河北衡水中学2020年第二学期高三年级第九次调研考试文科数学试卷答案

河北衡水中学2020年第二学期高三年级第九次调研考试文科数学试卷答案

第 1 页，共 6 页 2019—2020 学年度第二学期下九调考试 答案和解析 1.【答案】B 【解析】【分析】 考查一元二次不等式的解法，描述法表示集合的概念，以及交集、补集的运算． 可先求出集合 B，然后进行交集、补集的运算即可． 【解答】 解： 或 ； ； ． 故选：B． 2.【答案】D 【解析】解： ， 的虚部为 1； ； ； 是纯虚数． 故选：D． 利用复数代数形式的乘除运算化简，逐一核对四个选项得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 3.【答案】C 【解析】【分析】 本题考查了分层抽样和茎叶图，属于基础题． 由茎叶图可得，获 诗词能手 的称号有 16 人，再根据分层抽样的定义即可求出． 【解答】 解：由茎叶图可得，获 诗词能手 的称号有 16 人， 据该次比赛的成绩按照称号的不同进行分层抽样抽选 10 名学生， 则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为 人． 故选 C． 4.【答案】C 【解析】解： ， 由 ，可得 ，可得 ． 则 ． 故选：C． 由 ，可得 即可求 ． 5.【答案】A 【解析】【分析】 本题主要考查对数、指数的大小比较，这里尽量借助于整数 1 作为中间量来比较．本题属基础题． 本题先将 a、b、c 的大小与 1 作个比较，发现 ，a、c 都小于 再对 a、c 的表达式进行变形， 判断 a、c 之间的大小． 【解答】 解：由题意，可知： ， ． ， 最大，a、c 都小于 1． ， ． 而 ， ． ， ． 故选：A． 6.【答案】C 【解析】解：如图所示， 把侧面展开两周可得对角线最短： ． 故选：C． 如图所示，把侧面展开两周可得对角线最短，利用 勾股定理即可得出． 本题考查了侧面展开图、勾股定理、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 7.【答案】C 【解析】【分析】 本题主要考查了等比数列的判定及通项公式，属于较易题． 由 可得数列 是等比数列，由等比数列的通项公式可求 ，进而得出 ． 【解答】 解： ， 即 是 与 的等比中项， 数列 是等比数列， ， ， ， ， 等比数列 的首项 ，公比为 ， ， ．故选 C． 8.【答案】C 第 2 页，共 6 页 【解析】解：由题意可得右顶点 ，渐近线的方程为： ，即 ， 所以 A 到渐近线的距离为： ，由题意可得： ，可得 ， ，整理可得 ，所以离心率 ， 故选：C． 由双曲线的方程可得 A 的坐标及渐近线的方程，再由点到直线的距离公式及题意可得 a，c 的关系， 进而求出双曲线的离心率． 考查双曲线的性质，属于基础题， 9.【答案】D 【解析】解：因为： ， 由正弦定理可得： ，得 ， 则由 ， 得 ， 则 ． 故选：D． 根据正弦定理：由 ，得 ，则由 得 ，利用 公式可得结论． 本题主要考查类比推理的应用，要求正确理解类比的关系，比较基础． 10.【答案】B 【解析】解：将一骰子抛掷两次，所得向上点数分别为 m 和 n， 基本事件总数 ， 函数 在 上为增函数， ， 36 个基本事件中满足 的有： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共 9 个， 函数 在 上为增函数包含的基本事件的个数 ， 函数 在 上为增函数的概率 ． 故答案为： ． 本题考查的是概率与函数的综合问题，利用古典概型的特点分别求出基本事件的总数及所求事件包 含的基本事件的个数，利用二次函数的性质求解，属于中档题． 基本事件总数 ，由函数 在 上为增函数，得 ，求出满足此条件的事件个数，由古概率概率计算公式能求出函数 在 上为增函数的概率． 11.【答案】C 【解析】【分析】 本题考查了利用导数研究函数的极值及三角函数图象的性质，属中档题． 由利用导数研究函数的极值及三角函数图象的性质逐一检验即可得解． 【解答】 解：由已知可得： ， ， 所以 ， 当 时， ， 所以 ， ， 若 时， 在 有一个极大值点，不符合题意， 若 时， 在 极大值点为 小于极小值点 ，符合题意，故选：C． 12.【答案】D 【解析】解：函数的定义域为 ， 则函数的导数 ， 若函数 存在极大值点 ， 则 有解， 即 有两个不等的正根， 则 ，得 ， ， 由 得 ， ， 分析易得 的极大值点为 ， ， ， ， 则 ， 设 ， ， 的极大值恒小于 0 等价为 恒小于 0， ， 在 上单调递增， 第 3 页，共 6 页 故 ， 得 ，即 ， 故 a 的最大值为是 ， 故选：D． 求函数的导数，根据函数存在极小值等价为 有解，转化为一元二次方程，根据一元二次 方程根与判别式 之间的关系进行转化求解即可． 本题主要考查函数极值的应用，求函数的导数，利用函数极值和导数之间的关系转化为一元二次方 程根的与判别式 之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度极大． 13.【答案】 【解析】解： ， ． 故答案为： ． 利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简所求即可计算得解． 本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想， 属于基础题． 14.【答案】 【解析】解：作出所对应的可行域 如图阴影 ， 变形目标函数可得 ，作出直线 ， 经平移直线知，当直线过点 时， 取最小值 5， 当直线过点 时， 取最大值 9， 故 的取值范围为： 故答案为： ． 作出不等式组对应的平面区域，利用 z 的几何意义，利用数形结合，即可得到结论． 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键． 15.【答案】 【解析】解：由题意，当此四棱锥体积取得最大值时，四棱锥为正 四棱锥， 该四棱锥的表面积等于 ， 设球 O 的半径为 R，则 ， ，如图， 该四棱锥的底面边长为 ， 则有 ， ，得球 O 的体积是 ． 故答案为： ． 当此四棱锥体积取得最大值时，四棱锥为正四棱锥，根据该四棱锥的表面积等于 ，确定该 四棱锥的底面边长和高，进而可求球的半径为 R，从而可求球的体积． 本题考查球内接多面体，球的体积，解题的关键是确定球的半径，再利用公式求解，是中档题． 16.【答案】2 【解析】【分析】 本题考查双曲线的离心率的求法，考查直角三角形的性质和直线与双曲线的方程联立，运用韦达定 理和中点坐标公式，考查两直线垂直的条件：斜率之积为 ，考查化简整理的运算能力，属于中 档题． 由题意可得 N 为 PQ 的中点， ，运用直角三角形的性质可不妨设直线 PQ 的斜率为 ， AN 的斜率为 ，求得直线 PQ 的方程，代入双曲线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式可得 N 的坐标，再由直线的斜率公式和离心率公式，化简整理即可得到所求值． 【解答】 解：由 ，可得 N 为 PQ 的中点， ， 在直角三角形 中， ， ， 第 4 页，共 6 页 即有 ， 直线 PQ 的斜率为 ，由对称性不妨设斜率为 ，AN 的斜率为 ， 由 ， ， 可得直线 PQ 的方程为 ， 代入双曲线的方程可得 ， 设 ， ， 可得 ， PQ 的中点 N 的横坐标为 ， 纵坐标为 ， 由 ， 即为 ， 即为 ， 化为 ， 即 ，可得 ． 故答案为 2． 17.【答案】解： 依题意，由 可知数列 是等差数列． 设等差数列 的公差为 d，则 ， 解得 ． ， ． 由 知， ， 设数列 的前 n 项和为 ，则 ． 【解析】本题第 题先根据等差中项判别法可得数列 是等差数列．然后设数列 的公差为 d，然后根据等差数列的通项公式可列出关于首项 的方程，解出 的值，即可得到数列 的 通项公式；第 题可根据第 题的结果求出数列 的通项公式，然后运用裂项相消法求 出前 n 项和 ． 本题主要考查等差数列的性质应用，以及运用裂项相消法求数列的前 n 项和．考查了方程思想，转 化思想的应用，逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题． 18.【答案】 证明：因为 ABCD 是菱形，所以 ， 平面 ABCD， 平面 ABCD， ． 又 ， 平面 PAC， 平面 PAC， 平面 PAC， 又 平面 BDE， 平面 平面 PAC． 连 OE，由 知 平面 PAC， 平面 PAC， ，由 得： 当 时，OE 取到最小值 此时 作 交 AC 于 H， 平面 ABCD， 平面 ABCD， 由 得点 E 到底面 ABCD 的距离 ． 【解析】本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用，点到平面的距离的求法，考查转化思想以及 空间想象能力． 证明 ， ，推出 平面 PAC，然后证明平面 平面 PAC． 连 OE，推出 ，求出 求出 CE，作 交 AC 于 H，证明 平 面 ABCD，然后求解点 E 到底面 ABCD 的距离． 19.【答案】解： 由频率分布直方图知， ， 解得 ， 第 5 页，共 6 页 乙方案样本中不合格天数为 天 ； 根据图 1，得 ， 又 ， ， 中位数在 之间，设中位数为 x， 则 ，解得 ， 乙方案样本的中位数为 170； 由题意填写 列联表如下， 甲方案 乙方案 合计 合格天数 96 89 185 不合格天数 4 11 15 合计 100 100 200 由表中数据，计算 ， 且 ， 有 的把握认为该城市的空气质量指数值与两种方案的选择有关． 【解析】本题考查了频率分布直方图和独立性检验的应用问题，是中档题． 由频率和为 1 列方程求得 a 的值，再计算乙方案样本中不合格天数； 根据频率分布直方图求得中位数； 由题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论． 20.【答案】解： 由已知得 ，解得 ， ， ， 椭圆 C 的方程为 ； 假设存在这样的直线，由已知可知直线的斜率存在，设直线方程为 ， 联立 ，得 ． ， 设 ， ，则 ， ， ， 由 ，得 ，即 ，即 ， 故 ，得 2 8 5m  ，将 代入 式解得 2 3 2m  所以 2 10 5m  或 2 10 5m  ． 【解析】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，体现了“设而不求”的解题 思想方法，是中档题． 由题意列关于 a，b，c 的方程组，求解可得 a，b，c 的值，则椭圆方程可求； 假设存在这样的直线，由已知可知直线的斜率存在，设直线方程为 ，联立直线方程 与椭圆方程，利用根与系数的关系可得 A，B 横纵坐标的积，结合 可 得 k 与 m 的关系，再由判别式大于 0 求得实数 m 的取值范围． 21.【答案】解： 当 时， ， 所以 对任意的 都成立， 故 在 单调递增， 所以 ， 要使得对 有 恒成立，则 即 ， 因为 ， 所以 即 ，又 ，即 ， ， ， 显然 不是 的零点，所以 可化为 ， 令 ，则 ， 所以 在 ， 上单调递增， 又 ， ， ， 故 在 ， 上各有 1 个零点， 所以 在 ， 上各有 1 个零点， 所以 ， ， ． 【解析】 把 代入，然后对函数求导，结合导数与单调性的关系可判断函数的单调性，由 不等式的恒成立转换为为求解函数的最值或范围，可求 结合已知曲线及导数的几何意义可求 m，n，然后结合函数的单调性及函数的零点判定定理即可 求解． 本题主要考查了由不等式的恒成立求解参数范围及导数的几何意义，函数的性质及零点判定定理的 综合应用． 22.【答案】解： 已知曲线 C： 为参数 ，转换为直角坐标方程为 第 6 页，共 6 页 ． 直线 l 的极坐标方程为 转换为直角坐标方程为 ，整理得 ． 由于点 在直线 l 上，所以转换为参数方程为 为参数 ，代入 ， 得到： ， 所以： ， ， 所以 ． 【解析】 直接利用和转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． 利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果． 本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关 系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 23.【答案】解： 当 时， ， ， ， ， ， ， 解得 ， 不等式 的解集为 ． ， ， ， ， 当 时， ，故不等式一定成立， 当 时， ， ， 解得 ， 的取值范围是 ． 【解析】本题考查含绝对值不等式的解法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真 审题，注意不等式性质的合理运用． 当 时，由已知得 ，去绝对值求出不等式 的解集． 利用含绝对值的三角不等式求得 的最小值 ，由 ，能求出 a 的取 值范围．