高考数学一轮—30数列求和及数列实际问题

高考数学一轮—30数列求和及数列实际问题

‎ ‎ 第30讲 数列求和及数列实际问题 一．【课标要求】‎ ‎1．探索并掌握一些基本的数列求前n项和的方法；‎ ‎2．能在具体的问题情境中，发现数列的数列的通项和递推关系，并能用有关等差、等比数列知识解决相应的实际问题。‎ 二．【命题走向】‎ 数列求和和数列综合及实际问题在高考中占有重要的地位，一般情况下都是出一道解答题，解答题大多以数列为工具，综合运用函数、方程、不等式等知识，通过运用逆推思想、函数与方程、归纳与猜想、等价转化、分类讨论等各种数学思想方法，这些题目都考察考生灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，它们都属于中、高档题目 有关命题趋势：‎ ‎1．数列是一种特殊的函数，而不等式则是深刻认识函数和数列的有效工具，三者的综合题是对基础和能力的双重检验，在三者交汇处设计试题，特别是代数推理题是高考的重点；‎ ‎2．数列推理题是将继续成为数列命题的一个亮点，这是由于此类题目能突出考察学生的逻辑思维能力，能区分学生思维的严谨性、灵敏程度、灵活程度；‎ ‎3．数列与新的章节知识结合的特点有可能加强，如与解析几何的结合等；‎ ‎4．有关数列的应用问题也一直备受关注 预测2010年高考对本将的考察为：‎ ‎1．可能为一道考察关于数列的推导能力或解决生产、生活中的实际问题的解答题；‎ ‎2．也可能为一道知识交汇题是数列与函数、不等式、解析几何、应用问题上等联系的综合题，以及数列、数学归纳法等有机结合 三．【要点精讲】‎ ‎1．数列求通项与和 ‎（1）数列前n项和Sn与通项an的关系式：an= 。‎ ‎（2）求通项常用方法 ‎①作新数列法。作等差数列与等比数列；‎ ‎②累差叠加法。最基本的形式是：an=(an－an－1)+(an－1+an－2)+…+(a2－a1)+a1；‎ ‎③归纳、猜想法。‎ ‎（3）数列前n项和 ‎①重要公式：1+2+…+n=n(n+1)；‎ ‎12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)；‎ ‎13+23+…+n3=(1+2+…+n)2=n2(n+1)2；‎ ‎②等差数列中，Sm+n=Sm+Sn+mnd；‎ ‎③等比数列中，Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn；‎ ‎④裂项求和 将数列的通项分成两个式子的代数和，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加抵消掉中间的许多项，这种先裂后消的求和法叫裂项求和法。用裂项法求和，需要掌握一些常见的裂项，如：‎ 第 11 页 共 11 页 ‎ ‎ ‎、=－、n·n！=(n+1)!－n!、Cn－1r－1=Cnr－Cn－1r、=－等 ‎⑤错项相消法 对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n项和，常用错项相消法。, 其中是等差数列， 是等比数列，记，则，…‎ ‎⑥并项求和 把数列的某些项放在一起先求和，然后再求Sn。‎ 数列求通项及和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法 ‎⑦通项分解法：‎ ‎2．递归数列 数列的连续若干项满足的等量关系an+k=f(an+k－1,an+k－2,…,an)称为数列的递归关系。由递归关系及k个初始值可以确定的一个数列叫做递归数列。如由an+1=2an+1，及a1=1，确定的数列即为递归数列 递归数列的通项的求法一般说来有以下几种：‎ ‎（1）归纳、猜想、数学归纳法证明。‎ ‎（2）迭代法。‎ ‎（3）代换法。包括代数代换，对数代数，三角代数。‎ ‎（4）作新数列法。最常见的是作成等差数列或等比数列来解决问题 四．【典例解析】‎ 题型1：裂项求和 例1．已知数列为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，求和：。‎ 解析：首先考虑，则=。‎ 点评：已知数列为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，下列求和也可用裂项求和法。‎ 例2．求。‎ 解析：， ‎ 第 11 页 共 11 页 ‎ ‎ ‎ ‎ 点评：裂项求和的关键是先将形式复杂的因式转化的简单一些。‎ 题型2：错位相减法 例3．设a为常数，求数列a，2a2，3a3，…，nan，…的前n项和。‎ 解析：①若a=0时，Sn=0；‎ ‎②若a=1，则Sn=1+2+3+…+n=；‎ ‎③若a≠1，a≠0时，Sn-aSn=a（1+a+…+an-1-nan），‎ Sn=。‎ 例4．已知，数列是首项为a，公比也为a的等比数列，令，求数列的前项和。‎ 解析：，‎ ‎①-②得：，‎ 点评：设数列的等比数列，数列是等差数列，则数列的前项和求解，均可用错位相减法。‎ 题型3：倒序相加 例5．求。‎ ‎ 解析：。 ①‎ 第 11 页 共 11 页 ‎ ‎ ‎ 又。 ②‎ 所以。‎ 点评：Sn表示从第一项依次到第n项的和，然后又将Sn表示成第n项依次反序到第一项的和，将所得两式相加，由此得到Sn的一种求和方法。‎ 例6．设数列是公差为，且首项为的等差数列，‎ 求和：‎ 解析：因为，‎ ‎，‎ ‎。‎ 点评：此类问题还可变换为探索题形：已知数列的前项和，是否存在等差数列使得对一切自然数n都成立。‎ 题型4：其他方法 例7．求数列1，3+5，7+9+11，13+15+17+19，…前n项和。‎ ‎ 解析：本题实质是求一个奇数列的和。在该数列的前n项中共有个奇数，故。‎ 第 11 页 共 11 页 ‎ ‎ 例8．求数列1，3＋，32＋，……，3n＋的各项的和。‎ 解析：其和为(1＋3＋……＋3n)＋(＋……＋)==(3n＋1－3-n)。‎ 题型5：数列综合问题 例9．（2009湖北卷文）设记不超过的最大整数为[],令{}=-[]，则{}，[],‎ A.是等差数列但不是等比数列 B.是等比数列但不是等差数列 C.既是等差数列又是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 ‎【答案】B ‎【解析】可分别求得，.则等比数列性质易得三者构成等比数列.‎ 例10．(2009湖南卷理)将正⊿ABC分割成（≥2，n∈N）个全等的小正三角形（图2，图3分别给出了n=2,3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于⊿ABC的三遍及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别一次成等差数列，若顶点A ,B ,C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为f(n)，则有f(2)=2，f(3)= ，…，f(n)= (n+1)(n+2) ‎ 第 11 页 共 11 页 ‎ ‎ 答案 ‎ 解析 当n=3时，如图所示分别设各顶点的数用小写字母表示，即由条件知 ‎ ‎ 即 进一步可求得。由上知中有三个数，中 有6个数，中共有10个数相加 ，中有15个数相加….，若中有个数相加，可得中有个数相加，且由 可得所以 ‎=‎ 题型6：数列实际应用题 例11．某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元；两种方案的使用期都是10年，到期一次性归还本息. 若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中，哪种获利更多？‎ ‎ （取）‎ 解析：甲方案是等比数列，乙方案是等差数列，‎ 第 11 页 共 11 页 ‎ ‎ ‎①甲方案获利：（万元），‎ 银行贷款本息：（万元），‎ 故甲方案纯利：（万元），‎ ‎②乙方案获利：‎ ‎（万元）；‎ 银行本息和：‎ ‎（万元）‎ 故乙方案纯利：（万元）；‎ 综上可知，甲方案更好。‎ 点评：这是一道比较简单的数列应用问题，由于本息金与利润是熟悉的概念，因此只建立通项公式并运用所学过的公式求解 例12．(2009年广东卷文)（本小题满分14分）‎ 已知点（1，）是函数且）的图象上一点，等比数列的前项和为,数列的首项为，且前项和满足－=+（）.‎ ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）若数列{前项和为，问>的最小正整数是多少? ‎ 解（1）, ‎ ‎ ,,‎ ‎ .‎ 第 11 页 共 11 页 ‎ ‎ 又数列成等比数列， ，所以 ；‎ 又公比，所以 ；‎ ‎ ‎ 又,, ；‎ 数列构成一个首相为1公差为1的等差数列， ， ‎ 当， ；‎ ‎()；‎ ‎（2）‎ ‎ ；‎ ‎ 由得，满足的最小正整数为112.‎ 题型7：课标创新题 例13．（2009广东卷理）知曲线．从点向曲线引斜率为的切线，切点为．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）证明：.‎ 解：（1）设直线：，联立得，则，∴‎ 第 11 页 共 11 页 ‎ ‎ ‎（舍去） ‎ ‎，即，∴‎ ‎（2）证明：∵ ‎ ‎∴‎ 由于，可令函数，则，令，得，给定区间，则有，则函数在上单调递减，∴，即在恒成立，又，‎ 则有，即. ‎ 例14．（2009安徽卷理）首项为正数的数列满足 ‎ ‎（I）证明：若为奇数，则对一切都是奇数；‎ ‎（II）若对一切都有，求的取值范围.‎ 解：本小题主要考查数列、数学归纳法和不等式的有关知识，考查推理论证、抽象概括、运算求解和探究能力，考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野。本小题满分13分。‎ 解：（I）已知是奇数，假设是奇数，其中为正整数，‎ 第 11 页 共 11 页 ‎ ‎ 则由递推关系得是奇数。 ‎ 根据数学归纳法，对任何，都是奇数 ‎（II）（方法一）由知，当且仅当或。‎ 另一方面，若则；若，则 根据数学归纳法，‎ 综合所述，对一切都有的充要条件是或。‎ ‎（方法二）由得于是或。‎ ‎ ‎ 因为所以所有的均大于0，因此与同号。‎ 根据数学归纳法，，与同号。 ‎ 因此，对一切都有的充要条件是或。‎ 五．【思维总结】‎ ‎1．数列求和的常用方法 ‎（1）公式法：适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列；‎ ‎（2）裂项相消法：适用于其中{ }是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等；‎ ‎（3）错位相减法：适用于其中{ }是等差数列，是各项不为0的等比数列。‎ ‎（4）倒序相加法：类似于等差数列前n项和公式的推导方法.‎ ‎（5）分组求和法 ‎（6）累加（乘）法等 ‎2．常用结论 ‎（1） 1+2+3+...+n = ‎ 第 11 页 共 11 页 ‎ ‎ ‎（2）1+3+5+...+(2n-1) =‎ ‎ （3） ‎ ‎（4） ‎ ‎（5） ‎ ‎（6）‎ ‎3．数学思想 ‎（1）迭加累加（等差数列的通项公式的推导方法）若，则……；‎ ‎（2）迭乘累乘（等比数列的通项公式的推导方法）若，则……；‎ ‎（3）逆序相加（等差数列求和公式的推导方法）；‎ ‎（4）错位相减（等比数列求和公式的推导方法）‎ 第 11 页 共 11 页