高考数学总复习课时规范练22解三角形文新人教A版

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课时规范练 22 解三角形 基础巩固组 1.(2017 安徽马鞍山一模,文 3)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 a= ,b=2,A=60°,则 c=( ) A. B.1 C. D.2 2.(2017 江西宜春中学 3 月模拟,文 4)在△ABC 中,已知 acos A=bcos B,则△ABC 的形状是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 3.(2017 河北邯郸一模,文 5)已知△ABC 的三个内角 A,B,C 依次成等差数列,BC 边上的中线 AD= ,AB=2,则 S△ABC=( ) A.3 B.2 C.3 D.6 4.在△ABC 中,B= ,BC 边上的高等于 BC,则 sin A= ( ) A. B. C. D. 5.(2017 辽宁抚顺重点校一模,文 6)在△ABC 中,A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcos A+acos B=c2,a=b=2,则△ABC 的周长为( ) A.7.5 B.7 C.6 D.5 6.已知△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足 =sin A-sin B, 则 C= . 7.(2017 河南南阳一模,文 15)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2c·cos B=2a+b,若 △ABC 的面积为 S= c,则 ab 的最小值为 . 8.如图所示,长为 3.5 m 的木棒 AB 斜靠在石堤旁,木棒的一端 A 在离堤足 C 处 1.4 m 的地面上,另 一端 B 在离堤足 C 处 2.8 m 的石堤上,石堤的倾斜角为α,则坡度值 tan α= . 9.(2017 北京海淀一模,文 17)在△ABC 中,A=2B. (1)求证:a=2bcos B; (2)若 b=2,c=4,求 B 的值. 10.已知岛 A 南偏西 38°方向,距岛 A 3 n mile 的 B 处有一艘缉私艇.岛 A 处的一艘走私船正以 10 n mile/h 的速度向岛北偏西 22°方向行驶,问缉私艇朝何方向以多大速度行驶,恰好用 0.5 h 能截 住该走私船? 〚导学号 24190901〛 综合提升组 11.(2017 全国Ⅰ,文 11)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c= ,则 C=( ) A. B. C. D. 12.(2017 河南濮阳一模,文 8)在△ABC 中,D 为 BC 边上的一点,AD=BD=5,DC=4,∠BAD=∠DAC,则 AC= ( ) A.9 B.8 C.7 D.6 13.如图,为测量山高 MN,选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点,从点 A 测得点 M 的仰角∠ MAN=60°,点 C 的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从点 C 测得∠MCA=60°.已知山高 BC=100 m,则 山高 MN= m. 〚导学号 24190902〛 14.(2017 广东广州二模,文 17)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 bcos C+bsin C=a. (1)求角 B 的大小; (2)若 BC 边上的高等于 a,求 cos A 的值. 〚导学号 24190903〛 创新应用组 15.(2017 辽宁沈阳一模,文 12)为了竖一块广告牌,要制造三角形支架,如图,要求∠ACB=60°,BC 的 长度大于 1 米,且 AC 比 AB 长 0.5 米,为了稳固广告牌,要求 AC 越短越好,则 AC 最短为( ) A. 米 B.2 米 C.(1+ )米 D.(2+ )米 16.(2017 河南洛阳一模,文 17)已知 f(x)= sin(π+ωx)·sin -cos2ωx(ω>0)的最小正 周期为 T=π. (1)求 f 的值. (2)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若(2a-c)cos B=bcos C,求角 B 的大小以及 f(A)的 取值范围. 答案： 1.B 由已知及余弦定理,得 3=4+c2-2×2×c× ,整理,得 c2-2c+1=0,解得 c=1.故选 B. 2.D ∵acos A=bcos B, ∴sin Acos A=sin Bcos B, ∴sin 2A=sin 2B, ∴A=B,或 2A+2B=180°, 即 A+B=90°, ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形.故选 D. 3.C ∵A,B,C 成等差数列,∴B=60°.在△ABD 中,由余弦定理,得 AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cos B,即 7=4+BD2-2BD,∴BD=3 或-1(舍去),可得 BC=6, ∴S△ABC= AB·BC·sin B= ×2×6× =3 . 4.D (方法一)记角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,则由题意,得 S△ABC= a· a= acsin B,即 c= a. 由正弦定理,得 sin C= sin A. ∵C= -A, ∴sin C=sin sin A, 即 cos A+ sin A= sin A, 整理,得 sin A=-3cos A. ∵sin2A+cos2A=1, ∴sin2A+ sin2A=1, 即 sin2A= ,解得 sin A= (排除负值).故选 D. (方法二)记角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,则由题意得 S△ABC= a· acsin B,∴c= a. ∴b2=a2+ -2a· ,即 b= . 由正弦定理 ,得 sin A= .故选 D. 5.D ∵bcos A+acos B=c2,a=b=2, ∴由余弦定理可得 b× +a× =c2,整理可得 2c2=2c3, 解得 c=1,则△ABC 的周长为 a+b+c=2+2+1=5.故选 D. 6. 在△ABC 中,∵ =sin A-sin B, ∴ =a-b, ∴a2+b2-c2=ab, ∴cos C= , ∴C= . 7.12 在△ABC 中,由条件并结合正弦定理可得 2sin Ccos B=2sin A+sin B=2sin(B+C)+sin B, 即 2sin Ccos B=2sin Bcos C+2sin Ccos B+sin B,∴2sin Bcos C+sin B=0,∴cos C=- ,C= . 由于△ABC 的面积为 S= ab·sin C= ab= c,∴c= ab. 再由余弦定理可得 c2=a2+b2-2ab·cos C, 整理可得 a2b2=a2+b2+ab≥3ab, 当且仅当 a=b 时,取等号, ∴ab≥12,故答案为 12. 8. 在△ABC 中,AB=3.5 m,AC=1.4 m,BC=2.8 m,且α+∠ACB=π. 由余弦定理,可得 AB2=AC2+BC2-2·AC·BC·cos∠ACB, 即 3.52=1.42+2.82-2×1.4×2.8×cos(π-α), 解得 cos α= ,则 sin α= , 所以 tan α= . 9.(1)证明 因为 A=2B,所以由正弦定理 ,得 ,所以 a=2bcos B. (2)解 由余弦定理,a2=b2+c2-2bccos A, 因为 b=2,c=4,A=2B,所以 16cos2B=4+16-16cos 2B, 所以 cos2B= , 因为 A+B=2B+B<π, 所以 B< ,所以 cos B= , 所以 B= . 10. 解 设缉私艇在 C 处截住走私船,D 为岛 A 正南方向上的一点,缉私艇的速度为 x n mile/h,则 BC=0.5x n mile,AC=5 n mile,依题意,∠BAC=180°-38°-22°=120°,由余弦定理可得 BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos 120°,解得 BC2=49,BC=0.5x=7,解得 x=14. 又由正弦定理得 sin∠ABC= , 所以∠ABC=38°. 又∠BAD=38°,所以 BC∥AD. 故缉私艇以 14 n mile/h 的速度向正北方向行驶,恰好用 0.5 h 截住该走私船. 11.B 由题意结合三角形的内角和,可得 sin(A+C)+sin A(sin C-cos C)=0,整理得 sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0, 则 sin C(sin A+cos A)=0,因为 sin C>0,所以 sin A+cos A=0, 即 tan A=-1,因为 A∈(0,π),所以 A= .由正弦定理 ,得 ,即 sin C= , 所以 C= ,故选 B. 12.D 设∠B=θ,则∠ADC=2θ,在△ADC 中,由 , 所以 AC=8cos θ, 在△ABC 中,由 ,可得 , 所以 16cos2θ=9,可得 cos θ= , 所以 AC=8× =6.故选 D. 13.150 在 Rt△ABC 中,∠CAB=45°,BC=100 m,所以 AC=100 m. 在△AMC 中,∠MAC=75°,∠MCA=60°,从而∠AMC=45°,由正弦定理,得 ,因此 AM=100 m. 在 Rt△MNA 中,AM=100 m,∠MAN=60°,由 =sin 60°, 得 MN=100 =150(m). 14.解 (1)因为 bcos C+bsin C=a,由正弦定理,得 sin Bcos C+sin Bsin C=sin A. 因为 A+B+C=π, 所以 sin Bcos C+sin Bsin C=sin(B+C). 即 sin Bcos C+sin Bsin C=sin Bcos C+cos Bsin C. 因为 sin C≠0,所以 sin B=cos B. 因为 cos B≠0,所以 tan B=1. 因为 B∈(0,π),所以 B= . (2)设 BC 边上的高线为 AD, 则 AD= a.因为 B= , 则 BD=AD= a,CD= a. 所以 AC= a,AB= a.由余弦定理得 cos A= =- . 15.D 设 BC 的长度为 x 米,AC 的长度为 y 米,则 AB 的长度为(y-0.5)米, 在△ABC 中,依余弦定理得 AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠ACB, 即(y-0.5)2=y2+x2-2yx× , 化简得 y(x-1)=x2- , ∵x>1,∴x-1>0,因此 y= ,y=(x-1)+ +2≥ +2, 当且仅当 x-1= 时,取“=”号,即 x=1+ 时,y 有最小值 2+ . 16.解 (1)f(x)= sin(π+ωx)·sin -cos2ωx= sin ωx·cos ωx-cos2ωx = sin 2ωx- cos 2ωx- =sin . ∵最小正周期为 T=π, ∴ =π,即ω=1. ∴f(x)=sin , ∴f =sin . (2)∵(2a-c)cos B=bcos C, ∴(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C, 2sin Acos B=sin Bcos C+cos Bsin C=sin(B+C)=sin A. ∵sin A>0,∴cos B= . ∵B∈(0,π),∴B= .∴A∈ ,2A- , ,∴sin . f(A)的取值范围是 .