【数学】2019届一轮复习北师大版简单的逻辑联结词全称量词与存在量词学案
第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
考纲要求
考情分析
命题趋势
1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．
2．理解全称量词与存在量词的意义．
3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
2017·山东卷，5
2015·湖北卷，3
2014·安徽卷，2
2014·辽宁卷，5
1.含有逻辑联结词的命题的真假判断，常结合函数、不等式、三角形问题等知识考查．
2．全称命题或特称命题的否定．
3．常以不等式、函数为载体判断命题真假，或已知命题真假求参数的取值范围.
分值：5分
1．简单的逻辑联结词
(1)逻辑联结词有“或”“且”“非”．
(2)命题p∧q，p∨q，¬p的真假判断
p
q
p∧q
p∨q
¬p
真
真
__真__
__真__
__假__
真
假
__假__
__真__
__假__
假
真
__假__
__真__
__真__
假
假
__假__
__假__
__真__
简记为：p∧q中一假则假，全真才真；p∨q中一真则真，全假才假；p与¬p真假性相反．
2．全称量词和存在量词
量词名称
常见量词
符号表示
全称量词
所有、一切、任意、全部、每一个等
__∀__
存在量词
存在一个、至少一个、有些、某些等
__∃__
3．全称命题和特称命题
名称
形式
全称命题
特称命题
结构
对M中的任意一个x，有p(x)成立
存在M中的一个x0，使p(x0)成立
简记
__∀x∈M，p(x)__
__∃x0∈M，p(x0)__
否定
__∃x0∈M__，¬p(x0)
__∀x∈M__，¬p(x)
1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．
(1)命题“5>6或5>2”是假命题．( × )
(2)若命题p∧q为真，则p为真或q为真．( × )
(3)“长方形的对角线相等”是特称命题．( × )
(4)命题“菱形的对角线相等”的否定是“菱形的对角线不相等”．( × )
解析 (1)错误．命题p∨q中有一真则p∨q为真．
(2)错误．p∧q为真，则p，q同时为真．
(3)错误．命题“长方形的对角线相等”可叙述为“任意长方形的对角线相等”，是全称命题．
(4)错误．“菱形的对角线相等”是全称命题，其否定为“有的菱形的对角线不相等”．
2．下列命题中的假命题是( C )
A．∃x∈R，lg x＝0 B．∃x∈R，tan x＝1
C．∀x∈R，x3>0 D．∀x∈R,2x>0
解析 当x＝1时，lg x＝0；当x＝时，tan x＝1，所以A，B项中的命题均为真命题．显然D项中的命题为真命题．当x＝0时，x3＝0，所以C项中的命题为假命题．故选C．
3．已知命题p：若实数x，y满足x2＋y2＝0，则x，y全为0；命题q：若a>b，则<.给出下列四个命题：
①p且q；②p或q；③¬p；④¬q.
其中真命题的个数是( B )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 ∵命题p为真命题，q为假命题，∴p或q，¬q为真命题．故选B．
4．已知命题p：∃n∈N,2n>1 000，则¬p为( A )
A．∀n∈N,2n≤1 000
B．∀n∈N,2n>1 000
C．∃n∈N,2n≤1 000
D．∃n∈N,2n<1 000
解析 由于特称命题的否定是全称命题，因而¬p：∀n∈N,2n≤1 000.故选A．
5．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( A )
A．(¬p)∨(¬q) B．p∨(¬q)
C．(¬p)∧(¬q) D．p∨q
解析 因为p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则¬p是“甲没有降落在指定范围”， ¬q是“乙没有降落在指定范围”，所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(¬p)∨(¬q)．故选A．
一 含有逻辑联结词的命题的真假判断
(1)判断含有逻辑联结词的命题真假的步骤：
①先判断简单命题p，q的真假；
②再根据真值表判断含有逻辑联结词命题的真假．
(2)含逻辑联结词命题真假的等价关系：
①p∨q真⇔p，q至少有一个真⇔(¬p)∧(¬q)假；
②p∨q假⇔p，q均假⇔(¬p)∧(¬q)真；
③p∧q真⇔p，q均真⇔(¬p)∨(¬q)假；
④p∧q假⇔p，q至少有一个假⇔(¬p)∨(¬q)真；
⑤¬p真⇔p假；¬p假⇔p真．
【例1】 (1)(2017·山东卷)已知命题p：∃x∈R，x2－x＋1≥0；命题q：若a2
0恒成立，∴p为真命题．对于命题q，取a＝2，b＝－3,22<(－3)2，而2>－3，∴q为假命题，¬q为真命题．因此p∧(¬q)为真命题．故选B．
(2)∵y＝2x在R上为增函数，
y＝－2－x＝－x在R上为增函数，
∴y＝2x－2－x在R上为增函数，故p1是真命题．
y＝2x＋2－x在R上为减函数是错误的，故p2是假命题．
∴q1：p1∨p2是真命题，因此排除B项和D项，q2：p1∧p2是假命题，q3：(¬p1)∨p2是假命题，排除A项．故选C．
二 全称命题与特称命题
(1)全称命题与特称命题真假的判断方法：
命题名称
真假
判断方法一
判断方法二
全称命题
真
所有对象使命题真
否定为假
假
存在一个对象使命题假
否定为真
特称命题
真
存在一个对象使命题真
否定为假
假
所有对象使命题假
否定为真
(2)全称命题与特称命题的否定要注意以下两点：
①否定量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行否定；
②否定结论：对原命题的结论进行否定．
【例2】 (1)设命题p：∃n∈N，n2>2n，则¬p为( C )
A．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2n
C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n
(2)命题“对任意x∈R，都有x2≥ln 2”的否定为( D )
A．对任意x∈R，都有x22n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”．
(2)按照“任意”改“存在”，结论变否定的模式，命题的否定为“存在x0∈R，使得x0
B．∀x∈N*，(x－1)2>0
C．∃x0∈R，ln x0<1
D．∃x0∈R，tan x0＝2
(2)已知命题p：∀x>0，x＋≥4；命题q：∃x0∈(0，＋∞)，2x0＝，则下列判断正确的是( C )
A．p是假命题 B．q是真命题
C．p∧(¬q)是真命题 D．(¬p)∧q是真命题
解析 (1)因为2x－1>0，对∀x∈R恒成立，所以A项中的命题是真命题；当x＝1时，(x－1)2＝0，所以B项中的命题是假命题；存在00时，x＋≥2＝4，p是真命题；当x>0时，2x>1，q是假命题，所以p∧(¬q)是真命题，(¬p)∧q是假命题．
三 根据命题的真假求参数的取值范围
根据命题的真假求参数取值范围的求解策略
(1)含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的(一个或两个)简单命题的真假，求出此时命题成立的参数的取值范围，再求出含逻辑联结词的命题成立的参数的取值范围．
(2)全称命题可转化为恒成立问题．
【例4】 已知命题p：函数y＝x2－2x＋a在区间(1,2)上有1个零点，命题q：函数y＝x2＋(2a－3)x＋1的图象与x轴交于不同的两点，如果p∧q是假命题，p∨q是真命题，求a的取值范围．
解析 若命题p为真命题，则函数y＝x2－2x＋a在区间(1,2)上有1个零点．
因为二次函数图象开口向上，对称轴为x＝1，
所以所以00，得4a2－12a＋5>0，解得a<或a>.
因为p∧q是假命题，p∨q是真命题，所以p，q一真一假．
①若p真q假，则所以≤a<1；
②若p假q真，则所以a≤0或a>.
故实数a的取值范围是(－∞，0]∪∪.
1．已知命题p：复数z＝在复平面内所对应的点位于第四象限；命题q：∃x0>0,2－x0＝ex0，则下列命题中为真命题的是( A )
A．p∧q B．(¬p)∧q
C．p∧(¬q) D．(¬p)∧(¬q)
解析 化简z＝＝＝1－i，故命题p是真命题；在同一坐标系中同时画出函数f(x)＝2－x和函数g(x)＝ex的图象(图略)，观察发现图象的交点在第一象限，故命题q是真命题．再根据复合命题的真值表，知A项是正确的．
2．命题p：对任意的x∈R，f(x)＝2cos2x＋sin 2x≤3，则( D )
A．p是假命题；¬p：存在x0∈R，使得f(x0)＝2cos2x0＋sin 2x0≤3
B．p是假命题；¬p：存在x0∈R，使得f(x0)＝2cos2x0＋sin 2x0>3
C．p是真命题；¬p：存在x0∈R，使得f(x0)＝2cos2x0＋sin 2x0≤3
D．p是真命题；¬p：存在x0∈R，使得f(x0)＝2cos2x0＋sin 2x0>3
解析 根据全称命题的否定是特称命题，可知全称命题p的否定是存在x0∈R，使得f(x0)＝2cos2x0＋sin 2x0>3.另外，f(x)＝2cos2x＋sin 2x＝sin 2x＋cos 2x＋1＝2sin＋1≤3.故选D．
3．若命题“∃x0∈R，x－2x0＋m≤0”是假命题，则实数m的取值范围是__(1，＋∞)__.
解析 由题意，知命题“∀x∈R，x2－2x＋m>0”是真命题，故Δ＝(－2)2－4m<0，即m>1.
4．已知命题p：关于x的方程x2－mx－2＝0在x∈[0,1]时有解；命题q：f(x)＝log2在x∈[1，＋∞)时单调递增．若綈p为真命题，p∨q是真命题，则实数m的取值范围为____.
解析 根据题意，关于x的方程x2－mx－2＝0在x∈[0,1]时有解，可得1－m－2≥0，从而求得m≤－1；f(x)＝log2在x∈[1，＋∞)时单调递增，可得解得m<.根据綈p为真命题，p
∨q是真命题，可知p假q真，所以实数m的取值范围为.
错因分析：否命题既要否定条件，又要否定结论，而命题的否定只否定结论．
【例1】 写出命题“若a2＋b2＝0，则实数a，b全为零”的否定及否命题．
解析 命题的否定：若a2＋b2＝0，则实数a，b不全为零．
命题的否命题：若a2＋b2≠0，则实数a，b不全为零．
【跟踪训练1】 (2016·浙江卷)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( D )
A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n0，总有ex≥1，则¬p为( B )
A．存在x0≤0，使得ex0<1 B．存在x0>0，使得ex0<1
C．对任意x>0，总有ex<1 D．对任意x≤0，总有ex<1
解析 因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：对任意x>0，总有ex≥1的否定¬p：存在x0>0，使得ex0<1.故选B．
2．已知命题p：∃x0∈R，tan x0＝1；命题q：∀x∈R，x2＞0.下列结论正确的是( D )
A．命题p∧q是真命题 B．命题p∧(¬q)是假命题
C．命题(¬p)∨q是真命题 D．命题(¬p)∧(¬q)是假命题
解析 取x0＝，有tan＝1，故命题p是真命题；当x＝0时，x2＝0，故命题q是假命题．再根据复合命题的真值表，知D项是正确的．
3．已知函数f(x)＝x2－2ax＋2a2－2(a≠0)，g(x)＝－ex－，则下列命题为真命题的是( B )
A．∀x∈R，都有f(x)＜g(x)
B．∀x∈R，都有f(x)＞g(x)
C．∃x0∈R，使得f(x0)＜g(x0)
D．∃x0∈R，使得f(x0)＝g(x0)
解析 函数f(x)＝x2－2ax＋2a2－2＝(x－a)2＋a2－2≥a2－2>－2，g(x)＝－ex－＝－≤－2，显然∀x∈R，都有f(x)>g(x)．故选B．
4．命题“存在x∈R，使x2＋ax－4a＜0为假命题”是命题“－16≤a≤0”的( A )
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 依题意，知x2＋ax－4a≥0恒成立，则Δ＝a2＋16a≤0，解得－16≤a≤0.故选A．
5．命题p：x∈R，ax2＋ax＋1≥0，若¬p是真命题，则实数a的取值范围是( D )
A．(0,4] B．[0,4]
C．(－∞，0)∪[4，＋∞) D．(－∞，0)∪(4，＋∞)
解析 命题p的否定是¬p：∃x∈R，ax2＋ax＋1<0成立，即不等式ax2＋ax＋1<0有解．
当a＝0时，1<0，不等式无解；
当a≠0时，要使不等式有解，须a2－4a>0，
解得a>4或a<0，
综上，a的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)．故选D．
6．已知命题p1：∀x∈(0，＋∞)，有3x>2x，p2：∃θ∈R，sin θ＋cos θ＝，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(¬p1)∨p2和q4：p1∧(¬p2)中，真命题是( C )
A．q1，q3 B．q2，q3
C．q1，q4 D．q2，q4
解析 因为y＝x在R上是增函数，即y＝x>1在(0，＋∞)上恒成立，所以p1是真命题；sin θ＋cos θ＝sin≤，所以命题p2是假命题，¬p2是真命题，所以命题q1：p1∨p2，q4：p1∧(¬p2)是真命题．故选C．
二、填空题
7．已知函数f(x)的定义域为(a，b)，若“∃x0∈(a，b)，f(x0)＋f(－x0)≠0”是假命题，则f(a＋b)＝__0__.
解析 若“∃x0∈(a，b)，f(x0)＋f(－x0)≠0”是假命题，则“∀x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)＝0”是真命题，即f(－x)＝－f(x)，则函数f(x)是奇函数，则a＋b＝0，即f(a＋b)＝0.
8．命题“∃x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围是__[－2，2]__.
解析 由题可知“∀x∈R,2x2－3ax＋9≥0”为真命题，所以可得Δ＝(－3a)2－4×2×9≤0，解得－2≤a≤2.
9．给出下列命题：①函数y＝sin是偶函数；②函数y＝cos
图象的一条对称轴方程为x＝；③对于任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x＞0时，f′(x)＞0，g′(x)＞0，则x＜0时，f′(x)＞g′(x)；④若∀x∈R，函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则4是该函数的一个周期；其中真命题为__①③④__(写出所有真命题的序号)．
解析 对于①，y＝sin＝－cos x是偶函数，正确；对于②，把x＝代入2x＋，有2×＋＝，而cos＝0，故x＝不是函数图象的一条对称轴方程，错误；对于③，根据函数的奇偶性和导数与函数单调性的关系，可以得出，当x<0时，有f′(x)>0，而g′(x)<0，故x<0时，f′(x)>g′(x)，正确；对于④，令x＝x＋2，可以得到f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，根据周期的定义，可知4是该函数的一个周期，正确．
三、解答题
10．(2018·湖南岳阳一中月考)已知命题p：(x＋1)(x－5)≤0，命题q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
(1)若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；
(2)若m＝5，p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数x的取值范围．
解析 (1)设使命题p成立的集合为A，命题q成立的集合为B，则
A＝{x|－1≤x≤5}，B＝{x|1－m≤x≤1＋m}，所以A⊆B，
所以解得m≥4.故实数m的取值范围为[4，＋∞)．
(2)根据条件可知p，q一真一假．
当p真q假时，无解．
当p假q真时，
解得－4≤x<－1或5
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