高中数学人教a版必修四模块综合检测(c) word版含答案

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高中数学人教a版必修四模块综合检测(c) word版含答案

模块综合检测(C) (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.若角 600°的终边上有一点(-4,a),则 a 的值是( ) A.4 3 B.-4 3 C.4 3 3 D.-4 3 3 2.若向量 a=(3,m),b=(2,-1),a·b=0,则实数 m 的值为( ) A.-3 2 B.3 2 C.2 D.6 3.设向量 a=(cos α,1 2),若 a 的模长为 2 2 ,则 cos 2α等于( ) A.-1 2 B.-1 4 C.1 2 D. 3 2 4.平面向量 a 与 b 的夹角为 60°,a=(2,0),|b|=1,则|a+2b|等于( ) A. 3 B.2 3 C.4 D.12 5.tan 17°+tan 28°+tan 17°tan 28°等于( ) A.- 2 2 B. 2 2 C.-1 D.1 6.若向量 a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x),满足条件(8a-b)·c=30,则 x 等于( ) A.6 B.5 C.4 D.3 7.要得到函数 y=sin x 的图象,只需将函数 y=cos(x-π 3)的图象( ) A.向右平移π 6 个单位 B.向右平移π 3 个单位 C.向左平移π 3 个单位 D.向左平移π 6 个单位 8.设函数 f(x)=sin(2x+π 3),则下列结论正确的是( ) A.f(x)的图象关于直线 x=π 3 对称 B.f(x)的图象关于点(π 4 ,0)对称 C.把 f(x)的图象向左平移 π 12 个单位,得到一个偶函数的图象 D.f(x)的最小正周期为π,且在[0,π 6 ]上为增函数 9.已知 A,B,C 是锐角△ABC 的三个内角,向量 p=(sin A,1),q=(1,-cos B),则 p 与 q 的夹角是( ) A.锐角 B.钝角 C.直角 D.不确定 10.已知函数 f(x)=(1+cos 2x)sin2x,x∈R,则 f(x)是( ) A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π 2 的奇函数 C.最小正周期为π的偶函数 D.最小正周期为π 2 的偶函数 11.设 0≤θ≤2π,向量OP1 → =(cos θ,sin θ),OP2 → =(2+sin θ,2-cos θ),则向量P1P2 → 的模长 的最大值为( ) A. 2 B. 3 C.2 3 D.3 2 12.若将函数 y=tan(ωx+π 4)(ω>0)的图象向右平移π 6 个单位长度后,与函数 y=tan(ωx+π 6)的图 象重合,则ω的最小值为( ) A.1 6 B.1 4 C.1 3 D.1 2 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知α、β为锐角,且 a=(sin α,cos β),b=(cos α,sin β),当 a∥b 时,α+β=________. 14.已知 cos4α-sin4α=2 3 ,α∈(0,π 2),则 cos(2α+π 3)=________. 15.若向量AB→=(3,-1),n=(2,1),且 n·AC→=7,那么 n·BC→=________. 16.若θ∈[0,π 2 ],且 sin θ=4 5 ,则 tan θ 2 =________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.(10 分)已知向量 a=(sin θ,1),b=(1,cos θ),-π 2<θ<π 2. (1)若 a⊥b,求θ; (2)求|a+b|的最大值. 18.(12 分)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)为偶函数,其图象上相邻的两个最高点之 间的距离为 2π. (1)求 f(x)的解析式; (2)若α∈(-π 3 ,π 2),f(α+π 3)=1 3 ,求 sin(2α+5π 3 )的值. 19.(12 分)设函数 f(x)=a·b,其中向量 a=(2cos x,1),b=(cos x, 3sin 2x),x∈R. (1)若函数 f(x)=1- 3,且 x∈[-π 3 ,π 3 ],求 x; (2)求函数 y=f(x)的单调增区间,并在给出的坐标系中画出 y=f(x)在[0,π]上的图象. 20.(12 分)已知 x∈R,向量OA→ =(acos2x,1),OB→ =(2, 3asin 2x-a),f(x)=OA→ ·OB→ ,a≠0. (1)求函数 f(x)的解析式,并求当 a>0 时,f(x)的单调增区间; (2)当 x∈[0,π 2 ]时,f(x)的最大值为 5,求 a 的值. 21.(12 分)已知函数 f(x)= 3sin2(x+π 4)-cos2x-1+ 3 2 (x∈R). (1)求函数 f(x)的最小值和最小正周期; (2)若 A 为锐角,且向量 m=(1,5)与向量 n=(1,f(π 4 -A))垂直,求 cos 2A 的值. 22.(12 分)已知向量 a=(cos α,sin α),b=(cos x,sin x),c=(sin x+2sin α,cos x+2cos α), 其中 0<απ 2.∴π 2>A>π 2 -B>0. ∵函数 y=sin x,x∈(0,π 2)是递增函数,∴sin A>sin(π 2 -B).即 sin A>cos B. ∴p·q=sin A-cos B>0. ∴p 与 q 所成的角是锐角.] 10.D [f(x)=(1+cos 2x)1-cos 2x 2 =1 2(1-cos22x)=1 2 -1 2 ×1+cos 4x 2 =1 4 -1 4cos 4x,∴T=2π 4 =π 2 ,f(-x)=f(x),故选 D.] 11.D [|P1P2 → |= 2+sin θ-cos θ2+2-cos θ-sin θ2= 10-8cos θ≤ 18=3 2.] 12.D [由题意知 tan[ω(x-π 6)+π 4]=tan(ωx+π 6),即 tan(ωx+π 4 -πω 6 )=tan(ωx+π 6). ∴π 4 -π 6ω=kπ+π 6 ,得ω=-6k+1 2 ,则ωmin=1 2(ω>0).] 13.π 2 解析 ∵a∥b, ∴sin αsinβ-cos αcos β=0 即 cos(α+β)=0. ∵0<α+β<π.∴α+β=π 2. 14.1 3 - 15 6 解析 ∵cos4α-sin4α=(cos2α+sin2α)(cos2α-sin2α)=cos 2α=2 3. 又 2α∈(0,π).∴sin 2α= 5 3 . ∴cos(2α+π 3)=1 2cos 2α- 3 2 sin 2α=1 3 - 15 6 . 15.2 解析 n·BC→=n·(AC→-AB→)=n·AC→-n·AB→=7-(2,1)·(3,-1)=7-5=2. 16.1 2 解析 ∵sin θ=2sin θ 2cos θ 2 = 2sin θ 2cos θ 2 sin2θ 2 +cos2θ 2 = 2tan θ 2 1+tan2θ 2 =4 5. ∴2tan2θ 2 -5tan θ 2 +2=0, ∴tan θ 2 =1 2 或 tan θ 2 =2. ∵θ∈[0,π 2],∴θ 2 ∈[0,π 4]. ∴tan θ 2 ∈[0,1],∴tan θ 2 =1 2. 17.解 (1)若 a⊥b,则 sin θ+cos θ=0. 由此得 tan θ=-1(-π 2<θ<π 2),∴θ=-π 4. (2)由 a=(sin θ,1),b=(1,cos θ)得 a+b=(sin θ+1,1+cos θ), |a+b|= sin θ+12+1+cos θ2= 3+2sin θ+cos θ= 3+2 2sinθ+π 4 , 当 sin(θ+π 4)=1 时,|a+b|取得最大值, 即当θ=π 4 时,|a+b|的最大值为 2+1. 18.解 (1)∵图象上相邻的两个最高点之间的距离为 2π, ∴T=2π,则ω=2π T =1.∴f(x)=sin(x+φ). ∵f(x)是偶函数,∴φ=kπ+π 2(k∈Z). 又 0≤φ≤π,∴φ=π 2 ,∴f(x)=cos x. (2)由已知得 cos(α+π 3)=1 3. ∵α∈(-π 3 ,π 2).∴α+π 3 ∈(0,5π 6 ). ∴sin(α+π 3)=2 2 3 . ∴sin(2α+5π 3 )=-sin(2α+2π 3 )=-2sin(α+π 3)cos(α+π 3)=-4 2 9 . 19.解 (1)依题设得 f(x)=2cos2x+ 3sin 2x =1+cos 2x+ 3sin 2x=2sin(2x+π 6)+1. 由 2sin(2x+π 6)+1=1- 3得 sin(2x+π 6)=- 3 2 . ∵-π 3 ≤x≤π 3 ,∴-π 2 ≤2x+π 6 ≤5π 6 , ∴2x+π 6 =-π 3 ,即 x=-π 4. (2)-π 2 +2kπ≤2x+π 6 ≤π 2 +2kπ(k∈Z),即-π 3 +kπ≤x≤π 6 +kπ(k∈Z) 得函数单调增区间为[-π 3 +kπ,π 6 +kπ](k∈Z). x 0 π 6 π 3 π 2 2π 3 5π 6 π y 2 3 2 0 -1 0 2 20.解 (1)f(x)=2acos2x+ 3asin 2x-a= 3asin 2x+acos 2x=2asin(2x+π 6). 当 a>0 时,由 2kπ-π 2 ≤2x+π 6 ≤2kπ+π 2(k∈Z), 得 kπ-π 3 ≤x≤kπ+π 6(k∈Z). 故函数 f(x)的单调增区间为[kπ-π 3 ,kπ+π 6](k∈Z). (2)由(1)知 f(x)=2asin(2x+π 6). 当 x∈[0,π 2]时,2x+π 6 ∈[π 6 ,7π 6 ]. 若 a>0,当 2x+π 6 =π 2 时, f(x)max=2a=5,则 a=5 2 ; 若 a<0,当 2x+π 6 =7π 6 时, f(x)max=-a=5,则 a=-5. 所以 a=5 2 或-5. 21.解 (1)f(x)= 3sin2(x+π 4)-cos2x-1+ 3 2 = 3[ 2 2 (sin x+cos x)]2-cos2x-1+ 3 2 = 3sin xcos x-cos2x-1 2 = 3 2 sin 2x-1+cos 2x 2 -1 2 =sin(2x-π 6)-1, 所以 f(x)的最小正周期为π,最小值为-2. (2)由 m=(1,5)与 n=(1,f(π 4 -A))垂直, 得 5f(π 4 -A)+1=0, ∴5sin[2(π 4 -A)-π 6]-4=0,即 sin(2A-π 3)=-4 5. ∵A∈(0,π 2),∴2A-π 3 ∈(-π 3 ,2π 3 ), ∵sin(2A-π 3)=-4 5<0, ∴2A-π 3 ∈(-π 3 ,0), ∴cos(2A-π 3)=3 5. ∴cos 2A=cos[(2A-π 3)+π 3]=3 5 ×1 2 +4 5 × 3 2 =4 3+3 10 . 22.解 (1)∵b=(cos x,sin x),c=(sin x+2sin α,cos x+2cos α),α=π 4 , ∴f(x)=b·c=cos xsin x+2cos xsin α+sin xcos x+2sin xcos α=2sin xcos x+ 2(sin x+cos x). 令 t=sin x+cos x(0
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