【数学】2019届一轮复习人教A版数系的扩充与复数的引入学案

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文档介绍

【数学】2019届一轮复习人教A版数系的扩充与复数的引入学案

‎2019届一轮复习人教A版 数系的扩充与复数的引入 学案 ‎1.复数的有关概念及分类 ‎(1)代数形式为z=a+bi(a,b∈R),其中实部为a,虚部为b;‎ ‎(2)共轭复数为z=a-bi(a,b∈R).‎ ‎(3)复数的分类 ‎①若 z=a+bi(a,b∈R)是实数,则z与的关系为z=.‎ ‎②若z=a+bi(a,b∈R)是纯虚数,则z与的关系为z+=0(z≠0).‎ ‎2.与复数运算有关的问题 ‎(1)复数相等的充要条件 a+bi=c+di⇔(a,b,c,d∈R).‎ ‎(2)复数的模 复数z=a+bi的模|z|=,且z·=|z|2=a2+b2.‎ ‎(3)复数的四则运算,若两个复数z1=a1+b1i,z2=a2+b2i(a1,b1,a2,b2∈R)‎ ‎①加法:z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i;‎ ‎②减法:z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i;‎ ‎③乘法:z1·z2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i;‎ ‎④除法:==+i(z2≠0);‎ ‎3.复数的几何意义 ‎(1)任何一个复数z=a+bi一一对应着复平面内一个点Z(a,b),也一一对应着一个从原点出发的向量.‎ ‎(2)复数加法的几何意义 若复数z1、z2对应的向量1、2不共线,则复数z1+z2是以1、2为两邻边的平行四边形的对角线所对应的复数.‎ ‎(3)复数减法的几何意义 复数z1-z2是连接向量1、2的终点,并指向Z1的向量所对应的复数.‎ ‎[体系构建]‎ ‎[题型探究]‎ 复数的概念 ‎ 当实数a为何值时,z=a2-‎2a+(a2-‎3a+2)i.‎ ‎(1)为实数;‎ ‎(2)为纯虚数;‎ ‎(3)对应的点在第一象限内;‎ ‎(4)复数z对应的点在直线x-y=0. 【导学号:31062230】‎ ‎[解] (1)z∈R⇔a2-‎3a+2=0,解得a=1或a=2.‎ ‎(2)z为纯虚数, 即故a=0.‎ ‎(3)z对应的点在第一象限,则 ‎∴∴a<0,或a>2.‎ ‎∴a的取值范围是(-∞,0)∪(2,+∞).‎ ‎(4)依题设(a2-‎2a)-(a2-‎3a+2)=0,‎ ‎∴a=2.‎ ‎[规律方法] 处理复数概念问题的两个注意点 (1)当复数不是a+bi(a,b∈R)的形式时,要通过变形化为a+b i的形式,以便确定其实部和虚部. (2)求解时,要注意实部和虚部本身对变量的要求,否则容易产生增根.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎1.(1)若复数z=1+i(i为虚数单位),是z的共轭复数,则z2+2的虚部为 ‎(  )‎ A.0  B.-1‎ C.1 D.-2‎ ‎(2)设i是虚数单位,若复数a-(a∈R)是纯虚数,则a的值为(  )‎ A.-3 B.-1‎ C.1 D.3‎ ‎(1)A (2)D [(1)因为z=1+i,所以=1-i,所以z2+2=(1+i)2+(1-i)2=2i+(-2i)=0.故选A.‎ ‎(2)因为a-=a-=a-=(a-3)-i,由纯虚数的定义,知a-3=0,所以a=3.]‎ 复数的几何意义 ‎ (1)在复平面内,复数(i是虚数单位)所对应的点位于(  )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎(2)已知复数z1=2+3i,z2=a+bi,z3=1-4i,它们在复平面上所对应的点分别为A,B,C.若=2+,则a=________,b=________. ‎ ‎【导学号:31062231】‎ ‎(1)B (2)-3 -10 [(1)===-+i,∴复数对应的点位于第二象限.‎ ‎(2)∵=2+ ‎∴1-4i=2(2+3i)+(a+bi)‎ 即∴]‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎2.若i为虚数单位,图31中复平面内点Z表示复数z,则表示复数的点是(  )‎ 图31‎ A.E B.F C.G D.H D [∵点Z(3,1)对应的复数为z,‎ ‎∴z=3+i,====2-i,‎ 该复数对应的点的坐标是(2,-1),即H点.]‎ 复数的四则运算 ‎ (1)已知是z的共轭复数,若z·i+2=2z,则z=(  ) ‎ ‎【导学号:31062232】‎ A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i ‎(2)已知复数z1=2-3i,z2=,则等于(  )‎ A.-4+3i B.3+4i C.3-4i D.4-3i ‎(1)A (2)D  [(1)设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,代入z·i+2=2z中得,(a+bi)(a-bi)i+2=2(a+bi),∴2+(a2+b2)i=‎2a+2bi,‎ 由复数相等的条件得, ‎∴ ‎∴z=1+i,故选A.‎ ‎(2)== ‎==4-3i.]‎ 母题探究:1.(变结论)本例题(1)中已知条件不变,则=__________.‎ ‎[解析] 由解析知z=1+i,所以=1-i.‎ ==i.‎ ‎[答案] i ‎2.(变结论)本例题(2)中已知条件不变,则z1z2=__________.‎ ‎[解析] z1z2= ‎ ‎== ‎==-i.‎ ‎[答案]  -i ‎[规律方法] (1)复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似; (2)复数的除法运算,将分子分母同时乘以分母的共轭复数,最后整理成a+bi(a,b∈R)的结构形式.  (3)利用复数相等,可实现复数问题的实数化.‎ 转化与化归思想 ‎ 已知z是复数,z+2i,均为实数,且(z+ai)2的对应点在第一象限,求实数a的取值范围. ‎ ‎【导学号:31062233】‎ ‎[解] 设z=x+yi(x,y∈R),‎ 则z+2i=x+(y+2)i为实数,∴y=-2.‎ 又==(x-2i)(2+i)‎ ‎=(2x+2)+(x-4)i为实数,‎ ‎∴x=4.∴z=4-2i,又∵(z+ai)2=(4-2i+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i在第一象限.‎ ‎∴,解得2
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