2013届人教A版文科数学课时试题及解析（40）空间几何体的表面积和体积

2013届人教A版文科数学课时试题及解析（40）空间几何体的表面积和体积

课时作业(四十)　[第40讲　空间几何体的表面积和体积]‎ ‎ [时间：45分钟　　分值：100分]‎ ‎1．有一个几何体的三视图及其尺寸如图K40－1(单位： cm)，则该几何体的表面积为(　　)‎ A．12π cm2 B．15π cm2‎ C．24π cm2 D．36π cm2‎ 图K40－1‎ ‎　　　图K40－2‎ ‎2． 图K40－2是一个几何体的三视图，若它的体积是3，则图中正视图所标a＝(　　)‎ A．1 B. C. D．2 ‎3．一个与球心距离为1的平面截球体所得的圆面面积为π，则球的表面积为(　　)‎ A．8π B．4π C. D.π ‎4．已知正五棱台的上、下底面边长分别为‎4 cm和‎6 cm，侧棱长为‎5 cm，则它的侧面积为________．‎ ‎5． 图K40－3是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是(　　)‎ A．6π B．12π C．18π D．24π 图K40－3‎ ‎　　　图K40－4‎ ‎6． 已知某个几何体的三视图如图K40－4(正视图的弧线是半圆)，根据图中标出的数据，这个几何体的体积是(　　)‎ A．288＋36π B．60π C．288＋72π D．288＋18π ‎7．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是π，那么这个三棱柱的体积是(　　)‎ A．96 B．16 C．24 D．48 ‎8．如图K40－5，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF＝，EF与平面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为(　　)‎ A. B．‎5 C．6 D. 图K40－5‎ ‎　　　图K40－6‎ ‎9．如图K40－6，半径为2的半球内有一内接正三棱锥P－ABC，则此正三棱锥的侧面积是(　　)‎ A．3 B．5 C．3 D．4 ‎10． 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图K40－7所示，则其表面积等于________．‎ 图K40－7‎ ‎　　　图K40－8‎ ‎11． 一个几何体的三视图如图K40－8所示(单位：m)，则该几何体的体积为________ m3.‎ 图K40－9‎ ‎12．长方体ABCD－A1B‎1C1D1的体积为V，P是DD1的中点，Q是AB上的动点，则四面体P－CDQ的体积是________．‎ ‎13．圆锥的底面半径为，轴截面为正三角形，则其内切球的表面积为________．‎ ‎14．(10分)已知某几何体的俯视图是如图K40－10所示的矩形，正视图是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．‎ ‎(1)求该几何体的体积V；‎ ‎(2)求该几何体的侧面积S.‎ 图K40－10‎ ‎15．(13分)圆锥底面半径为‎5 cm，高为‎12 cm，有一个内接圆柱，其上底圆周在圆锥的侧面上，下底在圆锥底面内，求内接圆柱的底面半径为何值时，圆柱的表面积为最大？最大值是多少？‎ 图K40－11‎ ‎16．(12分)如图K40－12所示，从三棱锥P－ABC的顶点P沿着三条侧棱PA、PB、PC剪开成平面图形得到△P1P2P3，且P2P1＝P2P3.‎ ‎(1)在三棱锥P－ABC中，求证：PA⊥BC；‎ ‎(2)若P1P2＝26，P1P3＝20，求三棱锥P－ABC的体积．‎ 图K40－12‎ 课时作业(四十)‎ ‎【基础热身】‎ ‎1．C　[解析] 该几何体是底面半径等于3，母线长等于5的圆锥，其表面积S表＝π×3×5＋π×32＝24π(cm2)．‎ ‎2．C　[解析] 由三视图可知，该几何体为一个平卧的三棱柱，结合图中的尺寸可得V＝×2×a×3＝3，‎ ‎∴a＝.‎ ‎3．A　[解析] 如图，设截面的半径为r，则πr2＝π，r＝1，又已知球心与截面的距离d＝1，则球的半径R＝＝，球的表面积V＝4πR2＝8π.‎ ‎4．‎50 cm2　[解析] 侧面高为＝2，所以侧面积为S＝5×＝50(cm2)．‎ ‎【能力提升】‎ ‎5．B　[解析] 由三视图可得该几何体的直观图为圆台，其上底半径为1，下底半径为2，母线长为4，所以该几何体的侧面积为π×(1＋2)×4＝12π.故选B.‎ ‎6．A　[解析] 依题意得，该几何体是由一个长方体与半个圆柱的组合体，其中长方体的长、宽、高分别为8、6、6，半个圆柱相应的圆柱底面半径为3、高为8.‎ 因此该几何体的体积V＝8×6×6＋×π×32×8＝288＋36π.‎ ‎7．D　[解析] 由πR3＝π，∴R＝2，∴正三棱柱的高h＝4，设其底面边长为a，则×a＝2，∴a＝4，‎ ‎∴V＝×(4)2×4＝48.‎ ‎8．D　[解析] 如图所示，连接EB，EC，AC.‎ 四棱锥E－ABCD的体积VE－ABCD＝×32×2＝6.‎ 由于AB＝2EF，EF∥AB，所以S△EAB＝2S△BEF.‎ ‎∴VF－BEC＝VC－EFB＝VC－ABE＝VE－ABC＝，‎ ‎∴VEF－ABCD＝VE－ABCD＋VF－BEC＝6＋＝.‎ ‎9．C　[解答] 设球心为O，连接PO、AO、BO.‎ 因为P－ABC是正三棱锥，所以PO⊥底面ABC，且PO＝AO＝2，所以PA＝2.作PD⊥AB于D，则D为AB的中点．连接OD.‎ ‎△AOB中，∠AOB＝120°，AO＝BO＝2，‎ 所以AB＝2，DO＝1.‎ 在Rt△POD中，得PD＝，‎ 所以棱锥的侧面积为3×·AB·PD＝×2×＝3.故选C.‎ ‎10．6＋2　[解析] 由正视图可知，该三棱柱是底面边长为2，侧棱长为1的正三棱柱，‎ 其表面积为2××4＋3×2×1＝6＋2.‎ ‎11．4　[解析] 根据三视图还原成直观图，可以看出，其是由两个形状一样的，底面长和宽都为1，高为2的长方体叠加而成，故其体积V＝2×1×1＋1×1×2＝4.‎ ‎12.V　[解析] 设长方体的长、宽、高分别为 AB＝a，BC＝b，AA1＝c，则有V＝abc.‎ 由题意知PD＝c，S△CDQ＝·CD·AD＝ab，‎ ‎∴VP－CDQ＝S△CDQ·PD＝×ab×c＝abc＝V.‎ ‎13．4π　[解析] 如图，球心为O，圆锥底面圆心为O1，OO1为球半径，AO1为圆锥底面圆半径，∠O1AO＝30°，OO1＝AO1＝1，所以球的表面积为4π.‎ ‎14．[解答] 由已知可得该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥．‎ ‎(1)V＝×(8×6)×4＝64.‎ ‎(2)该四棱锥有两个侧面PAD、PBC是全等的等腰三角形，且BC边上的高为h1＝＝4，另两个侧面PAB、PCD也是全等的等腰三角形，AB边上的高为h2＝＝5，‎ 因此侧面积S＝2＝40＋24.‎ ‎15．[解答] 作圆锥的轴截面，它也是内接圆柱的轴截面，设内接圆柱的半径为x，内接圆柱的高为h，则有 ＝，‎ ‎∴h＝12－x，‎ 因此内接圆柱的表面积是x的函数，‎ S圆柱侧＝2πxh＝2πx(0＜x＜5)，S底＝πx2，‎ ‎∴S圆柱全＝2πx＋2πx2＝2πx＝·≤×62＝π(cm2)．‎ 当且仅当＝12－x，即x＝时，等号成立．‎ 因此，当内接圆柱的底面半径为 cm时，内接圆柱的表面积最大，最大表面积是π cm2.‎ ‎【难点突破】‎ ‎16．[解答] (1)证明：由题设知A、B、C分别是P1P3，P1P2，P2P3的中点，且P2P1＝P2P3，‎ 从而PB＝PC，AB＝AC.‎ 取BC的中点D，连接AD、PD，‎ 则AD⊥BC，PD⊥BC，‎ ‎∴BC⊥面PAD，故PA⊥BC.‎ ‎(2)由题设有AB＝AC＝P1P2＝13，‎ PA＝P‎1A＝BC＝10，‎ PB＝PC＝P1B＝13，‎ ‎∴AD＝PD＝＝12.‎ 在等腰三角形DPA中，‎ 底边PA上的高h＝＝，‎ ‎∴S△DPA＝PA·h＝5.‎ 又BC⊥面PAD，‎ ‎∴VP－ABC＝VB－PDA＋VC－PDA ‎＝BD·S△DPA＋DC·S△PDA ‎＝BC·S△PDA＝×10×5＝.‎ ‎ ‎