2013版《6年高考4年模拟》：第五章 平面向量、解三角形 第一节 平面向量
【数学精品】2013版《6年高考4年模拟》
第五章 平面向量、解三角形
平面向量
第一部分 六年高考荟萃
2012年高考题
1.[2012·浙江卷] 设a，b是两个非零向量( )
A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b
B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|
C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λa
D．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|
答案：C [解析] 本题主要考查平面向量的相关概念与性质以及应用等基础知识，考查学生基本能力和素质．
法一：对于选项A，若|a＋b|＝|a|－|b|可得a·b＝－|a||b|，则a与b为方向相反的向量，A不正确；对于选项B，由a⊥b，得a·b＝0，由|a＋b|＝|a|－|b|，得a·b＝－|a||b|，B不正确；对于选项C，若|a＋b|＝|a|－|b|可得a·b＝－|a||b|，则a与b为方向相反的共线向量，∴b＝λa；对于选项D，若b＝λa，当λ>0时，|a＋b|＝|a|＋|b|，当λ<0时，可有|a＋b|＝|a|－|b|，故不正确．
法二：特值验证排除．先取a＝(2,0)，b＝，满足＝－，但两向量不垂直，故A错；再取a＝，b＝，满足a＝λb，但不满足＝－，故D错；取a＝，b＝，满足a⊥b，但不满足＝－，故B错，所以答案为C.
2.[2012·广东卷] 若向量＝(2,3)，＝(4,7)，则＝( )
A．(－2，－4) B．(2,4)C．(6,10) D．(－6，－10)
答案：A [解析] ∵＝－，∴＝(2,3)－(4,7)＝(－2，－4)，所以选择A.
3.[2012·全国卷] △ABC中，AB边的高为CD，若＝a，＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则＝( )A.a－b B.a－b C.a－b D.a－b
答案：D [解析] 本小题主要考查平面向量的基本定理，解题的突破口为设法用a和b作为基底去表示向量.易知a⊥b，|AB|＝，用等面积法求得|CD|＝，
∵AD＝＝，AB＝，∴＝＝(a－b)，故选D.
4.[2012·安徽卷] 在平面直角坐标系中，点O(0,0)，P(6,8)，将向量绕点O按逆时针方向旋转后得向量，则点Q的坐标是( )
A．(－7，－) B．(－7，) C．(－4，－2) D．(－4，2)
答案：A [解析]设∠POx＝α，因为P，所以＝(10cosα，10sinα)⇒cosα＝，sinα＝，则＝＝(－7，－)．故答案为A.
5.[2012·江西卷] 在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则＝( )A．2 B．4 C．5 D．10
答案：D [解析] 考查向量基本定理、向量的线性运算、向量的数量积及其应用，考查化归转化能力．解题的突破口是建立平面直角坐标系转化为平面向量坐标运算问题求解，或利用平面向量基本定理，将问题转化为只含基底的两个向量的运算问题求解．
方法一：∵D是AB中点，∴＝(＋)．∵P是CD中点，∴＝(＋)，∴＝－＝－＋，＝－＝－.
∵·＝0，∴2＝2＋2，2＝2＋2，2＝2＋2，
∴＝10.
方法二：∵D是AB中点，∴＋＝2，－＝，∴2＋2·＋2＝42，2－2·＋2＝2，∴2(|PA|2＋|PB|2)＝4|PD|2＋|AB|2.∵D是AB的中点，∴2|CD|＝|AB|.∵P是CD中点，∴|CD|＝2|PC|，∴|PA|2＋|PB|2＝10|CP|2，故＝10.
方法三：以C为坐标原点，AC，BC所在的直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，设A(a,0)，B(0，b)，则D，P，|PA|2＋|PB|2＝＋＋＋＝，而|PC|2＝，故＝10.
6．[2012·重庆卷] 设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝( )A. B.C．2 D．10
答案：B [解析] 因为a⊥c，所以a·c＝0，即2x－4＝0，解得x＝2，由b∥c，得－4＝2y，解得y＝－2，所以a＝(2,1)，b＝(1，－2)，所以a＋b＝(3，－1)，所以|a＋b|＝＝.
7.[2012·上海卷] 在平行四边形ABCD中，∠A＝，边AB、AD的长分别为2、1.若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足＝，则·的取值范围是________．
答案：[2,5] [解析] 令＝n(0≤n≤1)，则＝(1－n)，在平行四边形ABCD中，＝＋
n，＝＋(1－n)，所以·＝(＋n)·[＋(1－n)]
＝－n2－2n＋5，而函数f(n)＝－n2－2n＋5在[0,1]上是单调递减的，其值域为[2,5]，
所以·的取值范围是[2,5]．
8.[2012·辽宁卷] 已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确的是( )
A．a∥b B．a⊥bC．|a|＝|b| D．a＋b＝a－b
答案：B [解析] 本小题主要考查向量的数量积以及性质．解题的突破口为对于模的理解，向量的模平方就等于向量的平方．
因为＝⇔2＝2⇔a·b＝0，所以a⊥b，答案选B.
9.[2012·课标全国卷] 已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________.
[答案] 3[解析] 由|2a－b|＝，得4a2－4a·b＋b2＝10，得4－4×|b|×cos45°＋|b|2＝10，即－6－2|b|＋|b|2＝0，解得|b|＝3或|b|＝－(舍去)．
10.[2012·江苏卷] 如图1－3，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是________．
答案： [解析] 本题考查几何图形中的向量的数量积的求解，解题突破口为合理建立平面直角坐标系，确定点F的位置．以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则＝(，0)．设＝(x,2)，则由条件得x＝，得x＝1，
从而F(1,2)，＝(，1)，＝(1－，2)，于是·＝.
11.[2012·安徽卷] 若平面向量a，b满足|2a－b|≤3，则a·b的最小值是________．
答案：－ [解析] 本题考查平面向量的数量积，模的有关运算．
因为|2a－b|≤3，所以|2a－b|2＝(2a－b)2＝4|a|2－4a·b＋|b|2≤9.所以9＋4a·b≥4|a|2＋ |b|2.又由均值不等式得4|a|2＋|b|2≥4|a||b|≥－4a·b，所以9＋4a·b≥－4a·b，解得a·b≥－，当且仅当2|a|＝|b|且a，b方向相反，即b＝－2a时取等号，故a·b的最小值为－.
12.[2012·广东卷] 对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝.若平面向量a，b满足|a|≥|b|>0，a与b的夹角θ∈，且a∘b和b∘a都在集合中，则a∘b＝( )
A. B．1C. D.
答案：C [解析] 本题考查平面向量的数量积的运算以及向量的新定义，突破口是通过新定义把问题转化为熟悉的问题解决．根据新定义得：a∘b＝＝＝≥cosθ>，
b∘a＝＝＝≤cosθ<1，且a∘b和b∘a都在集合中，所以b∘a＝＝，＝，所以a∘b＝＝2cos2θ<2，所以1
0时，|a＋b|＝|a|＋|b|，当λ<0时，可有|a＋b|＝|a|－|b|，故不正确．
法二：特值验证排除．先取a＝(2,0)，b＝，满足＝－，但两向量不垂直，故A错；再取a＝，b＝，满足a＝λb，但不满足＝－
，故D错；取a＝，b＝，满足a⊥b，但不满足＝－，故B错，所以答案为C.
19.[2012·四川卷] 设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是( )
A．a＝－b B．a∥bC．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|
答案：C [解析] 要使得＝，在a，b都为非零向量的前提下，必须且只需a、b同向即可，对照四个选项，只有C满足这一条件．
20.[2012·山东卷] 如图1－4所示，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2,1)时，的坐标为________．
答案：(2－sin2,1－cos2) [解析] 本题考查向量坐标运算与三角函数，考查数据处理能力与创新意识，偏难．根据题意可知圆滚动了2个单位弧长，点P旋转了2弧度．结合图象，设滚动后圆与x轴的交点为Q，圆心为C2，作C2M⊥y轴于M，∠PC2Q＝2，∠PC2M＝2－，∴点P的横坐标为2－1×cos＝2－sin2，点P的纵坐标为1＋1×sin＝1－cos2.
21. [2012·陕西卷] 已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．(1)求椭圆C2的方程；(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，＝2，求直线AB的方程．
解：(1)由已知可设椭圆C2的方程为＋＝1(a>2)，
其离心率为，故＝，则a＝4，故椭圆C2的方程为＋＝1.
(2)解法一：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，
由＝2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx.将y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，所以x＝，
将y＝kx代入＋＝1中，得(4＋k2)x2＝16，所以x＝，
又由＝2，得x＝4x，即＝，解得k＝±1，故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.
解法二：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，
由＝2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx.
将y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，所以x＝，
由＝2，得x＝，y＝，
将x，y代入＋＝1中，得＝1，即4＋k2＝1＋4k2，
解得k＝±1，故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.
22.[2012·福建卷] 如图，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝，过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8.(1)求椭圆E的方程；(2)设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
答案：解：解法一：
(1)因为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝8，即|AF1|＋|F1B|＋|AF2|＋|BF2|＝8，
又|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝2a，所以4a＝8，a＝2.又因为e＝，即＝，所以c＝1，
所以b＝＝.故椭圆E的方程是＋＝1.
(2)由得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.
因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0)，所以m≠0且Δ＝0，
即64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，化简得4k2－m2＋3＝0.(*)
此时x0＝－＝－，y0＝kx0＋m＝，所以P.
由得Q(4,4k＋m)．
假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上．
设M(x1,0)，则·＝0对满足(*)式的m、k恒成立．
因为＝，＝(4－x1,4k＋m)，由·＝0，
得－＋－4x1＋x＋＋3＝0，
整理，得(4x1－4)＋x－4x1＋3＝0.(**)
由于(**)式对满足(*)式的m，k恒成立，所以解得x1＝1.
故存在定点M(1,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M.
解法二：(1)同解法一．
(2)由得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.
因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0)，所以m≠0且Δ＝0，
即64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，化简得4k2－m2＋3＝0.(*)
此时x0＝－＝－，y0＝kx0＋m＝，所以P.
由得Q(4,4k＋m)．
假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上．
取k＝0，m＝，此时P(0，)，Q(4，)，以PQ为直径的圆为(x－2)2＋(y－)2＝4，交x轴于点M1(1,0)，M2(3,0)；取k＝－，m＝2，此时P，Q(4,0)，以PQ为直径的圆为2＋2＝，交x轴于点M3(1,0)，M4(4,0)．所以若符合条件的点M存在，则M的坐标必为(1,0)．
以下证明M(1,0)就是满足条件的点：
因为M的坐标为(1,0)，所以＝，＝(3,4k＋m)，
从而·＝－－3＋＋3＝0，
故恒有⊥，即存在定点M(1,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M.
2011年高考题
一、选择题
1.（四川理4）如图，正六边形ABCDEF中，=
A．0 B． C． D．
【答案】D
【解析】
2.（山东理12）设，，，是平面直角坐标系中两两不同的四点，若（λ∈R），（μ∈R），且,则称，调和分割，,已知平面上的点C，D调和分割点A，B则下面说法正确的是
A．C可能是线段AB的中点
B．D可能是线段AB的中点
C．C，D可能同时在线段AB上
D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上
【答案】D
3.（全国新课标理10）已知a，b均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题
其中真命题是
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
4.（全国大纲理12）设向量a，b，c满足==1，=，=，则的最大值等于
A．2 B． C． D．1
【答案】A
5.（辽宁理10）若，，均为单位向量，且，，则的最大值为
（A） （B）1 （C） （D）2
【答案】B
6.（湖北理8）已知向量a=（x+z,3）,b=（2,y-z），且a⊥ b．若x,y满足不等式，则z的取值范围为
A．[-2，2] B．[-2，3] C．[-3，2] D．[-3，3]
【答案】D
7.（广东理3）若向量ａ，ｂ，ｃ满足ａ∥ｂ且ａ⊥ｂ，则
A．4 B．3 C．2 D．0
【答案】D
8.（广东理5）已知在平面直角坐标系上的区域由不等式组给定。若为上的动点，点的坐标为，则的最大值为C
A． B． C．4 D．3
【答案】
9.（福建理8）已知O是坐标原点，点A（-1,1）若点M（x,y）为平面区域，上的一个动点，则·的取值范围是
A．[-1．0] B．[0．1] C．[0．2] D．[-1．2]
【答案】C
二、填空题
10.（重庆理12）已知单位向量，的夹角为60°，则__________
【答案】
11.（浙江理14）若平面向量α，β满足|α|=1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的
平行四边形的面积为，则α与β的夹角的取值范围是 。
【答案】
12.（天津理14）已知直角梯形中，//,,,是腰上的动点，则的最小值为____________.
【答案】5
13.（上海理11）在正三角形中，是上的点，，则 。
【答案】
14.（江苏10）已知是夹角为的两个单位向量，若，则k的值为 .
【答案】
15.（安徽理13）已知向量满足，且，，
则a与b的夹角为 .
【答案】
16.（北京理10）已知向量a=（，1），b=（0，-1），c=（k，）。若a-2b与c共线，则k=__________。
【答案】1
17.（湖南理14）在边长为1的正三角形ABC中, 设则__________________．
【答案】
18.（江西理11）已知,·=-2，则与的夹角为
【答案】
2010年高考题
一、选择题
1.（2010湖南文）6. 若非零向量a，b满足|，则a与b的夹角为
A. 300 B. 600 C. 1200 D. 1500
【答案】 C
2.（2010全国卷2理）（8）中，点在上，平方．若，，，，则
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【命题意图】本试题主要考查向量的基本运算，考查角平分线定理.
【解析】因为平分，由角平分线定理得，所以D为AB的三等分点，且，所以，故选B.
3.（2010辽宁文）（8）平面上三点不共线，设,则的面积等于
（A） （B）
（C） （D）
【答案】C
解析：
4.（2010辽宁理）(8)平面上O,A,B三点不共线，设，则△OAB的面积等于
(A) (B)
(C) (D)
【答案】C
【命题立意】本题考查了三角形面积的向量表示，考查了向量的内积以及同角三角函数的基本关系。
【解析】三角形的面积S=|a||b|sin，而
5.（2010全国卷2文）（10）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若= a , = b , = 1 ，= 2, 则=
（A）a + b （B）a +b （C）a +b （D）a +b
【答案】 B
【解析】B：本题考查了平面向量的基础知识
∵ CD为角平分线，∴ ，∵ ，∴ ，∴
6.（2010安徽文）(3)设向量,,则下列结论中正确的是
(A) (B)
(C) (D)与垂直
【答案】D
【解析】，，所以与垂直.
【规律总结】根据向量是坐标运算，直接代入求解，判断即可得出结论.
7.（2010重庆文）（3）若向量，，，则实数的值为
（A） （B）
（C）2 （D）6
【答案】 D
解析：，所以=6
8.（2010重庆理）(2) 已知向量a，b满足，则
A. 0 B. C. 4 D. 8
【答案】 B
解析：
9.（2010山东文）（12）定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的，，令，下面说法错误的是
(A)若a与b共线，则
(B)
(C)对任意的，有
(D)
【答案】B
10.（2010四川理）（5）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，则
（A）8 （B）4 （C） 2 （D）1
解析：由＝16，得|BC|＝4
＝4
而
故2
【答案】C
11.（2010天津文）（9）如图，在ΔABC中，，，，则=
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知识，属于难题。
【温馨提示】近几年天津卷中总可以看到平面向量的身影，且均属于中等题或难题，应加强平面向量的基本运算的训练，尤其是与三角形综合的问题。
12.（2010广东文）
13.（2010福建文）
14.（2010全国卷1文）（11）已知圆的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为
(A) (B) (C) (D)
【答案】D
【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力.
P
A
B
O
【解析1】如图所示：设PA=PB=,∠APO=,则∠APB=，PO=，，
===，令，则，即，由是实数，所以
，，解得或.故.此时.
【解析2】设，
换元：，
【解析3】建系：园的方程为，设，
15.（2010四川文）（6）设点是线段的中点，点在直线外，， ，则
（A）8 （B）4 （C）2 （D）1
【答案】C
解析：由＝16，得|BC|＝4
＝4
而
故2
16.（2010湖北文）8.已知和点M满足.若存在实使得成立，则=
A.2 B.3 C.4 D.5
17.（2010山东理）(12)定义平面向量之间的一种运算“”如下，对任意的，，令，下面说法错误的是（ ）
A.若与共线，则 B.
C.对任意的，有 D.
【答案】B
【解析】若与共线，则有，故A正确；因为，而
，所以有，故选项B错误，故选B。
【命题意图】本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力。
18.（2010湖南理）4、在中，=90°AC=4，则等于
A、-16 B、-8 C、8 D、16
19.(2010年安徽理)
20.（2010湖北理）5．已知和点M满足.若存在实数m使得成立，则m=
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
1.（2010上海文）13.在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，它的一个焦点坐标为，、分别是两条渐近线的方向向量。任取双曲线上的点，若（、），则、满足的一个等式是 4ab=1 。
解析：因为、是渐进线方向向量，所以双曲线渐近线方程为，又
双曲线方程为，=，
，化简得4ab=1
2.（2010浙江理）（16）已知平面向量满足，且与的夹角为120°，则的取值范围是__________________ .
解析：利用题设条件及其几何意义表示在三角形中，即可迎刃而解，本题主要考察了平面向量的四则运算及其几何意义，突出考察了对问题的转化能力和数形结合的能力，属中档题。
3.（2010陕西文）12.已知向量a＝（2，－1），b＝（－1，m），c＝（－1，2）若（a＋b）∥c，则
m＝ .
【答案】－1
解析：，所以m=-1
4.（2010江西理）13.已知向量，满足，， 与的夹角为60°，则
【答案】
【解析】考查向量的夹角和向量的模长公式，以及向量三角形法则、余弦定理等知识，如图，由余弦定理得：
5.（2010浙江文）
（17）在平行四边形ABCD中，O是AC与BD的交点，P、Q、M、N分别是线段OA、OB、OC、OD的中点，在APMC中任取一点记为E，在B、Q、N、D中任取一点记为F，设G为满足向量的点，则在上述的点G组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD外（不含边界）的概率为 。
答案：
6.（2010浙江文）（13）已知平面向量则的值是
答案 ：
7.（2010天津理）（15）如图，在中，,,
,则 .
【答案】D
【解析】本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知识，属于难题。
【解析】近几年天津卷中总可以看到平面向量的身影，且均属于中等题或难题，应加强平面向量的基本运算的训练，尤其是与三角形综合的问题。
8.（2010广东理）10.若向量=（1,1,x）, =(1,2,1), =(1,1,1),满足条件
=-2,则= .
【答案】2
，，解得．
三、解答题
1.（2010江苏卷）15、（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。
(1) 求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
(2) 设实数t满足()·=0，求t的值。
[解析]本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力。满分14分。
（1）（方法一）由题设知，则
所以
故所求的两条对角线的长分别为、。
（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则:
E为B、C的中点，E（0，1）
又E（0，1）为A、D的中点，所以D（1，4）
故所求的两条对角线的长分别为BC=、AD=；
（2）由题设知：=(－2,－1)，。
由()·=0，得：，
从而所以。
或者：，
2009年高考题
一、选择题
1.(2009年广东卷文)已知平面向量a= ，b=， 则向量 ( )
A平行于轴 B.平行于第一、三象限的角平分线
C.平行于轴 D.平行于第二、四象限的角平分线
答案 C
解析 ,由及向量的性质可知,C正确.
2.（2009广东卷理）一质点受到平面上的三个力（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知，成角，且，的大小分别为2和4，则的大小为( ) A. 6 B. 2 C. D.
答案 D
解析 ，所以，选D.
3.（2009浙江卷理）设向量，满足：，，．以，，的模为边长构成三角形，则它的边与半径为的圆的公共点个数最多为 ( ) w
A． B.4 C． D．
答案 C
解析 对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点,
对于圆的位置稍一右移或其他的变化,能实现4个交点的情况,但5个以上的交点不能
实现．
4.（2009浙江卷文）已知向量，．若向量满足，，则 （ ）
A． B． C． D．
答案 D
解析 不妨设，则，对于，则有；又，则有，则有
【命题意图】此题主要考查了平面向量的坐标运算，通过平面向量的平行和垂直关系的考查，很好地体现了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用．
5.（2009北京卷文）已知向量，如果
那么 ( )
A．且与同向 B．且与反向
C．且与同向 D．且与反向
答案 D
.w解析 本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算考查.
∵a，b，若，则cab，dab，
显然，a与b不平行，排除A、B.
若，则cab，dab，
即cd且c与d反向，排除C，故选D.
6.（2009北京卷文）设D是正及其内部的点构成的集合，点是的中心，若集合，则集合S表示的平面区域是 ( )
A． 三角形区域 B．四边形区域
C． 五边形区域 D．六边形区域
答案 D
解析 本题主要考查集合与平面几何基础知识.本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型.如图，A、B、C、D、E、F为各边三等分点，答案是集合S为六边形ABCDEF，其中， 即点P可以是点A.
7.（2009北京卷理）已知向量a、b不共线，cabR),dab,如果cd，那么 ( )
A．且c与d同向 B．且c与d反向
C．且c与d同向 D．且c与d反向
答案 D
解析 本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考
查.
取a，b，若，则cab，dab，
显然，a与b不平行，排除A、B.
若，则cab，dab，
即cd且c与d反向，排除C，故选D.
8.(2009山东卷理)设P是△ABC所在平面内的一点，，则（ ）
A. B. C. D.
答案 B
解析 :因为，所以点P为线段AC的中点，所以应该选B。
【命题立意】:本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则，可以借助图形解答.
9.（2009全国卷Ⅱ文）已知向量a = (2,1)， a·b = 10，︱a + b ︱= ，则︱b ︱=
A. B. C.5 D.25
答案 C
解析 本题考查平面向量数量积运算和性质，由知（a+b）2=a2+b2+2ab=50，
得|b|=5 选C.
10.（2009全国卷Ⅰ理）设、、是单位向量，且·＝0，则的最
小值为 ( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 是单位向量
.
11.(2009湖北卷理)已知是两个向量集合，则 ( )
A．｛〔1，1〕｝ B. ｛〔-1，1〕｝ C. ｛〔1，0〕｝ D. ｛〔0，1〕｝
答案 A
解析 因为代入选项可得故选A.
12.（2009全国卷Ⅱ理）已知向量，则 ( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 ,故选C.
13.（2009辽宁卷理）平面向量a与b的夹角为，， 则 ( )
A. B. C. 4 D.2
答案 B
解析 由已知|a|＝2,|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12
∴
14.（2009宁夏海南卷理）已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的 ( )
A.重心 外心 垂心 B.重心 外心 内心
C.外心 重心 垂心 D.外心 重心 内心
答案 C
（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）
解析
15.（2009湖北卷文）若向量a=（1，1），b=（-1,1），c=（4，2），则c= ( )
A.3a+b B. 3a-b C.-a+3b D. a+3b
答案 B
解析 由计算可得故选B
16.（2009湖南卷文）如图1， D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，则( )
A．
B．
C．
D．
答案 A
图1
解析 得.
或.
17.（2009辽宁卷文）平面向量a与b的夹角为，a＝(2,0), | b |＝1，则 | a＋2b |等于 （ ）
A. B.2 C.4 D.12
答案 B
解析 由已知|a|＝2,|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12
∴
18.（2009全国卷Ⅰ文）设非零向量、、满足，则( )
A．150° B.120° C.60° D.30°
答案 B
解析 本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想，基础题。
解 由向量加法的平行四边形法则，知、可构成菱形的两条相邻边，且、为起点处的对角线长等于菱形的边长，故选择B。
19.（2009陕西卷文）在中,M是BC的中点，AM=1,点P在AM上且满足学,则科网等于 ( )
A. B. C. D.
答案 A.
解析 由知, 为的重心,根据向量的加法, 则=
20.（2009宁夏海南卷文）已知，向量与垂直，则实数的值为 ( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 向量＝（－3－1，2），＝（－1,2），因为两个向量垂直，故有（－3－1，2）×（－1,2）＝0，即3＋1＋4＝0，解得：＝，故选.A.
21.(2009湖南卷理)对于非0向时a,b,“a//b”的正确是 （ ）
A．充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C．充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由，可得，即得，但，不一定有，所以“”是“的充分不必要条件。
22.（2009福建卷文）设，，为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足与不共线， ∣∣=∣∣,则∣ •∣的值一定等于 ( )
A．以，为邻边的平行四边形的面积
B. 以，为两边的三角形面积
C．，为两边的三角形面积
D. 以，为邻边的平行四边形的面积
答案 A
解析 假设与的夹角为，∣ •∣=︱︱·︱︱·∣cos<，>∣
=︱︱·︱︱•∣cos(90)∣=︱︱·︱︱•sin,即为以，为邻边的平
行四边形的面积.
23.（2009重庆卷理）已知，则向量与向量的夹角是（ ）
A． B． C． D．
答案 C
解析 因为由条件得
24.（2009重庆卷文）已知向量若与平行，则实数的值是 （ ）
A．-2 B．0 C．1 D．2
答案 D
解法1 因为，所以
由于与平行，得，解得。
解法2 因为与平行，则存在常数，使，即
，根据向量共线的条件知，向量与共线，故
25.(2009湖北卷理)函数的图象按向量平移到,的函数解析式为当为奇函数时，向量可以等于 ( )
答案 B
解析 直接用代入法检验比较简单.或者设，根据定义，根据y是奇函数，对应求出，
26.（2009湖北卷文）函数的图像F按向量a平移到F/，F/的解析式y=f(x),当y=f(x)为奇函数时，向量a可以等于 ( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 由平面向量平行规律可知，仅当时，
：=为奇函数，故选D.
A
B
C
P
26.（2009广东卷理）若平面向量，满足，平行于轴，，则 .
TWT答案 (-1,0)-(-2,-1)=(-3,1)
解析 或，则
或.
27.（2009江苏卷）已知向量和向量的夹角为，，则向量和向量的数量积= .
答案 3
解析 考查数量积的运算。
28.（2009安徽卷理）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.
如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.
若其中,则
的最大值是________.
答案 2
解析 设
，即
∴
29.（2009安徽卷文）在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，或=+，其中，R ，则+= _________.0.w.w.k.
答案 4/3
解析 设、则 , ,
代入条件得
30.（2009江西卷文）已知向量，， ，若 则= ．
答案
解析 因为所以.
31.（2009江西卷理）已知向量，，，若∥，则= ．
答案
解析
32.（2009湖南卷文）如图2，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若，
则 ， .
图2
答案
解析 作,设，
,
由解得故
33.（2009辽宁卷文）在平面直角坐标系xoy中，四边形ABCD的边AB∥DC,AD∥BC,已知点
A(－2，0)，B（6，8），C(8,6),则D点的坐标为___________.
答案 （0，－2）
解析 平行四边形ABCD中,
∴＝(－2,0)＋(8,6)－(6,8)＝(0,－2)
即D点坐标为(0,－2)
34.(2009年广东卷文)（已知向量与互相垂直，其中
（1）求和的值
（2）若，,求的值
解 （１）,,即
又∵, ∴,即,∴
又 ,
(2) ∵
, ,即
又 , ∴
35.（2009江苏卷）设向量
（1）若与垂直，求的值；
（2）求的最大值;
（3）若，求证：∥.
解析 本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得基本能力。满分14分。
36.（2009广东卷理）已知向量与互相垂直，其中．
（1）求和的值；
（2）若，求的值．
解 （1）∵与互相垂直，则，即，代入得，又，
∴.
（2）∵，，∴，
则，
37.（2009湖南卷文）已知向量
（1）若，求的值；
（2）若求的值。
解 （1） 因为，所以
于是，故
（2）由知，
所以
从而，即，
于是.又由知，，
所以，或.
因此，或
38.(2009湖南卷理) 在，已知，求角A，B，C的大小.
解 设
由得，所以
又因此
由得，于是
所以，，因此
，既
由A=知，所以，，从而
或，既或故
或。
39.（2009上海卷文） 已知ΔABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量，
， .
（1） 若//，求证：ΔABC为等腰三角形；
（2） 若⊥，边长c = 2，角C = ，求ΔABC的面积 .
证明：（1）
即，其中R是三角形ABC外接圆半径， 为等腰三角形
解（2）由题意可知
由余弦定理可知，
2007—2008年高考题
一、选择题
1.（2008全国I）在中，，．若点满足，则（ ）
A． B． C． D．
答案 A
2.（2008安徽）在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若，,则 （ ）
A． （－2，－4） B．（－3，－5） C．（3，5） D．（2，4）
答案 B
3.（2008湖北）设,,则 （ ）
A. B. C. D.
答案 C
4.（2008湖南）设D 、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且则与 ( )
A.反向平行 B.同向平行
C.互相垂直 D.既不平行也不垂直
答案 A
5.（2008广东）在平行四边形中，与交于点是线段的中点， 的延长线与交于点．若，，则 （ ）
A． B． C． D．
答案 B
6.（2008浙江）已知，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足,则的最大值是 ( )
A.1 B.2 C. D.
答案 C
7.（2007北京）已知是所在平面内一点,为边中点,且，那么 （ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案 Ａ
8.（2007海南、宁夏）已知平面向量，则向量（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案 Ｄ
9.（2007湖北）设，在上的投影为，在轴上的投影为2，且，则为 （ ）
A． B． C． D．
答案 Ｂ
10.（2007湖南）设是非零向量，若函数的图象是一条直线，则必有 （ ）
A． B． C． D．
答案 A
11.（2007天津）设两个向量和，其中为实数．若，则的取值范围是 （ ）
Ａ．[-6，1] Ｂ． Ｃ．（-6，1] Ｄ．[-1，6]
答案 Ａ
12.（2007山东）已知向量，若与垂直，则（ ）
A． B． C． D．4
答案 Ｃ
二、填空题
13.（2008陕西）关于平面向量．有下列三个命题：
①若，则．②若，，则．
③非零向量和满足，则与的夹角为．
其中真命题的序号为 ．（写出所有真命题的序号）
答案 ②
14.（2008上海）若向量，满足且与的夹角为，则 ．
答案
15.（2008全国II）设向量，若向量与向量共线，则
答案 2
16.（2008北京）已知向量与的夹角为，且，那么的值为
答案 0
17.（2008天津）已知平面向量，．若，则_____________．
答案
18.（2008江苏），的夹角为，， 则 ．
答案 7
19.（2007安徽）在四面体中，为的中点，为的中点，则 （用表示）．
答案
20.（2007北京）已知向量．若向量，则实数的值是
答案 -3
21.（2007广东）若向量、满足的夹角为120°，则＝ .
答案
三、解答题
22.（2007广东）已知△顶点的直角坐标分别为.
(1）若，求sin∠的值;
（2）若∠是钝角，求的取值范围.
解 (1) , 当c=5时，
进而
(2)若A为钝角，则AB﹒AC= -3(c-3)+( -4)2<0 解得c>
显然此时有AB和AC不共线，故当A为钝角时，c的取值范围为[，+)
第二部分 四年联考题汇编
2012-2013年联考题
1.【云南省昆明一中2013届高三新课程第一次摸底测试理】已知点，则点N的坐标为
A．（2，0） B．（-3，6） C．（6，2） D．（—2，0）
【答案】A
【解析】，设,则，所以，即，选A.
2.【云南省玉溪一中2013届高三第四次月考理】如右图,在△中, ,是上的一点,若,则实数的值为( )
A. B C. 1 D. 3
【答案】A
【解析】因为，所以设，
则
,又，所以有，即
，选A.
3.【云南省玉溪一中2013届高三第四次月考理】定义行列式运算=．将函数的图象向左平移个单位，以下是所得函数图象的一个对称中心是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由行列式的定义可知，函数的图象向左平移个单位，得到的函数为，所以有，所以是函数的一个零点，选B.
4.【天津市天津一中2013届高三上学期一月考 理】已知向量中任意两个都不共线,且与共线, 与共线,则向量
A.a B.b C.c D.0
【答案】D
【解析】因为与共线，所以有，又与共线,所以有，即且，因为中任意两个都不共线，则有，所以，即，选D.
5.【天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考理】已知=（-3，2），=（-1，0），向量+与-2垂直，则实数的值为
A. - B. C. - D.
【答案】A
【解析】，因为向量+与-2垂直，所以，即，解得，选A.
6.【山东省烟台市2013届高三上学期期中考试理】已知向量，其中，，且，则向量和的夹角是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意知设与的夹角为，则故选A，.
7.【山东省烟台市2013届高三上学期期中考试理】在中，是边中点，角，，的对边分别是，，，若，则的形状为
A. 等边三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.等腰三角形但不是等边三角形.
【答案】A
【解析】如图，由知，而与为不共线向量，，故选A.
8.【山东省泰安市2013届高三上学期期中考试数学理】已知、均为单位向量，它们的夹角为，那么等于
A. B. C. D.4
【答案】C
【解析】因为，所以，所以，选C.
9.【山东省泰安市2013届高三上学期期中考试数学理】如图，已知正六边形P1P2P3P4P5P6下列向量的数量积中最大的是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设正六边形的边长为1，则,,,,所以数量积最大的选A.
10.【山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试理】已知向量
A．—3 B．—2 C．l D．－l
【答案】A
【解析】因为垂直，所以有，即，所以，解得，选A.
11.【山东省师大附中2013届高三12月第三次模拟检测理】非零向量使得成立的一个充分非必要条件是（ ）
A . B. C. D.
【答案】B
【解析】要使成立，则有共线且方向相反，所以当时，满足，满足条件，所以选B.
12.【山东省济南外国语学校2013届高三上学期期中考试 理科】已知向量a=（2,1），b=（-1，k），a·（2a-b）=0，则k=（ ）
A. -12 B. -6 C. 6 D. 12
【答案】D
【解析】因为，即，所以，即，选D.
13.【山东省聊城市东阿一中2013届高三上学期期初考试 】已知向量，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，解得可知5，选C
14.【山东省临沂市2013届高三上学期期中考试理】设向量
A． B． C． D．10
【答案】B
【解析】因为所以，解得，又所以，所以，所以，所以，选B.
15.【山东省临沂市2013届高三上学期期中考试理】在△ABC中，AB=4，∠ABC=30°，D是边上的一点，且则的值等于
A．—4 B．0 C．4 D．8
【答案】C
【解析】由得,即，所以,所以，选C.
16.【山东省青岛市2013届高三上学期期中考试理】已知非零向量、，满足，则函数是
A. 既是奇函数又是偶函数 B. 非奇非偶函数
C. 偶函数 D. 奇函数
【答案】C
【解析】因为，所以，所以，所以为偶函数，选C.
17.【山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试理】已知点O为△ABC内一点，且则△AOB、△AOC、△BOC的面积之比等于
A．9：4：1 B．1：4：9 C．3：2：1 D．1：2：3
【答案】C
【解析】,
延长到，使,延长到，使，连结,取的中点，则所以三点共线且为三角形的重心，
则，在△AOB’中，B为OB‘边中点，所以,在△AOC’中，C为OC‘边近O端三等分点，所以。在△B'OC'中，连BC'，B为OB‘边中点，所以，在△BOC'中，C为OC‘边近O端三等分点，所以
，因为，所以△AOB： △AOC： △BOC面积之比为，选C.
18.【山东省青岛市2013届高三上学期期中考试理】已知是所在平面内一点，为边中点，且，则
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为为边中点，所以由得，即,所以，选B.
19.【 山东省滨州市滨城区一中2013届高三11月质检数学理】已知向量，，则是的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】B
【解析】因为向量中有可能为零向量，所以时，推不出。若，所以，所以是的必要不充分条件.
20.【 山东省滨州市滨城区一中2013届高三11月质检数学理】己知平面向量满足，与的夹角为60°,则“”是 “”的
(A)充分不必要条件 （B)必要不充分条件
(C)充要条件 （D)既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由得，，即，所以，所以，即“”是 “”的充要条件，选C.
21.【 山东省滨州市滨城区一中2013届高三11月质检数学理】向量，=（x,
y）若与-的夹角等于，则的最大值为( )
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【解析】由题意可知不共线 且，则有，即，即，则判别式，即，所以，即，所以的最大值为4，选C.
22.【北京市东城区普通校2013届高三12月联考数学（理）】已知向量．若为实数，，则的值为 ．
【答案】
【解析】，因为，所以，解得。
23.【山东省师大附中2013届高三12月第三次模拟检测理】下列命题中，正确的是
①平面向量与的夹角为，，，则
②已知，其中θ∈，则
③是所在平面上一定点，动点P满足：，
，则直线一定通过的内心
【答案】①②③
【解析】①中，，所以，所以，所以，正确。②中，，即
，因为，所以，所以，即，正确。③中，根据正弦定理可知，所以，即，即，即与的角平分线共线，所以直线一定通过的内心，正确，所以正确的命题为①②③。
24.【山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测 （理）】已知点P是△ABC的中位线EF上任意一点，且EF//BC，实数x，y满足的面积分别为S，S1，S2，S3，记，则取最大值时，2x+y的值为________.
【答案】
【解析】由题意知，，当且仅当时取等号，此时点P在EF的中点，所以，由向量加法的四边形法则可得，，，所以，即，又，所以，所以。
25.【天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考理】 若向量，满足||=1，||=2且与的夹角为，则|+|=________。
【答案】
【解析】，所以，所以。
26.【天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考理】 已知=1， =，
·=0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设=m+n（m，n∈Ｒ），则=________。
【答案】3
【解析】因为,所以，以为边作一个矩形，对角线为.因为∠AOC=30°，所以,所以,所以,即。又,所以，所以如图
。
27.【 山东省滨州市滨城区一中2013届高三11月质检数学理】（本题满分12分）在边长为1的等边三角形ABC中，设,
(1)用向量作为基底表示向量
（2）求
【答案】（1）== ————————————4分
（2）=()=+———6分
=+——————————9分
=+=-———————————12分
28.【云南省玉溪一中2013届高三第三次月考 理】（本小题满分12分）已知定点和定直线上的两个动点、，满足，动点满足（其中
为坐标原点）.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)过点的直线与（1）中轨迹相交于两个不同的点、，若，求直线的斜率的取值范围.
【答案】解：（1）设、均不为0）
由………………………………2分
由即………………………………4分
由得
∴动点P的轨迹C的方程为……………………6分
（2）设直线l的方程
联立得
………………………………8分
且
…………………………10分
………………………………12分
2011-2012年联考题
1．(2012·黄冈模拟)已知向量a＝(，1)，b＝(0，－2)．若实数k与向量c满足a＋2b＝kc，则c可以是
A．(，－1) B．(－1，－)
C．(－，－1) D．(－1，)
解析 a＋2b＝(，1)＋2(0，－2)＝(，－3)，
∵a＋2b＝kc，
∴k＝－时，c＝(－1，)．
答案 D
2．(2012·滁州模拟)已知平面上三点A、B、C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值等于
A．25 B．24
C．－25 D．－24
解析 由勾股定理知△ABC是直角三角形，cos A＝，cos C＝，
则·＋·＋·
＝0＋4×5×＋3×5×＝－25.
答案 C
3．(2012·南昌模拟)若△ABC的面积S△ABC∈，且·＝3，则与夹角的取值范围是
A. B.
C. D.
解析 设与的夹角为θ，则·＝||||cos θ＝3，
∴|AB|||＝，
∴S△ABC＝||||sin(π－θ)
＝tanθ∈，
∴tan θ∈.
又θ∈[0，π]，∴θ∈.
答案 D
4．(2012·大连模拟)已知向量a＝(sin θ，cos θ)，b＝(3,4)，若a⊥b，则tan 2θ等于
A. B.
C．－ D．－
解析 a·b＝3sin θ＋4cos θ＝0，∴tan θ＝－，
∴tan 2θ＝＝.
答案 A
5．(2012·福州模拟)在△ABC所在平面内有一点O，满足2＋＋＝0，||＝||＝||＝1，则·等于
A. B.
C．3 D.
解析 如图所示，∵2＋＋＝0，
∴2＝－(＋)，
∴O是BC的中点．
又∵||＝||＝||＝1，||＝1，
∴∠AOB＝60°，∠AOC＝120°，∠OCA＝30°，
由余弦定理得AC＝，
∴·＝||·||·cos ∠OCA
＝×2×＝3.
答案 C
6．(2012·房山一模)如图，边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上移动，则·的最大值是
A．2 B．1＋
C．π D．4
解析 设∠BAx＝θ，则∠OAD＝∠CDy＝－θ，∠ADO＝θ，
∴A点的坐标为(sin θ，0)，D点的坐标为(0，cos θ)，
由此可知B(sin θ＋cos θ，sin θ)，C(cos θ，cos θ＋sin θ)，
∴·＝cos θ(sin θ＋cos θ)＋sin θ(cos θ＋sin θ)
＝sin 2θ＋1，
∴当θ＝时，·的最大值为2.
答案 A
7．(2012·台州模拟)设向量a＝(cos θ，1)，b＝(1，3cos θ)，且a∥b，则cos 2θ＝________.
解析 ∵a∥b，∴cos2θ＝，
∴cos 2θ＝2cos2θ－1＝－.
答案 －
8．(2012·南京师大附中模拟)在△ABC中，＝2，＝m＋n，则
＝________.
解析 ＝＋＝＋
＝＋(－)＝＋，
∴m＝，n＝，∴＝.
答案
9．(2012·安徽六校联考)给出下列命题，其中正确的命题是________(写出所有正确命题的编号)．
①非零向量a、b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为30°；
②已知非零向量a、b，则“a·b＞0”是“a、b的夹角为锐角”的充要条件；
③命题“在三棱锥O－ABC中，已知＝x＋y－2，若点P在△ABC所在的平面内，则x＋y＝3”的否命题为真命题；
④若(＋)·(－)＝0，则△ABC为等腰三角形．
解析 ①如图所示，＝a，＝b，
则＝b－a，
∵|a|＝|b|＝|a－b|，
∴平行四边形ABCD为菱形，且△ABD是等边三角形，且∠BAC＝30°，
∴＝a＋b，则a与a＋b的夹角为30°，故①正确；
②当a、b的夹角为0°时，a·b＞0，故②错；
③原命题的逆命题为“若x＋y＝3，则点P在△ABC所在的平面内”．
∵x＋y＝3，∴y＝3－x，
∴＝x＋(3－x)－2＝x＋3－x－2，
即－＝x(－)＋2(－)，
∴＝x－2，
根据平面向量基本定理知P在△ABC所在的平面内，故③正确；
④(＋)·(－)＝||2－||2＝0，
∴||＝||，
则△ABC为等腰三角形．
答案 ①③④
10．(2012·西城一模)在△ABC中，已知sin(A＋B)＝sin B＋sin(A－B)．
(1)求角A；
(2)若||＝7，·＝20，求|＋|.
解析 (1)原式可化为sin B＝sin(A＋B)－sin(A－B)＝2cos Asin B，
因为B∈(0，π)，所以sin B＞0，所以cos A＝，
因为A∈(0，π)，所以A＝.
(2)由余弦定理，得||2＝||2＋||2－2||||·cos A，
因为||＝7，·＝||||·cos A＝20，
所以||2＋||2＝89，
因为|＋|2＝||2＋||2＋2·＝129，
所以|＋|＝.
11．已知平面向量|a|＝2，|b|＝1，且(a＋b)⊥，求a与b的夹角．
解析 因为(a＋b)⊥，所以a2－b2－a·b＝0.
又因为|a|＝2，|b|＝1，所以a2＝4，b2＝1，
所以4－－a·b＝0，所以a·b＝1.
又a·b＝|a|·|b|cos 〈a，b〉＝1，
所以cos 〈a，b〉＝.
又a与b的夹角范围为[0，π]，所以a与b的夹角为.
12．已知向量a＝，b＝.
(1)当a∥b，求cos2x－sin 2x的值；
(2)设函数f(x)＝2(a＋b)·b，已知在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a＝，b＝2，sin B＝，求f(x)＋4cos的取值范围．
解析 (1)∵a∥b，
∴cos x＋sin x＝0，∴tan x＝－，
∴cos2x－sin 2x＝＝＝.
(2)f(x)＝2(a＋b)·b＝sin＋，
由正弦定理，得＝，
可得sin A＝，∴A＝.
f(x)＋4cos＝sin－，
∵x∈，∴2x＋∈.
∴－1≤f(x)＋4cos≤－.
2011年联考题
题组一
一、选择题
1．（宁夏银川一中2011届高三第五次月考试题全解全析理）
，则A、B、C三点共线的充要条件为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由于向量由公共起点，因此三点共线只要共线即可，根据向量共线的条件即存在实数使得，然后根据平面向量基本定理得到两个方程，消掉即得结论。
【解析】只要要共线即可，根据向量共线的条件即存在实数使得，即，由于不共线，根据平面向量基本定理得且，消掉得。
【考点】平面向量。
【点评】向量的共线定理和平面向量基本定理是平面向量中的两个带有根本意义的定理，平面向量基本定理是平面内任意一个向量都可以用两个不共线的向量唯一地线性表示，这个定理的一个极为重要的导出结果是，如果不共线，那么的充要条件是且。
2．（浙江省金丽衢十二校2011届高三第一次联考文）
平面向量的夹角为 （ ）
A．3 B． C．7 D．
答案 B.
3. （山东省日照市2011届高三第一次调研考试文）设平面向量，若，则实数的值为
(A) (B) (C) (D)
答案 B.
4.（山东省莱阳市2011届高三上学期期末数学模拟6理）已知，则与（ ）
A、垂直 B、不垂直也不平行 C、平行且同向 D、平行且反向
答案 A.
5．（吉林省东北师大附中2011届高三上学期第三次模底考试理）
已知向量的值是 （ ）
A． B． C． D．1
答案 D.
6．（湖南省嘉禾一中2011届高三上学期1月高考押题卷）在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点．若，，则 （ ）
A． B．
C． D．
答案 B.
7．（湖北省涟源一中、双峰一中2011届高三第五次月考理）已知和点M满足．若存在实使得
成立，则= （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 B.
C
A
B
N
P
．（湖北省八校2011届高三第一次联考理）如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（ ）
答案 C.
9．（黑龙江省佳木斯大学附属中学2011届高三上学期期末考试理）已知向量=(－2,1)，=(－3，0)，则在方向上的投影为 ( )
A．－2 B． C．2 D．－
答案 C.
10．（黑龙江省哈九中2011届高三期末考试试题理）
已知，则与
夹角的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
答案 C.
11．（河南省鹿邑县五校2011届高三12月联考理）若两个非零向量，满足
，则向量与的夹角是（ ）
A． B． C． D．
答案 C.
12. （河南省焦作市部分学校2011届高三上学期期终调研测试理）如图，向量等于
A．
B．
C．
D．
答案 D.
13．（广东省高州市南塘中学2011届高三上学期16周抽考理）
已知向量，若与垂直，则等于（ ）
A． B．0 C．1 D．2
答案 C.
14.（广东六校2011届高三12月联考文） 已知平面向量，且，则
A． B. C. D.
答案 C.
15．（北京四中2011届高三上学期开学测试理科试题）已知为非零的平面向量，甲：
，乙：，则甲是乙的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
答案 B.
16.（北京五中2011届高三上学期期中考试试题理） 设非零向量满足
，则与的夹角为（ ）
30° 60° 90° 120°
答案 D.
17．（福建省安溪梧桐中学2011届高三第三次阶段考试理）
已知向量∥，则等于（ ）
A．3 B．－3
C． D．－
答案 D.
18.（福建省惠安荷山中学2011届高三第三次月考理科试卷）
已知，则A、B、C 三点共线的充要条件为 ( )
A． B C． D．
答案 B.
19.（福建省四地六校2011届高三上学期第三次联考试题理）
已知向量的夹角为（ ）
A．0° B．45° C．90° D．180°
答案 C.
20．（福建省厦门双十中学2011届高三12月月考题理）
设向量的（ ）
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A.
21.（福建省厦门外国语学校2011届高三11月月考理）
已知，则A、B、C三点共线的充要条件为
A． B C． D．
答案 C.
二、填空题
22．（宁夏银川一中2011届高三第五次月考试题全解全析理）已知和的夹角为，，则 ．
【答案】
【分析】根据向量模的含义，讲已知代入即可。
【解析】，故。
【考点】平面向量。
【点评】本题考查平面向量数量积的计算和平面向量模的概念，其中主要的考查点是，这个关系揭示了平面向量的数量积和模的关系。本题也可以根据向量减法的几何意义，通过余弦定理解决，实际上我们在【解析】中的计算式就是余弦定理的计算式。
23. （山东省莱阳市2011届高三上学期期末数学模拟6理）已知平面向量，，与垂直，则_______.
答案 -1
24．（黑龙江省佳木斯大学附属中学2011届高三上学期期末考试理）若向量与满足：， 则与所夹的角为__________
答案
25．（河南省鹿邑县五校2011届高三12月联考理）如图：向量
（第4题）
答案
26．（广东省肇庆市2011届高三上学期期末考试理）若平面向量与向量
的夹角是180°，
且，则__▲__.
答案（-3，6）；
27．（北京龙门育才学校2011届高三上学期第三次月考）
若两个非零向量满足，则向量与的夹角是 。
答案
28．（北京五中2011届高三上学期期中考试试题理）与垂直的单位向量为______________
答案 ,
29.（福建省三明一中2011届高三上学期第三次月考理）已知非零向量、，满足⊥，且+2与-2的夹角为1200，则等于
答案
30. （福建省四地六校2011届高三上学期第三次联考试题理）
已知为钝角，则λ的取值范围是 .
答案 且
31．（福建省厦门外国语学校2011届高三11月月考理）
若向量e1与e2满足：|e1|=2|e2|=2，（e1+2e2)2=4，则e1与e2所夹的角为▲▲．
答案
三、简单题
32．（河南省鹿邑县五校2011届高三12月联考理）
（12分）已知向量。函数的图像过点，且相邻两对称轴之间的距离为2。
（1）求的表达式；
（2）求的值。
答案
33. （广东省肇庆市2011届高三上学期期末考试理）（本小题满分12分）
已知向量，，且.
（1）求tanA的值；
（2）求函数的值域.
答案 （本小题满分12分）
解：（1）由题意得， （2分）
因为，所以. （4分）
（2）由（1）知得
. （6分）
因为，所以. （7分）
当时,有最大值； （9分）
当时，有最小值-3； （11分）
故所求函数的值域是. （12分）
题组二
一，选择题
1. （浙江省温州十校联合体2011届高三文）若向量，，，
则实数的值为（ ）
A B C 2 D 6
答案 D.
2．（浙江省桐乡一中2011届高三理）已知，是不共线的向量，，，，那么A、B、C三点共线的充要条件为
（A） （B）
（C） （D）
答案 D.
3．(浙江省桐乡一中2011届高三学理)在空间中，有如下命题：
①互相平行的两条直线在同一平面内的射影必然是互相平行的两条直线；
②若平面内任意一条直线m∥平面，则平面∥平面；
③若平面与平面的交线为m，平面内的直线n⊥直线m，则直线n⊥平面；
④若点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P在该三角形所在平面内的射影是该三角形的外心.
其中正确命题的个数为
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
答案 B.
4．广东省广州东莞五校2011届高三理）已知向量，，若，则
A． B．
C．1 D．3
答案 D.
5．（浙江省桐乡一中2011届高三理）已知M是△ABC内的一点，且，，若，和△MAB的面积分别为，则的最小值是
（A）9 （B）18 （C）16 （D）20
答案 B.
6．(福建省福州八中2011届高三文)已知向量，则实数m的值为
A．3 B．－3 C．2 D．－2
答案 C.
7. （浙江省吴兴高级中学2011届高三文）若向量，，且，那么( )
A.0 B. C. 4 D.4或
答案 C.
8. (河北省唐山一中2011届高三理）.在中，点P是AB上一点，且
Q是BC中点，AQ与CP交点为M，又，则的值为（ ）
A. B. C. D.
答案 C.
9. （河北省唐山一中2011届高三文）已知正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，则·等于 （ ）
A.-6 B.6 C.7 D.-8
答案 B.
10．（福建省四地六校联考2011届高三理)设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，，,则 （ ）
A.8 B.4 C.2 D.1
答案 C.
11．（福建省四地六校联考2011届高三文)设向量与是两个不共线向量，且向量+与－（－2）共线，则=（ ）
A．0 B．－1
C．－2 D．－0.5
答案 D.
12． (广西桂林十八中2011届高三第四次月考试卷文)
在中，，若，则
A. B. C. D.
答案 C.
13．（广东省河源市龙川一中2011届高三第一次月考文）已知M（2，-4），N（3，-3），把向量向左平移1个单位后，在向下平移1个单位，所得向量的坐标为（ ）
A （1，1） B （0，0） C （-1，-1） D （2，2）
答案 A.
二、填空题
14.（2011湖南嘉禾一中）设向量若直线沿向量平移，所得直线过双曲线的右焦点，
（i）=
（ii）双曲线的离 心率e= ．
答案 （i）（3分） （ii）（2分）
15．（成都市玉林中学2010—2011学年度）函数的图象F按向量平移到G，则图象G的函数解析式为 。
答案 ．
解：
开始
S＝0
i＝3
i＝i＋1
S＝S＋i
i＞10
输出S
结束
是
否
16. (广东省河源市龙川一中2011届高三理）
已知向量、的夹角为120°，且，则的值 为 ．
答案 10.
17．（成都市玉林中学2010—2011学年度）已知向量与的夹角为，则=_______．
答案 4
三 解答题
18．（江苏泰兴2011届高三理）已知E，F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC和CD的中点，求：
（1）A1D与EF所成角的大小；
（2）A1F与平面B1EB所成角；
（3）二面角C-D1B1-B的大小．
答案 18．（1）因为所以
可知向量与的夹角为
因此与EF所成角的大小为
（2）在正方体中，因为平面,所以是平面的法向量 因为
所以 ，由，所以可得向量之间的夹角约为
（3）因为平面，所以是平面的法向量，因为
所以，所以可得两向量的夹角为
根据二面角夹角相等或互补可知，二面角约为
19. 山西省四校2011届高三文）
(满分12分)已知点，O为坐标原点。
（Ⅰ）若,求的值；
（Ⅱ）若实数满足,求的最大值。
答案
2010年联考题
题组二（5月份更新）
1.（池州市七校元旦调研）设、、是单位向量，且·＝0，则的最小值为 ( )
（A） （B） （C） (D)
答案 D
解: 是单位向量
故选D.
2.（肥城市第二次联考）设、、为平面，、为直线，则的一个充分条件是（ ）.
A．，， B．，，
C．，， D．，，
答案 D
解析： A选项缺少条件；B选项当，时，；C选项当
、、两两垂直（看着你现在所在房间的天花板上的墙角），时，；
D选项同时垂直于同一条直线的两个平面平行．本选项为真命题. 故选（D）．
3. （马鞍山学业水平测试）已知向量与向量平行,则x,y的值分别是
A. 6和-10 B. –6和10 C. –6和-10 D. 6和10
答案 A
4．（肥城市第二次联考）（肥城市第二次联考）自圆x2+y2－2x－4y+4=0外一点P（0，4）向圆引两条切线，切点分别为A、B，则
等于( )
(A) (B) (C) (D)
答案 A
解析：设、的夹角为，则切线长，结合圆的对称性，，，所以=。
5. （马鞍山学业水平测试）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若,，， 则下列向量中与相等的向量是
A． B． C． D．
答案 D
6.（祥云一中月考理）若向量、满足的夹角等于 （ ）
A．45° B．60° C．120° D．135°
答案：D
7. （哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）已知
，，，则向量在向量方向上
的投影是（ ）
A． B． C． D．
答案A
8. （三明市三校联考）若是夹角为的单位向量，且,，则 （ ）
A.1 B. C. D.
答案C
9．（昆明一中二次月考理）已知向量，若∥，则的值为 （ ）
A． B． C． D．
答案：D
10.（昆明一中三次月考理）已知向量，实数m，n满足，则的最大值为
A．2 B．3 C．4 D．16
答案：D
11．（安庆市四校元旦联考）已知圆和直线交于A,B两点,O是坐标原点, 若,则 .
答案
12. （祥云一中三次月考理）若向量，满足且与的夹角为，则答案：
13. （祥云一中三次月考理）若向量，满足且与的夹角为，则
=
答案：
14．（本小题满分12分）设向量，过定点，以方向向量的直线与经过点，以向量为方向向量的直线相交于点P，其中
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）设过的直线与C交于两个不同点M、N，求的取值范围
题组一（1月份更新）
一、选择题
1、（2009杭州二中第六次月考）已知为线段上一点，为直线外一点，满足，，，为上一点，且
，则的值为 （ ）
A．
B． 2
C．
D． 0
答案 C
2、（2009滨州一模）已知直线交于A、B两点，且，其中O为原点，则实数的值为
A．2 B．－2 C．2或－2 D．或
答案 C
4（2009玉溪一中期末）已知向量满足，， 若为的中点，并且，则点在（ ）
A．以（）为圆心，半径为1的圆上
B．以（
）为圆心，半径为1的圆上
C．以（）为圆心，半径为1的圆上
D．以（）为圆心，半径为1的圆上
答案D
提示：由于是中点，中，，，
所以，所以
4、（2009东莞一模）已知
，则A、B、C三点共线的充要条件为
A． B C． D．
答案 C
5、（2009日照一模）已知向量=（2，2），，则向量的模的最大值是
A．3 B C． D．18
答案 B
6、（2009上海八校联考）已知，，若为满足的整数，则是直角三角形的整数的个数为（ ）
（A）2个 （B）3个 （C）4个 （D）7个
答案 C
7、（2009桐庐中学下学期第一次月考）已知且关于的函数在上有极值，则 与的夹角范围是 （ ）
A． B． C． D．
答案 C
8、（2009聊城一模）
在的面积等于 （ ）
A． B． C． D．
答案A
9、（2009番禺一模）设是双曲线上一点，点关于直线的对称点为，点为坐标原点，则（ ）.
A． B． C． D．
答案 B
10、（2009聊城一模）已知在平面直角坐标系
满足条件 则的最大值为 （ ）
A．－1 B．0 C．3 D．4
答案D
11、（2009广州一模）已知平面内不共线的四点0，A，B，C满足，则
A.1：3 B.3：1 C. 1：2 D. 2：1
答案 D
12、（2009茂名一模）已知向量则实数k等于（ ）
A、 B、3 C、-7 D、-2
13、（2009韶关一模理）若=a，=b， 则∠AOB平分线上的向量为
A. B.()，由确定
C. D.
答案 B
14、（2009韶关一模文）已知，若，则实数的值是
A. -17 B. C. D.
答案 B
15、（2009玉溪一中期中）7.已知，且，则锐角的值为 （ ）
答案B
16、（2009玉溪一中期中）已知，点在延长线上，且，则点分所成的比是 （ ）
答案 C
17、（2009玉溪一中期中）设,,,点是线段上的一个动点,,若,则实数的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
答案B
二、填空题
1、（2009上海普陀区）设、是平面内一组基向量，且、，则向量可以表示为另一组基向量、的线性组合，即
.
答案 ；
2、（2009上海十校联考）已知平面上直线的方向向量，点和在上的射影分别是和，则________________
答案4
3、（2009上海卢湾区4月模考）在平面直角坐标系中，若为坐标原点，则、、三点在同一直线上的充要条件为存在惟一的实数，使得成立，此时称实数为“向量关于和的终点共线分解系数”．若已知、，且向量是直线的法向量，则“向量关于和的终点共线分解系数”为 ．
答案 －1
4、（2009上海九校联考）若向量，则向量的夹角等于
答案
5、（2009闵行三中模拟）已知，，与的夹角为，要使与垂直，则= 。
答案 2
三、解答题
1、（2009滨州一模）已知向量，
其中＞0，且，又的图像两相邻对称轴间距为.
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ) 求函数在[－]上的单调减区间.
(Ⅰ) 由题意
由题意，函数周期为3，又＞0，；
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知
又x，的减区间是.
2、（2009南华一中12月月考）已知A、B、C的坐标分别为A（4，0），B（0，4），
（1）若的值；
（2）若的值.
解： ，
（1）由，……………………… 2分
即
……………………… 5分
（2）由，得
解得 两边平方得……… 7分
………… 10分
3、（2009临沂一模）已知向量m＝（，1），n＝(，)。
（1）若m•n=1,求的值;
（2）记f(x)=m•n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a,b,c，且满足
（2a-c）cosB=bcosC，求函数f(A)的取值范围。
解：（I）m•n=
=
=
∵m•n=1
∴┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分
=
┉┉┉┉┉┉┉6分
（II）∵（2a-c）cosB=bcosC
由正弦定理得┉┉┉┉┉┉7分
∴
∴
∵
∴，且
∴┉┉┉┉┉┉8分
∴┉┉┉┉┉┉9分
∴┉┉┉┉┉┉10分
又∵f(x)=m•n＝，
∴f(A)= ┉┉┉┉┉┉11分
故函数f(A)的取值范围是（1,）┉┉┉┉┉┉12分
2009年联考题
一、选择题
1.(山东省乐陵一中2009届高三考前回扣45分钟练习三)已知平面向量等于 （ ）
A．9 B．1 C．－1 D．－9
答案 B
2.（2009昆明市期末）在△ABC中，
( )
A． B
C． D．1
答案 B
3.（2009玉溪市民族中学第四次月考）已知向量反向，则m= （ ）
A．－1 B．－2 C．0 D．1
答案A
4.（2009上海闸北区）已知向量和的夹角为，，且，则 ( )
A． B． C． D．
答案 C
5．(湖北省八校2009届高三第二次联考文)已知、是不共线的，则、、 三点共线的充要条件是：（）
A． B． C． D．
答案 D
6.（辽宁省沈阳二中2008—2009学年上学期高三期中考试）已知向量夹角的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
答案 C
二、填空题
7. (山东省乐陵一中2009届高三考前回扣45分钟练习三)已知，且，则与的夹角为 ．
答案
8.（2009云南师大附中）设向量_________
答案
9.（2009冠龙高级中学3月月考）若向量与的夹角为，，则 _________.
答案
10.（2009上海九校联考）若向量，则向量的夹角等于
答案
11.(天门市2009届高三三月联考数学试题文)给出下列命题
① 非零向量、满足||=||=|-|，则与+的夹角为30°；
② ·＞0是、的夹角为锐角的充要条件；
③ 将函数y=|x-1|的图象按向量=（-1，0）平移，得到的图像对应的函数为y=|x|；
④若（）·（）=0，则△ABC为等腰三角形
以上命题正确的是 。（注：把你认为正确的命题的序号都填上）
答案 ①③④
12.（2009扬州大学附中3月月考）在直角坐标系中，分别是与轴，轴平行的单位向量，若直角三角形中，，，则实数
m= ．
答案 －2或0
13.（2009丹阳高级中学一模）已知平面上的向量、满足,，设向量，则的最小值是
答案 2
三、解答题
14.(山东省乐陵一中2009届高三考前回扣45分钟练习三)已知向量m＝（，1），
n＝(，)。
（1）若m•n=1,求的值;
（2）记f(x)=m•n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a,b,c，且满足
（2a-c）cosB=bcosC，求函数f(A)的取值范围。
解 （I）m•n=
=
=
∵m•n=1
∴
=
（II）∵（2a-c）cosB=bcosC
由正弦定理得
∴
∴
∵
∴，且
∴
∴
∴
又∵f(x)=m•n＝，
∴f(A)=
故函数f(A)的取值范围是（1,）
15.（2009牟定一中期中）已知：，（）.
(Ⅰ) 求关于的表达式，并求的最小正周期；
(Ⅱ) 若时，的最小值为5，求的值.
解 (Ⅰ) ……2分
.
的最小正周期是.
(Ⅱ) ∵，∴.
∴当即时，函数取得最小值是.
∵，∴.
16.（2009玉溪一中期末）设函数
（Ⅰ）若，求x；
（Ⅱ）若函数平移后得到函数的图像，求实数m,n的值。
解 （1）
又
（2）平移后
为而
17.（2008年东北三省三校高三第一次联合模拟考试）已知向量
（1）当时，求的值；
（2）求在上的值域．
解（1） ，∴，∴
（5分）
（2）
∵，∴，∴
∴ ∴函数 （10分）
18.(青岛市2009年高三教学统一质量检测)已知向量
，设函数.
(Ⅰ)求函数的最大值；
(Ⅱ)在锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，， 且的面积为，,求的值.
解 (Ⅰ)
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得，
因为，所以，
，又
19.(黄山市2009届高中毕业班第一次质量检测)已知△ABC的面积S满足
（1）求的取值范围；
（2）求函数的最大值
解 （1）由题意知.
，
（2）
图4
.
20.(2009广东江门模拟）如图4，已知点和
单位圆上半部分上的动点．
⑴若，求向量；
⑵求的最大值．
解 依题意，，（不含1个或2个端点也对）
， （写出1个即可）---------3分
因为，所以 ---------4分，即-
解得，所以.
⑵，
------11分 ------12分
当时，取得最大值，.
21.（山东省滨州市2009年模拟）已知、、分别为的三边、、所对的角，向量，，且.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，，成等差数列，且，求边的长.
解 （Ⅰ）
在中，由于，
又，
又，所以，而，因此.
（Ⅱ）由，
由正弦定理得
，
即，由（Ⅰ）知，所以
由余弦弦定理得 ，
，
22.（山东临沂2009年模拟）如图，已知△ABC中，|AC|=1,∠ABC=,∠BAC=θ,记。
（1） 求关于θ的表达式;
（2） 求的值域。
解：（1）由正弦定理，得
（2）由，得
∴，即的值域为.
23.（山东日照2009年模拟）已知中，角的对边分别为，且满足。
（I）求角的大小；
（Ⅱ）设，求的最小值。
解 （I）由于弦定理，
有
代入得。
即.
（Ⅱ），
由，得。
所以，当时，取得最小值为0，
24.（2009年宁波市高三“十校”联考）已知向量且，函数
（I）求函数的最小正周期及单调递增区间；
