x1y0-x0y1y0+y1,同理xS=x1y0+x0y1y0+y1,
故xRxS=x12y02-x02y12y02-y12.(**)
又点M与点P在椭圆上,
故x02=4(1-y02),x12=4(1-y12),
代入(**)式,得
xRxS=4(1-y12)y02-4(1-y02)y12y02-y12
=4(y02-y12)y02-y12=4.
所以|OR|·|OS|=|xR|·|xS|=|xR·xS|=4,
|OR|+|OS|≥2|OR|·|OS|=4,
当且仅当|OR|=|OS|=2,取得等号.
则|OR|+|OS|的最小值为4.
20.(2015贵州贵阳二模,文20,圆锥曲线中的范围、最值问题,解答题)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1和F2,上顶点为B,BF2延长线交椭圆于点A,△ABF1的周长为8,且BF1·BA=0.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线l⊥AB且与椭圆C相交于两点P,Q,求|PQ|的最大值.
解:(1)由椭圆定义可得△ABF1的周长为4a,
即有4a=8,解得a=2,
由B(0,b),F1(-c,0),F2(c,0),BF1=(-c,-b),BF2=(c,-b),
且BF1·BA=0,则-c2+b2=0,所以b=c.
又b2+c2=a2=4,解得b=c=2,
故椭圆C的方程为x24+y22=1.
(2)由B(0,2),F2(2,0),可得直线AB的斜率为-1,由l⊥AB,可得直线l的斜率为1,
设直线l的方程为y=x+t,代入椭圆C的方程,可得3x2+4tx+2t2-4=0,
由Δ>0,即16t2-12(2t2-4)>0,
解得-63,|m|+1|m|>3+13=433,S<23.
当k=0时,四边形F1MNF2是矩形,S=23.
所以四边形F1MNF2面积S的最大值为23.
20.(2015江西重点中学协作体一模,文20,圆锥曲线中的范围与最值问题,解答题)如图,抛物线C1:x2=2py(p>0)的焦点为F,椭圆C2:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=32,C1与C2在第一象限的交点为P(2,1).
(1)求抛物线C1及椭圆C2的方程;
(2)已知直线l:y=kx+t(k≠0,t≠0)与椭圆C2交于不同两点A,B,点M满足AM+BM=0,直线FM的斜率为k1,且k·k1=14,求t的取值范围.
解:(1)将P(2,1)代入x2=2py,得p=2,
∴抛物线C1的方程为x2=4y,焦点F(0,1),把P(2,1)代入椭圆C2:x2a2+y2b2=1,得4a2+1b2=1,
又e=32,a2=b2+c2,∴a=22,b=2.
故椭圆C2的方程为x28+y22=1.
(2)由直线l:y=kx+t与x28+y22=1联立得,
(1+4k2)x2+8ktx+4(t2-2)=0,
由Δ>0,得2+8k2>t2,①
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-8kt1+4k2,
由题意点M为线段AB的中点,设M(xM,yM),
∴xM=-4kt1+4k2,yM=t1+4k2,
∴k1=t-(1+4k2)-4kt,∴kk1=t-1-4k2-4t=14,
即有4k2=2t-1,
由①可得,2t-1>12(t2-2),解得02)的右焦点为F1,直线l:x=a2a2-2与x轴交于点A,若OF1+2AF1=0(其中O为坐标原点).
(1)求椭圆M的方程;
(2)设P是椭圆M上的任意一点,EF为圆N:x2+(y-2)2=1的任意一条直径(E,F为直径的两个端点),求PE·PF的最大值.
解:(1)由题设知,Aa2a2-2,0,F1(a2-2,0),
由OF1+2AF1=0,
得a2-2=2a2a2-2-a2-2.
解得a2=6.
所以椭圆M的方程为x26+y22=1.
(2)方法1:设圆N:x2+(y-2)2=1的圆心为N,
则PE·PF=(NE-NP)·(NF-NP)
=(-NF-NP)·(NF-NP)
=NP2-NF2=NP2-1.
从而求PE·PF的最大值转化为求NP2的最大值.
因为P是椭圆M上的任意一点,设P(x0,y0),
所以x026+y022=1,即x02=6-3y02.
因为点N(0,2),
所以NP2=x02+(y0-2)2=-2(y0+1)2+12.
因为y0∈[-2,2],所以当y0=-1时,NP2取得最大值12,
所以PE·PF的最大值为11.
方法2:设点E(x1,y1),F(x2,y2),P(x0,y0),
因为E,F的中点坐标为(0,2),所以x2=-x1,y2=4-y1.
所以PE·PF=(x1-x0)(x2-x0)+(y1-y0)(y2-y0)
=(x1-x0)(-x1-x0)+(y1-y0)(4-y1-y0)
=x02-x12+y02-y12+4y1-4y0
=x02+y02-4y0-(x12+y12-4y1).
因为点E在圆N上,所以x12+(y1-2)2=1,
即x12+y12-4y1=-3.
因为点P在椭圆M上,
所以x026+y022=1,即x02=6-3y02.
所以PE·PF=-2y02-4y0+9
=-2(y0+1)2+11.
因为y0∈[-2,2],
所以当y0=-1时,(PE·PF)max=11.
方法3:①若直线EF的斜率存在,
设EF的方程为y=kx+2,
由y=kx+2,x2+(y-2)2=1,解得x=±1k2+1.
因为P是椭圆M上的任一点,设点P(x0,y0),
所以x026+y022=1,即x02=6-3y02.
所以PE=1k2+1-x0,kk2+1+2-y0,
PF=-1k2+1-x0,-kk2+1+2-y0,
所以PE·PF=x02-1k2+1+(2-y0)2-k2k2+1
=x02+(2-y0)2-1=-2(y0+1)2+11.
因为y0∈[-2,2],所以当y0=-1时,PE·PF取得最大值11.
②若直线EF的斜率不存在,此时EF的方程为x=0,由x=0,x2+(y-2)2=1,解得y=1或y=3.
不妨设E(0,3),F(0,1).
因为P是椭圆M上的任一点,设点P(x0,y0),
所以x026+y022=1,即x02=6-3y02.
所以PE=(-x0,3-y0),PF=(-x0,1-y0).
所以PE·PF=x02+y02-4y0+3=-2(y0+1)2+11.
因为y0∈[-2,2],所以当y0=-1时,PE·PF取得最大值11.
综上可知,PE·PF的最大值为11.
21.(2015江西上饶一模,文21,圆锥曲线中的范围、最值问题,解答题)已知点F1,F2的坐标分别是(-3,0),(3,0),动点M满足△MF1F2的周长为16.
(1)求动点M的轨迹C的方程;
(2)若线段PQ是轨迹C上过点F2的弦,求△PQF1的内切圆半径的最大值.
解:(1)由题意得|MF1|+|MF2|=10>|F1F2|,得M的轨迹是椭圆,
设动点M的轨迹C的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),
∴2a=10,c=3,∴b2=a2-c2=16.
即动点M的轨迹方程是x225+y216=1.
(2)设过点F2的直线方程为x=my+3,与椭圆联立方程组消去x得(16m2+25)y2+96my-256=0,
设点P(x1,y1),Q(x2,y2),
则y1+y2=-96m16m2+25,y1y2=-25616m2+25,
|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2
=-96m16m2+252-4×(-256)16m2+25
=160·m2+1(16m2+25)2,
令t=m2+1,则|y1-y2|=160·1(16t+9)2t
=160×1256t+81t+288≤325,
在t=1时,上式取到最小值,即m=0,此时PQ⊥x轴,且|PQ|=325.
此时△PF1Q的面积达到最大值S△PQF1=12|F1F2|·|PQ|=965,
由于△PQF1的周长是定值20,所以当面积取最大值时,内切圆半径有最大值4825.
21.(2015江西上饶重点中学二模,文21,圆锥曲线中的范围与最值问题,解答题)已知O为坐标原点,椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长为2,F为其右焦点,P为椭圆上一点,且PF与x轴垂直,OF·OP=3.
(1)求椭圆C的方程;
(2)直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,若以AB为直径的圆恒过原点O,求|AB|弦长的最大值.
解:(1)由已知得2b=2,b=1,
又OF·OP=|OF|·|OP|cos∠POF=|OF|2=c2=3,∴a2=4.
∴椭圆C的方程为x24+y2=1.
(2)①当直线OA的斜率不存在或斜率为零时,易知|AB|=a2+b2=5.
②当直线OA的斜率存在且不为零时,由直线OA,OB互相垂直及由图象的对称性知,直线OA,OB与椭圆C有四个交点,从中任取两点作弦长AB所得的值相等.
设直线OA方程为y=kx(k≠0),
联立y=kx,x24+y2=1,解得x2=41+4k2.
不妨取A21+4k2,2k1+4k2,
同理取B2k4+k2,-24+k2,
则|AB|
=21+4k2-2k4+k22+2k1+4k2+24+k22
=211+4k2+k24+k2+k21+4k2+14+k2
=21+k21+4k2+k2+14+k2=25(k2+1)2(1+4k2)(4+k2)
=25·k4+2k2+14k4+17k2+4<25·k4+2k2+14k4+8k2+4=5,
综上①②可知,|AB|max=5.
21.(2015江西红色六校二模,文21,圆锥曲线中的范围、最值问题,解答题)已知点F是抛物线y2=2px的焦点,其中p是正常数,AB,CD都是抛物线经过点F的弦,且AB⊥CD,AB的斜率为k,且k>0,C,A两点在x轴上方.
(1)求1|AB|+1|CD|;
(2)①当|AF|·|BF|=43p2时,求k;
②设△AFC与△BFD的面积之和为S,求当k变化时S的最小值.
解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=kx-p2,由y2=2px,y=kx-p2,
得k2x2-p(k2+2)x+14k2p2=0,
由韦达定理,得x1+x2=k2+2k2p,x1·x2=p24.
由抛物线定义得|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=k2+1k2·2p,
同理,用-1k换k,得|CD|=(k2+1)·2p,
故1|AB|+1|CD|=12p.
(2)①|AF|·|BF|=x1+p2x2+p2
=x1x2+p2(x1+x2)+p24
=p22+k2+2k2·p22=k2+1k2·p2.
当|AF|·|BF|=43p2时,k2+1k2·p2=43p2,
又k>0,解得k=3.
②由①同理知|CF|·|DF|=(k2+1)p2,
|AF|·|BF|=k2+1k2·p2,
由变形得|BF|=k2+1k2·p2|AF|,|CF|=(k2+1)·p2|DF|,
又AB⊥CD,
∴S=12|AF|·|CF|+12|BF|·|DF|
=12|AF||DF|·(k2+1)+|DF||AF|·k2+1k2p2
≥(k2+1)1+1k2·p2≥2k·2k·p2=2p2.
∴当k=1时,S有最小值2p2.
20.(2015江西宜春高安四校一模,文20,圆锥曲线中的范围、最值问题,解答题)已知方向向量为v=(1,3)的直线l过点(0,-23)和椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点,且椭圆的离心率为12.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若过点P(-8,0)的直线与椭圆相交于不同两点A,B,F为椭圆C的左焦点,求△ABF面积的最大值.
解:(1)∵直线l的方向向量为v=(1,3),
∴直线l的斜率为k=3.
又直线l过点(0,-23),
∴直线l的方程为y=3x-23.
∵a>b,∴椭圆的焦点为直线l与x轴的交点.
∴椭圆的右焦点为(2,0),∴c=2.
又ca=12,∴a=4,∴b2=12.
∴椭圆C的方程为x216+y212=1.
(2)设AB方程为x=my-8,代入椭圆方程x216+y212=1,
整理得(3m2+4)y2-48my+144=0,
Δ=(48m)2-4×144(3m2+4)>0,
y1+y2=48m3m2+4,y1y2=1443m2+4,
则S△ABF=S△PBF-S△APF
=12|PF|·|y2-y1|=12×6(y1+y2)2-4y1y2
=72m2-43m2+4=72m2-43(m2-4)+16
=723m2-4+16m2-4≤7223×16=33,
当且仅当3m2-4=16m2-4,即m2=283(此时适合Δ>0的条件)取得等号.
则△ABF面积的最大值是33.
11.(2015山西朔州怀仁一中一模,文11,圆锥曲线中的范围、最值问题,选择题)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F的直线l与抛物线C相交于A,B两点,则|OA|2+|OB|2(O为坐标原点)的最小值为( )
A.4 B.8 C.10 D.12
解析:当直线l的斜率不存在,即直线l垂直于x轴时,方程为x=1,
则A(1,2),B(1,-2),|OA|2+|OB|2=5+5=10.
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-1),设A(x1,y1),B(x2,y2).
由y=k(x-1),y2=4x,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
所以x1+x2=2k2+4k2,x1x2=1,
|OA|2+|OB|2=x12+y12+x22+y22=x12+4x1+x22+4x2,
(x1+x2)2-2x1x2+4(x1+x2)
=2k2+4k22-2+42k2+4k2,
设2k2+4k2=t,则t>2,
|OA|2+|OB|2=t2+4t-2=(t+2)2-6(t>2),
所以|OA|2+|OB|2>10.
综上可知,|OA|2+|OB|2的最小值为10.
答案:C
20.(2015山西朔州怀仁一中一模,文20,圆锥曲线中的范围、最值问题,解答题)已知离心率为12的椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点1,32.
(1)求椭圆C的方程;
(2)P是椭圆C上的一点,点A,A'分别为椭圆的左、右顶点,直线PA与y轴交于点M,直线PA'与y轴交于点N,求|OM|2+|ON|2(O为坐标原点)的最小值.
解:(1)由于椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12,
则a=2c,b=3c,
又由椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点1,32,则c2=1,故a=2,b=3,
所以椭圆方程为x24+y23=1.
(2)设P(m,n),由于P是椭圆C上的一点,
则m24+n33=1,即4-m2=43n2,①
又由点A,A'分别为椭圆的左、右顶点,直线PA与y轴交于点M,直线PA'与y轴交于点N,则直线PA:y=nm+2(x+2),直线PA':y=nm-2(x-2),
令x=0,得M0,2nm+2,N0,-2nm-2,
则|OM|2+|ON|2=2nm+22+-2nm-22,
将①代入得|OM|2+|ON|2=6m2+244-m2=-6+484-m2,
由于0≤m2<4,故当m2=0时,|OM|2+|ON|2取最小值6.
20.(2015甘肃庆阳一诊,文20,圆锥曲线中的范围、最值问题,解答题)已知椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点1,32,且该椭圆的离心率为32,直线l1:y=x+m(m≠0)与椭圆交于A,B两点,直线l2:y=x-m与椭圆交于C,D两点.
(1)求椭圆M的方程;
(2)求四边形ABCD面积的最大值.
解:(1)依题意可得,1a2+34b2=1,a2-b2a=32,
解得a2=4,b2=1.
∴椭圆M的方程为x24+y2=1.
(2)显然直线l1与直线l2关于原点对称,所以四边形ABCD为平行四边形.
∴|AB|=|CD|,▱ABCD的面积为弦长|AB|与直线l1,l2距离的乘积.
设A(x1,y1),B(x2,y2),由y=x+m,x24+y2=1,
消去y得,5x2+8mx+4m2-4=0.
则Δ=16(5-m2)>0,∴0b>0)的离心率为22,过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB斜率为0时,|AB|+|CD|=32.
(1)求椭圆的方程;
(2)求由A,B,C,D四点构成的四边形的面积的取值范围.
解:(1)由题意知,e=ca=22,
则a=2c,b=c,
∴|AB|+|CD|=2a+2b2a=22c+2c=32,
∴c=1,∴椭圆的方程为x22+y2=1.
(2)①当两条弦中一条斜率为0时,另一条弦的斜率不存在,
由题意知S四边形=12|AB|·|CD|=12×22×2=2.
②当两弦斜率均存在且不为0时,设A(x1,y1),B(x2,y2),
且设直线AB的方程为y=k(x-1),
则直线CD的方程为y=-1k(x-1).
将直线AB的方程代入椭圆方程中,并整理得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,
∴|AB|=k2+1|x1-x2|
=k2+1·22k2+11+2k2=22(k2+1)1+2k2.
同理,|CD|=221k2+11+2k2=22(k2+1)k2+2.
∴S四边形=12|AB|·|CD|
=12·22(k2+1)1+2k2·22(k2+1)k2+2
=4(k2+1)22k4+2+5k2=4k+1k22k+1k2+1
=2-22k+1k2+1,
∵2k+1k2+1≥22k·1k2+1=9,
当且仅当k=±1时取等号,∴S四边形∈169,2.
综合①与②可知,S四边形∈169,2.
20.(2015甘肃张掖一模,文20,圆锥曲线中的范围、最值问题,解答题)已知椭圆:y2a2+x2b2=1(a>b>0),离心率为22,焦点F1(0,-c),F2(0,c),过F1的直线交椭圆于M,N两点,且△F2MN的周长为4.
(1)求椭圆方程;
(2)直线l与y轴交于点P(0,m)(m≠0),与椭圆C交于相异两点A,B且AP=λPB,若OA+λOB=4OP,求m的取值范围.
解:(1)由题意,4a=4,ca=22,
∴a=1,c=22,∴b=a2-c2=22.
∴椭圆方程为y2+x212=1.
(2)设l与椭圆C交点为A(x1,y1),B(x2,y2),
由y=kx+m,y2+2x2=1,得(k2+2)x2+2kmx+(m2-1)=0,
Δ=(2km)2-4(k2+2)(m2-1)=4(k2-2m2+2)>0,(*)
∴x1+x2=-2kmk2+2,x1x2=m2-1k2+2,
∵AP=λPB,OA+λOB=4OP,∴λ=3.
∴-x1=3x2,∴x1+x2=-2x2,x1x2=-3x22.
∴3(x1+x2)2+4x1x2=0,
∴3-2kmk2+22+4·m2-1k2+2=0,
整理得4k2m2+2m2-k2-2=0,
当m2=14时,上式不成立;
当m2≠14时,k2=2-2m24m2-1,
由(*)式得k2>2m2-2,
∵k≠0,∴k2=2-2m24m2-1>0.
∴-10).
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),M43,m,N43,n,
直线l的方程为x=ty+3,代入双曲线方程整理得(5t2-4)y2+30ty+25=0,
∴y1+y2=-30t5t2-4,y1y2=255t2-4.
∵A,C,M三点共线,∴y1x1-2=m43-2.
∴m=-23·y1x1-2.
同理n=-23·y2x2-2.
∴FM·FN
=43-3,-23·y1x1-2·43-3,-23·y2x2-2
=259+49·y1y2y1y2+t(y1+y2)+1
=259+49·2525t2-30t2+5t2-4=0,
∴FM⊥FN,即∠MFN=90°.
∴以MN为直径的圆恒过点F.
2.(2015广西桂林、防城港联合调研,文20,圆锥曲线中的定值、定点问题,解答题)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,直线l:y=3与C交于A,B两点,l与y轴交于点N,且∠AFB=120°.
(1)求抛物线C的方程;
(2)当00)的焦点为F0,p2,准线方程为y=-p2,
设直线y=3与y轴交于点N,即N(0,3).
①当0b>0).
∵△ADB面积的最大值为2,
∴12·2a·b=2,即ab=2.
联立ab=2,c=1,a2=b2+c2,解得a=2,b=c=1.
∴椭圆C的方程为x22+y2=1.
(2)假设存在一定点E(x0,0)(0b>0)的离心率是12,其左、右顶点分别为A1,A2,B为短轴的一个端点,△A1BA2的面积为23.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)直线l:x=22与x轴交于点D,点P是椭圆C上异于A1,A2的动点,直线A1P,A2P分别交直线l于E,F两点,证明:|DE|·|DF|恒为定值.
(1)解:由已知,可得e=ca=12,ab=23,a2=b2+c2,解得a=2,b=3.
故所求椭圆方程为x24+y23=1.
(2)证明:由题意可得:A1(-2,0),A2(2,0).
设P(x0,y0),由题意可得-2b>0),离心率为12,过椭圆E内一点P(1,1)的两条直线分别与椭圆交于点A,C和B,D,且满足AP=λPC,BP=λPD,其中λ为正常数.
(1)当点C恰为椭圆的右顶点时,对应的λ=57,求椭圆的方程.
(2)当λ变化时,kAB是否为定值?若是,请求出此定值;若不是,请说明理由.
解:(1)因为椭圆的离心率为12,所以b2=34a2,
因为C(a,0),λ=57,
所以AP=λPC,得A12-5a7,127,
将它代入到椭圆方程中,
得(12-5a)249a2+12249×34a2=1,解得a=2.
所以b=3,所以椭圆方程为x24+y23=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),
由AP=λPC,得x1+λx3=1+λ,y1+λy3=1+λ,
同理BP=λPD,可得x2+λx4=1+λ,y2+λy4=1+λ,
将A,B坐标代入椭圆方程得b2x12+a2y12=a2b2,b2x22+a2y22=a2b2,
两式相减得b2(x1+x2)(x1-x2)+a2(y1+y2)(y1-y2)=0,
即b2(x1+x2)+a2(y1+y2)kAB=0.①
同理,b2(x3+x4)+a2(y3+y4)kCD=0,
而kAB=kCD,所以b2(x3+x4)+a2(y3+y4)kAB=0,
所以b2λ(x3+x4)+a2λ(y3+y4)kAB=0,②
①+②得b2(x1+λx3+x2+λx4)+a2(y1+λy3+y2+λy4)kAB=0,
即kAB≠0,所以kAB=-b2a2为定值.
20.(2015江西六校联考二模,文20,圆锥曲线中的定值、定点问题,解答题)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(0,1),且离心率为32.
(1)求椭圆C的方程;
(2)A,B为椭圆C的左右顶点,直线l:x=22与x轴交于点D,点P是椭圆C上异于A,B的动点,直线AP,BP分别交直线l于E,F两点.证明:当点P在椭圆C上运动时,|DE|·|DF|恒为定值.
(1)解:由题意可知,b=1,
又因为e=ca=32,且a2=b2+c2,
解得a=2,所以椭圆的方程为x24+y2=1.
(2)证明:由题意可得:A(-2,0),B(2,0).
设P(x0,y0),由题意可得-2b>0)离心率为12,长轴长为4.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线l:y=kx+m与椭圆C交于A,B两点,S△AOB=3,O为原点,kOA·kOB是否为定值,若为定值,求出该定值,若不是,说明理由.
解:(1)由已知,椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)离心率为12,长轴长为4,
∴a=2,ca=12,a2-b2=c2.
∴c=1,b=3.
∴椭圆C的方程为x24+y23=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由直线l:y=kx+m与椭圆C联立可得(3+4k2)x2+8mkx+4m2-12=0,
Δ=64m2k2-4(3+4k2)(4m2-12)>0,化为3+4k2-m2>0.
∴x1+x2=-8km3+4k2,x1x2=4m2-123+4k2.
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)
=k2x1x2+km(x1+x2)+m2
=k2·4m2-123+4k2-8k2m23+4k2+m2=3m2-12k23+4k2,
∴kOA·kOB=y1y2x1x2=3m2-12k24m2-12,
|AB|=1+k2|x1-x2|
=1+k2·(x1+x2)2-4x1x2
=1+k2·48(3-m2+4k2)3+4k2.
原点到直线l的距离d=|m|1+k2,
∵S△AOB=3,
∴12|AB|d=12·1+k2·48(3-m2+4k2)3+4k2·|m|1+k2=3.
解得m2=32+2k2,
则kOA·kOB=3m2-12k24m2-12=92-6k28k2-6=-34.
故kOA·kOB为定值-34.
5.(2015甘肃兰州一中模拟,文5,圆锥曲线中的定值、定点问题,选择题)过椭圆x24+y23=1的右焦点F作两条相互垂直的直线分别交椭圆于A,B,C,D四点,则1|AB|+1|CD|的值为( )
A.18 B.16 C.1 D.712
解析:由椭圆x24+y23=1,得椭圆的右焦点为F(1,0),
当直线AB的斜率不存在时,AB的方程为:x=1,则CD的方程为:y=0.
此时|AB|=3,|CD|=4,
则1|AB|+1|CD|=13+14=712.
当直线AB的斜率存在时,
设AB:y=k(x-1)(k≠0),则CD:y=-1k(x-1).
又设点A(x1,y1),B(x2,y2).
联立方程组y=k(x-1),3x2+4y2=12,
消去y并化简得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0,
∴x1+x2=8k23+4k2,x1x2=4k2-123+4k2,
∴|AB|=1+k2·(x1+x2)2-4x1x2
=1+k2·8k23+4k22-4·4k2-123+4k2
=12(k2+1)3+4k2,
由题知,直线CD的斜率为-1k,
同理可得|CD|=12(k2+1)4+3k2,
∴1|AB|+1|CD|=7(k2+1)12(k2+1)=712为定值.
答案:D
20.(2015甘肃兰州一中模拟,文20,圆锥曲线中的定值、定点问题,解答题)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点F1,F2与椭圆短轴的一个端点构成边长为4的正三角形.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过椭圆C上任意一点P作椭圆C的切线与直线F1P的垂线F1M相交于点M,求点M的轨迹方程;
(3)若切线MP与直线x=-2交于点N,求证:|NF1||MF1|为定值.
解:(1)依题意,2c=a=4,∴c=2,b=23.
∴椭圆C的标准方程为x216+y212=1.
(2)设P(x0,y0),由(1)知F1(-2,0),
设P(x0,y0),M(x,y),
椭圆C上过P的切线方程为x0x16+y0y12=1,①
直线F1P的斜率kF1P=y0x0+2,
则直线MF1的斜率kMF1=-x0+2y0,
于是,直线MF1的方程为y=-x0+2y0(x+2),
即yy0=-(x0+2)(x+2),②
①②联立,解得x=-8,
∴点M的轨迹方程为x=-8.
(3)依题意及(2),点M,N的坐标可表示为M(-8,yM),N(-2,yN),
点N在切线MP上,由①式得yN=3(x0+8)2y0,
点M在直线MF1上,由②式得yM=6(x0+2)y0,|NF1|2=yN2=9(x0+8)24y02,
|MF1|2=[(-2)-(-8)]2+yM2
=36[y02+(x0+2)2]y02,
∴|NF1|2|MF1|2=9(x0+8)24y02·y0236[y02+(x0+2)2]
=116·(x0+8)2y02+(x0+2)2,③
注意到点P在椭圆C上,即x0216+y0212=1,
于是y02=12-34x02,代入③式并整理,得|NF1|2|MF1|2=14,∴|NF1||MF1|的值为定值12.
20.(2015山西太原山大附中高三月考,文20,圆锥曲线中的定值、定点问题,解答题)已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,离心率等于12,它的两个顶点恰好是双曲线y215-x23=1的焦点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)点P(2,3),Q(2,-3),在椭圆上,A,B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点,
①若直线AB的斜率为12,求四边形APBQ面积的最大值;
②当A,B运动时,满足于∠APQ=∠BPQ,试问直线AB的斜率是否为定值,请说明理由.
解:(1)由题意设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),
又可得双曲线y215-x23=1的焦点为(0,±23),
∴b=23,又离心率e=ca=12,a2=b2+c2,联立解得a=4,
∴椭圆C的方程为x216+y212=1.
(2)①设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=12x+t,
代入x216+y212=1消y并整理可得x2+tx+t2-12=0,
由Δ=t2-4(t2-12)>0可解得-4b>0)的其中一个顶点坐标为B(0,1),且点P-62,12在C1上.
(1)求椭圆C1的方程;
(2)若直线l:y=kx+m与椭圆C1交于M,N且kOM+kON=4k,求证:m2为定值.
解:(1)由题意,椭圆C1的顶点坐标为B(0,1),所以b=1.
把点P-62,-12代入椭圆x2a2+y2b2=1,
得1a2=12,即a=2.
所以椭圆C1的方程为x22+y2=1.
(2)直线l的斜率显然存在,设直线l的方程为y=kx+m,
得x22+y2=1,y=kx+m,消去y并整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,(*)
设M(x1,y1),N(x2,y2),
由(*)式得x1+x2=-4km1+2k2,x1·x2=2m2-21+2k2.
kOM+kON=y1x1+y2x2
=kx1+mx1+kx2+mx2=2k+m(x1+x2)x1x2.
代入并整理得kOM+kON=2k-4km22m2-2=4k.
可得m2=12.
经验证满足Δ>0,∴m2=12.
20.(2015山西太原外国语学校4月模拟,文20,圆锥曲线中的定值、定点问题,解答题)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,点P是直线y=x与抛物线C在第一象限的交点,且|PF|=5.
(1)求抛物线C的方程;
(2)设直线l:y=kx+m与抛物线C有唯一公共点M,且直线l与抛物线的准线交于点Q,试探究,在坐标平面内是否存在点N,使得以MQ为直径的圆恒过点N?若存在,求出点N的坐标,若不存在,说明理由.
解:(1)解法1:∵点P是直线y=x与抛物线C在第一象限的交点,
∴设点P(m,m)(m>0).
∵抛物线C的准线为y=-p2,
由|PF|=5结合抛物线的定义得m+p2=5. ①
又点P在抛物线C上,
∴m2=2pm(m>0)⇒m=2p. ②
由①②联立解得p=2,
∴所求抛物线C的方程式为x2=4y.
解法2:∵点P是直线y=x与抛物线C在第一象限的交点,
∴设点P(m,m)(m>0),
∵抛物线C的焦点为F0,p2,
由|PF|=5得m2+m-p22=5,
即m2+m-p22=25. ①
又点P在抛物线C上,
∴m2=2pm(m>0)⇒m=2p. ②
由①②联立解得p=2,
∴所求抛物线C的方程式为x2=4y.
(2)解法1:由抛物线C关于y轴对称可知,若存在点N,使得以MQ为直径的圆恒过点N,
则点N必在y轴上,设N(0,n),
又设点Mx0,x024,
由直线l:y=kx+m与抛物线C有唯一公共点M知,直线l与抛物线C相切,
由y=14x2得y'=12x,
∴k=y'|x=x0=12x0,
∴直线l的方程为y-x024=x02(x-x0),
令y=-1得x=x022-2x0,
∴Q点的坐标为x02-2x0,-1,
∴NM=x0,x024-n,NQ=x02-2x0,-1-n.
∵点N在以MQ为直径的圆上,
∴NM·NQ=x022-2-(1+n)x024-n
=(1-n)x024+n2+n-2=0.
要使方程(*)对x0恒成立,必须有1-n=0,n2+n-2=0,解得n=1,
∴在坐标平面内存在点N,使得以MQ为直径的圆恒过点N,其坐标为(0,1).
解法2:设点M(x0,y0),由l:y=kx+m与抛物线C有唯一公共点M知,直线l与抛物线相切,
由y=14x2得y'=12x,
∴k=y'|x=x0=12x0,
∴直线l的方程为y-y0=x02(x-x0),
令y=-1得x=2(y0-1)x0,
∴Q点的坐标为2(y0-1)x0,-1,
∴以MQ为直径的圆方程为:
(y-y0)(y+1)+(x-x0)x-2(y0-1)x0=0, ③
分别令x0=2和x0=-2,由点M在抛物线C上得y0=1,
将x0,y0的值分别代入③,
得(y-1)(y+1)+(x-2)x=0,④
(y-1)(y+1)+(x+2)x=0,⑤
④⑤联立解得x=0,y=1或x=0,y=-1.
∴在坐标平面内若存在点N,使得以MQ为直径的圆恒过点N,则点N必为(0,1)或(0,-1),将(0,1)的坐标代入③式得,
左边=2(1-y0)+(-x0)-2(y0-1)x0
=2(1-y0)+2(y0-1)=0=右边,
将(0,-1)的坐标代入③式得,
左边=(-x0)-2(y0-1)x0=2(y0-1)不恒等于0,
∴在坐标平面内存在点N,使得以MQ为直径的圆恒过点N,点N坐标为(0,1).
146
圆锥曲线中的存在、探索性问题
20.(2015广西防城港、桂林一模,文20,圆锥曲线中的存在、探索性问题,解答题)已知圆C1:(x+2)2+y2=8116,圆C2:(x-2)2+y2=116,动圆Q与圆C1、圆C2均外切.
(1)求动圆圆心Q的轨迹方程;
(2)在x轴负半轴上是否存在定点M使得∠QC2M=2∠QMC2?若存在,求出M的坐标,若不存在,说明理由.
解:(1)设所求圆的圆心坐标Q(x,y),半径为r,
两定圆的圆心分别是C1,C2,半径分别为94,14.
∵所求圆与两个圆都外切,
∴|QC1|=r+94,|QC2|=r+14,
即|QC1|-|QC2|=2,
根据双曲线定义可知C点的轨迹为以C1,C2为焦点的双曲线的右支,
由2c=4,c=2;2a=2,a=1,∴b=3.
∴Q点的轨迹方程为x2-y23=1(x≥1).
(2)设M的坐标(t,0),Q(x0,y0)(x0≥1),
x0≠2时,∵∠QC2M=2∠QMC2,
∴tan∠QC2M=tan(2∠QMC2),
∴-y0x0-2=2×y0x0-t1-y0x0-t2,
将y02=3x02-3代入整理可得(4+4t)x0=t2+4t+3,
∴4+4t=0,t2+4t+3=0,∴t=-1.
x0=2时,∵∠QC2M=90°,t=-1时∠QMC2=45°,满足题意.
故满足条件的点M(-1,0)存在.
20.(2015山西太原五中二模,文20,圆锥曲线中的存在、探索性问题,解答题)给定椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0).称圆心在原点O,半径为a2+b2的圆是椭圆C的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为F(2,0),其短轴上的一个端点到点F的距离为3.
(1)求椭圆C的方程和其“准圆”方程;
(2)点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点,过动点P作直线l1,l2,使得l1,l2与椭圆C都只有一个交点,试判断l1,l2是否垂直,并说明理由.
解:(1)由题意可得,c=2,b2+c2=a=3,
则b2=a2-c2=1,
则椭圆C的方程为x23+y2=1.
其“准圆”方程为x2+y2=4.
(2)①设P(±3,±1),则过P的直线l1:x=±3,
则l2的斜率k≠0,即它们不垂直.
②设P(m,n)(m≠±3),m2+n2=4,过P的直线为y-n=k(x-m),
联立椭圆方程,消去y,得到
(1+3k2)x2+6k(n-km)x+3(n-km)2-3=0,
由于直线与椭圆C都只有一个交点,则Δ=0,
即36k2(n-km)2-4(1+3k2)·3[(n-km)2-1]=0,
化简得,(3-m2)k2+2kmn+1-n2=0,
k1k2=1-n23-m2=1-(4-m2)3-m2=-1.
即l1,l2垂直.
综上,当P在直线x=±3上时,l1,l2不垂直;
当P不在直线x=±3上时,l1,l2垂直.
20.(2015黑龙江哈尔滨三中四模,文20,圆锥曲线中的存在、探索性问题,解答题)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点分别为F1(-3,0),F2(3,0),点P在椭圆C上,满足|PF1|=7|PF2|,tan∠F1PF2=43.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知点A(1,0),试探究是否存在直线l:y=kx+m与椭圆C交于D,E两点,且使得|AD|=|AE|?若存在,求出k的取值范围;若不存在,请说明理由.
解:(1)∵tan∠F1PF2=43,∴cos∠F1PF2=17.
设|PF1|=m,|PF2|=n,
∵|PF1|=7|PF2|,∴m=7n.
联立m=7n,m+n=2a,17=m2+n2-(23)22mn,
解得a=2,m=72,n=12.
∴b2=a2-c2=1,
故所求C的方程为x24+y2=1.
(2)假设存在直线l满足题设,设D(x1,y1),E(x2,y2),将y=kx+m代入x24+y2=1并整理得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,
由Δ=64k2m2-4(1+4k2)(4m2-4)=-16(m2-4k2-1)>0,得4k2+1>m2,①
又x1+x2=-8km1+4k2,设D,E中点为M(x0,y0),M-4km1+4k2,m-3k2m1+4k2,
∵kAMk=-1,得②m=-1+4k23k,
将②代入①得4k2+1>1+4k23k2,
化简得20k4+k2-1>0⇒(4k2+1)(5k2-1)>0,
解得k>55或k<-55.
∴存在直线l,使得|AD|=|AE|,此时k的取值范围为-∞,-55∪55,+∞.
20.(2015吉林实验中学六模,文20,圆锥曲线中的存在、探索性问题,解答题)已知以C为圆心的动圆过定点A(-3,0),且与圆B:(x-3)2+y2=64(B为圆心)相切,点C的轨迹为曲线T.设Q为曲线T上(不在x轴上)的动点,过点A作OQ(O为坐标原点)的平行线交曲线T于M,N两点.
(1)求曲线T的方程;
(2)是否存在常数λ,使AM·AN=λOQ2总成立?若存在,求λ;若不存在,说明理由.
解:(1)∵A(-3,0)在圆B的内部,∴两圆相内切,
∴|CA|+|CB|=8>6.
∴C点的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,2a=8,a=4,2c=6,
∴c=3,b=42-32=7.
∴曲线T的方程为x216+y27=1.
(2)当直线MN斜率不存在时,MN的方程为x=-3,
∴OQ2=7.
∴AM·AN=|AM|·|AN|·cos π=7λ,
则λ=-716.
当直线MN斜率存在时,
设M(x1,y1),N(x2,y2),MN:y=k(x+3),则OQ:y=kx,
由7x2+16y2=112,y=k(x+3),得(7+16k2)x2+96k2x+144k2-112=0,
则x1+x2=-96k27+16k2,x1·x2=144k2-1127+16k2,
∴y1y2=k2[(x1+3)(x2+3)]
=k2[x1x2+3(x1+x2)+9]=-49k27+16k2.
AM·AN=y1y2+[(x1+3)(x2+3)]
=-49(k2+1)7+16k2.
由7x2+16y2=112,y=kx得7x2+16k2x2=112,
则x2=1127+16k2,
∴OQ2=x2+y2=(1+k2)x2=112(1+k2)7+16k2,
由AM·AN=λOQ2可解得λ=-716.
综上,存在常数λ=-716,使AM·AN=λOQ2总成立.
20.(2015甘肃河西五地二模,文20,圆锥曲线中的存在、探索性问题,解答题)已知A,B是抛物线W:y=x2上的两个点,点A的坐标为(1,1),直线AB的斜率为k(k>0).设抛物线W的焦点在直线AB的下方.
(1)求k的取值范围;
(2)设C为W上一点,且AB⊥AC,过B,C两点分别作W的切线,记两切线的交点为D.判断四边形ABDC是否为梯形,并说明理由.
解:抛物线y=x2的焦点为0,14.
由题意,得直线AB的方程为y-1=k(x-1),
令x=0,得y=1-k,即直线AB与y轴相交于点(0,1-k).
∵抛物线W的焦点在直线AB的下方,
∴1-k>14,解得k<34.
∵k>0,∴0
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