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2018-2019学年辽宁省沈阳市东北育才学校高一下学期第一次月考数学试题
2018-2019学年辽宁省沈阳市东北育才学校高一下学期第一次月考数学试题 一、选择题(共12小题,共60分) 1.角的终边经过点,则的值为 A. B. C. D. 2.若,为第四象限角,则的值等于 A. B. C. D. 3.如图,的外切正六边形ABCDEF的边长为2,则图中阴影部分的面积为 A. B. C. D. 4. A. B. C. D. 5.将函数的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数为 A. B. C. D. 6.若,则 A. B. C. D. 7.若,且,则 A. B. C. D. 8.下列三角函数值大小比较正确的是 A. B. C. D. 9.为了得到函数的图象,只需把函数的图象 A. 向左平移个长度单位 B. 向右平移个长度单位 C. 向左平移个长度单位 D. 向右平移个长度单位 10.已知函数,点和是其相邻的两个对称中心,且在区间内单调递减,则 A. B. C. D. 11.若,,且,,则的值是 A. B. C. 或 D. 或 12.已知函数的一个零点是是的图象的一条对称轴,则取最小值时,的单调增区间是 A. B. C. D. 二、填空题(共4小题,共20分) 13. 14.已知函数,值域为,则的最大值为______ 15.已知,则 ______ 16.已知函数在上有最大值,但没有最小值,则的取值范围是______ 三、解答题(共6小题,共70分) 17.(本小题10分) 某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+)(ω>0,| |)在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表: ωx+ 0 π 2π x Asin(ωx+) 0 5 ﹣5 0 (1)请在答题卡上将如表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式; (2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动个单位长度,得到y=g(x)图象,求y=g(x)的图象离原点O最近的对称中心. 18. (本小题12分) 若,,,. (1)求的值; (2)求的值. 19.(本小题12分) 设关于x的函数的最小值为,试确定满足的a的值. 20.(本小题12分) 如图,一个水轮的半径为4米,水轮圆心距离水面2米,已知水轮每分钟逆时针转动4圈,如果当水轮上点从水中浮现(图中点)开始计算时间. (1)将点距离水面的高度(米)表示为时间(秒)的函数; (2)在水轮旋转一圈内,有多长时间点离开水面? 21.(本小题12分) 若函数满足且,则称函数为“函数”. (1)试判断是否为“函数”,并说明理由; (2)函数为“函数”,且当时,,求的解析式,并写出在上的单调递增区间; (3)在(2)的条件下,当时,关于的方程为常数有解,记该方程所有解的和为,求. 22.(本小题12分) 已知,. (1)求当时,的值域; (2)若函数在内有且只有一个零点,求的取值范围. 一、 选择题(本大题共12小题,共60.0分) 1.角的终边经过点,则的值为 D A. B. C. D. 2.若,为第四象限角,则的值等于 D A. B. C. D. 3.如图,的外切正六边形ABCDEF的边长为2,则图中阴影部分的面积为 C A. B. C. D. 4. D A. B. C. D. 5.将函数的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数为( )D A. B. C. D. 6.如果,则 C A. B. C. D. 7.若,且,则 A A. B. C. D. 8.下列三角函数值大小比较正确的是 C A. B. C. D. 9.为了得到函数的图象,只需把函数的图象 A A. 向左平移个长度单位 B. 向右平移个长度单位 C. 向左平移个长度单位 D. 向右平移个长度单位 10.已知函数,点和是其相邻的两个对称中心,且在区间内单调递减,则( )A A. B. C. D. 11.若,,且,,则的值是 B A. B. C. 或 D. 或 12.已知函数的一个零点是是的图象的一条对称轴,则取最小值时,的单调增区间是( )A A. B. C. D. 二、填空题(本大题共10小题,共50.0分) 13. 14.已知函数,值域为,则的最大值为______ , 【答案】 15.已知,则 ______ .【答案】 16.已知函数在上有最大值,但没有最小值,则的取值范围是______【答案】 17.某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+)(ω>0,| |)在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表: ωx+ 0 π 2π x Asin(ωx+) 0 5 ﹣5 0 (1)请在答题卡上将如表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式; (2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动个单位长度,得到y=g(x)图象,求y=g(x)的图象离原点O最近的对称中心. 【答案】(1)答案见解析,解析式为f(x)=5sin(2x).;(2). 【解析】 【分析】 (1)根据表中已知数据可得A,可求,,解得ω,的值,即可求得函数解析式,即可补全数据. (2)由三角函数平移变换规律可求g(x)的函数解析式,利用正弦函数的图象和性质即可得解. 【详解】 (1)根据表中已知数据可得:A=5,,, 解得. 数据补全如下表: ωx+ 0 π 2π x Asin(ωx+) 0 5 0 ﹣5 0 且函数表达式为:f(x)=5sin(2x). (2)由(1)知, 因此 . 因为y=sinx的对称中心为(kπ,0),k∈Z. 令, 解得:,k∈Z. 即y=g(x)图象的对称中心为:,k∈Z, 其中离原点O最近的对称中心为:. 18. 若,,,. 求的值; 求的值. 【答案】解:Ⅰ, , 又, , ;Ⅱ,, 又 , , . 19.设关于x的函数的最小值为,试确定满足的a的值. , 令,可得, 换元可得,可看作关于t的二次函数, 图象为开口向上的抛物线,对称轴为, 当,即时,是函数y的递增区间,; 当,即时,是函数y的递减区间,,得,与矛盾; 当,即时,,变形可得, 解得或舍去 综上可得满足的a的值为. 20.如图,一个水轮的半径为4米,水轮圆心距离水面2米,已知水轮每分钟逆时针转动4圈,如果当水轮上点从水中浮现(图中点)开始计算时间. (1)将点距离水面的高度(米)表示为时间(秒)的函数; (2)在水轮旋转一圈内,有多长时间点离开水面? 【答案】(1),;(2)见解析 【解析】 【分析】 (1)以圆心为原点建立平面直角坐标系.根据距离水面的高度得到点的坐标.利用三角函数来表示点的坐标,将角速度代入点的纵坐标,在加上,可求得的表达式.(2)令,通过解三角不等式可求得离开水面的时间. 【详解】 (1)以圆心为原点,建立如图所示的直角坐标系, 则,所以以为始边,为终边的角为, 故 点在秒内所转过的角=,所以, (2)令,得, 所以 即 又,所以即在水轮旋转一圈内,有10秒时间点离开水面. 【点睛】 本小题主要考查利用三角函数表示旋转高度的问题,考查三角不等式的解法,考查数形结合的数学思想方法,属于中档题. 21.若函数满足且,则称函数为 “函数”. 试判断是否为“函数”,并说明理由; 函数为“函数”,且当时,,求的解析式,并写出在上的单调递增区间; 在条件下,当时,关于的方程为常数有解,记该方程所有解的和为,求. 【答案】(1)不是“M函数”;(2),;(3). 【解析】 【分析】 由不满足,得不是“M函数”, 可得函数的周期,, 当时, 当时, 在上的单调递增区间:, 由可得函数在上的图象,根据图象可得: 当或1时,为常数有2个解,其和为 当时,为常数有3个解,其和为. 当时,为常数有4个解,其和为 即可得当时,记关于x的方程为常数所有解的和为, 【详解】 不是“M函数”. , , 不是“M函数”. 函数满足,函数的周期 ,, 当时, 当时, , 在上的单调递增区间:,; 由可得函数在上的图象为: 当或1时,为常数有2个解,其和为. 当时,为常数有3个解,其和为. 当时,为常数有4个解,其和为 当时,记关于x的方程为常数所有解的和为, 则. 【点睛】 本题考查了三角函数的图象、性质,考查了三角恒等变形,及三角函数型方程问题,属于难题. 22.已知,. (1)求当时,的值域; (2)若函数在内有且只有一个零点,求的取值范围. 【答案】(1)的值域为;(2)或. 【解析】 试题分析:(1)当时,,令,则,,可求的值域;(2), 令,则当时,,,在内有且只有一个零点等价于在内有且只有一个零点,无零点.因为,∴在内为增函数,分①若在内有且只有一个零点,无零点,和②若为的零点,内无零点两种情况讨论即可. 试题解析:(1)当时,,令,则,, ,当时,,当时,,所以的值域为. (2), 令,则当时,,, ,在内有且只有一个零点等价于在内有且只有一个零点, 无零点.因为,∴在内为增函数,①若在内有且只有一个零点,无零点,故只需得; ②若为的零点,内无零点,则,得,经检验,符合题意. 综上,或. 考点:利用换元思想解决三角函数问题,函数的零点查看更多