安徽省芜湖一中2013届高三上学期第二次模拟考试数学理试卷

安徽省芜湖一中2013届高三上学期第二次模拟考试数学理试卷

芜湖一中2013届高三第二次模拟考试 数学（理科）试题 第I卷（选择题 共50分）‎ 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．已知复数，且有，是z的共轭复数，那么的值等于（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．若随机变量（1，4），，则=（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎3．二项式展开式中含有项，则n可能的取值是（ ）‎ ‎ A．5 B．‎6 ‎ C．7 D．8‎ ‎4．已知函数，是定义在R上的奇函数，当时，，则函数的大致图象为（ ）‎ ‎5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ ‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D．‎ ‎6．定义在R上的偶函数满足，且在 上是减函数，是钝角三角形的两个锐角，则下列结论正确的是（ ）‎ ‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎7．在等差数列中，，，对任意的n，设，则满足的最小正整数K的取值等于（ ）‎ ‎ A．16 B．‎17 ‎ C．18 D．19‎ ‎8．直线（为参数）被曲线所截的弦长为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎9．设长方形ABCD边长分别是AD=1，AB=2（如图所示），点P在BCD内部和边界上运动，设（都是实数），则的取值范围是（ ）‎ ‎ A．[1，2] B．[1，3] C．[2，3] D．[0，2]‎ ‎10．把一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种不同颜色可供选择，那么不同的染色方法共有（ ）‎ ‎ A．420种 B．300种 C．360种 D．540种 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）‎ ‎11．点P是抛物线上一动点，则点P到y轴距离与点P到点A距离之和的最小值等于 。‎ ‎12．= 。‎ ‎13．如图所示，程序框图输出的值为 。‎ ‎14．已知命题，命题若非p是非q的必要不充分条件，那么实数m的取值范围是 。‎ ‎15．已知，，函数 ‎，那么下列四个命题中正确命题的序号是 。‎ ‎ ①是周期函数，其最小正周期为。‎ ‎②当时，有最小值。‎ 芜湖一中2013届高三第二次模拟考试 数学（理科）答题卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ 题号 ‎10‎ 答案 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）‎ ‎11． 12． 13． ‎ ‎14． 15． ‎ 三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎16．（本题满分12分）‎ 解关于x的不等式 ‎17．（本题满分13分）‎ ‎ 某品牌汽车4s店对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如表所示：‎ 付款方式 分1期 分2期 分3期 分4期 分5期 频数 ‎40‎ ‎20‎ a ‎10‎ b ‎ 已知分3期付款的频率为0.2，4s店经销一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元，分2期或3期付款其利润为1.5万元，分4期或5期付款，其利润为2万元，用Y表示经销一辆汽车的利润。‎ ‎ （1）求上表中a，b的值。‎ ‎ （2）若以频率作为概率，求事件A：“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有一位采用3期付款”的概率P（A）‎ ‎ （3）求Y的分布列及数学期望EY。‎ ‎18．（本题满分12分）‎ 如图，四棱锥S-ABCD的底面ABCD是直角梯形，侧面SAB是等边三角形，DA面SAB，DC//AB，AB=2AD=2DC，O，E分别为AB、SD中点。‎ ‎ （1）求证：SO//面AEC BC面AEC ‎ （2）求二面角O—SD—B的余弦值。‎ ‎19．（本题满分12分）‎ 已知函数 ‎ （1）当时，求函数的单调区间。‎ ‎ （2）若不等式对任意的恒成立，求a的取值范围。‎ ‎20．（本题满分13分）‎ ‎ 如图，直角坐标系XOY中，点F在x轴正半轴上，的面积为S。且，设，。‎ ‎ （1）以O为中心，F为焦点的椭圆E经过点G，求点G的纵坐标。‎ ‎ （2）在（1）的条件下，当取最小值时，求椭圆E的标准方程。‎ ‎ （3）在（2）的条件下，设点A、B分别为椭圆E的左、右顶点，点C是椭圆的下顶点，点P在椭圆E上（与点A、B均不重合），点D在直线PA上，若直线PB的方程为，且，试求CD直线方程。‎ ‎21．（本题满分13分）‎ ‎ 已知函数，，对于任意的，都有。‎ ‎ （1）求的取值范围 ‎ （2）若，证明： （）‎ ‎ （3）在（2）的条件下，证明：‎ ‎ ‎ 高三数学答案（理科）‎ 一、选择题（每题5分，共50分）‎ ‎1．B ， ‎ 原式 ‎2．C由对称性： ‎ ‎ ，选C。‎ ‎3．D 因为，‎ ‎4．D 偶函数 奇函数 是奇函数排除；又当取较大正数时， 排除C故选D ‎5．A 该几何体下面是个园柱，上面是个三棱锥，其体积为 ‎ 选 ‎6．B ‎ 在上减 在[-1，0]上减，又偶函数 在上增 ‎ 是钝角三角形的两个锐角 选B ‎7．C ‎ ‎ ‎ 最小正整数K值为18，选C ‎8．C 化为普通方程：直线，圆，圆心，，圆心到直线距离，弦长=‎ ‎9．B 阴影部分内的点（x，y）满足设P（x，y），‎ 则 即：， 因此作图易知： 选B ‎10．A 用5色有种，用4色有种，用3色有种，共有420种。‎ 二、填空题（每小题5分，共25分）‎ ‎11． A、P、F三点共线时，最小。‎ ‎12．3 原式=‎ ‎13．12（略）‎ ‎14． ‎ ‎ 或 是的必要不充分条件 恒成立 。‎ ‎15．②，③，④ ‎ ‎ ，而知①错②，③，④均正确。‎ 三、解答题 ‎16．原不等式同解于： …………………………3分 解得： …………………………………………8分 当时，解为 …………………………………………10分 当时 解为 …………………………12分 ‎17．（1） ……………………4分 ‎ （2）记分期付款的期数为，则：，，‎ ‎ ，故所求概率…………8分 ‎（3）Y可能取值为1，1.5，2（万元） ‎ ‎，‎ Y的分布列为：‎ Y ‎1‎ ‎1.5‎ ‎2‎ P ‎0.4‎ ‎0.4‎ ‎0.2‎ Y的数学期望（万元）……………………………………13分 ‎18．（1）设DO，AC交于点F，连接EF，则可得EF//OS SO//面AEC …………………3分 又SO面ABCD 又 ‎ 面……………………………………6分 ‎（2）分别以OS，OB，OC为x轴，Y轴，z轴点的空间直角坐标系，设AB=2，显然AC面SOD，‎ 面SOD的法向量 设面SBD 的法向量为 由，求得：，故所求二面角的余弦值为……………………12分 ‎19．（1）时， ‎ 减区间为（-1，1），增区间为（）和（1，） ………………………………5分 ‎（2） 令的 ‎ 列表 ‎（）‎ ‎（，1）‎ ‎1‎ ‎（1，）‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ 极大值 极小值 当时，有最小值 依题意 即可 ‎ 解得 ………………………………12分 ‎20．（1）设G（） ‎ ‎ …………………………3分 ‎（2）由（1）知 ‎ ‎ 在[2，]上递增 当时 有最小值此时 ‎ ，由于点G在椭圆E上，且 可求得 方程为：………………………………8分 ‎（3）由（2）知：，， 直线BP：经过点B 求得 又设P（）则 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 又CD直线过点C（0，）故：所求CD方程为：……………………13分 ‎21．（1） 恒成立 ‎ 恒成立 故：…………………………3分 ‎（2） 当时，‎ 有结论：函数在（1，）上是单调递增函数。‎ 下面用数学归纳法证明：‎ ‎①当时，由得 成立。‎ ‎②假设当时，结论成立。即：‎ 那么当时 ‎ 这表明当时不等式也成立，综合①②可知：当，时 成立………7分 ‎（3）且 ‎ ‎ 令则在上递增 由（2）知：‎ ‎ ‎ ‎ 又 ‎ 左边 ‎…………13分