2015版人教A版数学必修1课本例题习题改编

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‎2015版人教A版必修1课本例题习题改编 ‎1.原题(必修1第七页练习第三题（3））判断下列两个集合之间的关系：A=‎ 改编 已知集合，集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ 解：， ，故选D .‎ ‎2.原题（必修1第十二页习题1.1B组第一题）已知集合A={1，2}，集合B满足A∪B={1，2}，则这样的集合B有 个.‎ 改编1 已知集合A、B满足A∪B={1，2}，则满足条件的集合A、B有多少对？请一一写出来．‎ 解：∵A∪B={1，2}，∴集合A，B可以是：∅，{1，2}；{1}，{1，2}；{1}，{2}；{2}，{1，2}；{2}，{1}；{1，2}，{1，2}；{1，2}，{1}；{1，2}，{2}；{1，2}，∅．则满足条件的集合A、B有9对.‎ 改编2 已知集合有个元素，则集合的子集个数有 个，真子集个数有 个 解：子集个数有个，真子集个数有个 改编3 满足条件的所有集合的个数是 个 解：3必须在集合里面，的个数相当于2元素集合的子集个数，所以有4个.‎ ‎3.原题（必修1第十三页阅读与思考“集合中元素的个数”）改编 用表示非空集合中的元素个数，定义,若，且,则由实数的所有可能取值构成的集合= .‎ 解：由，而，故．由得．‎ 当时，方程只有实根，这时．‎ 当时，必有，这时有两个不相等的实根，方程必有两个相等的实根，且异于，有∴，可验证均满足题意，∴．‎ ‎4.原题（必修1第二十三页练习第二题）改编1 小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是 第 13页 共 13页 解：先分析小明的运动规律，再结合图象作出判断.距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，后段比前段下降得快， 答案选．‎ 改编2 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是 （ ） ‎ 解：汽车加速行驶时，速度变化越来越快，而汽车匀速行驶时，速度保持不变，体现在s与t的函数图象上是一条直线，减速行驶时，速度变化越来越慢，但路程仍是增加的．答案：A．‎ ‎5.原题（必修1第二十四页习题1.2A组第七题）画出下列函数的图象：（1）F(x)=‎ 改编 设函数D(x)= 则下列结论错误的是(　　)‎ A．D(x)的值域为{0,1} B． D(x)是偶函数 C．D(x)不是周期函数 D．D(x)不是单调函数 解：由已知条件可知,D(x)的值域是{0,1},选项A正确;当x是有理数时,-x也是有理数,且D(-x)=1,D(x)=1,故D(-x)=D(x),当x是无理数时,-x也是无理数,且D(-x)=0,D(x)=0,即D(-x)=D(x),故D(x)是偶函数,选项B正确;当x是有理数时,对于任一非零有理数a,x+a是有理数,且D(x+a)=1=D(x),当x是无理数时,对于任一非零有理数b,x+b是无理数,所以D(x+b) =D(x)=0,故D(x)是周期函数,（但不存在最小正周期）,选项C不正确;由实数的连续性易知,不存在区间I,使D(x)在区间I上是增函数或减函数，故D(x)不是单调函数,选项D正确. 答案：C ．‎ 第 13页 共 13页 ‎6.原题（必修1第二十四页习题1.2A组第十题）改编 已知集合．定义映射，则满足点构成且的映射的个数为 .‎ 解：从A到B的映射有个，而其中要满足条件的映射必须使得点A、B、C不共线且，结合图形可以分析得到满足即可，则满足条件的映射有个．‎ ‎7.原题（必修1第二十五页习题1.2B组第二题）画出定义域为，值域为的一个函数的图像，（1）将你的图像和其他同学的比较，有什么差别吗？（2）如果平面直角坐标系中点的坐标满足，，那么其中哪些点不能在图像上？‎ 改编 若函数的定义域为，值域为，则的图象可能是（ ）‎ A B C D 解：根据函数的概念，任意一个只能有唯一的值和它对应，故排除C；由定义域为排除A、D,选B.‎ ‎8.原题（必修1第二十五页习题1.2B组第三题）函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，；；当时，写出函数的解析式，并作出函数的图象．‎ 改编1 对于任意实数，符号表示的整数部分，即是不超过的最大整数，例如；；．函数叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用，则的值为 ．‎ 解：由题意得，∵， ，，．∴原式中共有２个０，６个１，１８个２，故原式＝．‎ 改编2 已知函数f(x)=x-[x], 其中[x]表示不超过实数x的最大整数. 若关于x 的方程f(x)=kx+k有三个不同的实根, 则实数k的取值范围是 .‎ 第 13页 共 13页 解：画出f(x)的图象(如右图), 与过定点(-1, 0)的直线y=kx+k=k(x+1) 有三个不同的公共点, 利用数形结合的办法, 可求得直线斜率k的取值范围为. 答案：B．‎ 改编3 对于任意实数x，符号表示x的整数部分，即是不超过x的最大整数．这个函数叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用．那么，‎ ‎（1）++++……+= ‎ ‎（2）设，则的值域为 ‎ 解：（1）=0，==1，====2，==……==3，==……==4，……‎ ‎==……==9，=10，‎ 则原式=，用“错位相减法”可以求出原式的值为8204.‎ ‎（2）；‎ ‎；故时的值域为答案：（1）8204； （2）．‎ 改编4 函数的值域为 .‎ 解：当时，，；当时，，；当时，，；当时，，；当时，；∴值域为.答案：.‎ ‎9.原题（必修1第三十六页练习第１题（３））判断下列函数的奇偶性：．‎ 改编 关于函数，有下列命题：①其图象关于轴对称；②当时，‎ 第 13页 共 13页 是增函数；当时，是减函数；③的最小值是；④在区间上是增函数；⑤无最大值，也无最小值．其中所有正确结论的序号是 ．‎ 解： 为偶函数，故①正确；令，则当时，在上递减，在上递增，∴②错误；③④正确；⑤错误．答案：①③④．‎ ‎10.原题（必修1第三十九页复习参考题B组第三题）已知函数是偶函数，而且在上是减函数，判断在上是增函数还是减函数，并证明你的判断.‎ 改编 已知定义在[-2, 2]上的偶函数f(x)在区间[0, 2]上是减函数, 若f(1-m)f(m), 则实数m的取值范围是 .‎ 解：由偶函数的定义, , 又由f(x)在区间[0, 2]上是减函数, 所以.答案：.‎ ‎11.原题（必修1第四十四页复习参考题A组第四题）已知集合A={x|=1}，集合B={x|ax=1}，若BA，求实数a的值.‎ 改编 已知集合A={x|x-a=0}，B={x|ax-1=0}，且A∩B=B，则实数a等于 。‎ 解：∵A∩B=B ，∴B⊆A ，A={x|x-a=0}={a}，对于集合B，当a=0时，B=∅满足B⊆A；当a≠0时，B={}；要使B⊆A需，解得a=±1；答案：1或-1或0.‎ ‎12.原题（必修1第四十四页复习参考题A组第八题）设，求证：（1）；（2）.‎ 改编 设定在R上的函数满足：，则 ‎ .‎ 解：由．得 ．由所求式子特征考查：．．‎ ‎13.原题（必修1第四十五页复习参考题B组第四题）已知函数求，‎ 第 13页 共 13页 ‎，的值.‎ 改编 已知函数，关于的方程有四个不同的根，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D.‎ 解：当时，与交点个数为2，不成立；当时，图象如下图，与交点个数为4，则，∴，选A.‎ ‎14.原题（必修1第四十五页复习参考题B组第五题）证明：（1）若，则；（2）若则.‎ 改编 函数在上有定义，若对任意，有则称 在上具有性质.设在上具有性质，求证：对任意，有.‎ 证明：‎ ‎ ‎ ‎15.原题（必修1第四十五页复习参考题B组第七题）《中华人民共和国个人所得税》规定，公民全月工资、薪金所得不超过2000元的部分不必纳税，超过2000元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累计计算： ‎ 某人一月份应交纳此项税款为26.78元，那么他当月的工资、薪金所得是多少？‎ 第 13页 共 13页 改编 2011年4月 25日，全国人大常委会公布《中华人民共和国个人所得税法修正案（草案）》，向社会公开征集意见．草案规定，公民全月工薪不超过3000元的部分不必纳税，超过3000元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算．‎ 级 数 全月应纳税所得额 税 率 ‎1‎ 不超过 1500元的部分 ‎5%‎ ‎2‎ 超过 1500元至4500元的部分 ‎10%‎ ‎3‎ 超过 4500元至9000元的部分 ‎20%‎ 依据草案规定，解答下列问题：（1）李工程师的月工薪为8000元，则他每月应当纳税多少元？（2）若某纳税人的月工薪不超过10000元，他每月的纳税金额能超过月工薪的8%吗？若能，请给出该纳税人的月工薪范围；若不能，请说明理由．‎ 解：（1）李工程师每月纳税：1500×5%+3000×10%+500×20%=75+400=475（元）； （2）设该纳税人的月工薪为x元，则当x≤4500时，显然纳税金额达不到月工薪的8%； 当4500＜x≤7500时，由1500×5%+（x-4500）×10%＞8%x，得x＞18750，不满足条件； 当7500＜x≤10000时，由1500×5%+3000×10%+（x-7500）×20%＞8%x，解得x＞9375，故9375＜x≤10000 答：若该纳税人月工薪大于9375元且不超过10000元时，他的纳税金额能超过月工薪的8%．‎ ‎16.原题（必修1第八十二页复习参考题A组第七题）已知，求证：（1），（2）.‎ 改编 给出下列三个等式：.下列选项中，不满足其中任何一个等式的是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ 解：依据指数函数，对数函数，三角函数的性质可知，满足，满足，满足，而不满足其中任何一个等式.‎ ‎17.原题（必修1第八十二页复习参考题A组第八题）已知,,求证:（2）.‎ 改编 定义在上的函数满足对,都有成立,且当时，，给出下列命题:①；②函数是奇函数；③函数 只有一个零点；④‎ 第 13页 共 13页 ‎,其中正确命题的个数是（ ）A.1 B.2 C.3 D.4‎ 解：①令得,①正确；②令,得，是奇函数，②正确；③由②.又,令,则,,即.‎ 函数在上为减函数，又,故③正确，④，由③知.答案：C ‎18.原题（必修1第八十三页复习参考题B组第一题）已知集合，，则=（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ 改编 在平面直角坐标系中，集合，且，设集合中的所有点的横坐标之积为，则有（ ）‎ A. B. C. D.‎ 解：由图知与图象交于不同的两点，设为，不妨设，则，∵在R上递减，∴，当时，，，;当时，，，，选B.‎ ‎19.原题（必修1第八十三页复习参考题B组第三题）对于函数． （a R）‎ ‎（1）探索函数f（x）的单调性；（2）是否存在实数a使f（x）为奇函数？‎ 改编1 对于函数f(x)=a+ (x∈R)，（1）用定义证明：f（x）在R上是单调减函数；（2）若f（x）是奇函数，求a值；（3）在（2）的条件下，解不等式f（2t+1）+f（t-5）≤0．‎ 证明（1）：设＜，则f（）-f（）=-=∵-＞0，＞0，＞0．即f（）-f（）＞0．∴f（x）在R上是单调减函数 ‎（2）∵f（x）是奇函数，∴f（0）=0⇒a=-1．‎ 第 13页 共 13页 ‎（3）由（1）（2）可得f（x）在R上是单调减函数且是奇函数，∴f（2t+1）+f（t-5）≤0．转化为f（2t+1）≤-f（t-5）=f（-t+5），⇒2t+1≥-t+5⇒t≥，故所求不等式f（2t+1）+f（t-5）≤0的解集为：{t|t≥}．‎ 改编2 已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．(1)求a，b的值；(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．‎ 解：(1)因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0，即＝0，解得b＝1，从而有f(x)＝.‎ 又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得a＝2.‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝＝－＋，易知f(x)在R上为减函数，又因为f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0，等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)．因为f(x)是R上的减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋k.即对一切t∈R有3t2－2t－k>0，从而Δ＝4＋12k<0，解得k<－.‎ 解法二：对一切t∈R有3t2－2t－k>0，可转化为k<3t2－2t，t∈R，只要k比3t2－2t的最小值小即可，而3t2－2t的最小值为－，所以k<－.‎ ‎20.原题（必修1第八十三页复习参考题B组第四题）设，求证：（1）；（2）；（3）；‎ 改编1 设，给出如下结论：①对任意，有；②存在实数，使得；③不存在实数，使得；④对任意，有；‎ 其中所有正确结论的序号是 ‎ 解：对于①：；‎ 对于②：，即恒有；‎ 第 13页 共 13页 对于③：，故不存在，使；‎ 对于④：‎ ‎，故正确的有①③④‎ 改编2 已知函数满足，且，分别是上的偶函数和奇函数，若使得不等式恒成立，则实数的取值范围是 .‎ 解：，得，‎ 即，解得，，即得，参数分离得，因为（当且仅当，即时取等号，的解满足），所以.‎ 改编3 已知定义在R上的奇函数和偶函数满足：，则 .‎ 解：∵,和分别为R上的奇函数和偶函数,‎ ‎∴，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴.‎ ‎21.原题（必修1第八十八页例1）求函数的零点的个数.‎ 第 13页 共 13页 改编 已知函数,若在区间(2,3)内任意两个实数,不等式恒成立，且在区间（2，3）内有零点，则实数的取值范围为( )‎ 解：由题可得在（2，3）递增，故在（2，3）恒成立，,又 在(2,3)内有零点，由零点存在性定理有又..答案：‎ ‎22.原题（必修1第九十页例2）借助计算器或计算机用二分法求方程的近似解（精确度0.1）.‎ 改编 为了求函数的一个零点，某同学利用计算器得到自变量和函数的部分对应值（精确度0.1）如下表所示 ‎1.25‎ ‎1.3125‎ ‎1.375‎ ‎1.4375‎ ‎1.5‎ ‎1.5625‎ ‎－0.8716‎ ‎－0.5788‎ ‎－0.2813‎ ‎0.2101‎ ‎0.32843‎ ‎0.64115‎ 则方程的近似解（精确到0.1）可取为（ ）‎ ‎ A．1.32 B．1.39 C．1.4 D．1.3‎ 解：通过上述表格得知函数唯一的零点在区间内,故选C.‎ ‎23.原题（必修1第九十五页例1）假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。请问，你会选择哪种投资方案？‎ 改编 某市一家商场的新年最高促销奖设立了三种领奖方式，这三种领奖方式如下：方式一：每天到该商场领取奖品，价值为40元；方式二：第一天领取的奖品的价值为10元，以后每天比前一天多10元；方式三：第一天领取的奖品的价值为0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。若商场的奖品总价值不超过600元，则促销奖的领奖活动最长设置为几天？在领奖活动最长的情况下，你认为哪种领奖方式让领奖者受益更多？‎ 解：设促销奖的领奖活动为天，三种方式的领取奖品总价值分别为。‎ 则；；‎ 要使奖品总价值不超过600元，则 ‎ 解得 又 ，故 ‎ 答：促销奖的领奖活动最长可设置10天，在这10天内选择方式二会让领奖者受益更多.‎ ‎24.原题（必修1第一百一十二页复习参考习A组第七题）改编1 已知线段的长为,以 第 13页 共 13页 为直径的圆有一内接梯形，若椭圆以为焦点，且经过点，求椭圆的离心率的范围．‎ 解：梯形为圆内接梯形，故其为等腰梯形，设，则在中，‎ 由椭圆的定义知 离心率，其中，所以，故椭圆离心率 改编2 已知线段的长为,以为直径的圆有一内接梯形，若椭圆以为焦点，且经过点，那么当梯形的周长最大时，求该椭圆的离心率．‎ 解：梯形为圆的内接梯形，故其为等腰梯形，设，则在中，，，则梯形的周长，‎ 故当时，周长最大，即最大周长为，此时，由椭圆的定义知，所以此时的椭圆的离心率．‎ ‎25.原题（必修1第一百一十三页复习参考习A组第九题）某公司每生产一批产品都能维持一段时间的市场供应，若公司本次新产品生产开始x月后，公司的存货量大致满足模型，那么下次生产应在多长时间后开始？‎ 改编 某公司每生产一批产品都能维持一段时间的市场供应，在存货量变为0的前一个月，公司进行下次生产。若公司本次新产品生产开始月后，公司的存货量大致满足模型，那么下次生产应在 月后开始．‎ 解：，所以应该在两个月后进行生产．‎ ‎26.原题（必修1第一百一十三页复习参考习B组第一题）‎ 第 13页 共 13页 ‎ 经济学家在研究供求关系时，一般用纵轴表示产品价格（自变量），而用横轴来表示产品数量（因变量），下列供求曲线，哪条表示厂商希望的供应曲线，哪条表示客户希望的需求曲线？为什么？（图略）‎ 改编1 某地一年的气温Q（t）（单位：℃）与时间t（月份）之间的关系如图（1）所示，已知该年的平均气温为10℃，令G（t）表示时间段〔0，t〕的平均气温，G（t）与t之间的函数关系用下列图象表示，则正确的应该是 （ ）‎ ‎10ºc G(t)‎ ‎10ºc G(t)‎ G(t)‎ ‎10ºc t t t ‎12‎ ‎6‎ ‎6‎ O ‎12‎ ‎6‎ ‎12‎ O O 图（1）‎ ‎ ‎ B A D ‎10ºc G(t)‎ O ‎6‎ ‎12‎ t C G(t)‎ ‎10ºc ‎6‎ ‎12‎ t O ‎ ‎ 解：A 改编2 为了稳定市场，确保农民增收，某农产品的市场收购价格与其前三个月的市场收购价格有关，且使与其前三个月的市场收购价格之差的平方和最小．若下表列出的是该产品前6个月的市场收购价格：‎ 月份 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 价格（元/担）‎ ‎68‎ ‎78‎ ‎67‎ ‎71‎ ‎72‎ ‎70‎ 则7月份该产品的市场收购价格应为 （ ）‎ ‎ A．69元 B．70元 C．71元 D．72元 解：C 第 13页 共 13页