宁夏中卫市2020届高三下学期高考第三次模拟考试数学（文）试题 Word版含解析

宁夏中卫市2020届高三下学期高考第三次模拟考试数学（文）试题 Word版含解析

‎2020年中卫市高考第三次模拟考试 文科数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅱ卷第22、23题为选考题，其他题为必考题.考生做答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.‎ 注意事项:‎ ‎1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上.‎ ‎2、选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整、笔迹清楚.‎ ‎3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.‎ ‎4、保持卡面清洁，不折叠，不破损.‎ ‎5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.‎ 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的答案涂到答题卡上）‎ ‎1.若复数z=，则|z|=（ ）‎ A. 1 B. C. 5 D. 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的模的运算性质，化简为对复数求模可得结果 ‎【详解】|z|===，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】此题考查的是求复数的模，属于基础题 - 22 -‎ ‎2.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. 或 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先解,再利用补集的定义求解即可.‎ ‎【详解】由题,因为,则,即,所以,‎ 所以,‎ 故选:C ‎【点睛】本题考查集合的补集运算,考查解指数不等式.‎ ‎3.已知、为实数，则是的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要条件 D. 不充分也不必要 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出的等价条件，然后根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可.‎ ‎【详解】由得，此时成立，‎ 由，此时当、有负数时，不成立，‎ 即“”是“”的充分不必要条件，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系是解决本题的关键，考查推理能力，属于基础题.‎ ‎4.已知数列，，，…，是首项为1，公差为2得等差数列，则等于( )‎ - 22 -‎ A. 9 B. 5 C. 4 D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题设条件以及等差数列的性质得出，再由，即可得出答案.‎ ‎【详解】‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查了等差数列基本量的计算，属于基础题.‎ ‎5.某学校为落实学生掌握社会主义核心价值观的情况，用系统抽样的方法从全校2400名学生中抽取30人进行调查.现将2400名学生随机地从1～2400编号，按编号顺序平均分成30组（1～80号，81～160号，…，2321～2400号），若第3组与第4组抽出的号码之和为432，则第6组抽到的号码是（ ）‎ A. 416 B. 432 C. 448 D. 464‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设第组抽到的号码是，则构成以80为公差的等差数列，利用等差数列性质可得第6组抽到的号码.‎ ‎【详解】设第组抽到的号码是，则构成以80为公差的等差数列，‎ 所以，，‎ 所以，解得，‎ 所以.‎ 故选A - 22 -‎ ‎【点睛】本题考查随机抽样的知识，考查数据处理能力和应用意识.‎ ‎6.已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2+16，则log2a9＝（ ）‎ A. 15 B. 16 C. 17 D. 18‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将已知条件转化为的形式，由此求得，进而求得以及的值.‎ ‎【详解】∵数列{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2+16，‎ ‎∴2q2＝2×2q+16，且q＞0，‎ 解得q＝4，‎ ‎∴log2a917.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的基本量计算，属于基础题.‎ ‎7.相传黄帝时代，在制定乐律时，用“三分损益”的方法得到不同的竹管，吹出不同的音调．“三分损益”包含“三分损一”和“三分益一”，用现代数学的方法解释如下，“三分损一”是在原来的长度减去一分，即变为原来的三分之二；“三分益一”是在原来的长度增加一分，即变为原来的三分之四，如图的程序是与“三分损益”结合的计算过程，若输入的的值为，输出的的值为（ ）.‎ - 22 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 执行循环结构的程序框图，根据判断条件，逐次循环计算，即可得到结果．‎ ‎【详解】由题意，执行循环结构的程序框图，可得：‎ 第1次循环：，不满足判断条件；‎ 第2次循环：，不满足判断条件；‎ 第3次循环：，满足判断条件，输出结果，‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算输出结果问题，其中解答中模拟执行循环结构的程序框图，逐次计算，根据判断条件求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎8.已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则,，的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的奇偶性得，再比较的大小，根据函数的单调性可得选项.‎ ‎【详解】依题意得，，‎ 当时，，因为，所以在上单调递增，又在上单调递增，所以在上单调递增，‎ ‎，即，‎ 故选：C - 22 -‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用、幂、指、对的大小比较，以及根据函数的单调性比较大小，属于中档题.‎ ‎9.已知菱形的边长为2，为的中点，，则的值为（ ）‎ A. 4 B. -3 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合图形可得，，然后根据数量积的定义求解即可．‎ ‎【详解】菱形的边长为2，，‎ ‎∴，‎ ‎∵为的中点，‎ ‎∴，，‎ ‎∴ ．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查向量数量积的运算，解题的关键是选择适当的基底，然后将所有向量用同一基底表示出来，再根据定义求解，属于基础题．‎ ‎10.已知实数，满足约束条件，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 正确作出题中所给约束条件对应的可行域，由的几何意义，其最小值为原点到直线的距离的平方，从而求得结果.‎ ‎【详解】由约束条件作出可行域，‎ 是由， ，三点所围成的三角形及其内部，‎ - 22 -‎ 如图中阴影部分，‎ 而可理解为可行域内的点到原点距离的平方，‎ 显然原点到所在的直线的距离是可行域内的点到原点距离的最小值，‎ 此时，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本小题考査线性规划，两点间距离公式等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，应用意识.‎ ‎11.已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，点为的中点，为坐标原点，，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据为的中点，可知，由中位线定理可知.格局双曲线定义，可得，结合双曲线中满足，即可求得离心率.‎ ‎【详解】双曲线左、右焦点分别为，为坐标原点，‎ 由为的中点，所以，且，‎ ‎，故，即，‎ 设双曲线的焦距为2c，双曲线中满足 - 22 -‎ 所以，化简可得 故双曲线的离心率为.‎ 故选:C ‎【点睛】本题考查了双曲线几何性质的简单应用，双曲线定义及双曲线离心率求法，属于基础题.‎ ‎12.函数的定义域为，其导函数为，，且为偶函数，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据以及为偶函数判断出函数的单调性和对称性，由此判断出和的大小关系.‎ ‎【详解】由于为偶函数，所以函数关于对称.由于，所以当时，递减，当时，，递增.所以.‎ 故选：A ‎【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的奇偶性，考查函数的图像变换，考查函数的对称性，属于中档题.‎ Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知l，m是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：‎ ‎①l⊥m；②m∥；③l⊥．‎ 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．‎ - 22 -‎ ‎【答案】如果l⊥α，m∥α，则l⊥m或如果l⊥α，l⊥m，则m∥α.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将所给论断，分别作为条件、结论加以分析.‎ ‎【详解】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：‎ ‎（1）如果l⊥α，m∥α，则l⊥m. 正确；‎ ‎（2）如果l⊥α，l⊥m，则m∥α.正确；‎ ‎（3）如果l⊥m，m∥α，则l⊥α.不正确，有可能l与α斜交、l∥α.‎ ‎【点睛】本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力.‎ ‎14.已知函数，则不等式的解集为 .‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：若，则，若：则，故不等式的解集是.‎ 考点：1.分段函数；2.指对数的性质.‎ ‎15.已知，，，均为锐角，则___________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由条件算出和，然后，即可算出答案.‎ ‎【详解】由于都是锐角，所以，‎ 所以，，‎ - 22 -‎ 所以 ‎．‎ 故答案：‎ ‎【点睛】在三角函数恒等变换中，灵活应用三角公式是解题的关键，要注意公式中“单角”与“复角”是相对的，例如以下角的变换经常用到：‎ ‎，，．‎ ‎16.已知椭圆，作倾斜角为的直线交椭圆C于A、B两点，线段的中点M，O为坐标原点，与的夹角为，且，则____________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，首先由点差法可得，设直线的倾斜角为，则或，然后结合条件可建立方程求解.‎ ‎【详解】设，‎ 则，，‎ 两式相减，得．‎ 两点直线的倾斜角为，，‎ ‎，即，‎ - 22 -‎ 设直线的倾斜角为，则或 所以，因为，‎ 所以，解得，即 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了掌握椭圆的基础知识和灵活使用“点差法”，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.‎ 三、解答题：（本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17.设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且.‎ ‎（1）求角C的大小；‎ ‎（2）若向量与共线，求的周长.‎ ‎【答案】（1），（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将变形到，即可求出角C；‎ ‎（2）由向量与共线可得，然后结合余弦定理解出、即可.‎ ‎【详解】（1）因为，所以 所以，所以 - 22 -‎ 所以，所以 因为是的内角，所以 ‎（2）因为向量与共线 所以，即 由余弦定理可得，即 解得 所以的周长为 ‎【点睛】本题考查的是三角恒等变换和正余弦定理的应用，考查了学生的计算能力，属于基础题.‎ ‎18.如图，四棱锥的底面是平行四边形，是等边三角形且边长是4，.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，求四棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取AP中点M，连接DM，BM，由等腰三角形的性质可得，，再由线面垂直的判定可得平面进一步得到；‎ 由知，平面BDM，求出三角形BDM的面积，得到三棱锥的体积，进一步求得四棱锥的体积．‎ - 22 -‎ ‎【详解】证明：取AP中点M，连接DM，BM，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎，平面DMB．‎ 又平面DMB，‎ 由知，平面BDM，‎ 在等边三角形PAB中，由边长为4，得，‎ 在等腰三角形ADP中，由，，得，‎ 又，，得．‎ ‎．‎ 则．‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定与性质，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．‎ ‎19.2019年双十一落下帷幕，天猫交易额定格在268（单位：十亿元）人民币（下同），再创新高，比去年218（十亿元）多了50（十亿元）．这些数字的背后，除了是消费者买买买的表现，更是购物车里中国新消费的奇迹，为了研究历年销售额的变化趋势，一机构统计了2010年到2019年天猫双十一的销售额数据y（单位：十亿元），绘制如表：‎ 年份 ‎2010‎ ‎2011‎ ‎2012‎ ‎2013‎ ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ ‎2018‎ ‎2019‎ - 22 -‎ 编号x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 销售额y ‎0.9‎ ‎8.7‎ ‎22.4‎ ‎41‎ ‎65‎ ‎94‎ ‎132.5‎ ‎172.5‎ ‎218‎ ‎268‎ 根据以上数据绘制散点图，如图所示 ‎（1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为销售额关于的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）‎ ‎（2）根据（1）的判断结果及如表中的数据，建立关于的回归方程，并预测2020年天猫双十一销售额；（注：数据保留小数点后一位）‎ ‎（3）把销售超过100（十亿元）的年份叫“畅销年”，把销售额超过200（十亿元）的年份叫“狂欢年”，从2010年到2019年这十年的“畅销年”中任取2个，求至少取到一个“狂欢年”的概率．‎ 参考数据：‎ 参考公式：‎ 对于一组数据，其回归直线 - 22 -‎ 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别，．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）在散点图中，样本点并没有分布在某一个带状区域内，因此这两个变量不呈线性相关关系，则销售额关于的回归方程类型；‎ ‎（2）令，则，由最小二乘法得出其回归方程，并预测2020年天猫双十一销售额；‎ ‎（3）利用列举法以及古典概型概率公式计算概率即可.‎ ‎【详解】（1）由散点图可知，适宜作为销售额关于的回归方程类型；‎ ‎（2）令，则．，‎ ‎，‎ ‎，则关于的回归方程为，取，得（十亿元）．‎ 预测2020年天猫双十一销售额为324.7（十亿元）；‎ ‎（3）2010年到2019年这十年中“畅销年”有4年，其中“狂欢年”有2年．‎ 从中任取2个，基本事件总数为共6个 至少取到一个“狂欢年”的事件数为共5个 则至少取到一个“狂欢年”的概率为．‎ ‎【点睛】本题主要考查了求非线性回归方程以及古典概率求概率，属于中档题.‎ ‎20.已知抛物线：的焦点为，点为抛物线上一点，且点 - 22 -‎ 到焦点的距离为4，过作抛物线的切线（斜率不为0），切点为.‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）求证：以为直径的圆过点.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）点到焦点的距离为4，即为到准线的距离为4，点的纵坐标为3，便可解出参数的值；‎ ‎（Ⅱ）要证以为直径的圆过点，即证，根据条件求出点．‎ ‎【详解】解：（1）由题知，，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴抛物线的标准方程为.‎ ‎（Ⅱ）设切线的方程为，，‎ 联立，消去可得，‎ 由题意得，即，‎ ‎∴切点，‎ 又，∴.‎ ‎∴，故以为直径的圆过点.‎ ‎【点睛】确定抛物线的方程只要确定其中的参数，可以构造方程或利用抛物线的定义求解；直线与抛物线位置关系问题常见的方法是联立直线与抛物线方程，消参数处理，当抛物线方程可以看成函数时也可采用导数进行研究．‎ ‎21.已知函数（，），.‎ ‎（Ⅰ）讨论的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）‎ - 22 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）求导得到，讨论和两种情况，得到答案.‎ ‎（Ⅱ）变换得到，设，求，令，故在单调递增，存在使得，，计算得到答案.‎ ‎【详解】（Ⅰ）（），‎ 当时，在单调递减，在单调递增；‎ 当时，在单调递增，在单调递减.‎ ‎（Ⅱ）（），即，（）.‎ 令（），‎ 则，‎ 令，，故在单调递增，‎ 注意到，，‎ 于是存在使得，‎ 可知在单调递增，在单调递减.‎ ‎∴.‎ 综上知，.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的单调性，恒成立问题，意在考查学生对于导数知识的综合应用能力.‎ - 22 -‎ 选考题：（请考生在第22、23两道题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑）‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，将曲线经过伸缩变换后得到曲线.在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）说明曲线是哪一种曲线，并将曲线的方程化为极坐标方程；‎ ‎（2）已知点是曲线上的任意一点，又直线上有两点和，且，又点的极角为，点的极角为锐角.求：‎ ‎①点的极角；‎ ‎②面积的取值范围.‎ ‎【答案】（1）曲线为圆心在原点，半径为2的圆.的极坐标方程为（2）①②‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求得曲线伸缩变换后所得的参数方程，消参后求得的普通方程，判断出对应的曲线，并将的普通方程转化为极坐标方程.‎ ‎（2）‎ ‎①将的极角代入直线的极坐标方程，由此求得点的极径，判断出为等腰三角形，求得直线的普通方程，由此求得，进而求得，从而求得点的极角.‎ ‎②解法一：利用曲线的参数方程，求得曲线上的点到直线的距离的表达式，结合三角函数的知识求得的最小值和最大值，由此求得面积的取值范围.‎ - 22 -‎ 解法二：根据曲线表示的曲线，利用圆的几何性质求得圆上的点到直线的距离的最大值和最小值，进而求得面积的取值范围.‎ ‎【详解】（1）因为曲线的参数方程为（为参数），‎ 因为则曲线的参数方程 所以的普通方程为.所以曲线为圆心在原点，半径为2的圆.‎ 所以的极坐标方程为，即.‎ ‎（2）①点的极角为，代入直线的极坐标方程得点 极径为，且，所以为等腰三角形，‎ 又直线的普通方程为，‎ 又点的极角为锐角，所以，所以，‎ 所以点的极角为.‎ ‎②解法1：直线的普通方程为.‎ 曲线上的点到直线的距离 ‎.‎ 当，即（）时，‎ 取到最小值为.‎ 当，即（）时，‎ 取到最大值为.‎ - 22 -‎ 所以面积的最大值为；‎ 所以面积的最小值为；‎ 故面积取值范围.‎ 解法2：直线的普通方程为.‎ 因为圆的半径为2，且圆心到直线的距离，‎ 因，所以圆与直线相离.‎ 所以圆上的点到直线的距离最大值为，‎ 最小值为.‎ 所以面积的最大值为；‎ 所以面积的最小值为；‎ 故面积的取值范围.‎ ‎【点睛】本小题考查坐标变换，极径与极角；直线，圆的极坐标方程，圆的参数方程，直线的极坐标方程与普通方程，点到直线的距离等.考查数学运算能力，包括运算原理的理解与应用、运算方法的选择与优化、运算结果的检验与改进等.也兼考了数学抽象素养、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养.‎ 选修4—5：不等式选讲 ‎23.已知函数，且．‎ ‎（1）若，求的最小值，并求此时的值；‎ - 22 -‎ ‎（2）若，求证:．‎ ‎【答案】（1）最小值为，此时；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知得，‎ 法一:，，根据二次函数的最值可求得；‎ 法二:运用基本不等式构造，可得最值；‎ 法三：运用柯西不等式得：，可得最值；‎ ‎（2）由绝对值不等式得，，又，可得证.‎ ‎【详解】（1），‎ 法一:，，‎ 的最小值为，此时；‎ 法二:，‎ ‎，即的最小值为，此时；‎ 法三：由柯西不等式得：‎ ‎，‎ ‎,即的最小值为，此时；‎ - 22 -‎ ‎（2），，‎ 又，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查运用基本不等式，柯西不等式，绝对值不等式进行不等式的证明和求解函数的最值，属于中档题.‎ ‎ ‎ - 22 -‎