吉林省吉林市2020届高三毕业班第四次调研考试 数学（文）试题（PDF版）

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吉林市普通中学2019-2020学年度高中毕业班第四次调研测试 文科数学参考答案与评分标准 第 1页 文科数学参考答案与评分标准 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B D B C C C B B C A B A 二、填空题： 13. -2 ； 14. 9 2 ； 15. 3 4 : 16. 5 3 三、解答题 17. 解 （1）证明：连接 交 于点 ，连接 ---------------------------------------------------------------------------1 分 则 为 的中点，又 为 的中点， 所以 --------------------------------------------------------------------3 分 平面 ， 平面 ， 则 平面 -------------------------------------------------------------------4 分 （2）取 的中点 ，连接 ，过点 作 于点 ，连接 . 因为点 在平面 的射影 在 上，且 ， 所以 平面 ---------------------------------------------------6 分 ∴ ， ，∴ 平面 ，则 ---------------------------8 分 设 ，在 中， ， ， ∴ ， ， ， 由 ，可得 ----------------------------------10 分 则 . 所以三棱锥 的体积为 ------------------------------------------------------12 分 文科数学参考答案与评分标准 第 2页 18．触： （1）设数列 na 的公差为 d，因为 2 73, 8 a a ， 所以 7 2 5 5  a a d ，解得 1d  -------------------------------------------------------------------------2 分 由 1 1 3a   ，解得 1 2a  ------------------------------------------------------------------------------4 分 所以 1na n  ----------------------------------------------------------------------------------------------6 分 （2）由（1）得   1 1 1 1 1 1 2 1 2n na a n n n n       ----------------------------------------------------8 分 所以 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 3 4 1 2 2 2                          nS n n n -----------------------------------10 分 令 1 1 5 2 2 12  n ，解得 10n  ------------------------------------------------------------------------12 分 19．解： （1）由表可知，该患者共 6 天的体温不低于 ，记平均体温为 ， -------------------------------------------------------3 分 所以，患者体温不低于 的各天体温平均值为 . （2）设 A: 恰有两天在高热体温下做“ 项目”检查；B：五天中三天都在高热体温下做“ 项目”检查 -----4 分 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------6 分 ? ි ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------8 分 （3）“抗生素 C”治疗效果最佳可使用理由： ① “抗生素 B”使用期间先连续两天降温 1.0 又回升 0.1 ，“抗生素 C”使用期间持续降温共计 1.2 ，说 明“抗生素 C”降温效果最好，故“抗生素 C”治疗效果最佳. ② 抗生素 B”治疗期间平均体温 39.03 ，方差约为 ；“抗生素 C”平均体温 38 ，方差约为 ， “抗生素 C”治疗期间体温离散程度大，说明存在某个时间节点降温效果明显，故“抗生素 C”治疗效果最佳. “抗生素 B”治疗效果最佳可使用理由： 自使用“抗生素 B”开始治疗后，体温才开始稳定下降，且使用“抗生素 B”治疗当天共降温 0.7 ，是单日降温 效果最好的一天，故“抗生素 B”治疗效果最佳 -----------------------------------------------------------------------12 分 文科数学参考答案与评分标准 第 3页 20．解： （1）由题设，得 1 3 b c   ------------------------------------------------------------------------------------2 分 所以 2 2 2 4a b c   ------------------------------------------------------------------------------------3 分 即 2a  ------------------------------------------------------------------------------------4 分 故椭圆C 的方程为 2 2 14 x y  -------------------------------------------------------------------------------5 分 （2）设  1,M x m ，则  1,N x m ， 1 0x  ， 1 1m   ． 所以直线 BM 的斜率为   1 1 1 1 0 m m x x    ---------------------------------------------------------------6 分 因为直线 BD、 BM 的斜率的积为 1 4  ，所以直线 BD的斜率为   1 4 1 x m   ． ---------------------7 分 直线 AN 的方程为 1 1 1my xx   ，直线 BD 的方程为   1 14 1 xy xm    ---------------------8 分 联立   1 1 1 1 14 1 my xx xy xm         ，解得点 D 的纵坐标为 2 2 1 2 2 1 1 14 1 14 D x m y x m        ． ---------------------------10 分 因为点 M 在椭圆C 上，所以 2 21 14 x m  ，则 0Dy  ，所以点 D 在 x轴上--------------------------12 分 21．解： （1）   2 44 a x x af x xx x       ，函数  y f x 的定义域为  0, -------------------------------1 分 1 若16 4 0a  ,即 4a  ,则   0f x  ,此时  f x 的单调减区间为 0, ; -------------------------------3 分 2 若16 4 0a  ,即 0 4a  ,则   0f x  的两根为 2 4 a  , 此时  f x 的单调减区间为 0,2 4 a  , 2 4 ,a   , 单调增区间为 2 4 ,2 4a a    ． -------------------------------------------------------------------5 分 （2）由(1)知，当 0 4a  时，函数  y f x 有两个极值点 1 2,x x ,且 1 2 1 24,x x x x a   ． 文科数学参考答案与评分标准 第 4页 因为     2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 14 ln 2 4 ln 22 2f x f x x a x x x a x x              2 2 1 2 1 2 1 2 14 ln 42x x a x x x x       2116 ln 4 2 4 4 ln2a a a a a a        -------------------------------------6 分 要证    1 2 6 lnf x f x a   ,只需证 ln ln 2 0a a a a    ． 构造函数   ln ln 2g x x x x x    ，则   1 11 ln 1 lng x x xx x       ，  g x 在 0,4 上单调递增,又, 02 12ln)2(,10)1( '  gg 且  g x 在定义域上不间断, 由零点存在定理，可知   0g x  在 1,2 上唯一实根 0x , 且 0 0 1lnx x  -------------------------------------8 分 则  g x 在 00, x 上递减,  0,4x 上递增,所以  g x 的最小值为  0g x ． 因为   0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1ln ln 2 1 2 3g x x x x x x xx x                 , -----------------------------------10 分 当  0 1,2x  时, 0 0 1 52, 2x x      ,则  0 0g x  ,所以    0 0g x g x  恒成立． -----------------------------11 分 所以 ln ln 2 0a a a a    ,所以    1 2 6 lnf x f x a   ，得证． -----------------------------------------12 分 22．解： （1）由 （ 为参数），消去参数 ，得 ， 即 的普通方程为 -----------------------------------------------------2 分 由 ，得 ， 将 ， 代入，得 2 0x my   ， 即 的直角坐标方程 ------------------------------------------------4 分 （2）由 （ 为参数），可得 （ ）， 故 的几何意义是抛物线 上的点（原点除外）与原点连线的斜率. 由题意知，当 时， ，--------------------- 文科数学参考答案与评分标准 第 5页 则 与 只有一个交点 不符合题意，故 -----------------------------------------------6 分 把 （ 为参数）代入 ，得 设此方程的两根分别为 ， ，由韦达定理可得 ， -------------8 分 所以 -------------------------------------10 分 23．解： （1） 3 1, 1 ( ) 1,0 1 3 1, 0 x x f x x x x x          -----------------------------------------------------------------------------------3 分 在直角坐标系中作出函数 的图象如下： -------------------------------------------------------5 分 ∵当 3 1x 时， ，当 时， ， ∴根据图象可得解不等式 的解集为        13 1 xxx 或 -------------------------------6 分 （2） 当且仅当 时取等号，∴ 的最小值为 2 ------------------------------8 分 ∵不等式 对任意的 恒成立，∴只需 ， 3k ∵ ，∴ --------------------------10 分