高中数学第二章数列2-1-2数列的性质与递推公式课时作业含解析新人教A版必修

高中数学第二章数列2-1-2数列的性质与递推公式课时作业含解析新人教A版必修

课时作业8　数列的性质与递推公式 时间：45分钟 ‎——基础巩固类——‎ 一、选择题 ‎1．已知数列{an}，a1＝1，an－an－1＝n－1(n≥2)，则a6等于(　C　)‎ A．7 B．11‎ C．16 D．17‎ 解析：由题可知a6＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋(a5－a4)＋(a6－a5)＝1＋1＋2＋3＋4＋5＝16.‎ ‎2．数列{an}中，an＋1＝an＋2－an，a1＝2，a2＝5，则a5等于(　D　)‎ A．－3 B．－11‎ C．－5 D．19‎ 解析：由an＋1＝an＋2－an，得an＋2＝an＋1＋an.‎ 又a1＝2，a2＝5.∴a3＝7，a4＝12，a5＝19.‎ ‎3．已知数列{an}，an－1＝man＋1(n>1)，且a2＝3，a3＝5，则实数m等于(　B　)‎ A．0 B. C．2 D．5‎ 解析：由题意，得a2＝ma3＋1，即3＝5m＋1，解得m＝.‎ ‎4．已知数列{an}中，a1＝2，an＝－(n≥2)，则a2 013等于(　C　)‎ A．－ B. C．2 D．－2‎ 解析：∵an＋2＝－＝an，‎ ‎∴数列奇数项相同，偶数项相同．∴a2 013＝a1＝2.‎ ‎5．若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝(　A　)‎ A．15 B．12‎ C．－12 D．－15‎ 解析：记bn＝3n－2，则bn＋1－bn＝3(n＋1)－2－(3n－2)＝3，所以a1＋a2＋…＋a9＋a10＝(－b1)＋b2＋…＋(－b9)＋b10＝(b2－b1)＋(b4－b3)＋…＋(b10－b9)＝5×3＝15.故选A.‎ ‎6．已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式是(　D　)‎ A．2n－1 B.n－1‎ C．n2 D．n 4‎ 解析：法一：构造法．‎ 由已知整理，得(n＋1)an＝nan＋1，‎ ‎∴＝，∴数列是常数列，‎ 且＝＝1，∴an＝n.‎ 法二：累乘法．‎ 当n≥2时，＝，＝，‎ ‎…‎ ＝，＝，‎ 用累乘法，得＝n.∵a1＝1，∴an＝n.‎ 二、填空题 ‎7．在数列{an}中，an＋1＝(n∈N*)，且a7＝，则a5＝1.‎ 解析：由已知得a7＝＝，解得a6＝，而a6＝，所以＝，解得a5＝1.‎ ‎8．设函数f(x)定义如下表，数列{xn}满足x0＝5，且对任意的自然数均有xn＋1＝f(xn)，则x2 014＝1.‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ f(x)‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎2‎ 解析：x1＝f(x0)＝f(5)＝2，‎ x2＝f(x1)＝f(2)＝1，‎ x3＝f(x2)＝f(1)＝4，‎ x4＝f(x3)＝f(4)＝5＝x0，‎ 从而数列{xn}是周期为4的数列，‎ 于是x2 014＝x4×503＋2＝x2＝1.‎ ‎9．已知数列{an}，an＝，其中a，b，c均为正数，则此数列是递增数列．(填“递增数列”“递减数列”“摆动数列”或“常数列”)‎ 解析：因为an＝，所以an＋1＝，所以an＋1－an＝－＝.因为a，b，c均为正数，所以>0，即an＋1－an>0，故此数列是递增数列．‎ 三、解答题 ‎10．根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式．‎ ‎(1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)(n∈N*)；‎ ‎(2)a1＝1，an＋1＝(n∈N*)．‎ 4‎ 解：(1)a1＝0，a2＝1，a3＝4，a4＝9，a5＝16，‎ ‎∴an＝(n－1)2.‎ ‎(2)a1＝1，a2＝，a3＝＝，a4＝，‎ a5＝＝，∴an＝.‎ ‎11．已知数列{an}中，a4＝，an＝(n≥2)．‎ ‎(1)证明：＝＋2(n≥2)，并求出a1的值；‎ ‎(2)求出数列{an}的通项an.‎ 解：(1)证明：∵an＝(n≥2)，‎ ‎∴＝，∴＝＋2(n≥2)，‎ ‎∴＝＋＋＋ ‎＝＋3×2＝8.‎ ‎∴＝2，∴a1＝.‎ ‎(2)由(1)知＝＋＋＋…＋，∴＝2＋‎ ‎∴＝2n，∴an＝，n∈N＋.‎ ‎——能力提升类——‎ ‎12．已知数列{an}中，an＝(n∈N*)，则数列{an}的最大项是(　C　)‎ A．a12 B．a13‎ C．a12或a13 D．不存在 解析：an＝＝.由函数的单调性知，f(x)＝x＋(x>0)的单调减区间是(0,2)，单调增区间是[2，＋∞)，故当x＝2时，f(x)的值最小．‎ ‎∵n∈N*,2在自然数12和13之间，且a12＝a13，‎ ‎∴第12项或第13项是数列{an}的最大项．‎ ‎13．已知数列{an}，a1＝1，lnan＋1－lnan＝1，则数列{an}的通项公式是(　C　)‎ 4‎ A．an＝n B．an＝ C．an＝en－1 D．an＝ 解析：∵lnan＋1－lnan＝1，∴ln＝1.∴＝e.‎ 由累乘法可得an＝en－1.‎ ‎14．已知数列{an}满足：an≤an＋1，an＝n2＋λn，n∈N*，则实数λ的最小值是－3.‎ 解析：∵an≤an＋1，∴n2＋λn≤(n＋1)2＋λ(n＋1)，‎ 即λ≥－(2n＋1)对任意n∈N*成立，∴λ≥－3.‎ ‎15．已知数列{an}满足an＝＋＋＋…＋.‎ ‎(1)数列{an}是递增数列还是递减数列？为什么？‎ ‎(2)证明：an≥对一切正整数恒成立．‎ 解：(1)数列{an}是递增数列．‎ 理由如下：∵an＝＋＋＋…＋，‎ ‎∴an＋1－an＝＋－ ‎＝－＝.‎ 又n∈N*，∴an＋1－an>0.‎ ‎∴数列{an}是递增数列．‎ ‎(2)证明：由(1)知数列{an}为递增数列，‎ ‎∴数列{an}的最小项为a1＝.‎ ‎∴an≥a1＝，‎ 即an≥对一切正整数恒成立．‎ 4‎