【数学】2019届一轮复习北师大版集合学案（理）

【数学】2019届一轮复习北师大版集合学案（理）

第一章 集合与常用逻辑用语 专题1 集合（理 ）‎ ‎【三年高考精选】‎ ‎1. 【2018年理新课标I卷】已知集合，则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】解不等式得，所以，‎ 所以可以求得，故选B. ‎ ‎2. 【2018年全国卷Ⅲ理】已知集合，，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由集合A得,所以，故答案选C.‎ ‎3.【2018年理数全国卷II】已知集合，则中元素的个数为 A. 9 B. 8 C. 5 D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】，当时，；当时，；‎ 当时，；所以共有9个，选A.‎ ‎4.【2017课标1，理1】已知集合A={x|x<1}，B={x|}，则 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由可得，则，即，所以 ‎，，故选A.‎ ‎5.【2017课标II，理】设集合，。若，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】由得，即是方程的根，所以，，故选C．‎ ‎6．【2017课标3，理1】已知集合A=，B=，则AB中元素的个数为 A．3 B．2 C．1 D．0‎ ‎【答案】B ‎7．【2016高考新课标1理数】设集合 ,,则 （ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为所以故选D.‎ ‎8．【2016高考新课标2理数】已知集合，，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】集合，而，所以，故选C.‎ ‎9．【2016高考新课标3理数】设集合，则ST=‎ A. [2,3] B. （−,2] [3,+ ）C. [3,+ ） D. （0,2] [3,+ ）‎ ‎【答案】D ‎【三年高考刨析】‎ 试题 ‎ 考查考点 数学素养 解题关键 ‎2018全国理 1‎ 二次不等式，补集 数学运算，‎ 数学抽象 准确掌握一元二次不等式解法和补集定义 ‎2018全国理 2‎ 集合的概念 数学运算，‎ 集合元素个数的求法 ‎2018全国理 3‎ 交集 数学运算，‎ 交集运算 ‎2017全国理 1‎ 指数不等式，交、并集]‎ 数学运算，‎ 指数不等式的解法，交、并集运算 ‎2017全国理 2‎ 一元二次方程的解，交集 数学运算，‎ 数学抽象 准确掌握交集的含义，一元二次方程的解 ‎2017全国理 3‎ 直线与圆的位置关系，交集 数学运算，‎ 直观想象 准确掌握直线与圆的交点求法。‎ ‎2016全国理 1‎ 二次、一次不等式，交集 数学运算，‎ 数学抽象 准确掌握一元二次不等式，一元一次不等式解法和交集的运算 ‎2016全国理 2‎ 二次不等式，并集 数学运算，‎ 准确掌握一元二次不等式解法和并集的运算 ‎2016全国理 3‎ 二次不等式，交集 数学运算，‎ 准确掌握一元二次不等式解法和交集的运算 命题 规律 总结 纵观前三年各地高考试题,集合仍是每年高考考试的重点, 主要以考查集合的概念和集合的运算为主，主要考查两个集合的交集、并集、补集运算，偶尔考查集合中元素个数；从考查形式上看，题型一般是选择题,占5分,常联系不等式的解集与不等关系，试题难度较低，一般出现在前三道题中，常考查数形结合、分类讨论等数学思想方法,而集合的运算是高考考试的重点，且集合在历年的高考中考查的形式与内容几乎没有变化. ‎ ‎【2019年高考命题预测】‎ 预测2019年高考仍是考查集合的运算为主，可能与不等式(一元二次不等式,指数不等式,对数不等式)或方程结合，考查集合的交,并与补集，有可能考察集合的元素(如子集个数，与集合的元素个数)问题等．‎ ‎【2019年一轮复习指引】‎ 由前三年的高考命题形式,在2019年的高考备考中同学们只需要稳扎稳打,加强常规题型的练习,关于集合2019高考备考主要有以下几点建议: ‎ ‎1.涉及本单元知识点的高考题,综合性大题不多.所以在复习中不宜做过多过高的要求,只要灵活掌握小型综合题型(如集合与映射,集合与自然数集,集合与不等式,集合与方程等) ；学= ‎ ‎2.重视“数形结合”渗透.“数缺形时少直观,形缺数时难入微”.当你所研究的问题较为抽象时,当你的思维陷入困境时,当你对杂乱无章的条件感到头绪混乱时,一个很好的建议便是：画个图,如集合中的韦恩图，数轴，利用图形的直观性,可迅速地破解问题,乃至最终解决问；‎ ‎3.强化“分类思想”应用.注意空集的特殊性,在解题中,若未能指明集合非空时,要考虑到空集的可能性,如AB,则有A=或A≠两种可能,此时应分类讨论.‎ ‎【2019年高考考点定位】‎ 高考对集合的考查有两种主要形式：一是直接考查集合的概念；二是以集合为工具考查集合语言和集合思想的运用.从涉及的知识上讲,常与函数、方程、不等式等知识相联系,小题目综合化是这部分内容的一种趋势.‎ 考点1 集合的概念 典例1 【2018江西重点中学二联】设集合， ， ，则中的元素个数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 分析：由题意列表计算所有可能的值，然后结合集合元素的互异性确定集合M，最后确定其元素的个数即可.‎ ‎【备考知识梳理】‎ ‎1．集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个总体，这个总体就叫集合，其中每一个对象叫元素. ‎ ‎2．集合中元素的三个特性： 确定性、互异性、无序性． ‎ ‎3．集合中元素与集合的关系：元素与集合之间的关系有属于和不属于两种,表示符号为 “”或“”．‎ ‎4．集合的表示常见的有四种方法．‎ ‎（1）自然语言描述法，（2）列举法，（3）描述法，（4）Venn图法.‎ ‎5．常见的特殊集合：（1）非负整数集（即自然数集）N（包括零）（2）正整数集N 或 (3)整数集 (包括负整数、零和正整数) （4）有理数集 (5)实数集R ‎ ‎6．集合的分类： ①按元素个数分：有限集,无限集；‎ ‎②按元素特征分；数集,点集. ]‎ ③空集 ：不含任何元素的集合 ‎【规律方法技巧】‎ ‎1.集合运算的互异性应用规律:凡是出现含参数的集合,必须首先考虑集合的互异性,即集合中元素不相等,例如集合,则有.‎ ‎2.理清两类关系,不要混淆：(1)元素与集合的关系,用或表示 (2)集合与集合的关系,用,,=表示 ‎3.注意集合中元素的本质: 集合中的元素是数,而中的元素是抛物线上点的坐标.‎ ‎【考点针对训练】‎ ‎1. 表示集合中所有元素的和，且，若能被3整除，则符合条件的非空集合的个数是（ ）‎ A. 10 B. 11 C. 12 D. 13‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为,所以非空集合可以是: ,故选B.‎ ‎2. 【江西省六校2018届第五次联考】已知集合， ，则集合中元素的个数为( )‎ A. B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎【答案】D ‎【考点2】集合间的关系 典例2 【安徽省江南十校2018届二模】设集合，，则下列关系正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由指数函数与对数函数的性质求出集合A、B，再验证各选择支结论是否成立.‎ 详解：由题意，，∴，只有C正确.‎ 故选C.‎ 点睛：集合问题中首要任务是确定集合的元素，对描述法表示的集合，其代表元的形式是什么很重要，这个代表元是实数，还是有序实数对（点）？是实数时，表示函数的定义域还是函数的值域？只有确定了代表元的意义，才能确定正确的求解方法，确定出集合.本题还考查的集合间的关系，掌握补集运算与包含关系是解题关键.‎ ‎【备考知识梳理】‎ 描述关系 文字语言 符号语言 集合间的基本关系 相等 ] ]‎ 集合与集合中的所有元素都相同 ‎ ]‎ 子集 中任意一元素均为中的元素 真子集 中任意一元素均为中的元素,且中至少有一个元素中没有 空集 空集是任何集合的子集 空集是任何非空集合的真子集 ‎ ‎ ‎【规律方法技巧】‎ ‎1.注意子集与相等之间的关系:且.‎ ‎2. 判断两集合的关系常用两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．‎ ‎3.注意空集的特殊性:空集是不含任何元素的集合,空集是任何集合的子集.在解题时,若未明确说明集合非空时,要考虑到集合为空集的可能性.例如：,则需考虑和两种可能的情况.‎ ‎4．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常运用数轴、Venn图帮助分析．‎ ‎5.子集个数的运算方法:若集合有个元素,则集合的子集有个,真子集有个,非空真子集有个.‎ ‎【考点针对训练】‎ ‎1. 【河南省洛阳市2018届三模】设集合，，则的子集个数为（ ）‎ A. 4 B. 8 C. 16 D. 32‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：求出集合A,B，得到，可求的子集个数 详解：， 的子集个数为 故选C.‎ ‎2. 【湖北省华中师大附中2018届5月押题】设集合，，则下列结论正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：先根据解分式不等式得集合N，再根据数轴判断集合M,N之间包含关系，以及根据交集定义求交集.‎ 详解：因为，所以,因此，，选B.‎ ‎【考点3】集合运算 典例3 【浙江省杭州市2018届高三仿真考】已知全集，集合,，则Cu（A∩B）=（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B 点睛：该题考查的是有关集合的运算的问题，注意把握交集和补集的概念，即可求得结果，属于基础题目.‎ ‎【备考知识梳理】‎ 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号表示 A∪B A∩B 若全集为U,则集合A的补集为∁UA 文字语言 一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合叫做A、B的交集． 记作A∩B(读作”A交B”)．‎ 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A、B的并集.记作：A∪B(读作”A并B”)．‎ 设是一个集合，A是的一个子集，由中所有不属于A的元素组成的集合，叫做中子集A的补集. ‎ 图形表示 意义 ‎{x|x∈A,或x∈B}‎ ‎{x|x∈A,且x∈B}‎ 性质 ‎， ， .‎ ‎，，．‎ ‎，，．‎ 注:全集：如果集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集.通常用U来表示．‎ 重要结论:, , , ．‎ ‎【规律方法技巧】‎ ‎1. 集合的基本运算包括集合间的交、并、补集运算，解决此类运算问题一般应注意以下几点：一是看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决运算问题的前提．二是对集合化简．有些集合是可以化简的，如果先化简再研究其关系并进行运算，可使问题变得简单明了，易于解决．三是注意数形结合思想的应用．集合运算常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．‎ ‎2.子集关系与交并补运算的关系:①,②.‎ ‎3.熟记交并补的运算法则:如A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C),CU(A∩B)=(CUA)∪(CUB),‎ CU(A∪B)=(CUA)∩(CUB)等.‎ ‎【考点针对训练】‎ ‎1. 【安徽省安庆市2018届热身考试】已知全集，集合，‎ ‎，则下图中阴影部分所表示的集合为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：求出函数的值域可得集合，解不等式可得集合，然后可求出．‎ 详解：由题意得，．‎ ‎∴．图中阴影部分所表示的集合为，∴．故选B．‎ ‎2. 【湖北省2018届5月冲刺】设集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C 考点4集合中的创新问题 典例4 【上海市杨浦区2018届二模】设A、B是非空集合，定义： 且.‎ 已知， ，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】求出集合中的函数的定义域得到：，即，可化为或 ‎，解得，即，，， ，则，故选 ‎【备考知识梳理】‎ ‎【规律方法】与集合有关的新概念问题属于信息迁移类问题，它是化归思想的具体运用，集合的新定义问题的解决方法是：‎ ①遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质.‎ ②按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. ‎ ③对于选择题，可以结合选项通过验证，用排除、对比、特值等方法求解.‎ ‎【考点针对训练】‎ ‎1.设是两个集合，定义集合为的“差集”，已知， ，那么等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎2.已知集合，若对于任意，存在，使得成立，则称集合是“理想集合”.给出下列4个集合：①；②；③；④.其中所有“理想集合”的序号是（ ）‎ A.①③ B.②③ C.②④ D.③④‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意得,设,又可知,对于①项，是以轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角为，所以当点，在同一支上时，,当点，不在同一支上时，，不存在，故①不正确；②项，通过对图象的分析发现，对于任意的点都能找到对应的点,使得成立，故正确；③项由图象可得，直角始终存在，故正确；④‎ 项，由图象可知，点在曲线上不存在另外一个点，使得成立，故错误；综合②③正确，所以选B.‎ ‎【应试技巧点拨】‎ ‎1.分析集合关系时，弄清集合由哪些元素组成，这就需要我们把抽象的问题具体化、形象化，也就是善于对集合的三种语言(文字、符号、图形)进行相互转化，同时还要善于将多个参数表示的符号描述法的集合化到最简形式．此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，还应注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时．因此分类讨论思想是必须的．判断两集合的关系常用两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．‎ ‎2.求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴，进而用集合语言表示，增强运用数形结合思想方法的意识．要善于运用数形结合、分类讨论、化归与转化等数学思想方法来解决集合的问题．要注意若，则，，这五个关系式的等价性．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常运用数轴、Venn图帮助分析．‎ ‎1. 【河南省南阳市一中2018届第十八次考试】已知集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：把中的元素代入，求出的值，确定集合，再根据集合中交集的运算，即可得到答案.‎ 详解：由集合，所以，故选C.‎ ‎2. 【湖北省华中师范大学附中2018届5月押题】设集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据题目中使函数有意义的的值求得集合，再利用函数的值域求得集合 ‎，再求它们的交集即可．‎ 详解：∵集合，∴集合，∵集合 ‎∴集合，∴，故选B.‎ ‎3. 【江西师大附中2018届三模】已知集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：先化简集合M和N,再求.‎ 详解：由题得 所以.由题得所以.故答案为：A ‎4. 【广东省东莞市2018年考前冲刺】设集合，，若，则（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. ‎ ‎【答案】B ‎5．【河北省衡水中学2018年押题(三）】已知集合，则为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由二次不等式的解法和对数函数的单调性，分别求解集合，即可利用集合的交集运算得到答案．‎ 详解：由题意，集合，因为，则，所以， 所以，故选D．‎ ‎6．【湖北省华中师范大学附中2018届5月押题】设集合，集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析:先化简集合P和Q,再求和.‎ 详解：由题得,，所以={x|x＜-2}，所以= ，故答案为：D ‎7．【河北省衡水中学2018年高考押题(一）】已知集合，，则（ ） ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：首先根据分式不等式的解法以及指数不等式，化简集合A,B，之后根据交集的定义写出.‎ 详解：集合 ，，则，故选B.‎ ‎8．【河南省郑州外国语学校2018届第十五次调研】设集合，，则的真子集的个数为（ ）‎ A. 3 B. 4 C. 7 D. 8‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：利用一元二次不等式的解法化简集合，利用对数不等式的解法化简集合，根据交集的定义可得结果.‎ 详解： ,‎ ‎ ,,其真子集个数为，故选C.‎ ‎9．【【衡水经卷】2018届四省名校高三第三次大联考】设集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：先由不等式求出的范围，写成集合即为N，再得出集合M，N之间的关系，最后得到正确的选项。‎ 详解：由有，即，所以，根据全称命题的特点和子集的定义，‎ 得出正确选项为B.‎ ‎10．【安徽省（皖江八校）2018届高三第八次联考】已知集合,若,则实数的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎11. 【福建省厦门第一中学2017届高三高考考前模拟】已知集合， ，若，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】 ,选C.‎ ‎12. 【河南省息县第一高级中学2017届高三第七次适应性考试】已知集合， ，则（ ）‎ A. B. C. D. 或 ‎【答案】C ‎【解析】依题，由集合 ，‎ ‎ 或 ，故选C.‎ ‎13. 【河北省2017届衡水中学押题卷】设集合， ，则集合=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可得： ，则集合=.‎ 本题选择B选项.‎ ‎14. 【山西省实验中学2017届高三下学期模拟热身】设，集合， ，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意有： .所以，当， ，所以，此时，满足题意，.当， . 此时，不满足题意.故选B.‎ ‎15. 【安徽省巢湖市柘皋中学2017届高三最后一次模拟】已知集合， ，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 ， ，故选B.‎ ‎【一年原创真预测】‎ ‎1. 设集合，，则 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎ ‎【解析】由题意，得，,，故选C．‎ ‎【入选理由】本题考查对数函数的值域，分数不等式的解法，集合的补集与交集运算等基础知识，意在考查学生的基本运算能力．是一道比较综合的集合题,比较典型，且近几年高考题都是与不等式有关，故押此题.‎ ‎2. 设集合，若全集，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由集合，即，又因为，所以，故选B.‎ ‎【入选理由】本题主要考查了集合的运算，其中正确求解集合，得到集合，再根据集合的补集运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.‎ ‎3. 已知集合, ，则=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【入选理由】本题主要考查了对数不等式和一元二次不等式的解法，注意本题中一元二次不等式的系数为负数，所求解集为非负整数解．此题难度不大，故选此题. ‎ ‎4. 已知全集，集合，集合，则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【入选理由】本题主要考查集合的表示方法，集合的交并补运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.是一道比较综合的集合题,是高考比较青睐的一种类型，故押此题.‎ ‎5. 已知集合，，则（　　　）‎ A．　　B．　　C．　　D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】，，则，故选C．‎ ‎【入选理由】本题考查集合的运算、不等式的解法、二次函数的值域，意在考查运算求解能力．是一道比较综合的集合题,比较典型,故押此题.‎