2018-2019学年江苏省江阴市第一中学高一下学期期中考试数学试题（解析版）

2018-2019学年江苏省江阴市第一中学高一下学期期中考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年江苏省江阴市第一中学高一下学期期中考试数学试题 一、填空题 ‎1．已知倾斜角为45°的直线经过点，，则的值为___________.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】已知倾斜角可以求出斜率，利用斜率公式，可以得到方程，解方程求出的值.‎ ‎【详解】‎ 由题意可知：直线的斜率，.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了斜率与倾斜角的关系、斜率的公式,同时考查了运算能力.‎ ‎2．如图，在正方体中，面对角线与所在直线的位置关系为____．(填“平行”、“相交”、“异面”) ‎ ‎【答案】异面 ‎【解析】由异面直线的判定定理即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 在正方体中，‎ ‎ A1D∩平面ABCD=D，‎ ‎ AC⊂平面ABCD，‎ ‎ D∉AC，‎ ‎∴面对角线A1D与AC所在直线的位置关系为异面．‎ 故答案为：异面．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间中两直线的位置关系的判断，考查异面直线判定定理的应用.‎ ‎3．在中，，则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由及正弦定理知，，所以可设，由余弦定理知，所以.‎ ‎【考点】正弦定理与余弦定理.‎ ‎【名师点睛】本题考查正弦定理与余弦定理的应用，中档题；应用正弦定理时要注意正弦定理是一个连比等式，只要知道其比值或等量关系就可以问题的目通过约分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活应用；运用余弦定理时，要注意整体思想的运用.‎ ‎4．若直线l与平面不垂直，那么在平面内与直线l垂直的直线________(填“只有一条”、“有无数条”、“是平面内的所有直线”)‎ ‎【答案】有无数条 ‎【解析】直线l与平面不垂直，可以和平面内一条直线垂直，那么它就可以和在平面内与平行的所有直线垂直，所以有无数条直线.‎ ‎【详解】‎ 直线l与平面不垂直,一定存在，使得成立，因此在平面内，与平行的所有直线都与直线l 垂直，因此有无数条直线在在平面内与直线l垂直.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了线面不垂直，线线垂直的判断，考查了空间想象能力.‎ ‎5．若直线与圆相交，则点与圆的位置关系是 ___________.‎ ‎【答案】P在圆外 ‎【解析】由题意考查圆心到直线的距离与半径的关系确定点与圆的位置关系即可.‎ ‎【详解】‎ 直线与圆有两个不同的交点，则圆心到直线的距离小于半径，即：‎ ‎，即，‎ 据此可得：点与圆的位置关系是点在圆外.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎6．若线段的端点到平面的距离分别为，则线段的中点到平面的距离为_________.‎ ‎【答案】3或1‎ ‎【解析】根据两点与平面的位置关系，进行分类分析，利用梯形、三角形的中位线性质，可以求出线段的中点到平面的距离.‎ ‎【详解】‎ 当线段的端点在平面的同侧，如下图：‎ 根据梯形中位线性质可知：线段的中点到平面的距离为；‎ 当线段的端点在平面的同侧，如下图：‎ 根据三角形中位线性质可知：线段的中点到平面的距离为，‎ 所以线段的中点到平面的距离为3或1.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了求点到面的距离，同时考查了空间想象能力、分类求解运算能力.‎ ‎7．在中，已知，则___________.‎ ‎【答案】60º或120º ‎【解析】直接运用正弦定理，可求出,可以求出的大小.‎ ‎【详解】‎ 由正弦定理可知：,‎ 当时，；当时，，所以60º或120º.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了已知二边及一边对角，应用正弦定理求另一边对角问题.考查了已知一个角的正弦值，求此角的问题，解题的关键是要进行分类求解，本题也可以根据大边对大角来求解.‎ ‎8．在中，内角所对的边分别为,若，则 的形状一定是____________.‎ ‎【答案】直角三角形 ‎【解析】运用降幂公式和正弦定理化简，然后用,化简得到 ‎，根据内角的取值范围，可知，可以确定，最后可以确定三角形的形状.‎ ‎【详解】‎ 由正弦定理， ‎ 而 ，‎ ‎，所以的形状一定是直角三角形.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了正弦定理实现边角转化以及两角和差的正弦公式的使用.重点考查了降幂公式.‎ ‎9．过点作直线，使它被两条相交直线和所截得的线段恰好被点平分，则直线斜率为_______________‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】根据中点坐标公式求得弦端点坐标，再根据斜率公式求结果.‎ ‎【详解】‎ 设截得的线段AB,则，‎ 因为点为AB中点,所以，‎ 从而直线斜率为 ‎【点睛】‎ 本题考查直线位置关系，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎10．以下命题（其中表示直线，表示平面）‎ ‎①若，则 ②若，,则 ‎ ‎③若，,则 ④若，,则 ‎ 其中正确命题的个数是 ______________________. ‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】①根据线面平行的判定定理，还需要这一个条件；‎ ‎②的关系不确定，可以平行，相交，还可以异面；‎ ‎③还存在这种可能性；‎ ‎④可以是两条异面直线.‎ ‎【详解】‎ ‎①要想，还需要这个条件，故本命题是假命题；‎ ‎②除了平行以外还可以相交，异面，故本命题是假命题；‎ ‎③还存在这种可能性，故本命题是假命题；‎ ‎④可以是两条异面直线，故本命题是假命题，因此正确的命题的个数为零.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了已知线线平行是否可以得到线面平行，同样已知线面平行是否可以得到线线平行.解决本题重点是要知道平行线的性质传递是受条件限制的.‎ ‎11．若集合. 当集合中有2个元素时，实数的取值范围是____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】把集合转化为图形语言，它表示一个圆的上半部分，‎ ‎，表示过点（2，4）的一条直线，集合中有2个元素时，意味着直线与圆的上半部分是相交关系，利用数形结合，求出实数的取值范围。‎ ‎【详解】‎ 集合， 表示以（0，1）为圆心，半径为2的圆的上半部分，，该直线恒过点（2，4），如下图所示：‎ 当直线过（2，4）和（-2，1）两点时，此时斜率；‎ 当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，‎ ‎，因此实数的取值范围.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了集合语言与图形语言之间的转化，重点考查了直线与圆的位置关系.解决本题的关键是数形结合思想的运用.‎ ‎12．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是________________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】可得直线分别过定点（0，0）和（1，3）且垂直，可得|PA|2+|PB|2=10．三角换元后，由三角函数的知识可得PA+PB的最大值．‎ ‎【详解】‎ 由题意可得A（0，0），由于直线mx﹣y﹣m+3=0，即 m（x﹣1）﹣y+3=0，显然经过定点B（1，3），‎ 注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，‎ 则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．‎ 设∠ABP=θ，则|PA|=sinθ，|PB|=cosθ．‎ ‎∵|PA|≥0且|PB|≥0，可得θ∈[0，]，‎ ‎∴|PA|+|PB|=sinθ+cosθ=2[sinθ+cosθ）=2sin（θ+），‎ ‎∵θ∈[0，]，∴θ+∈[，]，∴当θ+=时，2sin（θ+）取得最大值为 2，‎ 故答案为：2．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线过定点问题，涉及直线的垂直关系和三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，属中档题．‎ 二、解答题 ‎13．圆心在直线上，且与直线相切于点的圆的标准方程为___________.‎ ‎【答案】(x－1)2＋(y＋2)2＝2‎ ‎【解析】设圆标准方程形式，根据条件列方程组，解得结果.‎ ‎【详解】‎ 设,则，解得，‎ 所以圆的标准方程为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆得标准方程，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎14．已知直线（不同时为0）, .‎ ‎⑴若且，求实数a的值；‎ ‎(2)当且时，求直线与之间的距离.‎ ‎【答案】（1）2；（2）‎ ‎【解析】（1）当b=0时，l1垂直于x轴，所以由l1⊥l2知l2垂直于y轴，由此能求出实数a的值；‎ ‎（2）由b=3且l1∥l2，先求出a的值，再由两条平行间的距离公式，能求出直线l1与l2之间的距离．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当b=0，时，l1：ax+1=0，‎ 由l1⊥l2知a﹣2=0， ‎ 解得a=2．‎ ‎（2）当b=3时，l1：ax+3y+1=0，‎ 当l1∥l2时，有 解得a=3，‎ 此时，l1的方程为：3x+3y+1=0，‎ l2的方程为：x+y+3=0，‎ 即3x+3y+9=0，‎ 则它们之间的距离为d==．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两条直线平行和两条直线垂直的条件的应用，解题时要认真审题，注意两条平行线间的距离公式的灵活运用．‎ ‎15．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.‎ ‎（1）求角C；（2）若，，求的周长.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据正弦定理把化成，利用和角公式可得从而求的角；（2）根据三角形的面积和角的值求得，由余弦定理求得边得到的周长.‎ 试题解析：（1）由已知可得 ‎（2）‎ 又 ‎，‎ 的周长为 ‎【考点】正余弦定理解三角形.‎ ‎16．如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若平面与平面的交线为，求证：．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】（1）要想证明线线垂直，可以考虑线面垂直.已知底面是菱形，显然有 ‎，已知平面，可以得到，这样就可以根据线面垂直的判定定理，证明出 平面，进而可以证明出;‎ ‎（2）可以先证明出线面平行，然后利用线面平行的性质定理证明出.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：连接，交于点．‎ ‎∵四边形为菱形，所以   ‎ ‎ 又∵平面， 平面,∴‎ ‎ 又∵, 平面, 平面 ‎ ∴平面，‎ ‎ 又∵平面 ‎ ∴ ‎ ‎（2）∵四边形为菱形，∴‎ ‎∵平面，平面．‎ ‎ ∴平面  . ‎ 又∵平面，平面平面.‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了线面垂直的判定定理、线面平行的判定定理以及性质定理.关键是考查了转化思想.‎ ‎17．已知圆，直线过定点 ．‎ ‎（1）若与圆相切，求的方程； ‎ ‎（2）若的倾斜角为，与圆相交于两点，求线段的中点M的坐标；‎ ‎（3）若与圆相交于两点，求三角形的面积的最大值，并求此时的直线方程 ‎【答案】（1）或；（2）或 ‎【解析】（1）根据直线的斜率是否存在，进行分类讨论.当斜率不存在时，直接写出直线方程，直接验证是否符合题意；当斜率存在时，利用圆心到直线的距离等于半径，列出方程，求解方程，求出直线的斜率，最后求出直线的方程；‎ ‎（2）直接写出直线的方程，由圆的性质可知，这样可求出方程，与圆的方程联立，解方程组，求出线段的中点M的坐标；‎ ‎（3）先确定直线是否存在斜率，然后设出直线方程，求出圆心到直线的距离，利用勾股定理，求出的长，求出面积的表达式，进行配方，然后求出最大值，并求出此时的直线方程.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)解:①若直线的斜率不存在,则直线,圆的圆心坐标,半径为2,符合题意 ‎②若直线斜率存在,设直线为,即.‎ 由题意知,圆心到已知直线的距离等于半径2,即: ,‎ 解之得  .所求直线方程是: ,或. ‎ ‎(2)直线方程为，∵,∴方程为,即.‎ ‎∵,∴，∴点坐标 ‎(3)直线与圆相交,斜率必定存在,且不为0,设直线方程为,‎ 则圆心到直线的距离.又三角形面积 当时, 取得最大值2，∴ ，，或.‎ 直线方程为,或.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查多角度考查了直线与圆的位置关系，考查了运算能力.本题的关键是要对直线的斜率是否存在要考虑全面，还有一点的是配方法的使用.‎ ‎18．某学校的平面示意图为如下图五边形区域，其中三角形区域为生活区，四边形区域为教学区，为学校的主要道路（不考虑宽度）. ，.‎ ‎（1）求道路的长度；‎ ‎（2）求生活区面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】(1)在中,利用余弦定理可计算出,进而用勾股定理计算出的长度;(2)在中,设,由正弦定理,将表示为的三角函数,再将的面积表示为的三角函数,通过三角恒等交换计算函数的最值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）如图，连接，‎ 在中，，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 又，∴，‎ ‎∴在中，，‎ 故道路的长度为.‎ ‎（2）设，∵，‎ ‎∴，‎ 在中，易得 ‎∴，，‎ ‎∴ ‎ ‎∵,‎ ‎∴‎ ‎∴当，即时，取得最大值，最大值为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查余弦定理、正弦定理、勾股定理、两角差的正弦公 式、二倍角公式等知识,意在考查数形结合思想,考查考生的化归与转化能力、运算求解能力.‎ ‎19．已知圆：()，定点，，其中为正实数.‎ ‎（1）当时，判断直线与圆的位置关系；‎ ‎（2）当时，若对于圆上任意一点均有成立(为坐标原点)，求实数的值；‎ ‎（3）当时，对于线段上的任意一点，若在圆上都存在不同的两点，使得点是线段的中点，求实数的取值范围． ‎ ‎【答案】(1) 相离. (2) ，．(3) ‎ ‎【解析】（1）利用圆心到直线的距离和半径的关系即可得到判断；（2）利用两点间的距离公式进行化简整理，由点P的任意性即可得实数m，λ的值；（3）设出点P和点N的坐标，表示出中点M的坐标，M、N满足圆C的方程，根据方程组有解说明两圆有公共点，利用两圆位置关系要求及点P满足直线AB的方程，解出半径的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 解: (1) 当时,圆心为,半径为, ‎ ‎ 当时,直线方程为,‎ ‎ 所以,圆心到直线距离为, ‎ 因为,所以,直线与圆相离. ‎ ‎（2）设点，则，，‎ ‎∵，∴，‎ ‎，…………‎ 由得，， ∴，‎ 代入得， ，‎ 化简得，…………‎ 因为为圆上任意一点，所以，………‎ 又，解得，．…………………‎ ‎(3)法一:直线的方程为，设()，，‎ 因为点是线段的中点，所以，‎ 又都在圆：上，所以 即……………………‎ 因为该关于的方程组有解，即以为圆心，为半径的圆与以为圆心，为半径的圆有公共点，‎ 所以，， ‎ 又为线段上的任意一点，所以对所有成立．‎ 而 在上的值域为，‎ 所以所以．………‎ 又线段与圆无公共点，所以，∴.‎ 故实数的取值范围为． ……………‎ 法二:过圆心作直线的垂线，垂足为，设，，则则消去得， ， ‎ 直线方程为 点到直线的距离为 ‎ 且又 为线段上的任意一点， …‎ ‎，， ‎ 故实数的取值范围为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与圆,圆与圆的位置关系的应用，考查逻辑思维能力与推理运算能力.‎