2018届二轮复习 转化与化归思想 课件（全国通用）

2018届二轮复习 转化与化归思想 课件（全国通用）

四、转化与化归思想 - 2 - 高考命题聚焦 思想方法诠释 转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位 , 数学问题的解决总离不开转化与化归 , 如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题的转化等 . 转化的具体解题方法都是化归的手段 , 转化与化归的思想方法渗透到所有的数学解题过程中 . - 3 - 高考命题聚焦 思想方法诠释 1 . 转化与化归思想的含义 转化与化归的思想方法 , 就是在研究和解决有关数学问题时 , 采用某种手段将问题通过变换使之转化 , 进而得到解决的一种方法 . 一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题 , 将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题 , 将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题 . 2 . 转化与化归思想在解题中的应用 (1) 在三角函数和解三角形中 , 主要的转化方法有公式的 “ 三用 ”( 顺用、逆用、变形用 ) 、角度的转化、函数的转化、通过正弦定理、余弦定理实现边角关系的相互转化等 . (2) 换元法是将一个复杂的或陌生的函数、方程、不等式转化为简单的或熟悉的函数、方程、不等式的一种重要的方法 . - 4 - 高考命题聚焦 思想方法诠释 (3) 在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等知识的交汇题目时 , 常将平面向量语言与三角函数、平面几何、解析几何语言进行转化 . (4) 在解决数列问题时 , 常将一般数列转化为等差数列或等比数列求解 . (5) 在利用导数研究函数问题时 , 常将函数的单调性、极值 ( 最值 ) 、切线问题转化为其导函数 f' ( x ) 构成的方程、不等式问题求解 . (6) 在解决解析几何、立体几何问题时 , 常常在数与形之间进行转化 . - 5 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 特殊与一般的转化 【思考】 如何实现由特殊到一般的转化 ? 例 1 ( 其中 e 为自然常数 ) 的大小关系是 ( 　　 ) 答案 解析 解析 关闭 答案 解析 关闭 - 6 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 题后反思 1 . 当问题难以入手时 , 应先对特殊情况或简单情形进行观察、分析 , 发现问题中特殊的数量或关系结构或部分元素 , 然后推广到一般情形 , 以完成从特殊情形的研究到一般问题的解答的过渡 , 这就是特殊化的化归策略 . 2 . 数学题目有的具有一般性 , 有的具有特殊性 , 解题时 , 有时需要把一般问题化归为特殊问题 , 有时需要把特殊问题化归为一般问题 . - 7 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 对点训练 1 在定圆 C : x 2 +y 2 = 4 内过点 P ( - 1,1) 作两条互相垂直的直线与 C 分别交于 A , B 和 M , N , 则 的 取值范围是 　　　　　 .   答案 解析 解析 关闭 答案 解析 关闭 - 8 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 命题的等价转化 【思考】 在应用化归与转化思想去解决问题时应遵循怎样的原则 ? 例 2 在 △ ABC 中 , 角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c , 向量 q = (2 a ,1), p = (2 b-c ,cos C ), 且 q ∥ p . (1) 求 sin A 的值 ; (2) 求 三角函数式 的 取值范围 . 解： (1) ∵ p ∥ q , ∴ 2 a cos C= 2 b-c , 根据正弦定理 , 得 2sin A cos C= 2sin B- sin C. 又 sin B= sin( A+C ) = sin A cos C+ cos A sin C , - 9 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 - 10 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 题后反思 在应用化归与转化的思想方法去解决数学问题时 , 没有一个统一的模式 , 它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换 . 在解题过程中进行化归与转化时 , 要遵循以下五项基本原则 :(1) 化繁为简的原则 ;(2) 化生为熟的原则 ;(3) 等价性原则 ;(4) 正难则反的原则 ;(5) 形象具体化原则 . - 11 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 对点训练 2 设 a , b> 0, a+b= 5, 则 的 最大值为 　　　　　 .   答案 解析 解析 关闭 答案 解析 关闭 - 12 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 常量与变量的转化 【思考】 在 怎样 的情况下常常进行常量与变量之间的转化 ? 例 3 设 f ( x ) 是定义在 R 上的增函数 , 若 f (1 -ax-x 2 ) ≤ f (2 -a ) 对任意 a ∈ [ - 1,1] 恒成立 , 则 x 的取值范围为 　　　　　 .   答案 解析 解析 关闭 ∵f ( x ) 在 R 上是增函数 , ∴ 由 f (1 -ax-x 2 )≤ f (2 -a ), 可得 1 -ax-x 2 ≤2 -a , a ∈[ - 1,1] . ∴a ( x- 1) +x 2 + 1≥0 对 a ∈[ - 1,1] 恒成立 . 令 g ( a ) = ( x- 1) a+x 2 + 1, 则当且仅当 g ( - 1) =x 2 -x+ 2≥0, g (1) =x 2 +x ≥0, 解之 , 得 x ≥0 或 x ≤ - 1 . 故实数 x 的取值范围为 x ≤ - 1 或 x ≥0 . 答案 解析 关闭 x ≤ - 1 或 x ≥0 - 13 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 题后反思 在处理多变量的数学问题时 , 当常量 ( 或参数 ) 在某一范围内取值 , 求变量 x 的范围时 , 经常进行常量与变量之间角色的转化 , 即可以选取其中的常数 ( 或参数 ), 将其看作变量 , 而把变量看作常量 , 从而达到简化运算的目的 . - 14 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 对点训练 3 对于满足 0 ≤ p ≤ 4 的所有实数 p , 使不等式 x 2 +px> 4 x+p- 3 成立的 x 的取值范围是 　　　　　 .   答案 解析 解析 关闭 答案 解析 关闭 - 15 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 函数、方程与不等式之间的转化 【思考】 在怎样的情况下常常要进行函数、方程与不等式之间的转化 ? 例 4 已知函数 f ( x ) =x 2 +b sin x- 2( b ∈ R ), F ( x ) =f ( x ) + 2, 且对于任意实数 x , 恒有 F ( x- 5) =F (5 -x ) . (1) 求函数 f ( x ) 的解析式 ; (2) 已知函数 g ( x ) =f ( x ) + 2( x+ 1) +a ln x 在区间 (0,1) 内单调 , 求实数 a 的取值范围 ; (3) 函数 h ( x ) = ln(1 +x 2 ) - f ( x ) -k 有几个零点 ? 解： (1) 由题设 , 得 F ( x ) =x 2 +b sin x. ∵ F ( x- 5) =F (5 -x ), ∴ F ( -x ) =F ( x ), ∴ x 2 -b sin x=x 2 +b sin x , ∴ b sin x= 0 对于任意实数 x 恒成立 , ∴ b= 0, 故 f ( x ) =x 2 - 2 . - 16 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 (2) 由 (1), 得 g ( x ) =f ( x ) + 2( x+ 1) +a ln x=x 2 + 2 x+a ln x , ∵ g ( x ) 在 (0,1) 内单调 , ∴ 只需 g' ( x ) ≥ 0 或 g' ( x ) ≤ 0 在 (0,1) 内恒成立 , 即 2 x 2 + 2 x+a ≥ 0 或 2 x 2 + 2 x+a ≤ 0 在 (0,1) 内恒成立 , ∴ 需 a ≥ - (2 x 2 + 2 x ) 或 a ≤ - (2 x 2 + 2 x ) 在 (0,1) 内恒成立 . 记 u ( x ) =- (2 x 2 + 2 x ),0 0, 且 x ≠1 时 , 比较 与 F ( x ) 的大小 . 解： (1) ∵ f ( x ) =x 2 -a ln x- 1 在 [3,5] 上是单调递增函数 , ∴ f‘ ( x ) = 2 x- ≥ 0 在 [3,5] 上恒成立 . ∴ a ≤ 2 x 2 在 [3,5] 上恒成立 . ∵ y= 2 x 2 在 [3,5] 上的最小值为 18, ∴ a ≤ 18 . 故所求 a 的取值范围为 ( - ∞ ,18] . - 20 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 - 21 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 - 22 - 规律总结 拓展演练 1 . 在将问题进行化归与转化时 , 一般应遵循以下几种原则 . (1) 熟悉化原则 : 将陌生的问题转化为我们熟悉的问题 . (2) 简单化原则 : 将复杂的问题通过变换转化为简单的问题 . (3) 直观化原则 : 将较抽象的问题转化为比较直观的问题 ( 如数形结合思想 , 立体几何问题向平面几何问题转化 ) . (4) 正难则反原则 : 若问题直接求解困难时 , 可考虑运用反证法或补集法或用逆否命题间接地解决问题 . - 23 - 规律总结 拓展演练 2 . 转化与化归的基本类型 (1) 正与反、一般与特殊的转化 , 即正难则反、特殊化原则 . (2) 常量与变量的转化 , 即在处理多元问题时 , 选取其中的常量 ( 或参数 ) 当 “ 主元 ”, 其他的变量看作常量 . (3) 数与形的转化 , 即利用对数量关系的讨论来研究图形性质 , 也可利用图形直观提供思路 , 直接地反映函数或方程中变量之间的关系 . (4) 数学各分支之间的转化 , 如利用向量方法解几何问题 , 用解析几何方法处理平面几何、代数、三角问题等 . (5) 相等与不等之间的转化 . (6) 实际问题与数学模型的转化 . - 24 - 规律总结 拓展演练 1 . 已知函数 f ( x ) = ( x-a )e x 在区间 (2,3) 内没有极值点 , 则实数 a 的取值范围是 ( 　　 ) A.( -∞ ,3] ∪ [4, +∞ ) B.[3,4] C.( -∞ ,3] D.[4, +∞ ) 答案 解析 解析 关闭 f' ( x ) = ( x+ 1 -a )e x , 依题意 , x+ 1 -a ≥0 或 x+ 1 -a ≤0 在区间 (2,3) 内恒成立 , 即 a ≤ x+ 1 或 a ≥ x+ 1 . ∵x+ 1∈(3,4), ∴a ≤3 或 a ≥4 . 故选 A. 答案 解析 关闭 A - 25 - 规律总结 拓展演练 答案 : A 　 - 26 - 规律总结 拓展演练 - 27 - 规律总结 拓展演练 - 28 - 规律总结 拓展演练 - 29 - 规律总结 拓展演练 3 . 若关于 x 的不等式 m ( x- 1) >x 2 -x 的解集为 { x| 1

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