【数学】2020届一轮复习（理）北师大版1-1集 合学案
第1节 集 合
最新考纲 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；
3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.
知 识 梳 理
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.
(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.
2.集合间的基本关系
表示
关系
文字语言
符号语言
集合间的基本关系
相等
集合A与集合B中的所有元素都相同
A＝B
子集
A中任意一个元素均为B中的元素
A⊆B
真子集
A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素
AB
空集
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
3.集合的基本运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号表示
A∪B
A∩B
若全集为U，则集合A
的补集为∁UA
图形表示
集合表示
{x|x∈A，或x∈B}
{x|x∈A，且x∈B}
{x|x∈U，且x∉A}
4.集合的运算性质
(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.
(2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.
(3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A.
[微点提醒]
1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个.
2.子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.
3.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB.
4. ∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB).
基 础 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.( )
(2)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.( )
(3)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.( )
(4)含有n个元素的集合有2n个真子集.( )
解析 (1)错误.{x|y＝x2＋1}＝R，{y|y＝x2＋1}＝[1，＋∞)，{(x，y)|y＝x2＋1}是抛物线y＝x2＋1上的点集.
(2)错误.当x＝1时，不满足集合中元素的互异性.
(4)错误.含有n个元素的集合有2n－1个真子集.
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×
2.(必修1P5练习1改编)若集合P＝{x∈N|x≤}，a＝2，则( )
A.a∈P B.{a}∈P
C.{a}⊆P D.a∉P
解析 因为a＝2不是自然数，而集合P是不大于的自然数构成的集合，所以a∉P，只有D正确.
答案 D
3.(必修1P19A(1)4改编)已知集合M＝{0，1，2，3，4}，N＝{1，3，5}，则集合M∪N的子集的个数为________.
解析 由已知得M∪N＝{0，1，2，3，4，5}，所以M∪N的子集有26＝64(个).
答案 64
4.(2018·全国Ⅰ卷)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁RA＝( )
A.{x|－1
2}
D.{x|x≤－1}∪{x|x≥2}
解析 法一 A＝{x|x2－x－2>0}＝{x|(x－2)(x＋1)>0}＝{x|x<－1或x>2}，所以∁RA＝{x|－1≤x≤2}.
法二 因为A＝{x|x2－x－2>0}，所以∁RA＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}.
答案 B
5.(2019·南昌模拟)已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}.若P∪M＝P，则实数a的取值范围为( )
A.[－1，1] B.[1，＋∞)
C.(－∞，－1] D.(－∞，－1]∪[1，＋∞)
解析 ∵P＝{x|－1≤x≤1}，且P∪M＝P，
∴M⊆P，∴a∈P，因此－1≤a≤1.
答案 A
6.(2017·全国Ⅲ卷改编)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y∈R，且y＝x}，则A∩B中元素的个数为________.
解析 集合A表示圆心在原点的单位圆上所有点的集合，集合B表示直线y＝x上所有点的集合，易知直线y＝x和圆x2＋y2＝1相交，且有2个交点，故A∩B中有2个元素.
答案 2
考点一 集合的基本概念
【例1】 (1)(2019·湖北四地七校联考)若集合M＝{x||x|≤1}，N＝{y|y＝x2，|x|≤1}，则( )
A.M＝N B.M⊆N
C.M∩N＝∅ D.N⊆M
(2)若x∈A，则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝
的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( )
A.1 B.3 C.7 D.31
解析 (1)易知M＝{x|－1≤x≤1}，N＝{y|y＝x2，|x|≤1}＝{y|0≤y≤1}，∴N⊆M.
(2)具有伙伴关系的元素组是－1，，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，，.
答案 (1)D (2)B
规律方法 1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义.
2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
【训练1】 (1)(2018·全国Ⅱ卷)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( )
A.9 B.8 C.5 D.4
(2)设集合A＝{x|(x－a)2<1}，且2∈A，3∉A，则实数a的取值范围为________.
解析 (1)由题意知A＝{(－1，0)，(0，0)，(1，0)，(0，－1)，(0，1)，(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}，故集合A中共有9个元素.
(2)由题意得解得
所以10}，N＝，则( )
A.MN B.NM
C.M＝N D.M∪N＝R
(2)若将本例(2)的集合A改为A＝{x|x2－5x－14>0}.其它条件不变，则m的取值范围是________.
解析 (1)集合M＝{x|x2－x>0}＝{x|x>1或x<0}，N＝＝{x|x>1或x<0}，所以M＝N.
(2)A＝{x|x2－5x－14>0}＝{x|x<－2或x>7}.
当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2.
当B≠∅时，若B⊆A，
则或
解之得m≥6.
综上可知，实数m的取值范围是(－∞，2]∪[6，＋∞).
答案 (1)C (2)(－∞，2]∪[6，＋∞)
考点三 集合的运算 多维探究
角度1 集合的基本运算
【例3－1】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)已知集合A＝{x|x<2}，B＝{x|3－2x>0}，则( )
A.A∩B＝ B.A∩B＝∅
C.A∪B＝ D.A∪B＝R
(2)(2018·天津卷)设全集为R，集合A＝{x|00}＝，A＝{x|x<2}，所以A∩B＝，A∪B＝{x|x<2}.
(2)因为B＝{x|x≥1}，所以∁RB＝{x|x<1}，因为A＝{x|02}，∁RB＝{x|x≥0}，
∴(∁RA)∩B＝{x|x≤－1}，A项不正确.
A∩B＝{x|－10}，若A⊆B，则实数c的取值范围为( )
A.(0，1] B.[1，＋∞)
C.(0，1) D.(1，＋∞)
解析 法一 由题意知，A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝{x|00}＝{x|00}＝{x|00}，则(∁RS)∩T＝________.
解析 易知S＝{x|x≤2或x≥3}，
∴∁RS＝{x|20}＝{x|x<－1或x>0}，则A－B＝{x|－1≤x＜0}.
答案 {x|－1≤x＜0}
能力提升题组
(建议用时：10分钟)
13.(2018·河南百校联盟联考)若集合A＝{x|y＝lg(3x－x2)}，B＝，则A∩(∁RB)等于( )
A.(0，2] B.(2，3) C.(3，5) D.(－2，－1)
解析 由3x－x2>0，得0
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