【数学】2019届一轮复习北师大版复杂数列的通项公式求解问题学案

【数学】2019届一轮复习北师大版复杂数列的通项公式求解问题学案

一．方法综述 ‎ 数列的通项公式是数列高考中的热点问题，求数列通项公式时会渗透多种数 思想.因此求解过程往往方法多、灵活性大、技巧性强，但万变不离其宗，只要熟练掌握各个类型的特点即可.在考试中时常会考查一些压轴小题，如数阵（数表）问题、点列问题、函数问题中、由复杂递推公式求解数列通项公式问题、两边夹问题中的数列通项公式问题、下标为形式的数列通项公式问题中都有所涉及，本讲就这类问题进行分析.‎ 二．解题策略 ]‎ 类型一 数阵（数表）中涉及到的数列通项公式问题 ‎【例1】【2017安徽马鞍山二模】如图所示的“数阵”的特点是 每行每列都成等差数列，则数字73在图中出现的次数为____．‎ ‎【答案】12‎ ‎【指点迷津】1.本题主要考查等差数列通项与整数解问题.根据每行每列都成等差数列，先从第一行入手求出第一行数组成的数列的通项公式，再把第一行的数当成首项，再次根据等差数列这一性质求出第数列组成的数列 ‎，最后根据整数解方程的解法列举所有解即可.‎ ‎2.数阵 由实数排成一定形状的阵型（如三角形，矩形等）， 确定数阵的规律及求某项.对于数阵首先要明确“行”与“列”的概念.横向为“行”，纵向为“列”，在项的表示上通常用二维角标进行表示，其中代表行，代表列.例如 表示第行第列.在题目中经常会出现关于某个数的位置问题，解决的方法通常为先抓住选取数的特点，确定所求数的序号，再根据每行元素个数的特点（数列的通项），求出前行共含有的项的个数，从而确定该数位于第几行，然后再根据数之间的规律确定是该行的第几个，即列.‎ ‎【举一反三】【2017江西瑞昌二中第二次段考】把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列，若，则__________．‎ ‎【答案】‎ 类型二 点列问题中涉及到的数列通项公式问题 ‎【例2】已知点顺次为直线上的点，点顺次为轴上的点，其中.对于任意，点构成以为顶点的等腰三角形.则数列 的通项公式为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【指点迷津】对于点列问题，要根据图像上点与点之间的关系，以及平面几何知识加以分析，找出关系式即可，本题是直线上的点列，已知点列的通项公式，求点列的通项公式，并研究等腰三角形是否为特殊的等腰直角三角形.‎ ‎【举一反三】在直角坐标平面中，已知点列，，，…，，…，其中是正整数.连接的直线与轴交于点，连接的直线与轴交于点，…，连接的直线与轴交于点，….则数列的通项公式为___________.‎ ‎【解析】直线的斜率为，‎ 所以，.‎ ‎【答案】 ‎ 类型三 函数问题中涉及到的数列通项公式问题 ‎【例3】【全国名校大联考2017-2018年度高三第三次联考】设函数是定义在上的单调函数，且对于任意正数有，已知 ‎，若一个各项均为正数的数列满足，其中是数列的前项和，则数列中第18项（ ）‎ A. B. 9 C. 18 D. 36‎ ‎【答案】C ‎【指点迷津】本题主要考查抽象函数的解析式以及数列通项与前项和之间的关系以及公式的应用，属于难题.已知求的一般步骤 （1）当时，由求的值；（2）当时，由，求得的表达式；（3）检验的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示；（4）写出的完整表达式.‎ ‎【举一反三】【北京西城35中2017届高三上 期期中数 】已知是上的奇函数， ，则数列的通项公式为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【解析】∵是奇函数，∴，令， ，‎ 令， ，∴，∴， ‎ 令，∴，令，∴，‎ ‎∵，∴，同理可得，‎ ‎，∴，‎ 故选 ‎ ‎【答案】C 类型四 由复杂递推公式求解数列通项公式问题 ‎【例4】【重庆市第一中 2018届高三上 期第一次月考】我们把满足的数列叫做牛顿数列，已知函数，且数列为牛顿数列，设，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【指点迷津】对于复杂的递推公式，关键是进行化简和变形，适当的时候需要换元，本题通过题意，可求得 即数列{an}是以2为公比的等比数列，又a1=2，利用等比数列的通项公式即可求得答案．‎ ‎【举一反三】【辽宁省大连市旅顺中 、旅顺第二高级中 、大连市第三中 2018届高三第二次联考】设数列中， ， ，则数列的通项公式为__________．‎ ‎【解析】，‎ 所以， ，所以. ‎ ‎【答案】‎ 类型五 两边夹问题中的数列通项公式问题 ‎【例5】【2017届浙江省杭州地区（含周边）重点中 联考】设数列满足，且对任意的，满足， ,则_________‎ ‎【答案】‎ ‎【答案】‎ ‎【指点迷津】解题的关键是要通过所给的不等关系找到数列的项的特征，即，然后经过恰当的变形，将求的问题转化为数列求和的问题去处理，对于求和问题要把握准数列的公比和数列的项数，这是比较容易出现错误的地方.‎ ‎【举一反三】【福建省莆田第六中 2017届高三下 期第一次模拟】已知各项都为整数的数列中， ，且对任意的，满足 ， ，则__________．‎ ‎【答案】‎ 类型六 下标为形式的数列通项公式问题 ‎【例6】【浙江省湖州、衢州、丽水三市2017届高三4月联考】已知等差数列 ‎，等比数列的公比为，设， 的前项和分别为，．若，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】， ，‎ 因为，所以，这是关于的恒等式，所以，解得，所以． ‎ ‎【指点迷津】本题要求等差数列的通项公式，既没有首项也没有公差，有的只是等差数列与等比数列的一个关系，这是一个关于正整数的恒等式，因此我们可把等差数列与等比数列的前项用基本量表示，并化已知等式为的恒等式，利用恒等式的知识求解．‎ ‎【举一反三】【2018届安徽皖江名校联盟12月份联考改编】等差数列和等比数列的各项均为正整数，且的前项和为，数列是公比为16的等比数列，.则的通项公式____________.‎ ‎【答案】‎ 三．强化训练 ‎1．【山东省、湖北省部分重点中 2018届高三第二次（12月）联考】已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第行，第列的数记为，比如，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】奇数数列，即为底1009个奇数. ‎ 按照蛇形排列，第1行到第行末共有个奇数,则第1行到第行末共有个奇数；第1行到第行末共有个奇数；则2017位于第45行；而第行是从右到左依次递增，且共有个奇数；故位于第45行，从右到左第19列，则，故选D.‎ ‎2.【湖南省衡阳县2018届高三12月联考】在数列中， ，且，记，则（ ）‎ A. 能被41整除 B. 能被43整除 C. 能被51整除 D. 能被57整除 ‎【答案】A ‎ ‎ ‎3.【”超级全能生”2018届高考全国卷26省9月联考乙卷】已知数列满足（为非零常数），若为等比数列，且首项为，公比为，则的通项公式为（ ）‎ A. 或 B. C. 或 D. ‎ ‎【答案】C ‎ 4.【浙江省湖州市2017届高三联考】对任意的n∈N ，数列{an}满足且，则an等于（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵且，∴， ，即，∴，故选A.‎ ‎5.【2016届河北省衡水中 高三下 期猜题】已知数列的首项为，且满足对任意的，都有，成立，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A.‎ ‎【解析】‎ 试题分析 ∵，∴，两式相加，可得，‎ 又∵，∴需，等号成立的条件为 ，[ ‎ ‎∴时，，‎ ‎∴，故选A.‎ ‎6.【湖北省武汉市2017届高三四月调研】已知数列满足， ，若，则数列的通项（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎ 7.【九江市2017年第三次高考模拟统一考试】意大利著名数 家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数 ，…，该数列的特点是 前两个数均为 ，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列.则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意，得，‎ ‎，所以；故选A.‎ 6． ‎8.【天津市第一中 2018届高三上 期第二次月考改编】已知数列满足，且.则的通项公式__________.‎ ‎【答案】‎ 9. ‎【2016届西藏日喀则一中高三下 期二模改编】已知正项数列的前项和为，且，数列满足，且.则的通项公式__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵，①[ 。 。 ]‎ ‎，②‎ ‎①－②得 ‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴， ‎ ‎∴[ ]‎ 又由得，即，∴（舍去）.‎ ‎∴，‎ ‎∴是以1为首项，1为公差的等差数列，‎ ‎∴.‎ 又∵③‎ ‎④‎ 得 ‎ 又由，可求，‎ 故是首项为1，公比为3的等比数列，是首项为3，公比为3的等比数列.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎10.【湖北省黄石市第三中 （稳派教育）2018届高三阶段性检测】下表给出一个“三角形数阵” ‎ ‎， ‎ ‎， ， ‎ ‎……‎ 已知每一列的数成等差数列；从第三行起，每一行的数成等比数列，每一行的公比都相等.记第行第列的数为，则（1）_________；（2）前20行中这个数共出现了________次．‎ ‎【答案】 4‎ ‎ 11.【2017届吉林省吉林市普通中 高三毕业班第二次调研测试】艾萨克·牛顿（1643年1月4日----1727年3月31日）英国皇家 会会长，英国著名物理 家，同时在数 上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数零点时给出一个数列 满足，我们把该数列称为牛顿数列.‎ 如果函数有两个零点1，2，数列为牛顿数列，设，已知，，则的通项公式__________．‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎12.【2017届河南郑州一中 校高三入 测试】设数列是首项为0的递增数列， ，满足 对于任意的总有两个不同的根，则的通项公式为_________‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎