【数学】2018届一轮复习人教A版第3章第3节三角函数的图象与性质学案

【数学】2018届一轮复习人教A版第3章第3节三角函数的图象与性质学案

第三节 三角函数的图象与性质 1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 正弦函数 y＝sin x，x∈[0,2π]图象的五个关键点是：(0,0)， π 2 ，1 ，(π，0)， 3π 2 ，－1 ，(2π，0)． 余弦函数 y＝cos x，x∈[0,2π]图象的五个关键点是：(0,1)， π 2 ，0 ，(π，－ 1)， 3π 2 ，0 ，(2π，1)． 2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R x|x≠kπ＋π 2 ，k∈Z 值域 [－1,1] [－1,1] R 单调性 递增区间： 2kπ－π 2 ，2kπ＋π 2 k∈Z， 递减区间： 2kπ＋π 2 ，2kπ＋3π 2 k∈Z 递增区间： [2kπ－π，2kπ] k∈Z， 递减区间： [2kπ，2kπ＋π] k∈Z 递增区间 kπ－π 2 ，kπ＋π 2 (k∈Z) 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称性 对称中心 (kπ，0)k∈Z 对称中心 kπ＋π 2 ，0 k∈Z 对称中心 kπ 2 ，0 k∈Z 对称轴 x＝kπ＋π 2(k∈Z) 对称轴 x＝kπ(k∈ Z) 周期性 2π 2π π 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)常数函数 f(x)＝a 是周期函数，它没有最小正周期．( ) (2)函数 y＝sin x 的图象关于点(kπ，0)(k∈Z)中心对称．( ) (3)正切函数 y＝tan x 在定义域内是增函数．( ) (4)y＝sin |x|是偶函数．( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 2．函数 f(x)＝cos 2x＋5π 2 的图象关于( ) A．原点对称 B．y 轴对称 C．直线 x＝5π 2 对称 D．直线 x＝－5π 2 对称 A [函数 f(x)＝cos 2x＋5π 2 ＝－sin 2x 是奇函数，则图象关于原点对称，故 选 A.] 3．函数 y＝tan 2x 的定义域是( ) A. x|x≠kπ＋π 4 ，k∈Z B. x|x≠kπ 2 ＋π 8 ，k∈Z C. x|x≠kπ＋π 8 ，k∈Z D. x|x≠kπ 2 ＋π 4 ，k∈Z D [由 2x≠kπ＋π 2 ，k∈Z，得 x≠kπ 2 ＋π 4 ，k∈Z， ∴y＝tan 2x 的定义域为 x|x≠kπ 2 ＋π 4 ，k∈Z .] 4．(2017·绍兴模拟(一))函数 y＝sin 1 2x＋π 3 ，x∈[－2π，2π]的单调递增区间 是( ) A. －2π，－5π 3 B. －2π，－5π 3 和 π 3 ，2π C. －5π 3 ，π 3 D. π 3 ，2π C [令 z＝1 2x＋π 3 ，函数 y＝sin z 的单调递增区间为 2kπ－π 2 ，2kπ＋π 2 (k∈Z)， 由 2kπ－π 2 ≤1 2x＋π 3 ≤2kπ＋π 2 得 4kπ－5π 3 ≤x≤4kπ＋π 3 ，而 x∈[－2π，2π]，故其单 调递增区间是 －5π 3 ，π 3 ，故选 C.] 5．(教材改编)函数 f(x)＝4－2cos 1 3x 的最小值是________，取得最小值时，x 的取值集合为________． 2 {x|x＝6kπ，k∈Z} [f(x)min＝4－2＝2，此时，1 3x＝2kπ(k∈Z)，x＝6kπ(k ∈Z)，所以 x 的取值集合为{x|x＝6kπ，k∈Z}．] 三角函数的定义域与值域 (1)函数 f(x)＝cos 2x＋6cos π 2 －x 的最大值为( ) A．4 B．5 C．6 D．7 (2)函数 y＝lg(sin 2x)＋ 9－x2的定义域为________. 【导学号：51062103】 (1)B (2) －3，－π 2 ∪ 0，π 2 [(1)∵f(x)＝cos 2x＋6cos π 2 －x ＝cos 2x＋6sin x ＝1－2sin2x＋6sin x＝－2 sin x－3 2 2＋11 2 ， 又 sin x∈[－1,1]，∴当 sin x＝1 时，f(x)取得最大值 5.故选 B. (2)由 sin 2x＞0， 9－x2≥0， 得 kπ＜x＜kπ＋π 2 ，k∈Z， －3≤x≤3， ∴－3≤x＜－π 2 或 0＜x＜π 2 ， ∴函数 y＝lg(sin 2x)＋ 9－x2的定义域为 －3，－π 2 ∪ 0，π 2 .] [规律方法] 1.三角函数定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线 或三角函数图象来求解． 2．求三角函数最值或值域的常用方法 (1)直接法：直接利用 sin x 和 cos x 的值域求解． (2)化一法：把所给三角函数化为 y＝Asin(ωx＋φ)＋k 的形式，由正弦函数单 调性写出函数的值域． (3)换元法：把 sin x，cos x，sin xcos x 或 sin x±cos x 换成 t，转化为二次函数 求解． [变式训练 1] (1)已知函数 y＝2cos x 的定义域为 π 3 ，π ，值域为[a，b]，则 b－a 的值是( ) A．2 B．3 C. 3＋2 D．2－ 3 (2)求函数 y＝cos2x＋sin x |x|≤π 4 的最大值与最小值． (1)B [∵x∈ π 3 ，π ，∴cos x∈ －1，1 2 ，故 y＝2cos x 的值域为[－2,1]， ∴b－a＝3.] (2)令 t＝sin x，∵|x|≤π 4 ，∴t∈ － 2 2 ， 2 2 ，3 分 ∴y＝－t2＋t＋1＝－ t－1 2 2＋5 4 ， ∴当 t＝1 2 时，ymax＝5 4 ，当 t＝－ 2 2 时，ymin＝1－ 2 2 ，7 分 ∴函数 y＝cos2x＋sin x |x|≤π 4 的最大值为5 4 ，最小值为1－ 2 2 .12 分 三角函数的单调性 (1)(2017·杭州学军中学)已知ω＞0，函数 f(x)＝sin ωx＋π 4 在 π 2 ，π 上 单调递减，则ω的取值范围是( ) A. 1 2 ，5 4 B. 1 2 ，3 4 C. 0，1 2 D．(0,2] (2)函数 f(x)＝sin －2x＋π 3 的单调减区间为________． (1)A (2) kπ－ π 12 ，kπ＋5π 12 (k∈Z) [(1)由π 2 ＜x＜π得π 2ω＋π 4 ＜ωx＋π 4 ＜πω＋ π 4 ，由题意知 π 2ω＋π 4 ，πω＋π 4 ⊆ π 2 ，3π 2 ， 所以 π 2ω＋π 4 ≥π 2 ， πω＋π 4 ≤3π 2 ， 解得1 2 ≤ω≤5 4. (2)由已知函数为 y＝－sin 2x－π 3 ，欲求函数的单调减区间，只需求 y＝ sin 2x－π 3 的单调增区间即可． 由 2kπ－π 2 ≤2x－π 3 ≤2kπ＋π 2 ，k∈Z， 得 kπ－ π 12 ≤x≤kπ＋5π 12 ，k∈Z. 故所求函数的单调减区间为 kπ－ π 12 ，kπ＋5π 12 (k∈Z)．] [规律方法] 1.求三角函数单调区间的两种方法 (1)求函数的单调区间应遵循简化原则，将解析式先化简，并注意复合函数 单调性规律“同增异减”． (2)求形如 y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体， 通过解不等式求解．若ω＜0，应先用诱导公式化 x 的系数为正数，以防止把单 调性弄错． 2．已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集 合间的关系求解． [变式训练 2] (1)函数 f(x)＝tan 2x－π 3 的单调递增区间是________． (2)若函数 f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间 0，π 3 上单调递增，在区间 π 3 ，π 2 上单调 递减，则ω＝________. 【导学号：51062104】 (1) kπ 2 － π 12 ，kπ 2 ＋5π 12 (k∈Z) (2)3 2 [(1)由－π 2 ＋kπ＜2x－π 3 ＜π 2 ＋kπ(k∈Z)， 得kπ 2 － π 12 ＜x＜kπ 2 ＋5π 12(k∈Z)． (2)∵f(x)＝sin ωx(ω＞0)过原点， ∴当 0≤ωx≤π 2 ，即 0≤x≤ π 2ω 时，y＝sin ωx 是增函数； 当π 2 ≤ωx≤3π 2 ，即 π 2ω ≤x≤3π 2ω 时，y＝sin ωx 是减函数． 由 f(x)＝sin ωx(ω＞0)在 0，π 3 上单调递增， 在 π 3 ，π 2 上单调递减知， π 2ω ＝π 3 ，∴ω＝3 2.] 三角函数的奇偶性、周期 性、对称性 ☞角度 1 奇偶性与周期性的判断 (1)在函数：①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos2x＋π 6 ，④y＝ tan 2x－π 4 中，最小正周期为π的所有函数为( ) A．②④ B．①③④ C．①②③ D．①③ (2)函数 y＝1－2sin2 x－3π 4 是( ) A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为π 2 的奇函数 D．最小正周期为π 2 的偶函数 (1)C (2)A [(1)①y＝cos|2x|＝cos 2x，T＝π. ②由图象知，函数的周期 T＝π. ③T＝π. ④T＝π 2. 综上可知，最小正周期为π的所有函数为①②③. (2)y＝1－2sin2 x－3π 4 ＝cos 2 x－3π 4 ＝－sin 2x，所以 f(x)是最小正周期为π 的奇函数．] ☞角度 2 求三角函数的对称轴、对称中心 (2017·金华十校 3 月联考)已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ) ω＞0，|φ|＜π 2 的最小正周期为 4π，且对任意 x∈R，都有 f(x)≤f π 3 成立，则 f(x)图象的一个对 称中心的坐标是( ) A. －2π 3 ，0 B. －π 3 ，0 C. 2π 3 ，0 D. 5π 3 ，0 A [由 f(x)＝sin (ωx＋φ)的最小正周期为 4π，得ω＝1 2.因为 f(x)≤f π 3 恒成立， 所以 f(x)max＝f π 3 ， 即1 2 ×π 3 ＋φ＝π 2 ＋2kπ(k∈Z)， ∴φ＝π 3 ＋2kπ(k∈Z)，由|φ|＜π 2 ， 得φ＝π 3 ，故 f(x)＝sin 1 2x＋π 3 . 令 1 2x＋π 3 ＝kπ(k∈Z)， 得 x＝2kπ－2π 3 (k∈Z)，故 f(x)图象的对称中心为 2kπ－2π 3 ，0 (k∈Z)，当 k＝ 0 时，f(x)图象的一个对称中心的坐标为 －2π 3 ，0 ，故选 A.] ☞角度 3 三角函数对称性的应用 (1)如果函数 y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点 4π 3 ，0 中心对称，那么|φ| 的最小值为( ) A.π 6 B.π 4 C.π 3 D.π 2 (2)已知函数 f(x)＝sin x＋acos x 的图象关于直线 x＝5π 3 对称，则实数 a 的值 为( ) A．－ 3 B．－ 3 3 C. 2 D. 2 2 (1)A (2)B [(1)由题意得 3cos 2×4π 3 ＋φ ＝3cos 2π 3 ＋φ＋2π ＝3cos 2π 3 ＋φ ＝0， ∴2π 3 ＋φ＝kπ＋π 2 ，k∈Z， ∴φ＝kπ－π 6 ，k∈Z，取 k＝0，得|φ|的最小值为π 6. (2)由 x＝5π 3 是 f(x)图象的对称轴， 可得 f(0)＝f 10π 3 ， 即 sin 0＋acos 0＝sin10π 3 ＋acos10π 3 ， 解得 a＝－ 3 3 .] [规律方法] 1.对于函数 y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点 或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线 x＝x0 或点(x0,0)是不是 函数的对称轴或对称中心时，可通过检验 f(x0)的值进行判断． 2．求三角函数周期的方法： (1)利用周期函数的定义． (2)利用公式：y＝Asin(ωx＋φ)和 y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为2π |ω| ，y＝ tan(ωx＋φ)的最小正周期为 π |ω|. (3)借助函数的图象． [思想与方法] 1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成 y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0)的形式， 再用换元法令 t＝ωx＋φ，将其转化为研究 y＝sin t 的性质． 2．求三角函数值域(最值)的常用方法： (1)将函数变形化为 y＝Asin(ωx＋φ)＋k 的形式，逐步分析ωx＋φ的范围，根 据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)． (2)换元法：把 sin x 或 cos x 看作一个整体，可化为求二次函数在区间上的值 域(最值)问题． 3．若 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，则 (1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝π 2 ＋kπ(k∈Z)； (2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)． [易错与防范] 1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数 的最值问题，要讨论参数对最值的影响． 2．求 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0)的单调区间，要注意ω的正负，只有当ω＞0 时， 才能将“ωx＋φ”整体代入相应单调区间． 3．利用换元法求三角函数最值时，注意 cos x(或 sin x)的有界性． 4．正、余弦函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形且最值点在对 称轴上；正切函数的图象只是中心对称图形． 课时分层训练(十七) 三角函数的图象与性质 A 组 基础达标 (建议用时：30 分钟) 一、选择题 1．函数 y＝ cos x－ 3 2 的定义域为( ) A. －π 6 ，π 6 B. kπ－π 6 ，kπ＋π 6 (k∈Z) C. 2kπ－π 6 ，2kπ＋π 6 (k∈Z) D．R C [由 cos x－ 3 2 ≥0，得 cos x≥ 3 2 ，∴2kπ－π 6 ≤x≤2kπ＋π 6 ，k∈Z.] 2．已知函数 f(x)＝sin ωx＋π 4 (ω＞0)的最小正周期为π，则 f π 8 ＝( ) A．1 B.1 2 C．－1 D．－1 2 A [由题设知2π ω ＝π，所以ω＝2，f(x)＝sin 2x＋π 4 ，所以 f π 8 ＝sin 2×π 8 ＋π 4 ＝sin π 2 ＝1.] 3．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( ) A．y＝sin 2x＋π 2 B．y＝cos 2x＋π 2 C．y＝sin 2x＋cos 2x D．y＝sin x＋cos x B [A 项，y＝sin 2x＋π 2 ＝cos 2x，最小正周期为π，且为偶函数，不符合 题意； B 项，y＝cos 2x＋π 2 ＝－sin 2x，最小正周期为π，且为奇函数，符合题意； C 项，y＝sin 2x＋cos 2x＝ 2sin 2x＋π 4 ，最小正周期为π，为非奇非偶函数， 不符合题意； D 项，y＝sin x＋cos x＝ 2sin x＋π 4 ，最小正周期为 2π，为非奇非偶函数， 不符合题意．] 4．若函数 y＝cos ωx＋π 6 (ω∈N*)图象的一个对称中心是 π 6 ，0 ，则ω的最小 值为( ) 【导学号：51062105】 A．1 B．2 C．4 D．8 B [由题意知πω 6 ＋π 6 ＝kπ＋π 2(k∈Z)⇒ω＝6k＋2(k∈Z)，又ω∈N*，∴ωmin＝2， 故选 B.] 5．(2017·台州二次适应性测试)若函数 f(x)＝sin ωx＋π 6 －cos ωx(ω＞0)的图 象相邻两个对称中心之间的距离为π 2 ，则 f(x)的一个单调递增区间为( ) A. －π 6 ，π 3 B. －π 3 ，π 6 C. π 6 ，2π 3 D. π 3 ，5π 6 A [依题意得 f(x)＝ 3 2 sin ωx－1 2cos ωx＝sin ωx－π 6 的图象相邻两个对称中 心之间的距离为π 2 ，于是有 T＝2π ω ＝2×π 2 ＝π，ω＝2，f(x)＝sin 2x－π 6 .当 2kπ－π 2 ≤2x －π 6 ≤2kπ＋π 2 ，即 kπ－π 6 ≤x≤kπ＋π 3 ，k∈Z 时，f(x)＝sin 2x－π 6 单调递增．因此 结合各选项知 f(x)＝sin 2x－π 6 的一个单调递增区间为 －π 6 ，π 3 ，故选 A.] 二、填空题 6．函数 f(x)＝sin(－2x)的单调增区间是________． kπ＋π 4 ，kπ＋3π 4 (k∈Z) [由 f(x)＝sin(－2x)＝－sin 2x,2kπ＋π 2 ≤2x≤2kπ＋3π 2 得 kπ＋π 4 ≤x≤kπ＋3π 4 (k∈Z)．] 7．已知函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)，对于任意 x 都有 f π 6 ＋x ＝f π 6 －x ，则 f π 6 的 值为________. 【导学号：51062106】 2 或－2 [∵f π 6 ＋x ＝f π 6 －x ， ∴x＝π 6 是函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)的一条对称轴， ∴f π 6 ＝±2.] 8．函数 y＝tan 2x＋π 4 的图象与 x 轴交点的坐标是________． kπ 2 －π 8 ，0 ，k∈Z [由 2x＋π 4 ＝kπ(k∈Z)得，x＝kπ 2 －π 8(k∈Z)， ∴函数 y＝tan 2x＋π 4 的图象与 x 轴交点的坐标是 kπ 2 －π 8 ，0 ，k∈Z.] 三、解答题 9．已知函数 f(x)＝2sin ωxcos ωx＋cos 2ωx(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值； (2)求 f(x)的单调递增区间. 【导学号：51062107】 [解] (1)因为 f(x)＝2sin ωxcos ωx＋cos 2ωx ＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝ 2sin 2ωx＋π 4 ， 所以 f(x)的最小正周期 T＝2π 2ω ＝π ω.4 分 依题意，得π ω ＝π，解得ω＝1.7 分 (2)由(1)知 f(x)＝ 2sin 2x＋π 4 . 函数 y＝sin x 的单调递增区间为 2kπ－π 2 ，2kπ＋π 2 (k∈Z).10 分 由 2kπ－π 2 ≤2x＋π 4 ≤2kπ＋π 2(k∈Z)， 得 kπ－3π 8 ≤x≤kπ＋π 8(k∈Z)． 所以 f(x)的单调递增区间为 kπ－3π 8 ，kπ＋π 8 (k∈Z).14 分 10．已知函数 f(x)＝(sin x＋cos x)2＋cos 2x. (1)求 f(x)的最小正周期； (2)求 f(x)在区间 0，π 2 上的最大值和最小值． [解] (1)因为 f(x)＝sin2x＋cos2x＋2sin x·cos x＋cos 2x＝1＋sin 2x＋cos 2x＝ 2sin 2x＋π 4 ＋1，3 分 所以函数 f(x)的最小正周期为 T＝2π 2 ＝π.7 分 (2)由(1)的计算结果知，f(x)＝ 2sin 2x＋π 4 ＋1.10 分 当 x∈ 0，π 2 时，2x＋π 4 ∈ π 4 ，5π 4 ，由正弦函数 y＝sin x 在 π 4 ，5π 4 上的图象 知，当 2x＋π 4 ＝π 2 ，即 x＝π 8 时，f(x)取最大值 2＋1；12 分 当 2x＋π 4 ＝5π 4 ，即 x＝π 2 时，f(x)取最小值 0.综上，f(x)在 0，π 2 上的最大值为 2 ＋1，最小值为 0.15 分 B 组 能力提升 (建议用时：15 分钟) 1．(2017·台州二次质量预测)将函数 f(x)＝－cos 2x 的图象向右平移π 4 个单位 后得到函数 g(x)，则 g(x)具有性质( ) A．最大值为 1，图象关于直线 x＝π 2 对称 B．在 0，π 4 上单调递减，为奇函数 C．在 －3π 8 ，π 8 上单调递增，为偶函数 D．周期为π，图象关于点 3π 8 ，0 对称 B [由题意得函数 g(x)＝－cos 2x－2×π 4 ＝－sin 2x，易知其为奇函数，由 －π 2 ＋2kπ＜2x＜π 2 ＋2kπ，k∈Z 得－π 4 ＋kπ＜x＜π 4 ＋kπ，k∈Z，所以函数 g(x)＝－ sin 2x 的单调递减区间为 －π 4 ＋kπ，π 4 ＋kπ ，k∈Z，所以函数 g(x)＝－sin 2x 在 0，π 4 上单调递减，故选 B.] 2．设 f(x)＝ 3sin 3x＋cos 3x，若对任意实数 x 都有|f(x)|≤a，则实数 a 的取 值范围是________. 【导学号：51062108】 [2，＋∞) [∵f(x)＝ 3sin 3x＋cos 3x＝2sin 3x＋π 6 ∈[－2,2]．又∵|f(x)|≤a 恒成立，∴a≥|f(x)|max，∴a≥2.] 3．已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ) 0＜φ＜2π 3 的最小正周期为π. (1)求当 f(x)为偶函数时φ的值； (2)若 f(x)的图象过点 π 6 ， 3 2 ，求 f(x)的单调递增区间． [解] ∵f(x)的最小正周期为π，则 T＝2π ω ＝π，∴ω＝2， ∴f(x)＝sin(2x＋φ).2 分 (1)当 f(x)为偶函数时，f(－x)＝f(x)， ∴sin(－2x＋φ)＝sin(2x＋φ)， 将上式展开整理得 sin 2xcos φ＝0， 由已知上式对∀x∈R 都成立， ∴cos φ＝0.∵0＜φ＜2π 3 ，∴φ＝π 2.7 分 (2)f(x)的图象过点 π 6 ， 3 2 时，sin 2×π 6 ＋φ ＝ 3 2 ， 即 sin π 3 ＋φ ＝ 3 2 .10 分 又∵0＜φ＜2π 3 ，∴π 3 ＜π 3 ＋φ＜π， ∴π 3 ＋φ＝2π 3 ，φ＝π 3 ， ∴f(x)＝sin 2x＋π 3 .13 分 令 2kπ－π 2 ≤2x＋π 3 ≤2kπ＋π 2 ，k∈Z， 得 kπ－5π 12 ≤x≤kπ＋ π 12 ，k∈Z， ∴f(x)的单调递增区间为 kπ－5π 12 ，kπ＋ π 12 ，k∈Z.15 分