- 2021-06-16 发布 |
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文档介绍
高中数学选修2-2课时练习第四章 3_2
3.2 简单几何体的体积 [学习目标] 1.通过实例,进一步理解定积分的思想. 2.了解定积分在求旋转体的体积方面的简单应用. [知识链接] 如何类比平面图形的面积的求法求几何体的体积? 答案 本节定积分在几何中主要是求平面图形的面积,类似求面积,也可以利用定积分求空间几何体的体积,一般情况下,其旋转轴为x轴,根据旋转体的定义,旋转体的形成有两个要素:一是被旋转的平面图形,二是旋转轴.柱、锥、球等旋转体中被旋转的平面图形都是直线或圆弧,而在利用定积分求旋转体的体积问题中则是一般的曲线. [预习导引] 用定积分表示旋转体的体积 旋转体可以看作是由连续曲线y=f(x)、直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的几何体,则该旋转体的体积为V=π[f(x)]2dx. 要点一 简单旋转几何体的体积 例1 求由y=x3,y=0,x=2所围图形绕x轴旋转的旋转体的体积. 解 Vx=πy2dx=πx6dx= =. 规律方法 求简单旋转几何体的体积要理解“累加”思想,根据图形中曲线交点正确确定积分的上、下限. 跟踪演练1 求由曲线y=x2,x=y2围成的图形绕y轴旋转形成的几何体的体积. 解 x1=,x2=y2,0≤y≤1, Vy=(πx-πx)dy=(πy-πy4)dy ==-=. 要点二 旋转体体积的应用 例2 计算椭圆+=1所围成的图形绕x轴旋转而成的几何体的体积. 解 这个旋转体可看作是由上半 个椭圆y=及x轴所围成的图形绕x轴旋转所生成的几何体.因此 V=A(x)dx = (a2-x2)dx=πab2. 规律方法 合理确定被积函数是解题的关键;对于对称性较强的几何体,可以用曲线的一部分绕轴旋转得到. 跟踪演练2 连接坐标原点O及点P(h,r)的直线、直线x=h及x轴围成一个直角三角形.将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体.计算这个圆锥体的体积. 解 直角三角形斜边的直线方程为y=x. 所以所求圆锥体的体积为 V=π2dx = =πhr2. 1.直线y=x+2,x=0,x=1以及x轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周,所得圆台的体积为( ) A. B.6π C. D. 答案 C 2.由y=x2,x=1和y=0所围成的平面图形绕x轴旋转所得的旋转体的体积为( ) A. B. C. D. 答案 C 解析 Vx=πy2dx=π(x2)2dx==. 3.由直线y=x+2和x=a(a>0)以及坐标轴围成的平面图形绕x轴旋转一周,所得圆台的体积为,则a的值为________. 答案 2 4.由y=x2,y=x所围成的图形绕y轴旋转所得到的旋转体的体积V=________. 答案 解析 V=π(y-y2)dy=. 1.简单旋转几何体可以看成一个平面图形绕平面内一条直线旋转而成. 2.利用定积分求体积要合理确定被积函数,然后根据图像确定积分上、下限,要理解其中蕴含的定积分思想. 一、基础达标 1.由y=x2,x=0和y=1所围成的平面图形绕x轴旋转所得的旋转体的体积表示为( ) A.V=π[]2dy= B.V=π[12-(x2)2]dx= C.V=π(x2)2dy= D.V=π(12-x2)dx= 答案 B 解析 利用图形确定积分函数和积分上、下限. 2.由抛物线y=x2介于(0,0)点及(2,4)点之间的一段弧绕x轴旋转所得的旋转体的体积为( ) A.π B.π C.π D.π 答案 D 解析 Vx=π(x2)2dx==π. 3.由xy=4,x=1,x=4,y=0围成的平面区域绕x轴旋转所得的旋转体的体积是( ) A.6π B.12π C.24π D.3π 答案 B 解析 因为xy=4,所以y=, Vx=πy2dx=π2dx =16πx-2dx==-16π=12π. 4.由y=,y=x围成的图形绕y轴旋转所得旋转体的体积可表示为( ) A.π(x-x2)dy B.π(x-x2)dx C.π(y2-y4)dy D.π(y-y2)dx 答案 C 解析 图形绕y轴旋转,将y看作积分变量,由曲线x=y,x=y2围成的图形. 5.连续曲线y=f(x),直线x=a,x=b及x轴所围成图形绕x轴旋转一周而成的几何体的体积V=________. 答案 π[f(x)]2dx 6.由y=,x=2,x=3以及x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体体积为________. 答案 π 解析 π(x-1)dx=π=π. 7.求曲线y=x2与x=1,y=0所围成的图形绕y轴旋转所得旋转体的体积. 解 由解得:, ∴y=x2,∴x=±(舍负). 如图,所求几何体的体积可以看做两部分的差. V=π12dy-π()2dy =-πydy=π- =. 二、能力提升 8.由y=e-x,x=0,x=1围成的平面区域绕x轴旋转所得的旋转体的体积是( ) A.(1-e-2) B. C.(1-e) D.e-2 答案 A 解析 f(x)=e-x>0,所求的旋转体的体积是: V=π[e-x]2dx=πe-2xdx=-=(1-e-2). 9.曲线y=与直线x=0,x=t(t>0)及y=0围成一曲边梯形,该曲边梯形绕 x轴旋转一周得一旋转体,其体积为V(t)=________. 答案 (e2t+4t-e-2t) 解析 V(t)=πy2dx=π2dx=(e2t+4t-e-2t). 10.抛物线y2=4ax及直线x=x0(x0>0)所围成图形绕x轴旋转一周而成的几何体的体积V=________. 答案 解析 . 11.求抛物线y2=2px(p>0)与直线x=p及x轴所围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积. 解 如右图所示, 因为y2=2px(p>0), 所以f2(x)=2px,x∈. 所以V=πf2(x)dx =π2pxdx= =. 12.过点P(1,0)作抛物线y=的切线,求该切线与抛物线y=及x轴所围平面图形绕x轴旋转而成的旋转体体积. 解 如图,设切点为(x0,), 则切线方程为y=, ∵切点在切线上, ∴=, ∴x0=3, ∴切线方程:y=(x-1). V=π(x-1)2dx-π(x-2)dx=. 三、探究与创新 13.设两抛物线y=-x2+2x,y=x2所围成的图形为M,求:(1)M的面积; (2)将M绕x轴旋转一周所得旋转体的体积. 解 如图,M为图中阴影部分. (1)图形M的面积为 [(-x2+2x)-x2]dx =(-2x2+2x)dx ==. (2)M绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为 π[(-x2+2x)2-(x2)2]dx=π(-4x3+4x2)dx =π=.查看更多