人教A版数学必修二2-1-1平面

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第二章 点、直线、平面之间的位置关系 本章教材分析 本章将在前一章整体观察、认识空间几何体的基础上，以长方体为载体，使学生在直观感知的基础上， 认识空间中点、直线、平面之间的位置关系；通过大量图形的观察、实验和说理，使学生进一步了解平行、 垂直关系的基本性质以及判定方法，学会准确地使用数学语言表述几何对象的位置关系，初步体验公理化 思想，培养逻辑思维能力，并用来解决一些简单的推理论证及应用问题. 本章主要内容：2.1 点、直线、平面之间的位置关系，2.2 直线、平面平行的判定及其性质，2.3 直线、 平面垂直的判定及其性质.2.1 节的核心是空间中直线和平面间的位置关系.从知识结构上看，在平面基本性 质的基础上，由易到难顺序研究直线和直线、直线和平面、平面和平面的位置关系.本章在培养学生的辩证 唯物主义观点、公理化的思想、空间想象力和思维能力方面，都具有重要的作用.2.2 和 2.3 节内容的编写 是以“平行”和“垂直”的判定及其性质为主线展开，依次讨论直线和平面平行、平面和平面平行的判定和性 质；直线和平面垂直、平面和平面垂直的判定和性质. “平行”和“垂直”在定义和描述直线和直线、直线和平面、平面和平面的位置关系中起着重要作用.在本 章它集中体现在：空间中平行关系之间的转化、空间中垂直关系之间的转化以及空间中垂直与平行关系之 间的转化. 本章教学时间约需 12 课时，具体分配如下（仅供参考）： 2.1.1 平面 约 1 课时 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 约 1 课时 2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系 约 1 课时 2.1.4 平面与平面之间的位置关系 约 1 课时 2.2.1 直线与平面平行的判定 约 1 课时 2.2.3 直线与平面平行的性质 约 1 课时 2.2.2 2.2.4 平面与平面平行的判定平面与平面平行的性质 约 1 课时 2.3.1 直线与平面垂直的判定 约 1 课时 2.3.2 平面与平面垂直的判定 约 1 课时 2.3.3 直线与平面垂直的性质 约 1 课时 2.3.4 平面与平面垂直的性质 约 1 课时 本章复习 约 1 课时 §2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 §2.1.1 平面 一、教材分析 平面是最基本的几何概念,教科书以课桌面、黑板面、海平面等为例,对它只是加以描述而不定义.立体 几何中的平面又不同于上面的例子,是上面例子的抽象和概括,它的特征是无限延展性.为了更准确地理解平 面,教材重点介绍了平面的基本性质,即教科书中的三个公理,这也是本节的重点.另外,本节还应充分展现三 种数学语言的转换与翻译,特别注意图形语言与符号语言的转换. 二、教学目标 1．知识与技能 （1）利用生活中的实物对平面进行描述； （2）掌握平面的表示法及水平放置的直观图 （3）掌握平面的基本性质及作用； （4）培养学生的空间想象能力. 2．过程与方法 （1）通过师生的共同讨论，使学生对平面有了感性认识； （2）让学生归纳整理本节所学知识. 3．情感、态度与价值观 使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣. 三、重点难点 三种数学语言的转换与翻译,利用三个公理证明共点、共线、共面问题. 四、课时安排 1 课时 五、教学过程 （一）导入新课 思路 1.(情境导入) 大家都看过电视剧《西游记》吧，如来佛对孙悟空说：“你一个跟头虽有十万八千里，但不会跑出我 的手掌心”.结果孙悟空真没有跑出如来佛的手掌心，孙悟空可以看作是一个点，他的运动成为一条直线， 大家说如来佛的手掌像什么？对，像一个平面，今天我们开始认识数学中的平面. 思路 2.(事例导入) 观察长方体（图 1），你能发现长方体的顶点、棱所在的直线，以及侧面、底面之间的关系吗？ 图 1 长方体由上、下、前、后、左、右六个面围成.有些面是平行的，有些面是相交的；有些棱所在的直线 与面平行，有些棱所在的直线与面相交；每条棱所在的直线都可以看成是某个面内的直线等等.空间中的点、 直线、平面之间有哪些位置关系呢？本节我们将讨论这个问题. （二）推进新课、新知探究、提出问题 ①怎样理解平面这一最基本的几何概念; ②平面的画法与表示方法; ③如何描述点与直线、平面的位置关系？ ④直线与平面有一个公共点，直线是否在平面内？直线与平面至少有几个公共点才能判断直线在平面 内？ ⑤根据自己的生活经验，几个点能确定一个平面？ ⑥如果两个不重合的平面有一个公共点，它们的位置关系如何？请画图表示; ⑦描述点、直线、平面的位置关系常用几种语言？ ⑧自己总结三个公理的有关内容. 活动：让学生先思考或讨论，然后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答 不准确的学生提示引导考虑问题的思路.对有困难的学生可提示如下： ①回忆我们学过的最基本的概念（原始概念），如点、直线、集合等. ②我们的桌面看起来像什么图形？表示平面和表示点、直线一样，通常用英文字母或希腊字母表示. ③点在直线上和点在直线外；点在平面内和点在平面外. ④确定一条直线需要几个点？ ⑤引导学生观察教室的门由几个点确定. ⑥两个平面不可能仅有一个公共点，因为平面有无限延展性. ⑦文字语言、图形语言、符号语言. ⑧平面的基本性质小结. 讨论结果：①平面与我们学过的点、直线、集合等概念一样都是最基本的概念（不加定义的原始概念）， 只能通过对它描述加以理解，可以用它定义其他概念，不能用其他概念来定义它，因为它是不加定义的. 平面的基本特征是无限延展性，很像如来佛的手掌(吴承恩的立体几何一定不错). ②我们的桌面看起来像平行四边形，因此平面通常画成平行四边形，有些时候我们也可以用圆或三角 形等图形来表示平面，如图 2.平行四边形的锐角通常画成 45°，且横边长等于其邻边长的 2 倍.如果一个 平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把它遮挡的部分用虚线画出来，如图 3. 图 2 图 3 平面的表示法有如下几种：（1）在一个希腊字母α、β、γ的前面加“平面”二字，如平面α、平面β、平面 γ等，且字母通常写在平行四边形的一个锐角内(图 4)；（2）用平行四边形的四个字母表示，如平面 ABCD （图 5）；（3）用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示，如平面 AC（图 5）. 图 4 图 5 ③下面我们总结点与直线、平面的位置关系如下表： 点 A 在直线 a 上（或直线 a 经过点 A） A∈a 元素与 集合间 的关系 点 A 在直线 a 外（或直线 a 不经过点 A） Aa 点 A 在平面α内（或平面α经过点 A） A∈α 点 A 在平面α外（或平面α不经过点 A） Aα ④直线上有一个点在平面内，直线没有全部落在平面内(图 7)，直线上有两个点在平面内，则直线全 部落在平面内.例如用直尺紧贴着玻璃黑板，则直尺落在平面内. 公理 1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 这是用文字语言描述，我们也可以用符号语言和图形语言（图 6）描述. 空间图形的基本元素是点、直线、平面.从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平 面看成是点的集合，因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外，还可借用集合中的符号语言来表示. 规定直线用两个大写的英文字母或一个小写的英文字母表示，点用一个大写的英文字母表示，而平面则用 一个小写的希腊字母表示.公理 1 也可以用符号语言表示： 若 A∈a,B∈a,且 A∈α,B∈α,则 a  α. 图 6 图 7 请同学们用符号语言和图形语言描述直线与平面相交. 若 A∈a,B∈a,且 Aα,B∈α,则 a  α.如图（图 7）. ⑤在生活中，我们常常可以看到这样的现象：三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等. 上述事实和类似的经验可以归纳为下面的公理. 公理 2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面. 如图（图 8）. 图 8 公理 2 刻画了平面特有的性质，它是确定一个平面位置的依据之一. ⑥我们用平行四边形来表示平面，那么平面是不是只有平行四边形这么个范围呢？ 不是，因为平面是无限延展的.直线是可以落在平面内的，因为直线是无限延伸的，如果平面是有限的， 那么无限延伸的直线又怎么能在有限的平面内呢？所以平面具有无限延展的特征. 现在我们根据平面的无限延展性来观察一个现象（课件演示给学生看）. 问：两个平面会不会只有一个公共点？不会，因为平面是无限延展的，应当有很多公共点.正因为平面 是无限延展的，所以有一个公共点，必有无数个公共点.那么这无数个公共点在什么位置呢？可见，这无数 个公共点在一条直线上. 这说明，如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.此时，就说两平 面相交，交线就是公共点的集合，这就是公理 3.如图（图 9），用符号语言表示为：P∈α,且 P∈β α∩β=l, 且 P∈l. 图 9 公理 3 告诉我们，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么这两个平面一定相交，且其交线一定过 这个公共点.也就是说，如果两个平面有一个公共点，那么它们必定还有另外一个公共点，只要找出这两个 平面的两个公共点，就找出了它们的交线. 由此看出公理 3 不仅给出了两个平面相交的依据，还告诉我们所有交点在同一条直线上，并给出了找 这条交线的方法. ⑦描述点、直线、平面的位置关系常用 3 种语言:文字语言、图形语言、符号语言. ⑧“平面的基本性质”小结： 名称 作用 公理 1 判定直线在平面内的依据 公理 2 确定一个平面的依据 公理 3 两平面相交的依据 （三）应用示例 思路 1 例 1 如图 10，用符号语言表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系. 图 10 活动：学生自己思考或讨论，再写出（最好用实物投影仪展示写的正确的答案）.教师在学生中巡视， 发现问题及时纠正，并及时评价. 解：在（1）中，α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B. 在（2）中，α∩β=l,a  α,b  β,a∩l=P,b∩l=P. 变式训练 1.画图表示下列由集合符号给出的关系： (1)A∈α,Bα,A∈l,B∈l; (2)a  α,b  β,a∥c,b∩c=P,α∩β=c. 解：如图 11. 图 11 2.根据下列条件，画出图形. （1）平面α∩平面β=l，直线 AB  α，AB∥l，E∈AB，直线 EF∩β=F，Fl; （2）平面α∩平面β=a，△ABC 的三个顶点满足条件:A∈a，B∈α，Ba，C∈β，Ca. 答案：如图 12. 图 12 点评：图形语言与符号语言的转换是本节的重点，主要有两种题型： (1)根据图形，先判断点、直线、平面的位置关系，然后用符号表示出来. (2)根据符号，想象出点、直线、平面的位置关系，然后用图形表示出来. 例 2 已知直线 a 和直线 b 相交于点 A.求证：过直线 a 和直线 b 有且只有一个平面. 图 13 证明：如图 13,点 A 是直线 a 和直线 b 的交点,在 a 上取一点 B，b 上取一点 C， 根据公理 2 经过不在同一直线上的三点 A、B、C 有一个平面α， 因为 A、B 在平面α内，根据公理 1，直线 a 在平面α内, 同理直线 b 在平面α内，即平面α是经过直线 a 和直线 b 的平面. 又因为 A、B 在 a 上，A、C 在 b 上，所以经过直线 a 和直线 b 的平面一定经过点 A、B、C. 于是根据公理 2，经过不共线的三点 A、B、C 的平面有且只有一个， 所以经过直线 a 和直线 b 的平面有且只有一个. 变式训练 求证：两两相交且不共点的四条直线在同一平面内. 证明：如图 14，直线 a、b、c、d 两两相交，交点分别为 A、B、C、D、E、F, 图 14 ∵直线 a∩直线 b=A,∴直线 a 和直线 b 确定平面设为α，即 a,b α. ∵B、C∈a，E、F∈b,∴B、C、E、F∈α. 而 B、F∈c，C、E∈d,∴c、d  α, 即 a、b、c、d 在同一平面内. 点评：在今后的学习中经常遇到证明点和直线共面问题，除公理 2 外，确定平面的依据还有： (1) 直线与直线外一点.(2)两条相交直线.(3)两条平行直线. (2) 思路 2 例 1 如图 15，已知α∩β=EF,A∈α,C、B∈β,BC 与 EF 相交，在图中分别画出平面 ABC 与α、β的交线. 图 15 活动：让学生先思考或讨论，然后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对作图 不准确的学生提示引导考虑问题的思路. 解：如图 16 所示，连接 CB， ∵C∈β, B∈β,∴直线 CB  β. 图 16 ∵直线 CB  平面 ABC，∴β∩平面 ABC=直线 CB. 设直线 CB 与直线 EF 交于 D, ∵α∩β=EF,∴D∈α,D∈平面 ABC. ∵A∈α,A∈平面 ABC， ∴α∩平面 ABC=直线 AD. 变式训练 1.如图 17，AD∩平面α=B,AE∩平面α=C，请画出直线 DE 与平面α的交点 P，并指出点 P 与直线 BC 的位置 关系. 图 17 解：AD 和 AC 是相交直线，它们确定一个平面 ABC， 它与平面α的交线为直线 BC，DE  平面 ABC， ∴DE 与α的交点 P 在直线 BC 上. 2.如图 18，正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 8 cm，M、N、P 分别是 AB、A1D1、BB1 的中点， 图 18 (1)画出过 M、N、P 三点的平面与平面 A1B1C1D1 的交线，以及与平面 BB1C1C 的交线. (2)设过 M、N、P 三点的平面与 B1C1 交于点 Q，求 PQ 的长. 解：(1)设 M、N、P 三点确定的平面为α，则α与平面 AA1B1B 的交线为直线 MP，设 MP∩A1B1=R，则 RN 是α与平面 A1B1C1D1 的交线，设 RN∩B1C1=Q，连接 PQ，则 PQ 是所要画的平面α与平面 BB1C1C 的交 线.如图 18. (2)正方体棱长为 8 cm，B1R=BM=4 cm，又 A1N=4 cm，B1Q= 3 1 A1N, ∴B1Q= 3 1 ×4= 3 4 （cm）.在△PB1Q 中，B1P=4 cm，B1Q= 3 4 cm， ∴PQ= 103 42 1 2 1  QBPB cm. 点评：公理 3 给出了两个平面相交的依据，我们经常利用公理 3 找两平面的交点和交线. 例 2 已知△ABC 三边所在直线分别与平面α交于 P、Q、R 三点，求证：P、Q、R 三点共线. 解：如图 19,∵A、B、C 是不在同一直线上的三点, 图 19 ∴过 A、B、C 有一个平面β. 又∵AB∩α=P，且 AB  β, ∴点 P 既在β内又在α内.设α∩β=l,则 P∈l, 同理可证：Q∈l,R∈l, ∴P、Q、R 三点共线. 变式训练 三个平面两两相交于三条直线，若这三条直线不平行，求证：这三条直线交于一点. 已知平面α、β、γ两两相交于三条直线 l1、l2、l3，且 l1、l2、l3 不平行. 求证： l1、l2、l3 相交于一点. 证明：如图 20，α∩β=l1，β∩γ=l2，α∩γ=l3， 图 20 ∵l1  β，l2  β，且 l1、l2 不平行, ∴l1 与 l2 必相交.设 l1∩l2=P， 则 P∈l1  α,P∈l2  γ, ∴P∈α∩γ=l3. ∴l1、l2、l3 相交于一点 P. 点评：共点、共线问题是本节的重点，在高考中也经常考查，其理论依据是公理 3. （四）知能训练 画一个正方体 ABCD—A′B′C′D′，再画出平面 ACD′与平面 BDC′的交线，并且说明理由. 解：如图 21, 图 21 ∵F∈CD′，∴F∈平面 ACD′. ∵E∈AC，∴E∈平面 ACD′. ∵E∈BD，∴E∈平面 BDC′. ∵F∈DC′，∴F∈平面 DC′B. ∴EF 为所求. （五）拓展提升 O1 是正方体 ABCD—A1B1C1D1 的上底面的中心，过 D1、B1、A 作一个截面，求证：此截面与对角线 A1C 的交点 P 一定在 AO1 上. 解：如图 22,连接 A1C1、AC， 图 22 因 AA1∥CC1，则 AA1 与 CC1 可确定一个平面 AC1， 易知截面 AD1B1 与平面 AC1 有公共点 A、O1， 所以截面 AD1B1 与平面 AC1 的交线为 AO1. 又 P∈A1C，得 P∈平面 AC1，而 P∈截面 AB1D1， 故 P 在两平面的交线上，即 P∈AO1. 点评：证明共点、共线问题关键是利用两平面的交点必在交线上. （六）课堂小结 1.平面是一个不加定义的原始概念，其基本特征是无限延展性. 2.通过三个公理介绍了平面的基本性质，及作用. 名称 作用 公理 1 判定直线在平面内的依据 公理 2 确定一个平面的依据 公理 3 两平面相交的依据 3.利用三个公理证明共面、共线、共点问题. （七）作业 课本习题 2.1 A 组 5、6.