四川省成都石室中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题

四川省成都石室中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题

成都石室中学十一月份半期考试 数学（理科）‎ 第（Ⅰ）卷（选择题，共60分）‎ 一．选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题只有一个正确选项.‎ ‎1.已知为虚数单位，复数，则（ ）‎ A. B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的除法运算化简，由此求得的模.‎ ‎【详解】因为，所以.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查复数的除法运算和复数的模的求法，属于基础题.‎ ‎2.已知集合，，则=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 解一元二次不等式求得集合,解绝对值不等式求得集合，由此求得两个集合的交集.‎ ‎【详解】因为，，所以=‎ 故选：C ‎【点睛】本小题主要考查两个集合的交集，考查一元二次不等式的解法，考查绝对值不等式的解法，属于基础题.‎ ‎3.双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据渐近线方程得到，由此求得双曲线离心率.‎ ‎【详解】由题可知，所以 故选：D ‎【点睛】本小题主要考查双曲线的几何性质，考查双曲线离心率的求法，属于基础题.‎ ‎4.已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布.从中随机取一件．其长度误差落在区间内的概率为（ ）‎ ‎（附：若随机变量服从正态分布，则，‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正态分布的对称性，求得长度误差落在区间内的概率.‎ ‎【详解】设长度误差为随机变量，由得，，所以 故选：B ‎【点睛】本小题主要考查正态分布的对称性，属于基础题.‎ ‎5.已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若，且，则 D. 若，且，则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据空间中直线和平面的位置关系分别去判断各个选项，均可举出反例；可证明得出.‎ ‎【详解】若，，则或与异面或与相交，故选项错误；‎ 若，，则与可能相交，故选项错误；‎ 若直线不相交，则平面不一定平行，故选项错误；‎ ‎， 或，又 ，故选项正确.‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查空间中直线、平面之间位置关系有关命题的判断，考查学生的空间想象能力和对定理的掌握程度.‎ ‎6.内角所对的边分别是，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎，所以或，所以“”是“”的必要不充分条件，故选择B.‎ ‎7.的展开式的常数项是（ ）‎ A. B. C. 2 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得展开式中含的项、常数项，由此求得的展开式的常数项.‎ ‎【详解】的通项为，r=3得，r=4得，‎ 所以展开式的常数项是.‎ 故选：B ‎【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查乘法分配律，属于基础题.‎ ‎8.要得到函数的图象，可将函数的图象（ ）‎ A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将转化为，由此根据三角函数图像变换的知识判断出正确选项.‎ ‎【详解】，，因为，所以需要将的图象向右平移个单位.‎ 故选：D ‎【点睛】本小题主要考查三角函数诱导公式，考查三角函数图像变换，属于基础题.‎ ‎9.对于任意，函数满足，且当时，函数，若，，，则大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据判断出函数的对称轴，结合函数的单调性判断出的大小关系.‎ ‎【详解】因为满足，所以的图象关于x=1对称.因为时，函数 ‎，所以在单调递增，由对称性可得在单调递减，所以离x=1越远的点，纵坐标越大.‎ ‎，因为，所以.‎ 故选：C ‎【点睛】本小题主要考查利用函数的单调性和对称性比较大小，考查指数运算和对数运算，属于基础题.‎ ‎10.曲线在上存在单增区间，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数在区间上存在增区间，得到其导函数在区间上有解，由此分离常数，利用导数与单调性、最值，求得的取值范围.‎ ‎【详解】因为曲线在上存在单增区间，所以在上有解，所以在上有解，所以.令，则，所以在单调递减，在单调递增，所以，所以.‎ 故选：A ‎【点睛】本小题主要考查根据函数在给定区间上存在增区间，求参数的取值范围，属于基础题.‎ ‎11.空间四面体ABCD中， AB=CD=3，AC=BD=4，AD=BC=，则四面体ABCD的外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据四面体的三组对棱两两相等，将四面体放入长方体中，通过计算长方体体对角线，求得四面体外接球的半径，进而求得外接球的表面积.‎ ‎【详解】因为空间四面体ABCD中， AB=CD，AC=BD，AD=BC，于是可以将该四面体放入长方体中，设长方体的长、宽、高分别为x、y、z，则有：，于是，由于该四面体的外接球和长方体外接球为同一球，所以外接球的直径等于长方体的体对角线，所以,所以球的表面积.‎ 故选：D ‎【点睛】本小题主要考查几何体外接球表面积的求法，考查空间想象能力，属于基础题.‎ ‎12.设函数，对任意的，存在，使成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将转化为，根据“对任意的，存在”使上述不等式成立列不等式组，利用导数解不等式组，由此求得的取值范围.‎ ‎【详解】由可得，因为对任意的，存在，都有，所以.当时，‎ ‎.，，在单调递减，，所以在单调递减，由于，所以在单调递增，单调递减，，‎ 因为，，‎ 于是，所以 故选：B ‎【点睛】本小题主要考查含有“任意、存在”的不等式成立问题的求解，考查利用导数求最值，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.‎ 第（Ⅱ）卷（选择题，共60分）‎ 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．‎ ‎13.已知与垂直，则与的夹角为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用与垂直，两个向量的数量积为零列方程，根据数量积的运算进行化简，求得与的夹角的余弦值，进而求得与的夹角.‎ ‎【详解】由题可得，所以，所以与的夹角为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查两个向量垂直的向量表示，考查向量数量积运算，考查向量夹角的计算，属于基础题.‎ ‎14.已知，则=_________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据同角三角函数基本关系式求得的值，利用诱导公式和二倍角公式，将转化为，由此求得的值.‎ ‎【详解】因为，所以，所以=.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查诱导公式和二倍角公式，属于基础题.‎ ‎15.已知函数，若，且，则的取值范围为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出图像，根据“，且”，利用二次函数对称轴，对数函数图像与性质，将转化为，结合求得的取值范围.‎ ‎【详解】作出f(x)的图像，由此可得，，所以，所以，即，所以 所以，因为，所以范围为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查二次函数、对数函数的图像与性质，考查二次函数求最值的方法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎16.已知抛物线焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，若，，过点M，N 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点C，D，则的最小值为_________.‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出直线的方程，联立直线的方程和抛物线方程，消去，写出韦达定理.利用向量的坐标运算化简，，从而求得的表达式，进而用基本不等式求得的最小值.‎ ‎【详解】设直线的方程为：，，，，‎ ‎，由，因为，，‎ 所以，，即，，令，‎ 则，故的最小值为（当且仅当时取等号）.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查最值的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ 三．解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤. 第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17.已知等比数列的前项和为，，且是和的等差中项．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）当时，令，求数列的前项和．‎ ‎【答案】(1) 或 (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据等差中项的性质列方程，并转化为的形式，由此解方程求得的值.结合等比数列前项和公式，求得的值.由此求得数列的通项公式.‎ ‎（2）利用分组求和法求得数列的前项和.‎ ‎【详解】（1）由是和的等差中项，得 2 = + ，即 a1q7 = 8a1q + 7a1q4，‎ 所以q6－7q3－8 = 0，即，解得公比或．‎ 当时，由，所以；‎ 当时，由，所以 ‎（2）当时，知，，‎ 所以数列的前项和为 ‎【点睛】本小题主要考查等差中项的性质，考查等比数列前项和公式以及通项公式，考查分组求和法，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎18.由中央电视台综合频道和唯众传媒联合制作的《开讲啦》是中国首档青年电视公开课．每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活和生命的感悟，给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养，讨论青年们的人生问题，同时也在讨论青春中国的社会问题，受到青年观众的喜爱，为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了、两个地区的100名观众，得到如下的列联表，已知在被调查的100名观众中随机抽取1名，该观众是地区当中“非常满意”的观众的概率为0.4．‎ 非常满意 满意 合计 ‎35‎ ‎10‎ ‎　　‎ ‎　　‎ 合计 ‎　　‎ ‎　　‎ ‎　　‎ ‎（1）现从100名观众中用分层抽样的方法抽取20名进行问卷调查，则应抽取“非常满意”的、地区的人数各是多少．‎ ‎（2）完成上述表格，并根据表格判断是否有的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系．‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 附：参考公式：.‎ ‎（3）若以抽样调查的频率为概率，从、两个地区随机抽取2人，设抽到的观众“非常满意”的人数为，求的分布列和期望．‎ ‎【答案】(1) 地7人、地8人；(2)表格见解析，没有的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系．(3)分布列见解析，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）“在被调查的100名观众中随机抽取1名，该观众是地区当中“非常满意”的观众的概率为0.4”，求得的值，再根据分层抽样的知识求得应抽取“非常满意”的、地区的人数.‎ ‎（2）利用公式计算出的值，由此判断出没有的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系．‎ ‎（3）根据二项分布的分布列计算公式，计算出的分布列，并求得数学期望.‎ ‎【详解】（1）由题意，得：，解得，故.‎ 地抽取人，地抽取人．‎ ‎（2）完成表格如下：‎ 非常满意 满意 合计 ‎35‎ ‎10‎ ‎45‎ ‎40‎ ‎15‎ ‎55‎ 合计 ‎75‎ ‎25‎ ‎100‎ ‎， ‎ 没有的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系．‎ ‎（3）从、B两地区随机抽取1人，抽到的观众“非常满意”的概率为，‎ 随机抽取2人，的可能取值为0，1，2，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 的分布列为：‎ ‎ ‎ ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【点睛】本小题主要考查分层抽样，考查列联表独立性检验，考查二项分布分布列和数学期望的计算，属于中档题.‎ ‎19.如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，，.‎ ‎（1）求证：平面与平面不垂直；‎ ‎（2）若，，，求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）作于点，假设平面平面，通过证明,由此推出矛盾，从而判断出平面与平面不垂直.‎ ‎（2）作于点，证得两两垂直，由此建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值.‎ ‎【详解】（1）证明如下：作于点，假设平面平面，‎ 则平面，∴ ‎ 在直角梯形中，，，∴‎ ‎，∴ 平面，∴‎ ‎∵ 平面底面，平面底面 ‎∴ 平面，∴ ‎ 在 中，不可能有两个直角，所以假设不成立.‎ ‎（2）作于点，∵，∴为中点，连接.‎ ‎∵ 平面底面 ∴底面 在直角梯形中，，，∴‎ 以、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系 ‎∵，，‎ ‎∴，，，‎ ‎，，，‎ 设平面的法向量为 ‎ 由，取 同理可得平面的法向量 ‎∴. ‎ 由图形可知，所求二面角为钝角，∴二面角的余弦值.‎ ‎【点睛】本小题主要考查面面垂直关系的判断，考查利用空间向量法计算二面角的余弦值，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.‎ ‎20.已知动直线垂直于轴，与椭圆交于两点，点在直线上，.‎ ‎（1）求点的轨迹的方程；‎ ‎（2）直线与椭圆相交于，与曲线相切于点，为坐标原点，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ；(2) ‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）设出两点的坐标，根据对称性得到点坐标，利用平面向量数量积的坐标运算化简，求得两点坐标的关系，将点坐标代入椭圆方程，化简求得点的轨迹方程.‎ ‎（2）当直线斜率不存在时，根据椭圆的几何性质求得.当直线的斜率存在时，设出直线的方程，代入方程，利用判别式为零列出关系.将代入方程，化简后写出韦达定理，计算出的表达式，并利用换元法和二次函数的性质，求得的取值范围.‎ ‎【详解】（1）设，则由题知，，‎ ‎,，‎ 由在椭圆上，得，所以，‎ 故点的轨迹的方程为； ‎ ‎（2）当直线的斜率不存在时，为的左（或右）顶点，也是的左（或右）焦点，所以；‎ 当直线的斜率存在时，设其方程为,‎ ‎，，‎ ‎，所以，‎ ‎，‎ ‎ ‎ 令，，，‎ 所以，当时，即时，取最大值，当时，即时，取最小值；综上：的取值范围为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查代入法求轨迹方程，考查直线和椭圆的位置关系，包括相交和相切，考查运算求解能力，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎21.已知函数(其中,是自然对数的底数) .‎ ‎(1)若对任意,都有,求的取值范围;‎ ‎(2)设()的最小值为,当时,证明:.‎ ‎【答案】(1) . (2)证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求得的导函数，对分成三种情况分类讨论，结合，求得的取值范围.‎ ‎（2）利用的导数求得的最小值.利用函数的导函数，求得的最大值为零，由此证得.利用差比较法、分析法，即证，即证.用常用不等式证得上式成立.从而证得不等式成立.‎ ‎【详解】(1)的定义域为,,‎ ‎(i)若时,当时,,在上递增,且时,‎ ‎,所以不恒成立,故不符合条件;‎ ‎(ii)若时,,所以符合条件;‎ ‎(iii)若时,令,得,当时,,在上递减;当时, ,在上递增,‎ 所以,即,得,‎ 综上, 的取值范围是.‎ ‎(2) 的定义域为,,得,于是 当时,,递减;当时,,递增,‎ 所以,‎ ‎,得,当时,, 递增;当时,,递减,所以,‎ ‎ ,等价于,等价于,‎ 由(1)知时,得,在时,得,用替代,得,用替代,得(当且仅当时取等号), 取，显然成立 综上知,.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，考查分析法、差比较法整部不等式，综合性很强，属于难题.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22.在平面直角坐标系中，曲线参数方程为为参数)，将曲线 上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的，得到曲线.‎ ‎（1）求曲线的普通方程；‎ ‎（2）过点且倾斜角为的直线与曲线交于两点，求取得最小值时的值.‎ ‎【答案】(1) ；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用消去参数，求得曲线的直角坐标方程.根据坐标变换的知识求得的普通方程.‎ ‎（2）设出直线的参数方程，代入的方程并写出根与系数关系，求得弦长的表达式，并利用三角函数最值的求法求得取得最小值时的值.‎ ‎【详解】（1）将曲线参数方程为参数)的参数消去，得到直角坐标方程为，设上任意一点为，经过伸缩变换后的坐标为，由题意得：‎ ‎，故； ‎ ‎（2）过点倾斜角为的直线的参数方程为：为参数)，带入的方程得：，‎ 记对于的参数分别为，， ‎ ‎，‎ 故当时，.‎ ‎【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查坐标变换，考查直线参数方程的运用，考查三角函数求最值的方法，属于基础题.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）若存在，使得，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将所求不等式转化为，利用零点分段法求得不等式的解集.‎ ‎（2）将“存在，使得”转化为，利用绝对值不等式求得的最大值，进而求得的取值范围.‎ ‎【详解】（1）由题知，当时，，解得；‎ 当时，，解得；当时，，不等式无解；‎ 综上，不等式的解集为. ‎ ‎（2）由题知，存在，成立，即，，所以，.‎ ‎【点睛】本小题主要考查零点分段法解绝对值不等式，考查含有绝对值的不等式存在性问题，属于中档题.‎ ‎ ‎