【数学】2018届一轮复习北师大版集合、常用逻辑用语
第1讲 集合、常用逻辑用语
集合的概念及运算 自主练透 夯实双基
1．集合的运算性质及重要结论
(1)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A；
(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A；
(3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U；
(4)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.
2．集合运算中的常用方法
(1)若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；
(2)若已知的集合是点集，用数形结合法求解；
(3)若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解．
[题组通关]
1．(2016·高考全国卷乙)设集合A＝{x|x2－4x＋3＜0}，B＝{x|2x－3＞0}，则A∩B＝( )
A. B.
C. D.
D [解析] 由题意得，A＝{x|1＜x＜3}，B＝，则A∩B＝.选D.
2．(2016·河南八市重点高中质检)若U＝{1，4，6，8，9}，A＝{1，6，8}，B＝{4，6}，则A∩∁UB等于( )
A．{4，6} B．{1，8}
C．{1，4，6，8} D．{1，4，6，8，9}
B [解析] 因为U＝{1，4，6，8，9}，A＝{1，6，8}，B＝{4，6}，所以∁UB＝{1，8，9}，因此A∩∁UB＝{1，8}，故选B.
3．(2016·河北“五校联盟”质检)如图，已知R是实数集，集合A＝{x|log(x－1)>0}，B＝，则阴影部分表示的集合是( )
A．[0，1] B．[0，1)
C．(0，1) D．(0，1]
D [解析] 由题可知A＝{x|1
1，则x2>1”的否命题
B．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题
C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题
D．命题“若tan x＝，则x＝”的逆否命题
B [解析] 对于选项A，命题“若x>1，则x2>1”的否命题为“若x≤1，则x2≤1”，易知当x＝－2时，x2＝4>1，故选项A为假命题；对于选项B，命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题为“若x>|y|，则x>y”，分析可知选项B为真命题；对于选项C，命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，易知当x＝－2时，x2＋x－2＝0，故选项C为假命题；对于选项D，命题“若tan x＝，则x＝”的逆否命题为“若x≠，则tan x≠”，易知当x＝时，tan x＝，故选项D为假命题．综上可知，选B.
3．(2016·开封第一次模拟)已知命题p1：∀x∈(0，＋∞)，有3x>2x，p2：∃θ∈R，sin θ＋cos θ＝，则在命题q1：p1∨p2；q2：p1∧p2；q3：(綈p1)∨p2和q4：p1∧(綈p2)中，真命题是( )
A．q1，q3 B．q2，q3
C．q1，q4 D．q2，q4
C [解析] 因为y＝在R上是增函数，即y＝>1在(0，＋∞)上恒成立，所以p1
是真命题；sin θ＋cos θ＝sin≤.所以命题p2是假命题，綈p2是真命题，所以命题q1：p1∨p2，q4：p1∧(綈p2)是真命题，选C.
命题真假的判定方法
(1)一般命题p的真假由涉及的相关知识辨别．
(2)四种命题真假的判断根据：一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无此规律．
(3)形如p∨q，p∧q，綈p命题的真假根据真值表判定．
(4)全称命题与特称(存在性)命题的真假的判定：
①全称命题：要判定一个全称命题为真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立，要判定其为假命题时，只需举出一个反例即可；
②特称(存在性)命题：要判定一个特称(存在性)命题为真命题，只要在限定集合M中至少能找到一个元素x0，使得p(x0)成立即可；否则，这一特称(存在性)命题就是假命题．
充要条件的判断 共研典例 类题通法
1．若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p⇔q，则p，q互为充要条件；
2．充要条件与集合的关系：设命题p对应集合A，命题q对应集合B，则p⇒q等价于A⊆B，p⇔q等价于A＝B.
(1)(2015·高考天津卷)设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x－2|＜1”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)(2016·高考四川卷)设p：实数x，y满足x>1且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 (1)<1⇔11且y>1，则有x＋y>2成立，所以p⇒q；反之由x＋y>2不能得到x>1且y>1.所以p是q的充分不必要条件．
【答案】 (1)A (2)A
判断充分、必要条件时应关注三点
(1)要弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B
；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.
(2)要善于举出反例：当从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明．
(3)要注意转化：綈p是綈q的必要不充分条件⇔p是q的充分不必要条件；綈p是綈q
的充要条件⇔p是q的充要条件．
[题组通关]
1．(2016·云南第一次统一检测)已知a、b都是实数，命题p：a＋b＝2；命题q：直线x＋y＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝2相切，则p是q的( )
A．充分但不必要条件
B．必要但不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [解析] 由直线x＋y＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝2相切，得＝，即a＋b＝±2，所以p是q的充分但不必要条件．
2．已知甲：a＋b≠4，乙：a≠1且b≠3，则甲是乙的________条件．
[解析] 因为a＝1或b＝3⇒/ a＋b＝4，且a＋b＝4⇒/ a＝1或b＝3，
所以“a＝1或b＝3”是“a＋b＝4”的既不充分也不必要条件．
由原命题与逆否命题等价可知，“a＋b≠4”是“a≠1且b≠3”的既不充分也不必要条件．
[答案] 既不充分也不必要
课时作业
1．设集合A＝{－1，0，2}，集合B＝{－x|x∈A且2－x∉A}，则B＝( )
A．{1} B．{－2}
C．{－1，－2} D．{－1，0}
A [解析] 当x＝－1时，2－x＝3∉A，此时－x＝1∈B，
当x＝0时，2－0＝2∈A，
当x＝2时，2－2＝0∈A，
所以B＝{1}．
2．(2016·湖北七市(州)协作体联考)已知a，b为两个非零向量，设命题p：|a·b|＝|a||b|，命题q：a与b共线，则命题p是命题q成立的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
C [解析] |a·b|＝|a||b|⇔|a||b||cos〈a，b〉|＝|a|·|b|⇔cos〈a，b〉＝±1⇔a∥b，故是充要条件，选C.
3．(2016·河南八市重点高中质检)已知全集U为R，集合A＝{x|x2<16}，B＝{x|y＝log3(x－4)}，则下列关系正确的是( )
A．A∪B＝R B．A∪(∁UB)＝R
C．(∁UA)∪B＝R D．A∩(∁UB)＝A
D [解析] 因为A＝{x|－44}，所以∁UB＝{x|x≤4}，所以A∩(∁UB)＝A，故选D.
4．(2016·西安第一次质检)已知命题p：∃x∈R，log2(3x＋1)≤0，则( )
A．p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0
B．p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0
C．p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0
D．p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0
B [解析] 因为3x>0，所以3x＋1>1，则log2(3x＋1)>0，所以p是假命题；綈p：∀x∈R，
log2(3x＋1)>0.
5．已知全集U＝{x∈Z|00)，a2n－1＋a2n＝a1q2n－2＋a1q2n－1＝a1q2n－2(1＋q)．若q<0，因为1＋q的符号不确定，所以无法判断a2n－1＋a2n的符号；反之，若a2n－1＋a2n<0，即a1q2n－2(1＋q)<0，可得q<－1<0.故“q<0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0”的必要而不充分条件，故选C.
8．对于直线m，n和平面α，β，使m⊥α成立的一个充分条件是( )
A．m⊥n，n∥α B．m∥β，β⊥α
C．m⊥β，n⊥β，n⊥α D．m⊥n，n⊥β，β⊥α
C [解析] 因为m⊥β，n⊥β，所以m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，故选C.
9．(2016·广州高考模拟)下列说法中正确的是( )
A．“f(0)＝0”是“函数f(x)是奇函数”的充要条件
B．若p：∃x0∈R，x－x0－1>0，则綈p：∀x∈R，x2－x－1<0
C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题
D．命题“若α＝，则sin α＝”的否命题是“若α≠，则sin α≠”
D [解析] f(0)＝0，函数f(x)不一定是奇函数，如f(x)＝x2，所以A错误；若p：∃x0∈R，x－x0－1>0，则綈p：∀x∈R，x2－x－1≤0，所以B错误；p，q只要有一个是假命题，则p∧q为假命题，所以C错误；否命题是将原命题的条件和结论都否定，D正确．
10．(2016·海口调研测试)已知命题p：若a0，使得x0－1－ln x0＝0，则下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．p∨(綈q)
C．(綈p)∧q D．(綈p)∧(綈q)
C [解析] 依题意，对于p，注意到当c＝0时，ac2＝bc2，因此命题p是假命题；对于q，
注意到当x0＝1时，x0－1－ln x0＝0，因此命题q是真命题，命题綈q是假命题，p∧q是假
命题，p∨(綈q)是假命题，(綈p)∧q是真命题，(綈p)∧(綈q)是假命题．综上所述，选C.
11．已知p：∃x∈R，mx2＋2≤0，q：∀x∈R，x2－2mx＋1>0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．(－∞，－1]
C．(－∞，－2] D．[－1，1]
A [解析] 因为p∨q为假命题，
所以p和q都是假命题．
由p：∃x∈R，mx2＋2≤0为假命题，
得綈p：∀x∈R，mx2＋2>0为真命题，
所以m≥0.①
由q：∀x∈R，x2－2mx＋1>0为假命题，
得綈q：∃x∈R，x2－2mx＋1≤0为真命题，
所以Δ＝(－2m)2－4≥0⇒m2≥1⇒m≤－1或m≥1.②
由①和②得m≥1.故选A.
12．(2016·郑州第一次质量预测)已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若∀x1∈，∃x2∈[2，3]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是( )
A．a≤1 B．a≥1
C．a≤0 D．a≥0
C [解析] 由题意知f(x)min≥g(x)min(x∈[2，3])，因为f(x)min＝4，g(x)min＝4＋a，所以4≥4＋a，即a≤0，故选C.
13．(2016·山西高三考前质检)设全集U＝{x∈Z|－2≤x≤4}，A＝{－1，0，1，2，3}．若B⊆∁UA，则集合B的个数是________．
[解析] 由题意得，U＝{－2，－1，0，1，2，3，4}，所以∁UA＝{－2，4}，所以集合B的个数是22＝4.
[答案] 4
14．已知集合A＝{x|－10恒成立．当
a＝0时，x>－，不满足题意；当a≠0时，要使不等式恒成立，则有即解得所以a>，即实数a的取值范围是.
[答案]
16．已知“p：(x－m)2>3(x－m)”是“q：x2＋3x－4<0”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．
[解析] 记P＝{x|(x－m)2>3(x－m)}＝{x|(x－m)·(x－m－3)>0}＝{x|xm＋3}，Q＝{x|x2＋3x－4<0}＝{x|(x＋4)(x－1)<0}＝{x|－4
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