山东济南市历城第二中学2019-2020学年高一下学期开学考试数学试题

山东济南市历城第二中学2019-2020学年高一下学期开学考试数学试题

‎56级高一下学期开学学情检测试题（数学）‎ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.设（是虚数单位），则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的运算法则将复数表示成一般形式，然后利用复数的模长公式可求得结果.‎ ‎【详解】，因此，.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查复数模长的计算，涉及复数的四则运算法则的应用，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎2.“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近表示满意度越高.现随机抽取位北京市民，他们的幸福感指数为3，4，5，5，6，7，7，8，9，10.则这组数据的分位数是（ ）‎ A. 7 B. C. 8 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算分位数的位置，再求出这个数即可.‎ ‎【详解】由题意，这10个人的幸福指数已经从小到大排列，‎ 因为，‎ 所以这10个人的分位数是从小到大排列后第8个人的幸福指数，即8.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查分位数的概念和计算，属于基础题.‎ ‎3.已知向量，，，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量坐标运算求得，由平行关系构造方程可求得结果.‎ ‎【详解】， ‎ ‎ ，解得：‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查根据向量平行关系求解参数值的问题，涉及到平面向量的坐标运算；关键是明确若两向量平行，则.‎ ‎4.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么下列对立的两个事件是（ ）‎ A. “至少1名男生”与“至少有1名是女生”‎ B. 恰好有1名男生”与“恰好2名女生”‎ C. “至少1名男生”与“全是男生”‎ D. “至少1名男生”与“全是女生”‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 从3名男生和2名女生中任选2名学生参加演讲比赛，‎ ‎“至少1名男生”与“至少有1名是女生”不互斥；‎ ‎“恰好有1名男生”与“恰好2名女生”是互斥不对立事件；‎ ‎“至少1名男生”与“全是男生”不互斥；‎ ‎“至少1名男生”与“全是女生”是对立事件；‎ 故选D ‎5.已知圆锥的母线长为‎5cm，底面半径为cm，一只蚂蚁欲从圆锥的底面圆周上的点出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点.则蚂蚁爬行的最短路程长为（ ）‎ A. ‎8cm B. cm C. ‎10cm D. cm ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 采用数形结合，根据圆锥的展开图，结合弧长公式，可得结果.‎ ‎【详解】由题可知：蚂蚁沿圆锥侧面爬行一周回到点，‎ 爬行的最短路程长为 如图 作，‎ 由圆锥的母线长为‎5cm，底面半径为cm，‎ 所以 cm 由，所以 即，所以 故 cm 所以 cm 故选：B ‎【点睛】本题考查圆锥的展开图，还考查了弧长公式，考验空间想象能力以及思维能力，属中档题.‎ ‎6.如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是互相独立的，灯亮的概率为（ ）‎ ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 灯泡不亮包括四个开关都开，或下边的2个都开，上边的2个中有一个开，这三种情况是互斥的，每一种情况中的事件是相互独立的，根据概率公式得到结果．‎ ‎【详解】由题意知，本题是一个相互独立事件同时发生的概率，‎ 灯泡不亮包括四个开关都开，或下边的2个都开，上边的2个中有一个开，‎ 这三种情况是互斥的，每一种情况中的事件是相互独立的，‎ 灯泡不亮的概率是，‎ 灯亮和灯不亮是两个对立事件，‎ 灯亮的概率是，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题结合物理的电路考查了有关概率的知识，考查对立事件的概率和项和对立事件的概率，本题解题的关键是看出事件之间的关系，灯亮的情况比较多，需要从反面来考虑，属于中档题．‎ ‎7.如图，在平行四边形中，对角线与交于点，且，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出图形，以为基底将向量进行分解后可得结果．‎ ‎【详解】画出图形，如下图．‎ 选取为基底，则，‎ ‎∴．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】应用平面向量基本定理应注意的问题 ‎（1）只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，基底可以有无穷多组，在解决具体问题时，合理选择基底会给解题带来方便．‎ ‎（2）利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算．‎ ‎8.的三个内角，，所对的边分别为，，，在边上，且，，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理与三角恒等变换以及特殊角的三角函数求出的值，根据平面向量的线性表示求出，再利用模长和三角形的面积公式，计算求值.‎ ‎【详解】解：中，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 又，‎ ‎∴；‎ 又，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴；‎ ‎∴，‎ 解得或（不合题意，舍去），‎ ‎∴的面积为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了解三角形中的正弦、余弦定理和面积公式、平面向量基本定理应用问题，属于基础题.‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．‎ ‎9.如图是我国2018年1月至12月石油进口量统计图（其中同比是今年第个月与去年第个月之比），则下列说法错误的是（ ）‎ ‎ ‎ A. 2018年下半年我国原油进口总量高于2018年上半年 B. 2018年12个月中我国原油月最高进口量比月最低进口量高1152万吨 C. 2018年我国原油进口总量高于2017年我国原油进口总量 D. 2018年1月—5月各月与2017年同期相比较，我国原油进口量有增有减 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合统计图表，对答案选项逐一判断即可.‎ ‎【详解】由图易知A，B正确；由数量同比折线图可知，除6月及10月同比减少外，其他月份同比都递增，且1月，4月，11月，12月同比增长较多，故2018年我国原油进口总量高于2017年我国原油进口总量，C正确；2018年1月至5月的同比数据均为正数，故2018年1月—5月各月与2017年同期相比较，我国原油进口量只增不减，D错误.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查统计图表的识别和判断，考查学生抽象概括能力和推理论证能力，属于基础题.‎ ‎10.在中，内角所对的边分别为.根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】BC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题设条件和三角形解的个数的判定方法，逐项判定，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】对于选项A中：由，所以，即三角形的三个角是确定的值，故只有一解；‎ 对于选项B中：因为，且，所以角有两解；‎ 对于选项C中：因为，且，所以角有两解；‎ 对于选项D中：因为，且，所以角仅有一解.‎ 故选：BC.‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角形解得个数的判定，其中解答中熟记三角形解得个数的判定方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎11.已知正方体的棱长为，点分别棱楼的中点，下列结论中正确的是（ ）‎ A. 四面体的体积等于 B. 平面 C. 平面 D. 异面直线与所成角的正切值为 ‎【答案】BD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据直线与平面的位置关系可知不正确；根据线面垂直的判定定理可知正确；根据空间向量夹角的坐标公式可知正确；用正方体体积减去四个正三棱锥的体积可知不正确．‎ ‎【详解】解：延长分别与，的延长线交于，，连接交于，设与的延长线交于，连接交于，交于，连，，，，， 与相交，故与平面相交，所以不正确；‎ ‎，，且与相交，所以平面，故正确；‎ 以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角可得异面直线与的夹角的正切值为，故正确；‎ 四面体的体积等于正方体的体积减去四个正三棱锥的体积，即为，故不正确．‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了命题的真假判断与应用，空间中点、线、面之间的位置关系，属于难题．‎ ‎12.点O在所在的平面内,则以下说法正确的有( )‎ A. 若,则点O为的重心 B. 若,则点O为的垂心 C. 若,则点O为的外心 D. 若,则点O为的内心 ‎【答案】AC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 逐项进行分析即可.‎ ‎【详解】解：选项A，设D为的中点，由于，所以为边上中线的三等分点(靠近点D)，所以O为的重心；‎ 选项B，向量分别表示在边和上的单位向量，设为和，则它们的差是向量，则当，即时，点O在的平分线上，同理由，知点O在的平分线上，故O为 的内心；‎ 选项C，是以为邻边的平行四边形的一条对角线，而是该平行四边形的另一条对角线，表示这个平行四边形是菱形，即，同理有，于是O为的外心；‎ 选项D，由得，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴．同理可证，‎ ‎∴，，，即点O是的垂心；‎ 故选：AC．‎ ‎【点睛】本题主要考查平面向量在三角形中应用，考查向量的数量积，考查三角形的“五心”，属于中档题．‎ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：分层抽样是等比例抽样，那么从高一学生中抽取的人数为7可知，每一人被抽到的概率为7：210=1：30.由此得到高三学生中抽取的人数为300=10，故答案为10.‎ 考点：本试题主要是考查了分层抽样的方法的运用．‎ 点评：对于抽样方法，常考查的是分层抽样，在整个抽样过程中，每一个个体被抽到的概率为n:N,即为样本容量与总体的比值，这一点是解题的核心，属于基础题．‎ ‎14.若复数满足其中为虚数单位，为的共轭复数，则在复平面内对应的点位于第_____象限.‎ ‎【答案】四 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用待定系数法求出复数，再进行判定.‎ ‎【详解】设，则，代入可得，由复数相等的定义可得 ‎，即，故在复平面内对应的在第四象限.‎ ‎【点睛】本题主要考查共轭复数的概念及复数简单运算，属于简单题目.‎ ‎15.已知圆台的上、下底面都是球的截面，若圆台的高为，上、下底面的半径分别为，，则球的表面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本道题结合半径这一条件，利用勾股定理，建立等式，计算半径，即可．‎ ‎【详解】设球半径为R，球心O到上表面距离为x，则球心到下表面距离为6-x,结合勾股定理，建立等式，解得，所以半径 因而表面积 ‎【点睛】本道题考查了球表面积计算方法，难度中等．‎ ‎16.已知是外接圆的圆心，若，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 设的外接圆的半径为，因为，所以，则，即，即，解得.‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17.已知复数（）．‎ ‎（1）若复数z为纯虚数，求实数m的值；‎ ‎（2）若复数z在复平面内对应的点在第二象限，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）（2，3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由纯虚数的概念列方程组求解即可；‎ ‎（2）由复数的几何意义得，解不等式即可得解.‎ ‎【详解】（1）因为复数为纯虚数，所以，‎ 解之得，．‎ ‎（2）因为复数在复平面内对应的点在第二象限，所以，‎ 解之得，得．‎ 所以实数的取值范围为（2，3）．‎ ‎【点睛】本题主要考查了复数的概念及复数的几何意义，属于基础题.‎ ‎18.如图，在直三棱柱ABC-A1B‎1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且，.‎ 求证：（1）直线DE平面A‎1C1F；‎ ‎（2）平面B1DE⊥平面A‎1C1F.‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）详见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用线面平行判定定理证明线面平行，而线线平行的寻找往往结合平面几何的知识，如中位线的性质等；（2）利用面面垂直判定定理证明，即从线面垂直出发给予证明，而线面垂直的证明，往往需要多次利用线面垂直性质定理与判定定理.‎ 试题解析：证明：（1）在直三棱柱中，‎ 在三角形ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，‎ 所以，于是，‎ 又因为DE平面平面，‎ 所以直线DE//平面.‎ ‎（2）在直三棱柱中，‎ 因为平面，所以，‎ 又因为，‎ 所以平面.‎ 因为平面，所以.‎ 又因，‎ 所以.‎ 因为直线，所以 ‎【考点】直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系 ‎【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直；（4）证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直.‎ ‎19.在中，角所对的边分别为，已知．‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据三角形角的关系，代入化简三角函数式，即可求得，进而得角的大小；‎ ‎（2）根据余弦定理，由基本不等式即可求得，再结合三角形边关系求得取值范围.‎ ‎【详解】（1）∵，‎ ‎∴，‎ 即，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎（2）由余弦定理可知，‎ 代入可得，‎ 当且仅当时取等号，‎ ‎∴，又，‎ ‎∴的取值范围是．‎ ‎【点睛】本题考查了三角恒等变形的应用，由余弦定理及基本不等式求边的范围，属于中档题.‎ ‎20. 对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图.‎ 分组 ‎ 频数 ‎ 频率 ‎ ‎[10,15) ‎ ‎10 ‎ ‎0.25 ‎ ‎[15,20) ‎ ‎24 ‎ n ‎ ‎[20,25) ‎ m ‎ p ‎ ‎[25,30] ‎ ‎2 ‎ ‎0.05 ‎ 合计 ‎ M ‎ ‎1 ‎ ‎(1)求出表中M，p及图中a的值；‎ ‎(2)若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数；‎ ‎(3)估计这次学生参加社区服务人数的众数、中位数以及平均数．‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】‎ ‎(1)由分组[10,15)内的频数是10，频率是0.25，知＝0.25，所以 M＝40.因为频数之和为40，所以10＋24＋m＋2＝40，解得m＝4，p＝＝0.10.因为a是对应分组[15,20)的频率与组距的商，所以a＝＝0.12.‎ ‎(2)因为该校高三学生有240人，在[10,15)内的频率是0.25，‎ 所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60.‎ ‎(3)估计这次学生参加社区服务人数的众数是＝17.5.因为n＝＝‎ ‎0.6，所以样本中位数是15＋≈17.1，估计这次学生参加社区服务人 数的中位数是17.1.样本平均人数是12.5×0.25＋17.5×0.6＋22.5×0.1＋‎ ‎27.5×0.05＝17.25，估计这次学生参加社区服务人数的平均数是17.25.‎ 考点：中位数、众数、平均数.‎ ‎21.某商店销售某海鲜，统计了春节前后50天海鲜的需求量，（，单位：公斤），其频率分布直方图如图所示，该海鲜每天进货1次，商店每销售1公斤可获利50元；若供大于求，剩余的削价处理，每处理1公斤亏损10元；若供不应求，可从其它商店调拨，销售1公斤可获利30元.假设商店每天该海鲜的进货量为14公斤，商店的日利润为元.‎ ‎（1）求商店日利润关于需求量的函数表达式；‎ ‎（2）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替.‎ ‎①求这50天商店销售该海鲜日利润的平均数；‎ ‎②估计日利润在区间内的概率.‎ ‎【答案】(1) (2) ①698.8元 ②0.54‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据不同的需求量，整理出函数解析式；（2‎ ‎）①利用频率分布直方图估计平均数的方法，结合利润函数得到平均利润；②根据利润区间，换算出需求量所在区间，从而找到对应的概率.‎ ‎【详解】（1）商店日利润关于需求量的函数表达式为：‎ 化简得：‎ ‎（2）①由频率分布直方图得：‎ 海鲜需求量在区间的频率是；‎ 海鲜需求量在区间的频率是；‎ 海鲜需求量在区间的频率是；‎ 海鲜需求量在区间的频率是；‎ 海鲜需求量在区间的频率是；‎ 这50天商店销售该海鲜日利润的平均数为：‎ ‎（元）‎ ‎②由于时，‎ 显然在区间上单调递增，‎ ‎，得；‎ ‎，得；‎ 日利润在区间内的概率即求海鲜需求量在区间的频率：‎ ‎【点睛】本题考查利用频率分布直方图估计平均数的问题，关键在于能够熟练掌握统计中用样本估计总体的方法，平均数的估计方法为每组区间的中点值与每组区间对应的频率的乘积的总和.‎ ‎22.如图，直三棱柱中，，，，分别为，‎ 的中点．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）已知与平面所成的角为30°，求二面角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取中点，连接、，根据题目条件，利用线面垂直的判定定理，得出平面，由于为中点，，，可证出四边形为平行四边形，得出，从而可证出平面；‎ ‎（2）设，，根据（1）可知，平面，则到平面距离，设到面距离为，根据三棱锥等体积法有，得，得，因为与平面所成的角为30°，可求出，结合线面垂直的判定定理证出平面，进而得出为二面角的平面角，只需求出，即可求出二面角的余弦值．‎ ‎【详解】解：（1）取中点，连接、，‎ ‎∵∴，‎ ‎∵平面，平面，‎ ‎∴，‎ 而平面，平面，‎ ‎∴平面，‎ ‎∵为中点，∴，，‎ ‎∴，，‎ ‎∴四边形为平行四边形，∴．‎ ‎∴平面．‎ ‎（2）设，，‎ 则，，，‎ ‎∴‎ ‎∴，，‎ 到平面距离，设到面距离为，‎ 由，得，‎ 即，得，‎ 因为与平面所成角为30°，‎ 所以，‎ 而在直角三角形中，，‎ 所以，解得．‎ 因为平面，平面，‎ 所以，‎ 又平面，平面，所以，‎ 所以平面，‎ ‎∵平面，平面 所以为二面角的平面角，‎ 而，‎ 可得四边形是正方形，所以，‎ 则，‎ 所以二面角的余弦值为．‎ ‎【点睛】本题考查线面垂直的判定定理，以及利用几何法求二面角余弦值，涉及平行四边形的证明、等体积法求距离、棱锥的体积，线面角的应用等知识点，考查推理证明能力和计算能力.‎