【数学】2018届一轮复习北师大版复数的概念与运算学案

【数学】2018届一轮复习北师大版复数的概念与运算学案

母题一 复数的概念与运算 ‎ 【母题原题1】【2017新课标1，理3】设有下面四个命题 ‎：若复数满足，则；‎ ‎：若复数满足，则；‎ ‎：若复数满足，则；‎ ‎ ：若复数，则.‎ 其中的真命题为 A. B． C． D．‎ ‎ 【答案】B ‎ ‎ ‎ 【考点】复数的运算与性质.‎ ‎ 【名师点睛】分式形式的复数，分子分母同乘分母的共轭复数，化简成的形式进行判断，共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可.‎ ‎ 【母题原题2】【2016新课标1，理2】设，其中x，y是实数，则 ‎（A）1 （B） （C） （D）2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：因为所以故选B.‎ ‎【考点】复数运算 ‎【名师点睛】复数题也是每年高考的必考内容,一般以客观题的形式出现,属得分题.高考中考查频率较高 的内容有：复数相等、复数的几何意义、共轭复数、复数的模及复数的乘除运算.这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是中的负号易忽略,所以做复数题时要注意运算的准确性.‎ ‎ 【母题原题3】【2015新课标1，理1】设复数z满足=，则|z|=( )‎ ‎（A）1 （B） （C） （D）2‎ ‎ 【答案】A ‎ 【考点】本题主要考查复数的运算和复数的模等.‎ ‎ 【名师点睛】本题将方程思想与复数的运算和复数的模结合起来考查，试题设计思路新颖，本题解题思路为利用方程思想和复数的运算法则求出复数z，再利用复数的模公式求出|z|,本题属于基础题，注意运算的准确性.‎ ‎ 【命题意图】 高考对本部分内容的考查主要体现在以下几个方面：1.理解复数的基本概念．理解复数相等的充要条件；2．了解复数的代数表示法及其几何意义；能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表示；3.会进行复数代数形式的四则运算；4.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.‎ ‎【命题规律】 从近三年高考情况来看，本部分内容为高考的必考内容，尤其是复数的概念、复数相等，复数的四则运算以及共轭复数，复数的乘、除运算是高考考查的重点内容，一般为选择题或填空题，难度不大，解题时要正确把握复数概念及准确运用复数的四则运算法则进行求解. ‎ ‎【答题模板】解答本类题目，一般考虑如下三步：‎ 第一步：构造（求出）未知复数 设，根据具体的要求设定（或求出）；‎ ‎ 第二步：借助复数四则运算，求出需求结果 由＝＝＝＋i(c2＋d2≠0)；z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i 等求出需求的结果；‎ ‎ 第三步：关注易错点，检验 ①共轭复数：a＋bi(a，b∈R)与c＋di(c，d∈R)互为共轭复数⇔a＝c， b＝－d；②|z|＝|a＋bi|＝.‎ ‎【方法总结】‎ ‎ 1．复数的相关概念 ‎ (1)对于复数a＋bi(a，b∈R)，当且仅当b＝0时，是实数；当b≠0时，是虚数；当a＝0且b≠0时，是纯虚数．‎ ‎ (2)复数相等：如果a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d；a＋bi＝0⇔a＝0且b＝0.‎ ‎ (3)共轭复数：a＋bi(a，b∈R)与c＋di(c，d∈R)互为共轭复数⇔a＝c，b＝－d.‎ ‎ 2．复数的运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)．‎ 运算法则 运算形式 加法 z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i 减法 z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i 乘法 z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i 除法 ＝＝＝＋i ‎(c2＋d2≠0)‎ ‎ 3.常用结论 ‎ (1)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，n∈N*.‎ ‎ (2)(1±i)2＝±2i，(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2.‎ ‎ 4．复数的几何意义 ‎ (1)复数加法的几何意义：复数的加法即向量的加法，满足平行四边形法则；‎ ‎ (2)复数减法的几何意义：复数减法即向量的减法，满足三角形法则．‎ ‎ 5．复数的模 向量的长度叫作复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|，即|z|＝|a＋bi|＝.‎ ‎ 6．模的运算性质 ‎ (1)|z|2＝||2＝z·；‎ ‎ (2)|z1·z2|＝|z1||z2|；‎ ‎ (3).‎ ‎1.【2017湖南娄底二模】若复数满足（为虚数单位），则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎ 【答案】A ‎2.【2017河北唐山二模】设复数满足，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎ 【答案】B ‎ ‎ 【解析】由，得，即，则，故选B.‎ ‎3.【2017江西4月质检】已知（是虚数单位），则复数的实部是（ ）‎ A. 0 B. -1 C. 1 D. 2‎ ‎ 【答案】A ‎ 【解析】因为，所以复数的实部为，故选A.‎ ‎4.【2017福建4月质检】已知是的共轭复数，且，则的虚部是（ ）‎ A. B. C. 4 D. -4‎ ‎ 【答案】C ‎ 【解析】设，得，所以原式为 ‎， 虚部为b所以选C ‎5.【2017四川资阳4月模拟】已知i为虚数单位，若复数（其中）为纯虚数，则 A. B. C. D. ‎ ‎ 【答案】B 本题选B.‎ ‎6.【2017安徽池州4月联考】设是虚数单位，是复数的共轭复数，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】设 ,由 有,解得 ,所以 ,选C.‎ ‎7.【2017四川泸州四诊】已知复数满足（是虚数单位），则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎ 【答案】C ‎【解析】由题意可得： ，则.‎ 本题选择C选项.‎ ‎8．【2017重庆巴蜀中学三诊】已知为虚数单位，复数满足，则__________．‎ ‎ 【答案】2‎ ‎ 【解析】,所以.填2.‎ ‎9．【2017河北武邑中学三模】设，则__________．‎ ‎ 【答案】‎ ‎10．【2017福建泉州考前适应模拟一】若复数满足，则__________．‎ ‎ 【答案】‎ ‎ 【解析】,故答案为.‎