【数学】2020届一轮复习苏教版同角三角函数基本关系式及诱导公式学案

【数学】2020届一轮复习苏教版同角三角函数基本关系式及诱导公式学案

‎§4.2　同角三角函数基本关系式及诱导公式 考情考向分析　考查利用同角三角函数的基本关系、诱导公式解决条件求值问题，常与三角恒等变换相结合起到化简三角函数关系的作用，强调利用三角公式进行恒等变形的技能以及基本的运算能力．题型为填空题，低档难度．‎ ‎1．同角三角函数的基本关系 ‎(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.‎ ‎(2)商数关系：＝tan α.‎ ‎2．三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 ‎2kπ＋α(k∈Z)‎ ‎－α π－α π＋α －α ＋α 正弦 sin α ‎－sin α sin α ‎－sin α cos α cos α 余弦 cos α cos α ‎－cos α ‎－cos α sin α ‎－sin α 正切 tan α ‎－tan α ‎－tan α tan α 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 概念方法微思考 ‎1．使用平方关系求三角函数值时，怎样确定三角函数值的符号？‎ 提示　根据角所在象限确定三角函数值的符号．‎ ‎2．诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”中的奇、偶是何意义？‎ 提示　所有诱导公式均可看作k·±α(k∈Z)和α的三角函数值之间的关系，口诀中的奇、偶指的是此处的k是奇数还是偶数．‎ 题组一　思考辨析 ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(　×　)‎ ‎(2)若α∈R，则tan α＝恒成立．(　×　)‎ ‎(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．(　×　)‎ ‎(4)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝.(　×　)‎ 题组二　教材改编 ‎2．[P18T3]若sin α＝，<α<π，则tan α＝ .‎ 答案　－ 解析　∵<α<π，∴cos α＝－＝－，‎ ‎∴tan α＝＝－.‎ ‎3．[P22T1]已知tan α＝2，则的值为 ．‎ 答案　3‎ 解析　原式＝＝＝3.‎ ‎4．[P22T4]化简·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为 ．‎ 答案　－sin2α 解析　原式＝·(－sin α)·cos α＝－sin2α.‎ 题组三　易错自纠 ‎5．已知sin θ＋cos θ＝，θ∈，则sin θ－cos θ的值为 ．‎ 答案　－ 解析　∵sin θ＋cos θ＝，∴sin θcos θ＝.‎ 又∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，θ∈，‎ ‎∴sin θ－cos θ＝－.‎ ‎6．已知α为锐角，cos＝，则cos(π＋α)＝ .‎ 答案　－ 解析　∵cos＝sin α＝，且α为锐角，‎ ‎∴cos α＝，∴cos(π＋α)＝－cos α＝－.‎ ‎7．已知cos α＝，－<α<0，则的值为 ．‎ 答案　 解析　∵－<α<0，‎ ‎∴sin α＝－ ＝－，∴tan α＝－2.‎ 则＝ ‎＝－＝＝.‎ 题型一　同角三角函数基本关系式的应用 ‎1．已知α是第四象限角，sin α＝－，则tan α＝ .‎ 答案　－ 解析　因为α是第四象限角，sin α＝－，‎ 所以cos α＝＝，‎ 故tan α＝＝－.‎ ‎2．若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝ .‎ 答案　 解析　tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝＝＝.‎ ‎3．若角α的终边落在第三象限，则＋的值为 ．‎ 答案　－3‎ 解析　由角α的终边落在第三象限，‎ 得sin α<0，cos α<0，‎ 故原式＝＋＝＋＝－1－2＝－3.‎ ‎4．已知sin α－cos α＝，α∈(0，π)，则tan α＝ .‎ 答案　－1‎ 解析　由 消去sin α，得2cos2α＋2cos α＋1＝0，‎ 即(cos α＋1)2＝0，∴cos α＝－.‎ 又α∈(0，π)，∴α＝，‎ ‎∴tan α＝tan ＝－1.‎ 思维升华 (1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确定符号；利用＝tan α可以实现角α的弦切互化．‎ ‎(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．‎ ‎(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.‎ 题型二　诱导公式的应用 例1 (1)已知A＝＋(k∈Z)，则A的值构成的集合是 ．‎ 答案　{2，－2}‎ 解析　当k为偶数时，A＝＋＝2；‎ 当k为奇数时，A＝－＝－2.‎ ‎∴A的值构成的集合是{2，－2}．‎ ‎(2)化简：＝ .‎ 答案　－1‎ 解析　原式＝ ‎＝＝ ‎＝－＝－·＝－1.‎ 思维升华 (1)诱导公式的两个应用 ‎①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了．‎ ‎②化简：统一角，统一名，同角名少为终了．‎ ‎(2)含2π整数倍的诱导公式的应用 由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算．如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.‎ 跟踪训练1 (1)已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边在直线3x－y＝0上，则＝ .‎ 答案　 解析　由已知得tan θ＝3，‎ ‎∴＝ ‎＝＝.‎ ‎(2)已知f(α)＝(sin α≠0,1＋2sin α≠0)，则f＝ .‎ 答案　 解析　∵f(α)＝ ‎＝＝＝，‎ ‎∴f ＝＝＝＝.‎ 题型三　同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用 例2 (1)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是 ．‎ 答案　 解析　由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β－1＝0，解得tan α＝3，又α为锐角，sin2α＋cos2α＝1，故sin α＝.‎ ‎(2)已知－π0，∴sin x－cos x<0，‎ 故sin x－cos x＝－.‎ ‎②＝ ‎＝＝＝－.‎ 引申探究 本例(2)中若将条件“－π0，cos x<0，‎ ‎∴sin x－cos x>0，故sin x－cos x＝.‎ 思维升华 (1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．‎ ‎(2)注意角的范围对三角函数符号的影响．‎ 跟踪训练2 (1)(2018·南京模拟)已知角θ的终边在第三象限，tan 2θ＝－2，则sin2θ＋sin(3π－θ)cos(2π＋θ)－cos2θ＝ .‎ 答案　 解析　由tan 2θ＝－2可得tan 2θ＝＝－2，‎ 即tan2θ－tan θ－＝0，‎ 解得tan θ＝或tan θ＝－.‎ 又角θ的终边在第三象限，故tan θ＝，‎ 故sin2θ＋sin(3π－θ)cos(2π＋θ)－cos2θ ‎＝sin2θ＋sin θcos θ－cos2θ ‎＝ ‎＝＝＝.‎ ‎(2)已知sin α＝，则tan(π＋α)＋＝ .‎ 答案　或－ 解析　∵sin α>0，∴α为第一或第二象限角，‎ tan(α＋π)＋＝tan α＋ ‎＝＋＝.‎ ‎①当α是第一象限角时，cos α＝＝，‎ 原式＝＝；‎ ‎②当α是第二象限角时，cos α＝－＝－，‎ 原式＝＝－.‎ 综合①②知，原式＝或－.‎ ‎1．已知α是第四象限角，tan α＝－，则sin α＝ .‎ 答案　－ 解析　因为tan α＝－，‎ 所以＝－，‎ 所以cos α＝－sin α，‎ 代入sin2α＋cos2α＝1，解得sin α＝±，‎ 又α是第四象限角，所以sin α＝－.‎ ‎2．已知tan(α－π)＝，且α∈，则sin＝ .‎ 答案　－ 解析　tan(α－π)＝tan α＝，‎ 由解得cos α＝±.‎ 又因为α∈，‎ 所以cos α＝－，‎ 所以sin＝cos α＝－.‎ ‎3．满足等式cos 2x－1＝3cos x(x∈[0，π])的x的值为 ．‎ 答案　 解析　由题意可得，2cos2x－3cos x－2＝0，解得cos x＝－或cos x＝2(舍去)．又x∈[0，π]，故x＝.‎ ‎4．sin π·cos π·tan的值是 ．‎ 答案　－ 解析　原式＝sin·cos·tan ‎＝·· ‎＝××(－)＝－.‎ ‎5．(2019·江苏省扬州中学月考)设函数f(x)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin x，当0≤x≤π时，f(x)＝0，则f ＝ .‎ 答案　 解析　∵函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin x，‎ 当0≤x≤π时，f(x)＝0，‎ ‎∴f ＝f ＋sin ‎＝f ＋sin＋sin ‎＝f ＋sin＋sin＋sin ‎＝0＋－＋＝.‎ ‎6．设tan α＝3，则＝ .‎ 答案　2‎ 解析　∵tan α＝3，∴原式＝＝＝＝2.‎ ‎7．(2018·如东高级中学阶段测试)已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线2x－y＝0上，则＝ .‎ 答案　2‎ 解析　∵角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线2x－y＝0上，‎ ‎∴tan θ＝2，‎ ＝＝＝2.‎ ‎8．若θ∈，则 ＝ .‎ 答案　sin θ－cos θ 解析　因为 ‎＝＝ ‎＝|sin θ－cos θ|，‎ 又θ∈，所以sin θ－cos θ>0，‎ 所以原式＝sin θ－cos θ.‎ ‎9．已知sin x＋cos x＝，x∈(0，π)，则tan x＝ .‎ 答案　－ 解析　由题意可知sin x＋cos x＝，x∈(0，π)，则(sin x＋cos x)2＝，‎ 因为sin2x＋cos2x＝1，‎ 所以2sin xcos x＝－，即＝＝－，得tan x＝－或tan x＝－.‎ 当tan x＝－时，sin x＋cos x<0，不合题意，舍去，所以tan x＝－.‎ ‎10．已知sin＝，则sin＋sin2的值为 ．‎ 答案　 解析　由诱导公式得sin＝－sin＝－，‎ sin2＝cos2＝，‎ 则sin＋sin2＝－＋＝.‎ ‎11．已知0<α<，若cos α－sin α＝－，则的值为 ．‎ 答案　 解析　因为cos α－sin α＝－，①‎ 所以1－2sin αcos α＝，‎ 即2sin αcos α＝.‎ 所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋＝.‎ 又0<α<，‎ 所以sin α＋cos α>0.‎ 所以sin α＋cos α＝.②‎ 由①②得sin α＝，cos α＝，tan α＝2，‎ 所以＝.‎ ‎12．已知k∈Z，化简：＝ .‎ 答案　－1‎ 解析　当k＝2n(n∈Z)时，‎ 原式＝ ‎＝ ‎＝＝－1；‎ 当k＝2n＋1(n∈Z)时，‎ 原式＝ ‎＝ ‎＝＝－1.‎ 综上，原式＝－1.‎ ‎13．若sin θ，cos θ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为 ．‎ 答案　1－ 解析　由题意知方程的两根为，‎ ‎∴sin θ＋cos θ＝－，sin θcos θ＝，‎ 又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，‎ ‎∴＝1＋，‎ 解得m＝1±，又Δ＝4m2－16m≥0，‎ ‎∴m≤0或m≥4，∴m＝1－.‎ ‎14．已知A，B为△ABC的两个内角，若sin(2π＋A)＝－·sin(2π－B)，cos A＝－cos(π－B)，则B＝ .‎ 答案　 解析　由已知得 化简得2cos2A＝1，即cos A＝±.‎ 当cos A＝时，cos B＝，‎ 又A，B是三角形内角，∴B＝；‎ 当cos A＝－时，cos B＝－，‎ 又A，B是三角形内角，‎ ‎∴A＝，B＝，不合题意，舍去，‎ 综上可知B＝.‎ ‎15．已知α，β∈，且sin(π－α)＝cos.cos(－α)＝－cos(π＋β)，求α，β.‎ 解　由已知可得 ‎∴sin2α＋3cos2α＝2，‎ ‎∴sin2α＝，又α∈，‎ ‎∴sin α＝，α＝.‎ 将α＝代入①中得sin β＝，又β∈，‎ ‎∴β＝，‎ 综上α＝，β＝.‎ ‎16．已知cos＋sin＝1.求cos2＋cos β－1的取值范围．‎ 解　由已知得cos β＝1－sin α.‎ ‎∵－1≤cos β≤1，‎ ‎∴－1≤1－sin α≤1，‎ 又－1≤sin α≤1，‎ 可得0≤sin α≤1，‎ ‎∴cos2＋cos β－1‎ ‎＝sin2α＋1－sin α－1＝sin2α－sin α ‎＝2－.(*)‎ 又0≤sin α≤1，‎ ‎∴当sin α＝时，(*)式取得最小值－，‎ 当sin α＝0或sin α＝1时，(*)式取得最大值0，‎ 故所求范围是.‎