2021版高考数学一轮复习核心素养测评五函数的奇偶性对称性与周期性新人教B版 0
核心素养测评五 函数的奇偶性、对称性与周期性
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.下列函数中,与函数y=-3|x|的奇偶性相同,且在(-∞,0)上单调性也相同的
是 ( )
A.y=- B.y=log2|x|
C.y=1-x2 D.y=x3-1
【解析】选C.函数y=-3|x|为偶函数,在(-∞,0)上为增函数,选项B的函数是偶函数,但其单调性不符合,只有选项C符合要求.
【变式备选】
下列函数中,既是偶函数,又在(0,+∞)上单调递增的函数是 ( )
A.y= B.y=|x|+1
C.y=-x2+1 D.y=2-|x|
【解析】选B.因为y=是奇函数,y=|x|+1,y=-x2+1,y=2-|x|均为偶函数,所以A错误;又因为y=-x2+1,y=2-|x|=在(0,+∞)上均为减函数,只有y=|x|+1在(0,+∞)上为增函数,所以C,D错误.
2.已知函数f(x)=的图象关于原点对称,g(x)=ln (ex+1)-bx是偶函数,则logab= ( )
A.1 B.-1 C.- D.
【解析】选B.由题意得f(0)=0,所以a=2.
因为g(1)=g(-1),
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所以ln (e+1)-b=ln +b,所以b=,
所以log2=-1.
3.x为实数,[x]表示不超过x的最大整数,则函数f(x)=x-[x]在R上为( )
A.奇函数 B.偶函数
C.增函数 D.周期函数
【解析】选D.函数f(x)=x-[x]在R上的图象如图:
所以f(x)在R上是周期为1的函数.
4.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2+2x,若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞,-1)∪(2,+∞)
B.(-1,2)
C.(-2,1)
D.(-∞,-2)∪(1,+∞)
【解析】选C.因为f(x)是奇函数,所以当x<0时,f(x)=-x2+2x.作出函数f(x)的大致图象如图中实线所示,结合图象可知,
f(x)是R上的增函数,由f(2-a2)>f(a),
得2-a2>a,解得-2
0时,f(x)=x2-x,则当x<0时,f(x)=________.
【解析】函数f(x)在R上为奇函数,f(-x)=-f(x);且x>0时,f(x)=x2-x,则当x<0时,f(x)=-f(-x)=-(x2+x)=-x2-x.
答案:-x2-x
7.(2019·东莞模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数,在区间(-∞,0]上为增函数,且f(3)=0,则不等式f(1-2x)>0的解集为________.
【解析】根据题意,因为f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0]上为增函数,所以函数f(x)在[0,+∞)上为减函数,由f(3)=0,则不等式f(1-2x)>0⇒f(1-2x)>f(3)⇒|1-2x|<3,解得-10,
所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.
又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x).
于是x<0时,f(x)=x2+2x=x2+mx,
所以m=2.
(2)要使f(x)在[-1,a-2]上单调递增,
结合f(x)的图象知所以1f(2a)>f(0) B.f(a)>f(0)>f(2a)
C.f(2a)>f(a)>f(0) D.f(2a)>f(0)>f(a)
【解析】选C.因为函数f(x)=(a∈R)为偶函数,
所以f(-1)=f(1),解得a=1.又因为函数在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,
所以f(2a)>f(a)>f(0).
【变式备选】
设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的
是 ( )
A.f(x)+|g(x)|是偶函数
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B.f(x)-|g(x)|是奇函数
C.|f(x)|+g(x)是偶函数
D.|f(x)|-g(x)是奇函数
【解析】选A.由g(x)是奇函数,可得g(-x)=-g(x),所以|g(x)|=|g(-x)|,即|g(x)|为偶函数,又f(x)为偶函数,所以f(x)+|g(x)|为偶函数.
2.(5分)设函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则f(x)是 ( )
A.奇函数,且在(0,1)内是增函数
B.奇函数,且在(0,1)内是减函数
C.偶函数,且在(0,1)内是增函数
D.偶函数,且在(0,1)内是减函数
【解析】选A.易知f(x)的定义域为(-1,1),且f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-f(x),则y=f(x)为奇函数,又y=ln(1+x)与y=-ln(1-x)在(0,1)上是增函数,所以f(x)=ln(1+x)-ln(1-x)在(0,1)上是增函数.
3.(5分)(2020·海口模拟)设函数f(x)=,则使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围是________.
【解析】因为f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数,且x>0时,f(x)==1-,故f(x)单调递增,又f(0)=0,从而f(x)是R上的增函数,故f(x)>f(2x-1)等价于x>2x-1,解得x<1.
答案:(-∞,1)
【变式备选】
设定义在[-2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,若f(1-m)0,则-x<0.
所以g(x)=-g(-x)=(a-2)x-4,
所以g(x)=
5.(10分)设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x.
(1)求f(π)的值.
(2)当-4≤x≤4时,求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积.
【解析】(1)由f(x+2)=-f(x)得,
f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),
所以f(x)是以4为周期的周期函数,
所以f(π)=f(-1×4+π)=f(π-4)
=-f(4-π)=-(4-π)=π-4.
(2)由f(x)是奇函数且f(x+2)=-f(x),
得f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)],
即f(1+x)=f(1-x).
故知函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.
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又当0≤x≤1时,f(x)=x,且f(x)的图象关于原点成中心对称,则f(x)的图象如图所示.
当-4≤x≤4时,f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S,则S=4S△OAB=
4×=4.
1.(2020·重庆模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(1-x)=f(1+x),当x∈[0,1]时,f(x)=log2(x+1),则f(2 019)= ( )
A.1 B.-1 C.0 D.log23
【解析】选B.因为奇函数f(x)满足f(1-x)=f(1+x),
所以f(x+1)=f(1-x)=-f(x-1),
即f(x+2)=-f(x),
则f(x+4)=-f(x+2)=f(x),
即函数f(x)是周期为4的函数,
因为当x∈[0,1]时,f(x)=log2(x+1),
所以f(2 019)=f(505×4-1)=f(-1)
=-f(1)=-log22=-1.
2.设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R恒有f(x+1)=f(x-1),已知当x∈[0,1]时,f(x)=2x,则有
①2是函数f(x)的周期;
②函数f(x)在(1,2)上是减函数,在(2,3)上是增函数;
③函数f(x)的最大值是1,最小值是0.
其中所有正确命题的序号是________.
【解析】在f(x+1)=f(x-1)中,令x-1=t,
则有f(t+2)=f(t),
因此2是函数f(x)的周期,故①正确;
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当x∈[0,1]时,f(x)=2x是增函数,
根据函数的奇偶性知,f(x)在[-1,0]上是减函数,根据函数的周期性知,函数f(x)在(1,2)上是减函数,在(2,3)上是增函数,故②正确;
由②知,f(x)在[0,2]上的最大值f(x)max=f(1)=2,f(x)的最小值f(x)min=f(0)=20=1且f(x)是周期为2的周期函数,所以f(x)的最大值是2,最小值是1,故③错误.
答案:①②
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