高中数学-必修一-函数培优题

高中数学-必修一-函数培优题

高中数学必修一函数培优题 集合与映射部分 1．设 A 是整数集的一个非空子集，对于 k A ，如果 1k A  ，且 1k A  ，那么称 k 是 A 的一个“孤立元”． 给定  1 2 3 4 5 6 7 8S  ， ， ， ， ， ， ， ，由 S 的 3 个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个． 6 2．对于各数互不相等的正数数组 1 2, , , ni i i （ n 是不小于 2 的正整数），如果在 p q 时有 p qi i ，则称 “ pi 与 qi ”是该数组的一个“顺序”，一个数组中所有“顺序”的个数称为此数组的“顺序数”． 例如，数组 2,4,3,1 中有顺序“ 2, 4 ”，“ 2, 3”，其“顺序数”等于 2 ． 若各数互不相等的正数数组  1 2 3 4 5, , , ,a a a a a 的“顺序数”是 4 ，则  5 4 3 2 1, , , ,a a a a a 的“顺序数”是 ．6 3．对于任意两个正整数，定义运算（用  表示运算符号）： 当 m ， n 都是正偶数或都是正奇数时， m n m n   ，例如 4 6 4 6 10    ,3 7 3 7 10    ； 当 m ， n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时， m n m n   ，例如 3 4 3 4 12    ． 在上述定义中，集合   *| 12M a b a b a b   N， ， ， 的元素有 个．15 4．设集合   0 1 2 3 4 5, , , , , S A A A A A A ，在 S 上定义运算“⊕”为： i j kA A A  ，其中 k 为 i j 被 4 除 的余数， , 0,1,2,3,4,5i j  ．则满足关系式 2 0( )x x A A   的 ( )x x S 的个数有 个．3 5．实数集 R 中定义一种运算“*”，具有性质： ① 对任意 , , * *a b R a b b a  ； ② 对任意 , *0a R a a  ； ③ 对任意 , , ,( * )* *( ) ( * ) ( * ) 2a b c R a b c c ab a c b c c     ； 则 0*2  ． 2 6．给定集合 {1,2,3,..., }nA n ， *nN ．若 f 是 n nA A 的映射，且满足： ⑴ 任取 , ,ni j A 若 i j ，则 ( ) ( )f i f j ； ⑵ 任取 ,nm A 若 2m≥ ，则有 m { (1), (2),.., ( )}f f f m ． 则称映射 f 为 n nA A 的一个“优映射”． 例如：用表 1 表示的映射 f ： 3 3A A 是一个“优映射”． ⑴ 已知 f ： 4 4A A 是一个“优映射”，请把表 2 补充完整（只需填出一个满足条件的映射）． i 1 2 3 4 或 i 1 2 3 4 ( )f i 2 3 1 4 ( )f i 2 3 4 1 7．定义映射 f A B∶ ，其中   |A m n m n R， ， ， B  R ． 已知对所有的有序正整数对  m n， 满足下述条件： ①  1 1f m ， ； ② 若 m n ，   0f m n ， ； ③      1, , , 1f m n n f m n f m n      表 1 i 1 2 3 ( )f i 2 3 1 表 2 i 1 2 3 4 ( )f i 3 则  3, 2f 的值是 ；6 8．已知 (1,1) 1f  ， ( , ) *f m n N （ m 、 *)n N ，且对任意 m 、 *nN 都有： ① ( , 1) ( , ) 2f m n f m n   ；② ( 1,1) 2 ( ,1)f m f m  ． 给出以下三个结论： （1） (1, 5) 9f  ；（2） (5,1) 16f  ；（3） (5, 6) 26f  ．其中正确的个数为（ A ） （A） 3 （B） 2 （C）1 （D） 0 9．下图展示了一个由区间  0 1， 到实数集 R 的映射过程： ⑴ 区间  0 1， 中的实数 m 对应数轴上的点 M ，如图 1； ⑵ 将线段 AB 围成一个圆，使两端点 A 、 B 恰好重合，如图 2； ⑶ 再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在 y 轴上，点 A 的坐标为  0 1， ，如图 3． 图 3 中直线 AM 与 x 轴交于点  0N n， ，则 m 的象就是 n ，记作  f m n ． ⑴ 方程   0f x  的解是 x  ； 1 2 ⑵ 下列说法中正确命题的序号是 ．③④（填出所有正确命题的序号） ① 1 14f      ； ②  f x 是奇函数； ③  f x 在定义域上单调递增； ④  f x 的图象关于点 1 ,02      对称． 10．若集合 A 具有以下性质： ① A0 ， A1 ； ② 若 Ayx , ，则 Ayx  ，且 0x 时， Ax 1 ． 则称集合 A 是“好集”．分别判断集合 { 1,0,1}B = - ，有理数集Q 是否是“好集”，并说明理由． 11．若集合  1 2, , , ( 2)kA a a a k L ，其中 ( 1, 2, , )ia i k Z L ，由 A 中的元素构成两个相应的集合：  ( , ) , ,S a b a A b A a b A     ，  ( , ) , ,T a b a A b A a b A     ． 其中 ( , )a b 是有序数对．若对于任意的 a A ，总有 a A  ，则称集合 A 具有性质 P ． 检验集合 01 2 3，，， 与 1 2 3 ，， 是否具有性质 P 并对其中具有性质 P 的集合，写出相应的集合 S 和T ． 12．已知数集  1 2, , , nA a a a  （ 1 21 na a a     ， 2n  ）具有性质 P ： 对任意的 i 、 j (1 )i j n   ， i ja a 与 j i a a 两数中至少有一个属于 A ． 分别判断数集 1,3,4 与 1,2,3,6 是否具有性质 P ，并说明理由． 初等函数及其性质部分 1．求下列函数的定义域 （1） 2 3 xy x   ； （2） 2ln( 1) 4y x x    ； （3） 2log (1 2 )y x  ． 2．给出下列三个等式： ① ( ) ( ) ( )f xy f x f y  ； ② ( ) ( ) ( )f x y f x f y   ； ③ ( ) ( ) ( )f x y f x f y   ． 下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ） （A） ( ) 3xf x  （B） ( ) 2f x x （C） ( ) lgf x x （D） 1( )f x x  3．设 2 3 2 5 5 53 2 2( ) , ( ) , ( )5 5 5a b c   ，则 , ,a b c 的大小关系是（ A ） （A） a c b  （B） a b c  （C） c a b  （D）b c a  4．设 2 5 4 4log 4, (log 3) , log 5a b c   ，则 , ,a b c 的大小关系是（ D ） （A） a c b  （B）b c a  （C） a b c  （D）b a c  5．设 3.0 2 1 3 1 )2 1(,3log,2log  cba ，则 , ,a b c 的大小关系是（ B ） （A） a b c  （B） a c b  （C）b c a  （D）b a c  6．设 , ,a b c 均为正数，且 1 2 2 loga a ， 1 2 1 log2 b b     ， 2 1 log2 c c     ，则 , ,a b c 的大小关系是（ ） （A） a b c  （B） c b a  （C） c a b  （D）b a c  7．下列函数中，在区间 (1, ) 上为增函数的是（ B ） （A） 2 1xy    （B） 1 xy x   （C） 2( 1)y x   （D） 1 2 log ( 1)y x  8．给定函数：① 1 2y x ； ② 1 2 log ( 1)y x  ； ③ | 1|y x  ； ④ 12xy  其中在区间 (0,1) 上单调递减的函数序号是（ B ） （A）①② （B）②③ （C）③④ （D）①④ 9．为了得到函数 3lg 10 xy  的图象，只需把函数 lgy x 的图象上所有点（ C ） （A）向左平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 （B）向右平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 （C）向左平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 （D）向右平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 10．若 )2(log axy a  在 ]1,0[ 上是减函数，则 a 的取值范围是（ C ） （A） )1,0( （B） )2,0( （C） )2,1( （D） ),2(  11．已知 (3 1) 4 , 1( ) log , 1a a x a xf x x x      是 ( , )  上的增函数，则 a 的取值范围是（ C ） （A） (0,1) （B） 1(0, )3 （C） 1 7   , 1 3   （D） 1 ,17   12．设函数 ( )y f x 在 ( , )  内有定义，对于给定的正数 K，定义函数 ( ), ( ) ,( ) , ( ) .K f x f x Kf x K f x K    取函数 ( ) 2 xf x  ，当 K = 1 2 时，函数 ( )Kf x 的单调递增区间为（ C ） （A） ( ,0) （B） (0, ) （C） ( , 1)  （D） (1, ) 13．设 2 5a b m  ，且 1 1 2a b   ，则 m  ．【 10 】 14．若 2log 13a  ，则 a 的取值范围是 ． 15．已知 (1 )log (2 3 ) 1k k   ，则实数 k 的取值范围是 ． 16．偶函数 ( )f x 在 ( , 0) 上是减函数，若 ( 1) (lg )f f x  ，则实数 x 的取值范围是 ． 17．函数    2log 3 1xf x   的值域为 ． 18．定义：区间  1 2 1 2,x x x x 的长度为 2 1x x . （1）若函数 | |2 xy  的定义域为 ,a b ，值域为 1,2 ，则区间 ,a b 的长度的最大值与最小值的 差为 ．【1】 （2）若函数 1 2 logy x 的定义域为 ],[ ba ，值域为 ]2,0[ ，则区间 ],[ ba 的长度的最大值与最小值的 差为 ．【3】 19．对于函数 ( )f x 定义域中的任意 1 2 1 2, ( )x x x x ，有如下结论： ① 1 2 1 2( ) ( ) ( )f x x f x f x   ； ② 1 2 1 2( ) ( ) ( )f x x f x f x   ； ③ 1 2 1 2 ( ) ( ) 0f x f x x x   ； ④ 1 2 1 2( ) ( )( )2 2 x x f x f xf   ． 当 ( ) xf x e 时，上述结论中正确结论的序号是 （将你认为正确结论的序号都填上）； 当 ( ) lgf x x 时，上述结论中正确结论的序号是 （将你认为正确结论的序号都填上）． 函数的零点与方程的根部分 1．已知函数 1 31( ) ( )2 xf x x  ，那么在下列区间中含有函数 ( )f x 零点的为（ B ） （A） 1(0, )3 （B） 1 1( , )3 2 （C） 1( ,1)2 （D） (1,2) 2．已知 2 1, 0( ) log , 0 x xf x x x     ，则函数 1)]([  xffy 的零点个数是（ A ） （A）4 （B）3 （C）2 （D）1 3．已知 3 1( ) ( ) log5 xf x x  ，若 0x 是函数 ( )f x 的零点，且 1 00 x x  ，则 1( )f x 的值为（ A ） （A）恒为正值 （B）等于 0 （C）恒为负值 （D）不大于 0 4．已知定义域为 (0, )  的单调函数 ( )f x ，若对任意 (0, )x   ，都有 1 2 ( ( ) log ) 3f f x x  ， 则方程 ( ) 2f x x  的解的个数是（ B ） （A）3 （B）2 （C）1 （D）0 5．已知 1( ) , 4( ) 2 ( 1), 4 x xf x f x x       ，则 2(2 log 3)f   ．【 1 24 】 6．已知 1 , 0 ( ) 1( ) , 03 x xxf x x      ，则不等式 1( ) 3f x  的解集为 ． 7．已知 3 2 , 2( ) ( 1) , 2 xf x x x x       ，若方程 ( )f x k 有两个不同的实根，则实数 k 的取值范围是 ． 8．用 max{ }a b， 表示 a，b 两数中的最大数，设 2 2( ) max{ 8 4, log }f x x x x    ， 若函数 ( ) ( )g x f x kx  有 2 个零点，则 k 的取值范围是 ．【 (0, 4) 】 定义函数及其满足某性质部分 1．定义：如果对于函数 ( )f x 定义域内的任意 x ，都有  f x M≥ （ M 为常数），那么称 M 为 ( )f x 的下界， 下界 M 中的最大值叫做 ( )f x 的下确界． 现给出下列函数，其中所有有下确界的函数是（ D ） ①   2logf x x ； ②   3xf x  ； ③   1( 0) 0( 0) 1( 0) x f x x x       （A）② （B）④ （C）②③④ （D）③④ 2．已知函数 ( )f x 的定义域为 R，若存在常数 0m  ，对任意 xR ，有 ( )f x m x≤ ，则称 ( )f x 为 F 函数． 给出下列函数： ① ( ) 0f x  ； ② 2( )f x x ； ③ ( )f x 是定义在 R 上的奇函数，且满足对一切实数 1 2,x x 均有 1 2 1 2( ) ( ) 2f x f x x x ≤ ． 其中是 F 函数的序号为（ C ） （A）①②③ （B）②③ （C）①③ （D）①② 3．集合 M 由满足以下条件的函数 ( )f x 组成：对任意  1 2, 1,1x x   时，都有 1 2 1 2( ) ( ) 4f x f x x x ≤ ． 对于两个函数 2 1 2( ) 2 5, ( )f x x x f x x    ，以下关系成立的是（ D ） （A） 1 2( ) , ( )f x M f x M  （B） 1 2( ) , ( )f x M f x M  （C） 1 2( ) , ( )f x M f x M  （D） 1 2( ) , ( )f x M f x M  4．若函数 ( )f x 满足条件：当 1 2, [ 1,1]x x   时，有 1 2 1 2( ) ( ) 3f x f x x x   成立，则称 ( )f x  ． 对于函数 3 1( ) , ( ) 2g x x h x x    ，有（ C ） （A） ( ) ( )g x h x 且 （B） ( ) ( )g x h x 且 （C） ( ) ( )g x h x 且 （D） ( ) ( )g x h x 且 5．已知三个函数：① 31y x  ；② 12xy  ；③ lgy x ．其中满足性质： 对于任意 1x 、 2x R ，若 1 0 2x x x  ， 1 0 2 x x  ， 0 2 2 x x  ，则有 1 2( ) ( ) ( ) ( )f f f x f x    成立 的函数是 ．①②（写出全部正确结论的序号） 6．平面直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数 ( )f x 的图象恰好通过 ( )k k N 个 格点，则称函数 ( )f x 为 k 阶格点函数．下列函数： ① 1 2( )f x x ； ② 2( ) π( 1) 3f x x   ； ③ 21( ) 3 x f x      ； ④ 0.6( ) log ( 1)f x x  ； ⑤ 1( ) 1f x x   ， 其中是一阶格点函数的有 ．②④（填上所有满足题意的函数的序号） 7．设函数 ( )f x 的定义域为 D ，如果对于任意的 1x D ，存在唯一一个 2x D ，使得 1 2( ) ( )f x f x c  （ c 为常数）成立，则称函数 ( )f x 在 D 上“与常数 c 关联”．给出下列函数： ① 1 1y x   ；② 3y x  ；③ | |1( )2 xy  ；④ ln( )y x  ． 其中满足在其定义域上与常数1关联的所有函数是 ．（填上所有满足题意的函数的序号） 8．设函数 ( )f x 的定义域为 D ，若存在非零实数 l 使得对于任意 ( )x M M D  ，有 x l D  ，且 ( ) ( )f x l f x ≥ ，则称 ( )f x 为 M 上的 l 高调函数． 如果定义域是[ 1, )  的函数 2( )f x x 为[ 1, )  上的 m 高调函数，那么实数 m 的取值范围 是 ． 2m≥ 如果定义域为 R 的函数 ( )f x 是奇函数，当 0x≥ 时， 2 2( )f x x a a   ，且 ( )f x 为 R 上的 4 高调函数， 那么实数 a 的取值范围是 ． 1 1a ≤ ≤ 9．用[ ]x 表示不超过 x 的最大整数，如[1.8] 1 ．对于下面关于函数 2( ) ( [ ])f x x x  的四个命题： ① 函数 ( )y f x 的定义域为 R ，值域为[0, 1] ； ② 函数 ( )y f x 的图象关于 y 轴对称； ③ 函数 ( )y f x 是周期函数，最小正周期为 1； ④ 函数 ( )y f x 上是增函数． 其中正确命题的序号是 ．（写出所有正确命题的序号）③ 10．定义：若 1 1 2 2m x m  ≤ （其中 m 为整数），则 m 叫做离实数 x 最近的整数，记作 x m ． 在此基础上给出下列关于函数  ( )f x x x  的四个命题： ① 函数 ( )y f x 的定义域为 R ，值域为 10, 2      ； ② 函数 ( )y f x 的图像关于直线 2 kx   k Z 对称； ③ 函数 ( )y f x 是周期函数，最小正周期为 1； ④ 函数 ( )y f x 在 1 1,2 2     上是增函数． 其中正确的命题的序号是 ．①②③（写出所有正确命题的序号） 函数的奇偶性、单调性等性质部分 1．设函数 ( ) 3xf x  ，且函数 ( )f x 与 ( )g x 互为反函数． （Ⅰ）求 ( )g x 的解析式； （Ⅱ）将函数 3log ( 3) 2y x   的图象经过怎样的平移后，可以得到函数 ( )g x 的图象？ 2．已知函数 ( ) ( 0xf x a a  且 1)a  ． （Ⅰ）若 0( ) 4f x  ，求 0(2 )f x 的值； （Ⅱ）若 2 2(2 3 1) ( 2 5)f x x f x x     ，求 x 的取值范围． 3．已知函数 2( ) 2f x x x  与 ( ) 3xg x  ． （Ⅰ）求函数 [ ( )]y f g x ， [1, 2]x 的值域； （Ⅱ）求函数 [ ( )]y g f x ， [1, 2]x 的值域． 4．已知定义域为 R 的函数 a bxf x x   12 2)( 是奇函数. （Ⅰ）求 ,a b 的值；【1, 2 】 （Ⅱ）若对任意的t R ，不等式 0)2()2( 22  ktfttf 恒成立，求 k 的取值范围.【 1 3k   】 5．若函数 2 2( ) log ( 2 9)f x x x   ． （Ⅰ）求 ( )f x 的定义域与值域； （Ⅱ）求 ( )f x 的单调增区间． 6．若函数 2 1( ) log 1 xf x x   ． （Ⅰ）求函数 ( )f x 的定义域； （Ⅱ）判断函数 ( )f x 的奇偶性与单调性； （Ⅲ）求 ( ) 0f x  的解集； （Ⅳ）函数 ( )f x 在其定义域上是否存在反函数？ 若存在，求出反函数 1( )f x ；若不存在，说明理由． 7．已知函数 1( )f x x x   ． （Ⅰ）求证：函数 ( )f x 在 (0,1) 上单调递减， 在 (1, )  上单调递增； （Ⅱ）判断函数 ( )f x 的奇偶性； （Ⅲ）在右侧直角角标系中，画出函数的图象； 并由函数的图象归纳出函数的性质 （例如：奇偶性、单调性、值域等）；． （Ⅳ）由前述问题归纳出函数 ( ) ag x x x   ( 0)a  的性质． 抽象函数及其性质部分 1．设函数 ( )f x 的定义域为 R ，对任意 1 2,x x R ，恒有 1 2 1 2( ) ( ) ( )f x x f x f x   成立． （Ⅰ）求证： ( )f x 是奇函数； （Ⅱ）当 0x  时，有 ( ) 0f x  ，证明 ( )f x 是 R 上的减函数． 2．设函数 ( )f x 的定义域为 R ，当 0x  时，有 0 ( ) 1f x  ，且对于任意实数 m 、 n 均有 ( ) ( ) ( )f m n f m f n   成立． （Ⅰ）求 (0)f 的值； （Ⅱ）求证：当 0x  时， ( ) 1f x  ． 3．已知函数 ( )f x 对任意的实数 ,x y 满足： ( ) ( ) ( ) 2f x y f x f y+ = + - ，且 0 , ( ) 2x f x> >时 ， （Ⅰ）求 (0)f ； （Ⅱ）求证： ( )f x 是 R 上的增函数； （Ⅲ）当 (3) 5f = ，解不等式 2( 2 2) 3f a a- - < . 4．已知函数 ( )f x 的定义域为 { 0}D x x= ¹ 且满足对于任意的 1 2,x x DÎ ， 有 1 2 1 2( ) ( ) ( )f x x f x f x× = + . （Ⅰ）求 (1)f ； （Ⅱ）判断并证明 ( )f x 的奇偶性； （Ⅲ）如果 (4) 1, (3 1) (2 6) 3f f x f x= + + - £ ，且 ( )f x 在 (0, )+¥ 上是增函数，求 x 的取值范围. 5．定义在 R 上的函数 ( )f x 满足：对任意实数 ,m n ，总有 ( ) ( ) ( )f m n f m f n+ = × ， 且当 0x > 时， 0 ( ) 1f x< < ． （Ⅰ）判断 ( )f x 的单调性； （Ⅱ）设 2 2{( ) | ( ) ( ) (1)}A x y f x f y f，= × > ， {( ) | ( 2) 1 }B x y f ax y a R， ，= - + = Î ， 若 A BI = Æ ，试确定 a 的取值范围． 6．定义在 (0, )  上的函数 ( )f x 满足: ① (2) 1f  ；② ( ) ( ) ( )f xy f x f y  ；③ ( ) ( ) 0f x f y x y   ． （Ⅰ）求 (1)f ， (4)f 的值； （Ⅱ）判断函数 ( )f x 的单调性； （Ⅲ）若 ( ) ( 3) 2f x f x   ，求 x 的取值范围. 7．函数 ( )f x 的定义域为 R ，且 ( )f x 的值不恒为 0，又对于任意的实数 m 、 n ， 总有 ( ) ( ) 2 2 n mf m f n mf nf           成立． （Ⅰ）求 (0)f 的值； （Ⅱ）求证： ( ) 0t f t ≥ 对任意的 t R 成立； （Ⅲ）求所有满足条件的函数 ( )f x ． 2m n x     2 2(2 ) 4 2 2 xf x xf x f x xf        令 2 2m n x  ∴      2 2 2 xf x f x xf x f x          2f x xf x  当 ( ) 0f x  时恒成立，当 ( ) 0f x  时有， ∴      2 4f x f x x xf x   ∴   4 1 xf x x   8．定义在 R 上的函数 ( ), (0) 0y f x f  ，当 0x  时， ( ) 1f x  ，且对任意的 ,a bR ， 有 ( ) ( ) ( )f a b f a f b  成立． （Ⅰ）求证： (0) 1f  ； （Ⅱ）求证：对任意的 x∈ R ，恒有 ( ) 0f x  ； （Ⅲ）求证： ( )f x 是 R 上的增函数； （Ⅳ）若 2( ) (2 ) 1f x f x x   ，求 x 的取值范围．