高中数学选修2-2课时练习第四章 3_2

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高中数学选修2-2课时练习第四章 3_2

‎3.2 简单几何体的体积 ‎[学习目标]‎ ‎1.通过实例,进一步理解定积分的思想.‎ ‎2.了解定积分在求旋转体的体积方面的简单应用.‎ ‎[知识链接]‎ 如何类比平面图形的面积的求法求几何体的体积?‎ 答案 本节定积分在几何中主要是求平面图形的面积,类似求面积,也可以利用定积分求空间几何体的体积,一般情况下,其旋转轴为x轴,根据旋转体的定义,旋转体的形成有两个要素:一是被旋转的平面图形,二是旋转轴.柱、锥、球等旋转体中被旋转的平面图形都是直线或圆弧,而在利用定积分求旋转体的体积问题中则是一般的曲线.‎ ‎[预习导引]‎ 用定积分表示旋转体的体积 旋转体可以看作是由连续曲线y=f(x)、直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的几何体,则该旋转体的体积为V=π[f(x)]2dx.‎ ‎                   ‎ 要点一 简单旋转几何体的体积 例1 求由y=x3,y=0,x=2所围图形绕x轴旋转的旋转体的体积.‎ 解 Vx=πy2dx=πx6dx= =.‎ 规律方法 求简单旋转几何体的体积要理解“累加”思想,根据图形中曲线交点正确确定积分的上、下限.‎ 跟踪演练1 求由曲线y=x2,x=y2围成的图形绕y轴旋转形成的几何体的体积.‎ 解 x1=,x2=y2,0≤y≤1,‎ Vy=(πx-πx)dy=(πy-πy4)dy ‎==-=.‎ 要点二 旋转体体积的应用 例2 ‎ 计算椭圆+=1所围成的图形绕x轴旋转而成的几何体的体积.‎ 解 这个旋转体可看作是由上半 个椭圆y=及x轴所围成的图形绕x轴旋转所生成的几何体.因此 V=A(x)dx ‎= (a2-x2)dx=πab2.‎ 规律方法 合理确定被积函数是解题的关键;对于对称性较强的几何体,可以用曲线的一部分绕轴旋转得到.‎ 跟踪演练2 连接坐标原点O及点P(h,r)的直线、直线x=h及x轴围成一个直角三角形.将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体.计算这个圆锥体的体积.‎ 解 直角三角形斜边的直线方程为y=x.‎ 所以所求圆锥体的体积为 V=π2dx ‎= =πhr2.‎ ‎1.直线y=x+2,x=0,x=1以及x轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周,所得圆台的体积为(  )‎ A. B.6π C. D. 答案 C ‎2.由y=x2,x=1和y=0所围成的平面图形绕x轴旋转所得的旋转体的体积为(  )‎ A. B. C. D. 答案 C 解析 Vx=πy2dx=π(x2)2dx==.‎ ‎3.由直线y=x+2和x=a(a>0)以及坐标轴围成的平面图形绕x轴旋转一周,所得圆台的体积为,则a的值为________.‎ 答案 2‎ ‎4.由y=x2,y=x所围成的图形绕y轴旋转所得到的旋转体的体积V=________.‎ 答案  解析 V=π(y-y2)dy=.‎ ‎1.简单旋转几何体可以看成一个平面图形绕平面内一条直线旋转而成.‎ ‎2.利用定积分求体积要合理确定被积函数,然后根据图像确定积分上、下限,要理解其中蕴含的定积分思想.‎ ‎                   ‎ 一、基础达标 ‎1.由y=x2,x=0和y=1所围成的平面图形绕x轴旋转所得的旋转体的体积表示为(  )‎ A.V=π[]2dy= B.V=π[12-(x2)2]dx= C.V=π(x2)2dy= D.V=π(12-x2)dx= 答案 B 解析 利用图形确定积分函数和积分上、下限.‎ ‎2.由抛物线y=x2介于(0,0)点及(2,4)点之间的一段弧绕x轴旋转所得的旋转体的体积为(  )‎ A.π B.π C.π D.π 答案 D 解析 Vx=π(x2)2dx==π.‎ ‎3.由xy=4,x=1,x=4,y=0围成的平面区域绕x轴旋转所得的旋转体的体积是(  )‎ A.6π B.12π C.24π D.3π 答案 B 解析 因为xy=4,所以y=,‎ Vx=πy2dx=π2dx ‎=16πx-2dx==-16π=12π.‎ ‎4.由y=,y=x围成的图形绕y轴旋转所得旋转体的体积可表示为(  )‎ A.π(x-x2)dy B.π(x-x2)dx C.π(y2-y4)dy D.π(y-y2)dx 答案 C 解析 图形绕y轴旋转,将y看作积分变量,由曲线x=y,x=y2围成的图形.‎ ‎5.连续曲线y=f(x),直线x=a,x=b及x轴所围成图形绕x轴旋转一周而成的几何体的体积V=________.‎ 答案 π[f(x)]2dx ‎6.由y=,x=2,x=3以及x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体体积为________.‎ 答案 π 解析 π(x-1)dx=π=π.‎ ‎7.求曲线y=x2与x=1,y=0所围成的图形绕y轴旋转所得旋转体的体积.‎ 解 由解得:,‎ ‎∴y=x2,∴x=±(舍负).‎ 如图,所求几何体的体积可以看做两部分的差.‎ V=π12dy-π()2dy ‎=-πydy=π- ‎=.‎ 二、能力提升 ‎8.由y=e-x,x=0,x=1围成的平面区域绕x轴旋转所得的旋转体的体积是(  )‎ A.(1-e-2) B. C.(1-e) D.e-2‎ 答案 A 解析 f(x)=e-x>0,所求的旋转体的体积是:‎ V=π[e-x]2dx=πe-2xdx=-=(1-e-2).‎ ‎9.曲线y=与直线x=0,x=t(t>0)及y=0围成一曲边梯形,该曲边梯形绕 x轴旋转一周得一旋转体,其体积为V(t)=________.‎ 答案 (e2t+4t-e-2t)‎ 解析 V(t)=πy2dx=π2dx=(e2t+4t-e-2t).‎ ‎10.抛物线y2=4ax及直线x=x0(x0>0)所围成图形绕x轴旋转一周而成的几何体的体积V=________.‎ 答案 ‎ 解析 .‎ ‎11.求抛物线y2=2px(p>0)与直线x=p及x轴所围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.‎ 解 ‎ 如右图所示,‎ 因为y2=2px(p>0),‎ 所以f2(x)=2px,x∈.‎ 所以V=πf2(x)dx ‎=π2pxdx= =.‎ ‎12.过点P(1,0)作抛物线y=的切线,求该切线与抛物线y=及x轴所围平面图形绕x轴旋转而成的旋转体体积.‎ 解 如图,设切点为(x0,),‎ 则切线方程为y=,‎ ‎∵切点在切线上,‎ ‎∴=,‎ ‎∴x0=3,‎ ‎∴切线方程:y=(x-1).‎ V=π(x-1)2dx-π(x-2)dx=.‎ 三、探究与创新 ‎13.设两抛物线y=-x2+2x,y=x2所围成的图形为M,求:(1)M的面积;‎ ‎(2)将M绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.‎ 解 ‎ 如图,M为图中阴影部分.‎ ‎(1)图形M的面积为 [(-x2+2x)-x2]dx ‎=(-2x2+2x)dx ‎==.‎ ‎(2)M绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为 π[(-x2+2x)2-(x2)2]dx=π(-4x3+4x2)dx ‎=π=.‎
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