江西省赣州市石城中学2020届高三上学期第十三次周考数学（理）（B）试卷 含答案

江西省赣州市石城中学2020届高三上学期第十三次周考数学（理）（B）试卷 含答案

数学（理科B）‎ 满分150分 时间120分钟 一、 选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1、若全集，集合，则（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎2.已知命题，命题若△ABC中，,则，则下列命题正确的是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎3.已知，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎4、已知等差数列的前项和为，，则( )‎ A、14 B、15 C、16 D、17‎ ‎5.若函数，且，， 的最小值是，则的单调递增区间是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎6．若展开式的系数之和等于展开式的二项式系数之和，则的值为（ ）．‎ A．15 B．10 C．8 D．5‎ ‎7．在中，角、、的对边长分别为、、．命题甲：，且，命题乙：是等腰直角三角形，且为直角．则命题甲是命题乙的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎8.在公比为的正项等比数列中，，则当取得最小值时，（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9.函数的图象大致为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎10．已知，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知函数的图像向左平移个单位长度，得到的图像，图像的相邻两条对称轴之间的距离为个单位长度，则函数图像的一个对称中心为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12.（错题重现）设函数是奇函数的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 一、 填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知是数列的前项和，且，则数列的通项公式为_____．‎ ‎14、设，则的最小值为 .‎ ‎15．已知直线l:y=k(x-2)与抛物线C:y2=8x交于A,B两点，F为抛物线C的焦点，若|AF|=3|BF|，则直线l的倾斜角为_________.‎ ‎16．已知正三棱柱底面边长为，高为3，圆是三角形 的内切圆，点是圆上任意一点，则三棱锥的外接球的体积为__________．‎ 一、 解答题：（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17.（错题重现）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 (t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）写出直线l的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设点M的极坐标为，若点M是曲线C截直线l所得线段的中点，求l的斜率．‎ ‎18．如图所示，在三棱锥中，平面,，，分别为线段上的点，且，．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值．‎ ‎19、如图,在梯形ABCD中,已知求：的长；的面积．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 设函数，其中．‎ ‎（Ⅰ）当时，求的极值点；‎ ‎（Ⅱ）若在上为单调函数，求的取值范围．‎ ‎21．（12分）已知椭圆过点，且左焦点与抛物线的焦点重合．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若直线与椭圆交于不同的两点、，线段的中点记为，且线段的垂直平分线过定点，求的取值范围．‎ ‎22.设函数.‎ ‎（1）若函数在区间（为自然对数的底数）上有唯一的零点，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若在（为自然对数的底数）上存在一点，使得成立，求实数的取值范围.‎ 数学参考答案（理科B）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分. ‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ D B A B A D C A D A C D 二、填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13. 14. 15.或 16. ‎ ‎.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎17.解：（Ⅰ）当时，直线的直角坐标方程为；（2分）‎ 当时，直线的直角坐标方程为． （4分）‎ ‎（Ⅱ）点的直角坐标为，曲线的直角坐标方程为，（6分）‎ 把代入曲线的直角坐标方程，化简得，由，得，所以直线的斜率为．（10分）‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ ‎（1）证明：因为平面，平面，‎ 所以.…………1分 由得为等腰直角三角形，‎ 故．………………2分 又，且面，面，……3分 故平面．……………4分 ‎（2）解：如图所示，过点作垂直于，‎ 易知，又，故．‎ 由，得，，‎ 故．………………………………5分 以点为坐标原点，分别以，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，‎ 建立如图空间直角坐标系， ……………………………………6分 ‎，，，，，‎ ‎ ……7分 设平面的法向量为，则，‎ 即，……………………………………8分 令，则，故可取．…………9分 由（1）可知平面，故平面的法向量可取为，即.………10分 则，……11分 又二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为．………12分 ‎19.解：, ,． 在中,由正弦定理得,即,解得． , , ,． 在中,由余弦定理得, 即,解得或舍． ‎ ‎．‎ ‎20．解：对求导得 ·····························（1分）‎ ‎ （Ⅰ）若，由 ‎ 令，因为，则， ·······（2分）‎ 所以随x变化而变化的情况为：‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 所以，是极大值点，是极小值点．····························（5分）‎ ‎（注：未注明极大、极小值扣1分）‎ ‎ （Ⅱ）若为上的单调函数，又，所以当时，即在上恒成立． ···················（6分）‎ ‎ （1）当时，，符合题意；···················（8分）‎ ‎ （2）当时，抛物线开口向上，‎ ‎ 则的充要条件是，‎ ‎ 即，所以． ‎ ‎ 综合（1）（2）知的取值范围是．···································（12分）‎ ‎21.‎ ‎22【详解】（1），其中.‎ ‎①当时，恒成立，单调递增，‎ 又∵，函数在区间上有唯一的零点，符合题意.‎ ‎②当时，恒成立，单调递减，‎ 又∵，函数在区间上有唯一的零点，符合题意.‎ ‎③当时，时，，单调递减，‎ 又∵，∴，‎ ‎∴函数在区间有唯一的零点，‎ 当时，，单调递增，‎ 当时符合题意，即，‎ ‎∴时，函数在区间上有唯一的零点；‎ ‎∴的取值范围是.‎ ‎（2）在上存在一点，使得成立，等价于在上有解，即函数在上的最小值小于零.‎ ‎，‎ ‎①当时，即时，在上单调递减，所以的最小值为，由可得，∵，∴；‎ ‎②当时，即时，在上单调递增，所以的最小值为，由可得；‎ ‎③当时，即时，‎ 可得的最小值为，∵，∴，，所以不成立.‎ 综上所述：可得所求的取值范围是.‎