高考数学二轮复习专题能力提升训练:推理与证明

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高考数学二轮复习专题能力提升训练:推理与证明

北京师范大学附中2014版《创新设》高考数学二轮复习专题能力提升训练:推理与证明 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟.‎ 第Ⅰ卷(选择题 共60分)‎ 一、选择题 (本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.下列说法中正确的是( )‎ A.合情推理是正确的推理 B.合情推理就是归纳推理 C.归纳推理是从一般到特殊的推理 D.类比推理是从特殊到特殊的推理 ‎【答案】D ‎2.对于函数①,②,‎ ‎③.判断如下两个命题的真假:‎ 命题甲:在区间上是增函数;‎ 命题乙:在区间上恰有两个零点,且。‎ 能使命题甲、乙均为真的函数的序号是( )[来源:学。科。网]‎ A.① B.② C.①③ D.①②‎ ‎【答案】D ‎3.“所有金属都能导电,铁是金属,所以铁能导电”这种推理属于( )‎ A.演绎推理 B.类比推理 C.合情推理 D.归纳推理 ‎【答案】A ‎4.设a、,a≠b,且a+b=2,则下列各式正确的是( )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎【答案】A ‎5.正整数按下表的规律排列,则上起第2005行,左起第2006列的数应为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎6.“金导电、银导电、铜导电、铁导电,所以一切金属都导电”.此推理方法是( )‎ A.完全归纳推理 B.类比推理 C.归纳推理 D.演绎推理 ‎【答案】C ‎7.已知整数对排列如下:(1,1),(1,2),(2,1)(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2), (4,1),(1,5),(2,4),…,则第60个整数对是( )‎ A.(5,7) B.(4,8) C.(5,8) D.(6,7)‎ ‎【答案】A ‎8.若,,则P、Q的大小关系是( )‎ A. B. C. D. 由a的取值确定 ‎【答案】C ‎9.“所有9的倍数都是3的倍数,某奇数是9的倍数,故某奇数是3的倍数.”上述推理是( )‎ A.正确的 B.大前提错 C.小前提错 D.结论错 ‎【答案】A ‎10.若数列中,则( )‎ A.1540 B.500 C.505 D.510‎ ‎【答案】C ‎11.已知 ,猜想的表达式为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎12.某个命题与正整数有关,若当时该命题成立,那么可推得当时该命题也成立,现已知当时该命题不成立,那么可推得( )‎ A.当时,该命题不成立 B.当时,该命题成立 C.当时,该命题成立 D.当时,该命题不成立 ‎【答案】D 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)[来源:学#科#网Z#X#X#K]‎ 二、填空题 (本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上)‎ ‎13.在数列中,,,可以猜测数列通项的表达式为   .‎ ‎【答案】‎ ‎14.个正整数排列如下:‎ ‎ 1,2,3,4,……,n ‎ 2,3,4,5,……,n+l ‎ 3,4,5,6,……, n+2‎ ‎ ……[来源:学科网ZXXK]‎ ‎ n,n+l,n+2,n+3,……,2n一1‎ ‎ 则这个正整数的和S= .‎ ‎【答案】‎ ‎15.观察下列等式,照此规律,第个等式为 .‎ ‎【答案】‎ ‎16.对于,将表示为,当时,,当时,为0或1.记为上述表示中为0的个数,(例如,:故)则 ‎(1) (2)‎ ‎【答案】2,1093‎ 三、解答题 (本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)‎ ‎17.已知⊙与的边分别相切于和,与外接圆相切于, 是的中点(如图).‎ 求证:.‎ ‎【答案】已知⊙与的边分别相切于和,与外接圆相切于,‎ ‎∴ ‎ ‎∵和都是⊙的半径,‎ ‎∴ 由对称性知,‎ 且于. ‎ ‎∴ ,‎ 即 [来源:学科网]‎ 又∵,∴∽‎ ‎∴ ‎ 过作两圆的公切线,则 又∵,即 ‎∴ ‎ ‎ 故.‎ ‎18.如图,设是由个实数组成的行列的数表,其中表示位于第行第列的实数,且.记为所有这样的数表构成的集合.‎ 对于,记为的第行各数之积,为的第列各数之积.令.‎ ‎(Ⅰ)对如下数表,求的值;‎ ‎ (Ⅱ)证明:存在,使得,其中;‎ ‎(Ⅲ)给定为奇数,对于所有的,证明:.‎ ‎【答案】(Ⅰ),;,,‎ ‎ 所以.‎ ‎(Ⅱ)证明:(ⅰ)对数表:,显然.‎ 将数表中的由变为,得到数表,显然.‎ 将数表中的由变为,得到数表,显然.‎ 依此类推,将数表中的由变为,得到数表.‎ 即数表满足:,其余.‎ 所以 ,.‎ 所以 ,其中.‎ ‎【注:数表不唯一】‎ ‎(Ⅲ)证明:用反证法.‎ ‎ 假设存在,其中为奇数,使得.‎ ‎ 因为, ,‎ ‎ 所以,,,,,,,这个数中有个,个.‎ ‎ 令.‎ ‎ 一方面,由于这个数中有个,个,从而. ①‎ ‎ 另一方面,表示数表中所有元素之积(记这个实数之积为);也表示, 从而. ②‎ ‎①、②相互矛盾,从而不存在,使得. ‎ 即为奇数时,必有.4‎ ‎19.观察(1)‎ ‎(2)‎ 由以上两式成立,推广到一般结论,写出你的推论。‎ ‎【答案】若都不是,且,则 ‎20.求证:当一个圆和一个正方形的周长相等时,圆的面积比正方形的面积大.‎ ‎【答案】(分析法)设圆和正方形的周长为,依题意,圆的面积为,‎ 正方形的面积为.‎ 因此本题只需证明.‎ 要证明上式,只需证明,‎ 两边同乘以正数,得.‎ 因此,只需证明.‎ 上式是成立的,所以.‎ 这就证明了如果一个圆和一个正方形的周长相等,那么圆的面积比正方形的面积最大.‎ ‎21.已知:‎ 通过观察上述两等式的规律,请你写出一般性的命题,并给出的证明。‎ ‎【答案】一般性的命题为 证明:左边 ‎ ‎ ‎ 所以左边等于右边 ‎22.求证:.‎ ‎【答案】由于,,‎ 故只需证明.‎ 只需证,即.‎ 只需证.‎ 因为显然成立,‎ 所以.‎ ‎[来源:学§科§网]‎
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