2018-2019学年辽宁省沈阳市东北育才学校高一下学期第一次月考数学试题

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2018-2019学年辽宁省沈阳市东北育才学校高一下学期第一次月考数学试题

‎2018-2019学年辽宁省沈阳市东北育才学校高一下学期第一次月考数学试题 一、选择题(共12小题,共60分)‎ ‎1.角的终边经过点,则的值为 A. B. C. D. ‎ ‎2.若,为第四象限角,则的值等于 A. B. C. D. ‎ ‎3.如图,的外切正六边形ABCDEF的边长为2,则图中阴影部分的面积为 ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎4.‎ A. B. C. D.‎ ‎5.将函数的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数为 A. B. C. D. ‎ ‎6.若,则 A. B. C. D. ‎ ‎7.若,且,则 A. B. C. D. ‎ ‎8.下列三角函数值大小比较正确的是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎9.为了得到函数的图象,只需把函数的图象 A. 向左平移个长度单位 B. 向右平移个长度单位 C. 向左平移个长度单位 D. 向右平移个长度单位 ‎10.已知函数,点和是其相邻的两个对称中心,且在区间内单调递减,则 A. B. C. D. ‎ ‎11.若,,且,,则的值是 A. B. C. 或 D. 或 ‎12.已知函数的一个零点是是的图象的一条对称轴,则取最小值时,的单调增区间是 A. B.‎ C. D.‎ 二、填空题(共4小题,共20分)‎ ‎13. ‎ ‎14.已知函数,值域为,则的最大值为______ ‎ ‎15.已知,则 ______‎ ‎16.已知函数在上有最大值,但没有最小值,则的取值范围是______‎ 三、解答题(共6小题,共70分)‎ ‎17.(本小题10分)‎ 某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+)(ω>0,| |)在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:‎ ωx+‎ ‎0‎ ‎ ‎ π ‎ ‎ ‎2π x ‎ ‎ ‎ ‎ Asin(ωx+)‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎﹣5‎ ‎0‎ ‎(1)请在答题卡上将如表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式;‎ ‎(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动个单位长度,得到y=g(x)图象,求y=g(x)的图象离原点O最近的对称中心.‎ ‎18. (本小题12分)‎ 若,,,. (1)求的值; (2)求的值.‎ ‎19.(本小题12分)‎ 设关于x的函数的最小值为,试确定满足的a的值.‎ ‎20.(本小题12分)‎ 如图,一个水轮的半径为4米,水轮圆心距离水面2米,已知水轮每分钟逆时针转动4圈,如果当水轮上点从水中浮现(图中点)开始计算时间.‎ ‎(1)将点距离水面的高度(米)表示为时间(秒)的函数;‎ ‎(2)在水轮旋转一圈内,有多长时间点离开水面?‎ ‎21.(本小题12分)‎ 若函数满足且,则称函数为“函数”.‎ ‎(1)试判断是否为“函数”,并说明理由;‎ ‎(2)函数为“函数”,且当时,,求的解析式,并写出在上的单调递增区间;‎ ‎(3)在(2)的条件下,当时,关于的方程为常数有解,记该方程所有解的和为,求.‎ ‎22.(本小题12分)‎ 已知,.‎ ‎(1)求当时,的值域;‎ ‎(2)若函数在内有且只有一个零点,求的取值范围.‎ 一、 ‎选择题(本大题共12小题,共60.0分)‎ ‎1.角的终边经过点,则的值为  D A. B. C. D. ‎ ‎2.若,为第四象限角,则的值等于  D A. B. C. D. ‎ ‎3.如图,的外切正六边形ABCDEF的边长为2,则图中阴影部分的面积为 C A. B. C. D. ‎ ‎4. D A. B.‎ C. ‎ D.‎ ‎5.将函数的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数为(    )D A. B. C. D. ‎ ‎6.如果,则 C A. B. ‎ C. D. ‎ ‎7.若,且,则     A A. B. C. D. ‎ ‎8.下列三角函数值大小比较正确的是  C A. B. C. D. ‎ ‎9.为了得到函数的图象,只需把函数的图象  A A. 向左平移个长度单位 B. 向右平移个长度单位 C. 向左平移个长度单位 D. 向右平移个长度单位 ‎10.已知函数,点和是其相邻的两个对称中心,且在区间内单调递减,则(    )A A. B. C. D. ‎ ‎11.若,,且,,则的值是  B A. B. C. 或 D. 或 ‎12.已知函数的一个零点是是的图象的一条对称轴,则取最小值时,的单调增区间是( )A A. B.‎ C. D.‎ 二、填空题(本大题共10小题,共50.0分)‎ ‎13. ‎ ‎14.已知函数,值域为,则的最大值为______ , 【答案】‎ ‎15.已知,则 ______ .【答案】‎ ‎16.已知函数在上有最大值,但没有最小值,则的取值范围是______【答案】‎ ‎17.某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+)(ω>0,| |)在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:‎ ωx+‎ ‎0‎ ‎ ‎ π ‎ ‎ ‎2π x ‎ ‎ ‎ ‎ Asin(ωx+)‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎﹣5‎ ‎0‎ ‎(1)请在答题卡上将如表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式;‎ ‎(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动个单位长度,得到y=g(x)图象,求y=g(x)的图象离原点O最近的对称中心.‎ ‎【答案】(1)答案见解析,解析式为f(x)=5sin(2x).;(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据表中已知数据可得A,可求,,解得ω,的值,即可求得函数解析式,即可补全数据.‎ ‎(2)由三角函数平移变换规律可求g(x)的函数解析式,利用正弦函数的图象和性质即可得解.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)根据表中已知数据可得:A=5,,,‎ 解得.‎ 数据补全如下表:‎ ωx+‎ ‎0‎ ‎ ‎ π ‎ ‎ ‎2π x ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ Asin(ωx+)‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎﹣5‎ ‎0‎ 且函数表达式为:f(x)=5sin(2x).‎ ‎(2)由(1)知,‎ 因此 .‎ 因为y=sinx的对称中心为(kπ,0),k∈Z.‎ 令,‎ 解得:,k∈Z.‎ 即y=g(x)图象的对称中心为:,k∈Z,‎ 其中离原点O最近的对称中心为:.‎ ‎18. 若,,,. 求的值; 求的值.‎ ‎【答案】解:Ⅰ, , 又, , ;Ⅱ,, 又 , , .‎ ‎19.设关于x的函数的最小值为,试确定满足的a的值.‎ ‎,‎ 令,可得,‎ 换元可得,可看作关于t的二次函数,‎ 图象为开口向上的抛物线,对称轴为,‎ 当,即时,是函数y的递增区间,;‎ 当,即时,是函数y的递减区间,,得,与矛盾;‎ 当,即时,,变形可得,‎ 解得或舍去 ‎ 综上可得满足的a的值为.‎ ‎20.如图,一个水轮的半径为4米,水轮圆心距离水面2米,已知水轮每分钟逆时针转动4圈,如果当水轮上点从水中浮现(图中点)开始计算时间.‎ ‎(1)将点距离水面的高度(米)表示为时间(秒)的函数;‎ ‎(2)在水轮旋转一圈内,有多长时间点离开水面?‎ ‎【答案】(1),;(2)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)以圆心为原点建立平面直角坐标系.根据距离水面的高度得到点的坐标.利用三角函数来表示点的坐标,将角速度代入点的纵坐标,在加上,可求得的表达式.(2)令,通过解三角不等式可求得离开水面的时间.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)以圆心为原点,建立如图所示的直角坐标系,‎ 则,所以以为始边,为终边的角为,‎ 故 点在秒内所转过的角=,所以, ‎ ‎(2)令,得,‎ 所以 即 又,所以即在水轮旋转一圈内,有10秒时间点离开水面.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用三角函数表示旋转高度的问题,考查三角不等式的解法,考查数形结合的数学思想方法,属于中档题.‎ ‎21.若函数满足且,则称函数为 “函数”.‎ 试判断是否为“函数”,并说明理由;‎ 函数为“函数”,且当时,,求的解析式,并写出在上的单调递增区间;‎ 在条件下,当时,关于的方程为常数有解,记该方程所有解的和为,求.‎ ‎【答案】(1)不是“M函数”;(2),;(3).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由不满足,得不是“M函数”,‎ 可得函数的周期,,‎ 当时,‎ 当时,‎ 在上的单调递增区间:,‎ 由可得函数在上的图象,根据图象可得:‎ 当或1时,为常数有2个解,其和为 当时,为常数有3个解,其和为.‎ 当时,为常数有4个解,其和为 即可得当时,记关于x的方程为常数所有解的和为,‎ ‎【详解】‎ 不是“M函数”.‎ ‎,‎ ‎,‎ 不是“M函数”.‎ 函数满足,函数的周期 ‎,,‎ 当时,‎ 当时,‎ ‎,‎ 在上的单调递增区间:,;‎ 由可得函数在上的图象为:‎ 当或1时,为常数有2个解,其和为.‎ 当时,为常数有3个解,其和为.‎ 当时,为常数有4个解,其和为 当时,记关于x的方程为常数所有解的和为,‎ 则.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数的图象、性质,考查了三角恒等变形,及三角函数型方程问题,属于难题.‎ ‎22.已知,.‎ ‎(1)求当时,的值域;‎ ‎(2)若函数在内有且只有一个零点,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)的值域为;(2)或.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)当时,,令,则,,可求的值域;(2),‎ 令,则当时,,,在内有且只有一个零点等价于在内有且只有一个零点,无零点.因为,∴在内为增函数,分①若在内有且只有一个零点,无零点,和②若为的零点,内无零点两种情况讨论即可.‎ 试题解析:(1)当时,,令,则,,‎ ‎,当时,,当时,,所以的值域为.‎ ‎(2),‎ 令,则当时,,,‎ ‎,在内有且只有一个零点等价于在内有且只有一个零点,‎ 无零点.因为,∴在内为增函数,①若在内有且只有一个零点,无零点,故只需得;‎ ‎②若为的零点,内无零点,则,得,经检验,符合题意.‎ 综上,或.‎ 考点:利用换元思想解决三角函数问题,函数的零点
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