【数学】2021届一轮复习北师大版（理）第二章 第5讲 指数与指数函数学案
第 5 讲 指数与指数函数
一、知识梳理
1．根式
(1)根式的概念
①若 xn＝a，则 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n>1 且 n∈N＋..式子n a叫做根式，这里 n 叫
做根指数，a 叫做被开方数．
②a 的 n 次方根的表示：
xn＝a⇒
x＝n a，当 n 为奇数且 n∈N＋.，n>1 时，
x＝±n a，当 n 为偶数且 n∈N＋.时.
(2)根式的性质
①(n a)n＝a(n∈N＋.，且 n>1)；
②n an＝
a，n 为奇数，
|a|＝ a，a≥0，
－a，a<0，n 为偶数.
2．有理数指数幂
(1)幂的有关概念
①正分数指数幂：a
m
n＝n am(a>0，m，n∈N＋.，且 n>1)；
②负分数指数幂：a－m
n＝ 1
a
m
n
＝
1
n am
(a>0，m，n∈N＋.，且 n>1)；
③0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂无意义．
(2)有理数指数幂的运算性质
①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
3．指数函数的图象与性质
y＝ax (a>0 且 a≠1) a>1 0
0 时，y>1；当 x<0 时，00 时，01
在 R 上是增函数 在 R 上是减函数
常用结论
1．指数函数图象的画法
画指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)， －1，1
a .
2.
指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx 的图象，底数 a，b，c，d 与 1
之间的大小关系为 c>d>1>a>b>0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数 y＝
ax(a>0，a≠1)的图象越高，底数越大．
3．指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的图象和性质跟 a 的取值有关，要特别注意应分 a>1
与 00 且 a≠1)的图象恒过定点 A，则 A 的坐标为________．
解析：令 x－2＝0，则 x＝2，f(2)＝3，即 A 的坐标为(2，3)．
答案：(2，3)
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)n an＝(n a)n＝a.( )
(2)(－1)
2
4＝(－1)
1
2＝ －1.( )
(3)函数 y＝a－x 是 R 上的增函数．( )
(4)函数 y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞)．( )
(5)函数 y＝2x－1 是指数函数．( )
(6)若 am0，且 a≠1)，则 m1 时，a＝2；当 00 且 2
1
x－1≠1.
答案：(0，1)∪(1，＋∞)
指数幂的化简与求值(自主练透)
1．化简
1
4
－1
2·
（ 4ab－1）3
（0.1）－1·（a3·b－3）
1
2
(a>0，b>0)＝________．
解析：原式＝2×23·a
3
2·b－3
2
10·a
3
2·b－3
2
＝21＋3×10－1＝8
5.
答案：8
5
2．计算： －27
8
－2
3＋0.002－1
2－10( 5－2)－1＋π0＝________．
解析：原式＝ －3
2
－2
＋500
1
2－ 10（ 5＋2）
（ 5－2）（ 5＋2）
＋1＝4
9
＋10 5－10 5－20＋1＝－
167
9 .
答案：－167
9
3．化简：
a
4
3－8a
1
3b
4b
2
3＋23 ab＋a
2
3
÷ a－2
3－23 b
a ×
a·3 a2
5
a·3 a
＝________(a>0)．
解 析 ： 原 式 ＝ a
1
3[（a
1
3）3－（2b
1
3）3]
（a
1
3）2＋a
1
3·（2b
1
3）＋（2b
1
3）2
÷ a
1
3－2b
1
3
a
×
（a·a
2
3）
1
2
（a
1
2·a
1
3）
1
5
＝ a
1
3 (a
1
3 －
2b
1
3)× a
a
1
3－2b
1
3
×a
5
6
a
1
6
＝a2.
答案：a2
指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来
解答．
[提醒] 运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形
式力求统一．
指数函数的图象及应用(典例迁移)
(1)函数 f(x)＝21－x 的大致图象为( )
(2)若函数 y＝|3x－1|在(－∞，k]上递减，则 k 的取值范围为________．
【解析】 (1)函数 f(x)＝21－x＝2×
1
2
x
，递减且过点(0，2)，选项 A 中的图象符合要求．
(2)函数 y＝|3x－1|的图象是由函数 y＝3x 的图象向下平移一个单位后，再把位于 x 轴下
方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴上方得到的，函数图象如图所示．
由图象知，其在(－∞，0]上递减，所以 k 的取值范围为(－∞，0]．
【答案】 (1)A (2)(－∞，0]
【迁移探究 1】 (变条件)本例(2)变为：若函数 f(x)＝|3x－1|－k 有一个零点，则 k 的取
值范围为________．
解析：
函数 f(x)有一个零点，即 y＝|3x－1|与 y＝k 有一个交点．由本例(2)得 y＝|3x－1|的图象如
图所示，
故当 k＝0 或 k≥1 时，直线 y＝k 与函数 y＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以函数 f(x)
有一个零点．
答案：{0}∪[1，＋∞)
【迁移探究 2】 (变条件)若本例(2)的条件变为：函数 y＝|3x－1|＋m 的图象不经过第二
象限，则实数 m 的取值范围是________．
解析：作出函数 y＝|3x－1|＋m 的图象如图所示．
由图象知 m≤－1，即 m∈(－∞，－1]．
答案：(－∞，－1]
应用指数函数图象的 4 个技巧
(1)画指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，－1，1
a .
(2)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不
满足则排除．
(3)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平
移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数 a 与 1 的大小关系不确定时应注意分类讨论．
(4)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求
解．
1.
函数 f(x)＝ax－b 的图象如图所示，其中 a，b 为常数，则下列结论正确的是( )
A．a>1，b<0 B．a>1，b>0
C．00 D．00 的解集为________．
解析：因为 f(x)为偶函数，
当 x<0 时，－x>0，则 f(x)＝f(－x)＝2－x－4.
所以 f(x)＝ 2x－4，x≥0，
2－x－4，x<0
当 f(x－2)>0 时，有 x－2≥0，
2x－2－4>0
或 x－2<0，
2－x＋2－4>0，
解得 x>4 或 x<0.
所以不等式的解集为{x|x>4 或 x<0}．
答案：{x|x>4 或 x<0}
3．已知函数 f(x)＝ax－1
ax＋1
(a>0 且 a≠1)．
(1)求 f(x)的定义域和值域；
(2)讨论 f(x)的奇偶性；
(3)讨论 f(x)的单调性．
解：(1)f(x)的定义域是 R，令 y＝ax－1
ax＋1
，得 ax＝－y＋1
y－1
，因为ax－1
ax＋1
≠1 在定义域内恒成
立，所以 y≠1.
因为 ax>0，所以－y＋1
y－1
>0，
解得－11 时，a x2>ax1>0，
从而 ax1＋1>0，a x2＋1>0，ax1－a x2<0，
所以 f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)a x2>0，
从而 ax1＋1>0，a x2＋1>0，ax1－a x2>0，
所以 f(x1)－f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)，f(x)为 R 上的减函数．
[基础题组练]
1．函数 f(x)＝1－e|x|的图象大致是( )
解析：选 A.将函数解析式与图象对比分析，因为函数 f(x)＝1－e|x|是偶函数，且值域是(－
∞，0]，只有 A 满足上述两个性质．
2．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知 a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则( )
A．a1，c＝0.20.3∈(0，1)，所以 a0 时，f(x)＝1－2－x，－f(x)＝2－x－1，此时－x<0，则 f(－
x)＝2－x－1＝－f(x)；当 x<0 时，f(x)＝2x－1，－f(x)＝1－2x，此时－x>0，则 f(－x)＝1－2－(－
x)＝1－2x＝－f(x)．即函数 f(x)是奇函数，且单调递增，故选 C.
5．设 x>0，且 10，所以 b>1，
因为 bx1，
因为 x>0，所以a
b>1，
所以 a>b，所以 10，且 a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则 ab 的取值范围是
________．
解析：因为函数 y＝ax－b 的图象经过第二、三、四象限，所以函数 y＝ax－b 递减且其
图象与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上．令 x＝0，则 y＝a0－b＝1－b，由题意得 01.
故 ab∈(0，1)．
答案：(0，1)
7．不等式
1
2
x2＋ax
<
1
2
2x＋a－2
恒成立，则 a 的取值范围是________．
解析：由题意，y＝
1
2
x
是减函数，
因为
1
2
x2＋ax
<
1
2
2x＋a－2
恒成立，
所以 x2＋ax>2x＋a－2 恒成立，
所以 x2＋(a－2)x－a＋2>0 恒成立，
所以Δ＝(a－2)2－4(－a＋2)<0，
即(a－2)(a－2＋4)<0，
即(a－2)(a＋2)<0，
故有－20，
等价于方程 2am2－m－1＝0 在(0，＋∞)上有解，
记 g(m)＝2am2－m－1，
当 a＝0 时，解为 m＝－1<0，不成立．
当 a<0 时，开口向下，对称轴 m＝ 1
4a<0，
过点(0，－1)，不成立．
当 a>0 时，开口向上，
对称轴 m＝ 1
4a>0，过点(0，－1)，必有一个根为正，综上得 a>0.
[综合题组练]
1．已知 0aa，babb，所以在 ab，ba，aa，bb 中最大的是
ab.故选 C.
2．已知函数 f(x)＝|2x－1|，af(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是( )
A．a<0，b<0，c<0
B．a<0，b≥0，c>0
C．2－a<2c
D．2a＋2c<2
解析：选 D.
作出函数 f(x)＝|2x－1|的图象，如图，
因为 af(c)>f(b)，
结合图象知，00，
所以 0<2a<1.
所以 f(a)＝|2a－1|＝1－2a<1，
所以 f(c)<1，所以 0f(c)，
所以 1－2a>2c－1，
所以 2a＋2c<2，故选 D.
3．设 y＝f(x)在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数 K，定义 fK(x)＝ f（x），f（x）≤K，
K，f（x）>K.
给出函数 f(x)＝2x＋1－4x，若对于任意 x∈(－∞，1]，恒有 fK(x)＝f(x)，则( )
A．K 的最大值为 0
B．K 的最小值为 0
C．K 的最大值为 1
D．K 的最小值为 1
解析：选 D.根据题意可知，对于任意 x∈(－∞，1]，若恒有 fK(x)＝f(x)，则 f(x)≤K 在
x≤1 上恒成立，即 f(x)的最大值小于或等于 K 即可．
令 2x＝t，则 t∈(0，2]，f(t)＝－t2＋2t＝－(t－1)2＋1，可得 f(t)的最大值为 1，所以 K≥1，
故选 D.
4．设 a>0，且 a≠1，函数 y＝a2x＋2ax－1 在[－1，1]上的最大值是 14，则实数 a 的值
为________．
解析：令 t＝ax(a>0，且 a≠1)，
则原函数化为 y＝f(t)＝(t＋1)2－2(t>0)．
①当 01 时，x∈[－1，1]，t＝ax∈
1
a
，a ，
此时 f(t)在
1
a
，a 上是增函数．所以 f(t)max＝f(a)＝(a＋1)2－2＝14，解得 a＝3 或 a＝－5(舍
去)．综上得 a＝1
3
或 3.
答案：1
3
或 3
5．已知定义域为 R 的函数 f(x)＝－2x＋b
2x＋1＋a
是奇函数．
(1)求 a，b 的值；
(2)若对任意的 t∈R，不等式 f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0 恒成立，求 k 的取值范围．
解：(1)因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数，所以 f(0)＝0，
即－1＋b
2＋a
＝0，解得 b＝1，
所以 f(x)＝－2x＋1
2x＋1＋a
.
又由 f(1)＝－f(－1)知－2＋1
4＋a
＝－
－1
2
＋1
1＋a
，解得 a＝2.
(2)由(1)知 f(x)＝－2x＋1
2x＋1＋2
＝－1
2
＋ 1
2x＋1
，
由上式易知 f(x)在 R 上为减函数，
又因为 f(x)是奇函数，
从而不等式 f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0 等价于 f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)．
因为 f(x)是 R 上的减函数，由上式推得 t2－2t>－2t2＋k.
即对一切 t∈R 有 3t2－2t－k>0，
从而Δ＝4＋12k<0，
解得 k<－1
3.
故 k 的取值范围为 －∞，－1
3 .
