高中数学讲义微专题16 含参数函数的单调区间

高中数学讲义微专题16 含参数函数的单调区间

- 1 - 微专题 16 含参数函数的单调区间 在高考导数的综合题中，所给函数往往是一个含参数的函数，且导函数含有参数，在分 析函数单调性时面临的分类讨论。本节通过一些例题总结参数讨论的方法与技巧，便于更加 快速准确的分析含参数函数的单调区间。 一、基础知识： 1、导数解单调区间的步骤：利用导数求函数单调区间的方法，大致步骤可应用到解含参函数 的单调区间。即确定定义域→求出导函数→令 解不等式→得到递增区间后取定义域 的补集（减区间）→单调性列出表格 2、求含参函数单调区间的实质——解含参不等式，而定义域对 的限制有时会简化含参不等 式的求解 3、求单调区间首先确定定义域，并根据定义域将导数不等式中恒正恒负的项处理掉，以简化 讨论的不等式 4、关于分类讨论的时机与分界点的确定 （1）分类时机：并不是所有含参问题均需要分类讨论，例如解不等式： ，其解集为 ，中间并没有进行分类讨论。思考：为什么？因为无论参数 为何值，均是将 移到 不等号右侧出结果。所以不需要分类讨论，再例如解不等式 ，第一步移项得： （同样无论 为何值，均是这样变形），但是第二步不等式两边开方时发现 的不同取值会导 致不同结果，显然 是负数时，不等式恒成立，而 是正数时，需要开方进一步求解集，分类 讨论由此开始。体会：什么时候开始分类讨论？简而言之，当参数的不同取值对下一步的影 响不相同时，就是分类讨论开始的时机。所以一道题是否进行分类讨论不是一开始就决定的， 而是在做的过程中遇到不同值导致不同步骤和结果，就自然的进行分类讨论。（2）分界点的 确定：分类讨论一定是按参数的符号分类么？不一定。要想找好分界点，首先要明确参数在 问题中所扮演的角色。例如上面的不等式 ， 所扮演的角色是被开方数，故能否开方 是进行下一步的关键，那自然想到按 的符号进行分类讨论。 （3）当参数取值为一个特定值时，可将其代入条件进行求解 （4）当参数 扮演多个角色时，则以其中一个为目标进行分类，在每一大类下再考虑其他角 色的情况以及是否要进行进一步的分类。  ' 0f x  x 0x a   ,a  a a 2 0x a  2x a a a a a 2x a a a a - 2 - 例如：解不等式： ，可得： 此时 扮演两个角 色，一个是 的系数，将决定解集是小大根之外还是小大根之间，另一个角色是决定 的大 小，进而要和 来角逐大小根。那么在处理时可先以其中一个为主要目标，例如以 系数的 正负，进行分类。 ①当 时，此时不等式的解集为小大根之间，而由于 ，以此为前提 ， 故小大根不存在问题，解集为 ②当 时，不等式变为 ③当 时，不等式解集为小大根之外，而 ， 的大小由 的取值决 定，所以自然考虑再结合小大根进行进一步讨论了。（重视①③的对比） 时，不等式解集为 时，不等式化为 时，不等式解集为 希望通过此例能够体会分类讨论的时机与分界，若能领悟，其分类讨论不再是一个难点，而 是有线索可循了。 二、典型例题： 例 1：已知函数 ，求 的单调区间 解：定义域 令 ，所解不等式为 当 时，即解不等式 的单调区间为：   1 1 0ax x    1 2 1 0 , 1x a xa   a x 1x 2x x 0a  0a  1 20 1x x   1 ,1a     0a     1 0 ,1x x      0a  1 2 1 0, 1x xa   1 2,x x a 1 2 0 1x x a      1,1 ,a      1 2 1x x a    21 0 1x x    1 2 1x x a    1, 1,a         1 lnxf x xax    f x  0,x    1 1 1 lnf x xa x        ' 2 2 1 1 1axf x ax x ax       ' 0f x  1 0ax a   0a  11 0ax x a     f x - 3 - 当 时， 恒成立 为增函数: 例 2：已知函数 （1）若 的图像在 处的切线与直线 垂直，求实数 的值 （2）求函数 的单调区间 解：（1）由切线与 垂直可得： （2）思路：导函数 ，令 解单调增区间，得到含参不等式。分类 讨论时注意 扮演两个角色：一个是影响最高次项的符号，一个是影响方程的根 解： 令 即 ① （将 的范围分类后，要善于把每一类的范围作为已知条使用 件，在本题中使用 的条件使得 大小能够确定下来，避免了进一步的分类） 的单调区间为： ② 的单调区间为： x 10, a      1 ,a      'f x  +  f x   0a  1 0, 0ax a    ' 0f x   f x   3 2 33 1f x ax x a     f x 1x   1 13y x   a  f x 1 13y x    ' 1 3f    ' 23 6f x ax x   ' 1 3 6 3 1f a a         ' 23 6f x ax x   ' 0f x  a  ' 23 6f x ax x   ' 0f x  23 6 0ax x   3 2 0x ax   0a  1 2 20,x x a  2 1x x  a 0a  1 2,x x  f x x  ,0 20, a     2 ,a      'f x +    f x    0a  2 1x x   f x - 4 - 例 3：已知函数 ，求 的单调区间 解：定义域： ，令 ，可得： 即 当 时， 的单调区间为： 当 时， 为增函数 当 时， 恒成立 为增函数 例 4：讨论函数 的单调区间 解： 令 即 （注意定义域为 ，所以导函数分母恒正，去掉后简 化所解不等式） ① 时 （求解 需要除以 后开方，进而两个地方均需要分类讨论，先从 的 x 2, a     2 ,0a      0,  'f x +    f x      22lnf x x ax   f x  0,x    2 ' 2 2 22 axf x axx x     ' 0f x  22 2 0ax  2 1ax  0a  2 1 0, ax xa a         f x x 0, a a       ,a a       'f x    f x   0a    2lnf x x 0a    2 ' 2 2 22 0axf x axx x      f x     21 ln 1f x a x ax      2 ' 1 2 12a ax af x axx x       ' 0f x   2 22 1 0 2 1ax a ax a        0,+ 0a  2 1 2 ax a   x 2a 2a - 5 - 符号入手） 恒成立， 在 单调递增 ② 函数 为增函数 ③ 时 （下一步为开方出解集，按 的符号进行再分类） 当 即 时， 恒成立， 在 单调递减 当 即 时，解得： 的单调区间为： 小炼有话说：本题定义域为 ，故对单调区间既有促进作用又有制约作用：促进作用体 现在对所解不等式的简化，请大家养成一个良好习惯，当已知变量范围时，一边关注范围一 边解不等式。制约作用体现在单调区间应该是定义域的子集，所以在 时，表格中自 变量的区间是从 处开始分析的 例 5：已知函数 ，讨论 的单调性 解：定义域为 令 即 考虑 （左边无法直接因式分解，考虑二次函数是否与 轴有交点） ① 时 恒成立，故 在 单调递增 ② 时 的解 10 02 aa a     ' 0f x   f x  0, 0a    ln 1f x x  0a  2 1 2 ax a   1 2 a a  1 02 a a   1a    ' 0f x   f x  0, 1 02 a a   1 0a   10 2 ax a     f x x 10, 2 a a      1,2 a a        'f x +   f x    0, 1 0a   0x     2 2 lnf x x a xx     f x  0,   2 ' 2 2 2 21 a x axf x x x x       ' 0f x  2 2 0x ax   2 8a   x 0 2 2 2 2a      2 2 0x ax    f x  0, 2 2a  2 2 0x ax   2 2 1 2 8 8,2 2 a a a ax x     1 2, 0x x  - 6 - 的解集为 的单调区间为： ③ 时 在 单调递增 小炼有话说：本题亮点在于②③的讨论，判断极值点是否在定义域中。进而确定单调性。除 了解出根来判断符号之外，本题还可以利用韦达定理进行判断。 ，说明两根同号， 而 ，说明 的符号决定 的正负，从而在 的情况下进行再次分类讨论 例 6：已知函数 ，其中 . （1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程； （ 2） 求 的 单 调 区 间 ． 解：（1） 切线方程为： ，即 （2） ， 令 ，即解不等式： ① 当 时，解得： ，故 的单调区间为：  2 2 0x ax   2 28 80, ,2 2 a a a a                   f x x 2 80, 2 a a      2 28 8,2 2 a a a a        2 8 ,2 a a        'f x +    f x    2 2a   1 2, 0x x   0,x    ' 0f x   f x  0, 1 2 2x x  1 2x x a  a 1 2,x x 0    1ax af x e ax       1a   1a   y f x   1, 1f  f x   1 2xf x e x       ' 2 1 12xf x e x x          '1 3 , 1 2f e f e    3 2 1y e e x   2y ex e       ' 2 1 1 1 , 0ax x a xf x ae xx        ' 0f x     1 1 1 0a x a x      1a   1x    f x x  , 1   1,0  0,  'f x   + - 7 - ② 当 时 ，所以解得： 故 的单调区间为： ③ ，则 ，常值函数不具备单调性 ④ 时，解得： 或 故 的单调区间为： 例 7：已知函数 .求函数 的单调区间. 解： 令 ，即 ， （参数 角色：① 的大小，② 是否在定义域内，以①为目标分类） ① 即 （此时 一定在定义域中，故不再分类） 不等式的解集为 或 的单调区间为： ↗ ↘ ↗  f x    1 0a   1 2 11, 01x x a    11 1x a     f x x  , 1   1,0 10, 1a     1 ,1a      'f x   +   f x     0a    1f x  0a  1x   1 1x a   f x x  , 1   1,0 10, 1a     1 ,1a      'f x    +  f x         21 ln 12f x x ax a x a R      f x      2 ' 1 1 1 1 1 x a x x x aaf x x a x x x             ' 0f x   1 0x x a    1 20, 1x x a    a 1 2,x x 2x  2 1 1 0x x a     1a    1a  1 0x    1x a    f x x  1,0   0, 1a    1 ,a    'f x     f x - 8 - ② 在 单调递增 ③ ，要根据 是否在 进行进一步分类 当 时， 不等式的解集为 或 的单调区间为： 当 时，则 ，不等式的解集为 ， 的单调区间为： 小炼有话说： （1）在求单调区间时面临一个 的根是否在定义域中的问题，由此也可体会到定义 域对单调区间“双刃剑”的作用，一方面缩小自变量的范围从而有利于不等式的化简，另一 方面也圈住了单调区间，极值点所在的范围。 （2）体会参数起到多重作用时，是如何进行分类讨论的，以及在某个大前提下，参数讨论也 可进行些简化。 例 8：已知函数 ，求 的单调区间 解：定义域 令 ，即解不等式 ↗ ↘ ↗ ↘ ↗ 2 1 1x x a     ' 2 0f x x   f x  1,  2 1 0 1x x a     2x  1,0 1 0a    2 0,1x  0x   1 1x a      f x 0a  1 0x a   0x   f x  ' 0f x     2ln 2f x x ax a x     f x  | 0x x          2 ' 2 2 1 2 1 11 2 2 ax a x x axf x ax a xx x x              ' 0f x    2 1 1 0x ax   x   1, 1a     1 ,0a   0,  'f x     f x x  1,0  0,+  'f x    f x - 9 - （1）当 时，可得 ，则不等式的解为 的单调区间为： （2）当 时， ① 时，即 ，解得 或 的单调区间为： ② ，代入到 恒成立 为增函数 ③ ，解得： 或 的单调区间为： 例 9：设函数 ，求 的单调区间； 解： ，令 即 0a  1 0ax   1 2x   f x x 10, 2      1 ,2      'f x +   f x   0a  1 2 1 1,2x x a   1 2x x 1 1 22 aa     1 2x  10 x a    f x x 10, a     1 1, 2a     1 ,2      'f x     f x    1 2 2x x a       2 ' 2 1 0xf x x    f x 1 2 2 0x x a     1x a  10 2x   f x x 10, 2      1 1,2 a     1 ,a       'f x     f x       3 21 2 1 2 , 03f x ax ax a x a      f x  ' 2 4 1 2f x ax ax a     ' 0f x  2 4 1 2 0ax ax a       2 216 4 1 2 24 4 4 6 1a a a a a a a        - 10 - （1） 则 恒成立 在 上单调递增 （2） 或 ① 当 时，解得 ， 单调区间为： ② 当 时，解得： 或 单调区间为： 例 10：已知函数 ，其中 ，试讨论 的单调性 思路： ，可令 ，则需解不等式 ，由于 的奇偶不同会导致解集不同，所以可对 分奇偶讨论 解： 令 解得 当 为奇数时， 为偶数，可解得： 的单调区间为： 10 0 6a      ' 0f x   f x R 0 0a    1 6a  2 24 24 4 622 a a a a ax a a        0a  2 26 62 2a a a axa a         f x x 26, 2 a a a        2 26 62 , 2a a a a a a          262 ,a a a         'f x     f x    1 6a  262 a ax a    262 a ax a     f x x 26, 2 a a a        2 26 62 , 2a a a a a a          262 ,a a a         'f x     f x      ,nf x nx x x R   , 2n N n   f x    ' 1 11n nf x n nx n x      ' 0f x  1 1nx   1n  n    ' 1 11n nf x n nx n x      ' 0f x  1 1nx   n 1n  1 1x    f x x  , 1   1,1  1,  'f x    - 11 - 当 为偶数时， 为奇数，可解得： 的单调区间为：  f x    n 1n  1x   f x x  ,1  1,  'f x    f x  