中学生标准学术能力诊断性测试（11月）试卷 理科数学（PDF版）

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第 1 页 共 4 页 第 2 页 共 4 页 中学生标准学术能力诊断性测试 2019 年 11 月测试 理科数学试卷（一卷） 本试卷共 150 分，考试时间 120 分钟。 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 已知集合  1,1,3,5,7,9U =− , {1,5}A = ,  7,5,1−=B ，则 ()UC A B = A．  3 ,9 B．  1,5 ,7 C．  1,1,3 ,9− D．  1 ,1 ,3 ,7,9− 2．已知空间三条直线 nml ,, ，若 l 与 m 垂直， 与 n 垂直，则 A． 与 异面 B． 与 相交 C． 与 平行 D． 与 平行、相交、异面均有可能 3．复数 z 满足 31 +=− zz ，则 z A．恒等于 1 B．最大值为 1，无最小值 C．最小值为 1，无最大值 D．无最大值，也无最小值 4．某几何体的三视图如图所示（单位： cm ），则该几何体的表面积（单位： 2cm ）是 A．16 B．32 C．44 D．64 5．已知 0+ yx ，则“ 2||2|| 22 yx yx ++ ”是“ 0x ”的 A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件 6．函数 ln cos( 2 )2y x x=  − 的图像可能是 A B C D 7．已知两个不相等的非零向量 b,a ，满足 1=a ，且 a 与 ab − 的夹角为 60 ，则 b 的取值范围是 A．       2 30， B．       1,2 3 C．       +,2 3 D． ( )+，1 8．已知随机变量  的分布列为：  x y P y x 则下列说法正确的是 A．存在 x，y ( )1,0 ， 1() 2E   B．对任意 x，y ， 1() 4E   C．对任意 x，y ， ()()DE D．存在 x，y ， 1() 4D   9．设函数 ( ) dcxbxaxxf +++= 23 ( ), , , 0a b c d aR 且 ，若 ( ) ( ) ( ) 14433220 == fff ，则 ( ) ( )51 ff + 的取值范围是 A． ( )10， B． ( )21， C． ( )3,2 D． ( )4,3 10．已知 21 , FF 分别为双曲线 ( )0012 2 2 2 =− ,bab y a x 的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点 P，使得点 2F 到直线 1PF 的距离为 a ，则该双曲线的离心率的取值范围是 A．       2 51， B．       +， 2 5 C． ( )51， D． ( )+，5 11．如图，在菱形 ABCD 中， 60ABC=，E，F 分别是边 AB，CD 的中点，现将 ΔABC 沿着对角线 AC 翻折，则直线 EF 与平面 ACD 所成角的正切值最大值为 A． 2 B． 3 21 C． 3 3 D． 2 2 （第 11 题图） 第 3 页 共 4 页 第 4 页 共 4 页 12．已知数列  na 满足 11 =a ， 11ln1 ++=+ n nn aaa ，记      nn aaaS +++= 21 ，  t 表示不超过 t 的 最大整数，则 2019S 的值为 A．2019 B．2018 C．4038 D．4037 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．在  2,2− 上随机地取一个实数 k ，则事件“直线 kxy = 与圆 ( ) 95 22 =+− yx 相交”发生的概率 为 ． 14．如图，在 ABC 中， ACAB  ， 32=BC ， = 60A ， 的面积 等于 32 ，则角平分线 AD 的长等于 ． 15．已知数列  na 满足 naa nn 2151 −=+ + ，其前 n 项和为 nS ，若 8S 恒 成立，则 1a 的取值范围为 ． 16．已知 P 为椭圆 C： 22 +143 xy= 上一个动点， 1F 、 2F 是椭圆 C 的左、右焦点，O 为坐标原点，O 到椭圆 C 在 P 点处的切线距离为 d，若 12 24 7PFPF=，则 d = ． 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作 答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60 分． 17．（12 分）已知函数 xxxf cos3sin)( −= （1）求函数 ()fx的单调递增区间； （2）在 ABC 中，角 ,,A B C 所对的边分别是 a , b , c ，若 ( ) 3fB= ， 3b = ，求 ABC 面积的最大值． 18．（12 分）如图，已知四棱锥 P—ABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，AD//BC，BC=2AD， AD⊥CD，PD⊥平面 ABCD，E 为 PB 的中点． （1）求证：AE//平面 PDC； （2）若 BC=CD=PD，求直线 AC 与平面 PBC 所成角的余弦值． 19．(12 分) 已知甲盒内有大小相同的 2 个红球和 3 个黑球，乙盒内有大小相同的 3 个红球和 3 个黑球，现从甲，乙 两个盒内各任取 2 个球． （1）求取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率； （2）设 为取出的 4 个球中红球的个数，求 的分布列和数学期望． 20．(12 分)如图，斜率为 k 的直线 l 与抛物线 2 4yx= 交于 A 、 B 两点，直线 PM 垂 直平分弦 AB ，且分别交 AB 、 x 轴于 M 、 P ，已知 ( )4 ,0P ． （1）求 M 点的横坐标； （2）求 PAB△ 面积的最大值． 21．（12 分）已知函数 x axxxf −= ln)( ， Ra  ． （1）若函数 )( xf 有且只有两个零点，求实数 a 的取值范围； （2）设函数 的两个零点为 21 , xx ，且 21 xx  ，求证 exx 221 + ． （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22,23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清 题号． 22．[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分） 在平面直角坐标系 x O y 中，曲线 C 的参数方程为 4cos 2sin x y   =  = （  为参数），在以坐标原点 O 为极点，x 轴的 正半轴为极轴的极坐标系中，点 P 的极坐标为 4, 3   ，直线 l 的极坐标方程为 2sin9 6−= ． （1）求直线 l 的直角坐标方程与曲线 C 的普通方程； （2）若 Q 是曲线 C 上的动点，M 为线段 PQ 的中点，直线 上有两点 A,B，始终满足 AB 4= ，求 MAB△ 面积 的最大值与最小值． 23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分） 已知 cba ,, 为正实数，且满足 3=++ cba ．证明： （1） 3++ acbcab ； （2） 3 222 ++ a c c b b a ． （第 14 题图） l 第1页 共 7 页 中学生标准学术能力测试诊断性测试 2019 年 11 月测试 理科数学（一卷）答案 一． 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A D C B A D D C A B D D 二． 填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13． 3 8 14． 43 3 15． ( ,7]− 16． 14 2 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60 分． 17．解： ( )sin3 cos2sin() 3fxxxx =−=− ………………………………2 分 （1）令 222 3 2k x k  −  −  + （ kZ ）得 52266kxk −+ （ kZ ） 故函数 ()fx的单调递增区间为 52 ,266kk−+ （ kZ ） …………………5 分 （2）由 ( ) 3fB= ，得 3sin( )32B −= ， 323  +=− kB 或 ,3 223  +=− kB ∴ 22 2 ,3B k B k k Z  = + = + 或 ， 第2页 共 7 页 3 2=BB是三角形的内角， ． ………………………………7 分 ∵ Baccab cos2222 −+= ∴ 922 =++ acca ∴ 92 + acac ，即 3ac ………………………………9 分 ∴ 1 3 3sin24ABCS ac B =． ………………………………11 分 当且仅当 3ac== 时， ABC 面积的最大值是 33 4 ． ……………………………12 分 18．（1）取 PC 的中点 F，连接 DF，EF， ∵ E 是 PB 的中点， ∴ EF//BC，且 BC=2EF， 又 AD//BC，BC=2AD ∴ AD//EF 且 AD=EF， ………………………………2 分 ∴ 四边形 ADFE 是平行四边形， ∴ AE//DF，又 DF⊂平面 PDC, AE PCD 平面 ， ……………………………… 4 分 ∴ AE//平面 PDC． ………………………………5 分 （2）若 PD=DC，则△PDC 是等腰三角形， ∴ DF⊥PC， 又 AE//DF，∴ AE⊥PC ∵ PD⊥平面 ABCD，BC⊂平面 ABCD ∴ PD⊥BC， 又 BC⊥CD,CDPDD = ∴ BC⊥平面 PDC， ………………………………7 分 ∵ DF⊂平面 PDC ∴ BC⊥DF ∴ BC⊥AE 又 AE⊥PC ,PCBCC = ∴ AE⊥平面 PBC， ………………………………9 分 连接 EC，AC，则∠ACE 就是直线 AC 与平面 PBC 所成的角． ………………………10 分 设 PD=CD=BC=2， E B A P C D F 第3页 共 7 页 在 Rt△PCB 中，求得 PC= 22 ，PB= 23 ，EC= 3 ， 在 Rt△ADC 中，求得 AC= 5 , ∴ 在 Rt△AEC 中， 315 5cs 5 o ECECA AC= == ． ………………………………12 分 19．（1）设事件 iA 为“甲盒中取出i 个红球”，事件 jB 为“乙盒中取出 j 个红球” 则 ( ) ( )22 2333 22 56 , iijj ij CCCCPAPB CC −− == 设事件 C 为“4 个球中恰有 1 个红球” ( ) ( ) ( ) 02111102 23332333 0 11 0 2222 5656 39633C 10 1510 1510 C CC CC CC CPPA BPA B CCCC=+=+=+= … ………………………………3 分 （2）  可取的值为 0 ,1,2 ,3 4， ( ) ( ) 0 2 0 2 2 3 3 3 00 22 56 C C C C 30 B =C C 50P P A = = =  ……5 分 ( ) ( ) 31C10PP === ( ) ( ) ( ) ( ) 0 22 01 11 12 00 2 2 33 32 33 32 33 3 0 21 12 0 222222 565656 112++ 25 C C C CC C C C C C C CPP A BP A B P A B CCCCCC = =+=+= ………………………………7 分 ( ) ( ) ( ) 1 1 2 0 2 0 1 1 2 3 3 3 2 3 3 3 1 2 2 1 2 2 2 2 5 6 5 6 93 + + 50 C C C C C C C CP P A B P A B C C C C = = =   = …………………9 分 ( ) ( ) 2020 2333 22 22 56 C CC C 14B= CC50PP A=== ………………………………10 分  的分布列为：  0 1 2 3 4 P 3 50 3 10 11 25 9 50 50 1 331191 90123+45010255050 5E=  +  +  +  = ………………………………12分 第4页 共 7 页 20．（1）设 112200(,),(,),(,)AxyBxyMxy ，则 1212 00,22 xxyyxy++==，……1 分 ∴ 12 12120 42yyk xxyyy −=== −+ ， ………………………………3 分 而 0 0 4MP yk x= − ， ………………………………4 分 由 1MPkk = − 得 0 42x − = − ，即 0 2x = ． ………………………………5 分 （2）设直线 0:()2ABxmyy=−+ 即 0:2ABxmymy=−+ ， 与抛物线 2 4yx= 联立得 2 04 4 8 0y my my− + − = ， 22 0164(48)0,2mmym=−−△ 则 12120 4,48yymyymy+==− ， ………………………………7 分 所以 222 120||1||1161632ABmyymmmy=+−=+−+ ， 而 P 到直线 AB 的距离为 0 2 |+2 | 1 myd m = + ， 所以 2 00 1 ||2 |2 |22PABSdABmymmy ==+−+ ………………………………9 分 又由于 01 2 ym k== ， 所以 22222(22)24(1)2PABSmmmm =+−=+− （ 2 2m  ）， …………………10 分 令 22 mt−=，则 0t  且 222mt=−， 所以 234(3)124PABStttt =−=− ， 令 3( ) 12 4 ( 0)g t t t t= −  ， 则 2( ) 12 1212(1)(1)g tttt =−=−+ ， 当 01t ， ()0gt  ，当 1t  时， ()0gt  ， 故 3( )124(1)8g tttg=−= ，即 PAB 面积的最大值为 8． ………………………12 分 第5页 共 7 页 21．（1）解： 2 1ln')0, xfxxe x −===（ 当 ' ) 0 0 , ( ) 0 )f x x e f x e   （ 时， 在（ ， 上单调递增 ， 当 ')0,(),)fxxefxe+（ 时， 在（ 上单调递减． 1)()fxfea e==− 极大值（ ……3 分， 1)0fxa e（ 有且只有两个零点， ， 00()0xxfx→又 且 时 ， 0()0xafx→ +=时，若 时， 不符合题意， 0lim()0 x afxa →+ = −若 时, 不符合 ， 0lim()0 x afxa →+ = −若 时, 满足 ， 综上，若使 ()fx有且只有两个零点， 10 a e   …………………… 4 分 （2）证法一： lnln)0ln,ln xxf xaxaxxa ex=−===（ ， ， 12ln,ln xxxxea −=是 的两根 tt ettgettgxtxt −− −==== )1()(',)(,ln,ln 2211设 ， 上单调递减上单调递增，在，在（ ),1[]1-)( + tg ， ………………………………6 分 ,10,),()( 212121 tttttgtg = 则必有设 ），（构造函数 10),1()1()(G −−+= ttgtgt ， ,01-()1(')1(')(G' 2 1 =−++= + ）t t ee ttgtgt ,0)0()(,)1,0()(G = GtGtt 上单调递增在 ………………………………9 分 )()()2( 211 tgtgtg =− ， 上单调递减，在又 ),1()(),,1(,2 21 ++− ttgtt 2,-2 2121 + tttt , 12ln ln 2xx +  ，即 2 12x x e； 12 122 xx xxe+ ，即 122xxe+．……12 分 证法二： 不妨设 121 x e x   ， 第6页 共 7 页 )()( 21 xfxf = ， 12 12 l n l nxx xx= ，即 22 11 ln ln xx xx= ， ………………………………6 分 设 21( 1)x t x t= ， 11 11 lnlnln lnln txtxt xx +== ， 1 lnln 1 tx t=− ， 1 ln 1 lnlnlnln)ln(ln 112 −=−+=+== t tt t ttxttxx ， tt txx ln1 1lnln 21 − +=+ ， 12 122 xx xx+  ，要证 122x x e+，只需证 2 12x x e， 即证 12 1ln ln ln 21 tx x tt ++ =  − ，即证 2( 1)ln 01 tt t −−+ ． …………………………9 分 设 2(1)()ln,(1) 1 tgttt t −=− + ， 2 22 14(1)'()0 (1)(1) tgt tttt −=−= ++ ， ()gt 在 (1, )+ 单调递增． 0)1( =g ， 0)1()( = gtg ， 12lnln2xx+ ， 12 122 xx xxe+ ，即 122xxe+．………………………12 分 证法三： 不妨设 121 xex ， 12()()fxfx = ， 12 12 lnlnxx xx= ， ………………………………6 分 要证 122xxe+，只需证 12211 2112lnlnln xxxxx exxx +−= − ， ……………………7 分 变形，得： 21 21 21 2( )ln ln xxxxxx −−+ ，即 2 21 21 1 2( 1) ln 1 x xx xx x −  + ． 设 2 1 2( 1)ln ( 1)1 x tt t txt −=   + ，设 2( 1)( ) ln ,( 1)1 tg t t tt −= − + ，……………………10 分 2 22 14(1)'( )0 (1)(1) tgt ttt t −= −=++ ， ( ) 1gt + 在（ ， ）上单调递增， ( ) (1) 0g t g  = ， 1 2 1 12 ln x x x ex +  = 成立 ， 122x x e +  ．………………………12 分 第7页 共 7 页 （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题计分．作答时请写清题号． 22．【选修 4−4：坐标系与参数方程】（10 分） （1）因为直线 l 的极坐标方程为 2sin9 6−= ， 即 312 sin cos 922   −  = ．由 cos , sinxy   ==， 可得直线 l 的直角坐标方程为 3 9 0xy− + = ． ………………………………2 分 将曲线 C 的参数方程 4c os 2sin x y   =  = ，消去参数 a， 得曲线 C 的普通方程为 22 416 1xy+=． ………………………………4 分 （2）设 ( )Q4cos,2sin ，  )0, 2 ． 点 P 的极坐标 4, 3   ，化为直角坐标为 ( )2,23 ． 则 ( )M2cos+1,sin3+ ． ………………………………6 分 所以点 M 到直线 l 的距离 ( ) ( )2cos +1 3 sin + 3 +9 7 sin 7 2 2d  − −+ == ，（其 中， 23tan 3 = ），所以 7777d,22 −+  ………………………………8 分 AB 4= ， 1 277 772ΔMABSAB dd, = = −+   MAB△ 面积的最大值为 77+ ，最小值为 77− …………………………10 分 23．【选修 4−5：不等式选讲】（10 分） 23．（1）因为 ,,abc为正实数，且满足 3abc+ + = ．所以， ( ) bcacabcbacba 2222222 +++++=++ 第8页 共 7 页 accbc,acab,bba 222 222222 +++ ， acbcabcba ++++ 222 ……2 分 ( )2 333abcabacbc++++ ， 3abc+ + = ， 3ab bc ac+ +  ，当且仅当 abc==时，等号成立 ………………………………5 分 （2） 222 2,2,2abc bacbacbca+++ ， ( ) 2 2 2 2abca b c a b cb c a + + + + +  + + ………………………………8 分 222abcabcbca++++ ， 3abc+ + = ， 222 3abc bca++ ，当且仅当 abc== 时，等号成立 ………………………………10 分