2018届二轮复习一元二次不等式及其解法课件（文）（江苏专用）

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§7.2 　一元二次不等式及其解法 基础知识 　 自主学习 课时作业 题型分 类　 深度剖析 内容索引 基础知识　自主学习 1. “ 三个二次 ” 的关系 知识梳理 判别式 Δ ＝ b 2 － 4 ac Δ >0 Δ ＝ 0 Δ <0 二次函数 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ( a >0) 的图象 一元二次方程 ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 ( a >0) 的根 有两个相异 实根 x 1 ， x 2 ( x 1 < x 2 ) 有两个相等实 根 x 1 ＝ x 2 ＝ 没有实数 根 一元二次不等式 ax 2 ＋ bx ＋ c >0 ( a >0) 的解集 ( － ∞ ， x 1 ) ∪ ( x 2 ，＋ ∞ ) ( － ∞ ， ) ∪ ( ，＋ ∞ ) R 一元二次不等式 ax 2 ＋ bx ＋ c <0 ( a >0) 的解集 ________ ____ ____ ( x 1 ， x 2 ) ∅ ∅ 2. 常用结论 ( x － a )( x － b )>0 或 ( x － a )( x － b )<0 型不等式的解法 不等式 解集 a < b a ＝ b a > b ( x － a )·( x － b )>0 { x | x < a 或 x > b } ________ ____________ ( x － a )·( x － b )<0 ________ ____ { x | b < x < a } 口诀：大于取两边，小于取中间 . { x | x ≠ a } { x | x < b 或 x > a } { x | a < x < b } ∅ 知识 拓展 (1) >0(<0) ⇔ f ( x )· g ( x )>0(<0). (2) ≥ 0( ≤ 0) ⇔ f ( x )· g ( x ) ≥ 0( ≤ 0) 且 g ( x ) ≠ 0. 以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式 . 思考辨析 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) (1) 若不等式 ax 2 ＋ bx ＋ c <0 的解集为 ( x 1 ， x 2 ) ，则必有 a >0.( 　　 ) (2) 若不等式 ax 2 ＋ bx ＋ c >0 的解集是 ( － ∞ ， x 1 ) ∪ ( x 2 ，＋ ∞ ) ，则方程 ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 的两个根是 x 1 和 x 2 .( 　　 ) (3) 若方程 ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0( a ≠ 0) 没有实数根，则不等式 ax 2 ＋ bx ＋ c >0 的解集为 R .( 　　 ) (4) 不等式 ax 2 ＋ bx ＋ c ≤ 0 在 R 上恒成立的条件是 a <0 且 Δ ＝ b 2 － 4 ac ≤ 0 .( 　　 ) (5) 若二次函数 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c 的图象开口向下，则不等式 ax 2 ＋ bx ＋ c <0 的解集一定不是空集 .( 　　 ) √ √ × × √ 考点自测 1.( 教材改编 ) 不等式 x 2 － 3 x － 10>0 的解集是 ________________ ___ ____. 答案 解析 ( － ∞ ，－ 2) ∪ (5 ，＋ ∞ ) 解方程 x 2 － 3 x － 10 ＝ 0 得 x 1 ＝－ 2 ， x 2 ＝ 5 ， 由于 y ＝ x 2 － 3 x － 10 的 图象 开口 向上 ， 所以 x 2 － 3 x － 10>0 的解集为 ( － ∞ ，－ 2) ∪ (5 ，＋ ∞ ). 2.( 教材改编 ) 不等式 < 0 的解集是 _________ __ ___. 答案 解析 不等式 < 0 等价于 ( x － )( x － 4)>0 ， ∴ 不等式的解集是 { x | x < 或 x >4}. 3.( 教材改编 ) 不等式 的解集为 _______. ( － 1,2) 由题意得 x 2 － x <2 ⇒ － 1< x <2 ，故解集为 ( － 1,2 ). 答案 解析 4.( 教材改编 ) 若关于 x 的不等式 ax 2 ＋ bx ＋ 2>0 的解集是 ( ) ，则 a ＋ b ＝ _____. 答案 解析 － 14 ∵ x 1 ＝ ， x 2 ＝ 是 方程 ax 2 ＋ bx ＋ 2 ＝ 0 的两个根， ∴ a ＋ b ＝－ 14. 5. 不等式 x 2 ＋ ax ＋ 4 ≤ 0 的解集不是空集，则实数 a 的取值范围 是 ______________________. ( － ∞ ，－ 4] ∪ [4 ，＋ ∞ ) 答案 解析 ∵ x 2 ＋ ax ＋ 4 ≤ 0 的解集不是空集 ， 则 x 2 ＋ ax ＋ 4 ＝ 0 一定有解 . ∴ Δ ＝ a 2 － 4 × 1 × 4 ≥ 0 ，即 a 2 ≥ 16 ， ∴ a ≥ 4 或 a ≤ － 4 . 题型分类　深度剖析 题型一　一元二次不等式的求解 命题点 1 　不含参的不等式 例 1 　 (2016· 南京模拟 ) 求不等式－ 2 x 2 ＋ x ＋ 3<0 的解集 . 解答 化－ 2 x 2 ＋ x ＋ 3<0 为 2 x 2 － x － 3>0 ， 解方程 2 x 2 － x － 3 ＝ 0 得 x 1 ＝－ 1 ， x 2 ＝ ， ∴ 不等式 2 x 2 － x － 3>0 的解集为 ( － ∞ ，－ 1) ∪ ( ，＋ ∞ ) ， 即原不等式的解集为 ( － ∞ ，－ 1) ∪ ( ，＋ ∞ ). 命题点 2 　含参不等式 例 2 　 解关于 x 的不等式： x 2 － ( a ＋ 1) x ＋ a <0. 解答 由 x 2 － ( a ＋ 1) x ＋ a ＝ 0 ，得 ( x － a )( x － 1) ＝ 0 ， ∴ x 1 ＝ a ， x 2 ＝ 1 ， ① 当 a >1 时， x 2 － ( a ＋ 1) x ＋ a <0 的解集为 { x |1< x < a } ， ② 当 a ＝ 1 时， x 2 － ( a ＋ 1) x ＋ a <0 的解集为 ∅ ， ③ 当 a <1 时， x 2 － ( a ＋ 1) x ＋ a <0 的解集为 { x | a < x <1}. 引申探究 将原不等式改为 ax 2 － ( a ＋ 1) x ＋ 1<0 ，求不等式的解集 . 解答 若 a ＝ 0 ，原不等式等价于－ x ＋ 1<0 ，解得 x >1 . 若 a <0 ，原不等式等价于 ( x － )( x － 1)>0 ， 解得 x < 或 x >1. 若 a >0 ，原不等式等价于 ( x － )( x － 1)<0. ① 当 a ＝ 1 时 ， ＝ 1 ， ( x － )( x － 1)<0 无解； ② 当 a >1 时 ， < 1 ，解 ( x － )( x － 1)<0 ， 得 < x <1 ； ③ 当 0< a <1 时 ， > 1 ，解 ( x － )( x － 1)<0 ，得 1< x < . 综上所述，当 a <0 时，解集为 { x | x < 或 x >1} ； 当 a ＝ 0 时，解集为 { x | x >1} ； 当 0< a <1 时，解集为 { x |1< x < } ； 当 a ＝ 1 时，解集为 ∅ ； 当 a >1 时，解集为 { x | < x <1}. 含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论 . (1) 若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论； (2) 若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式； (3) 对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集 . 思维 升华 跟踪训练 1 　解下列不等式： (1) － 3 x 2 － 2 x ＋ 8 ≥ 0 ； 解答 原不等式可化为 3 x 2 ＋ 2 x － 8 ≤ 0 ， 即 (3 x － 4)( x ＋ 2) ≤ 0 . 解 得－ 2 ≤ x ≤ ， 所以原不等式的解集为 { x | － 2 ≤ x ≤ }. (2) 求不等式 12 x 2 － ax ＞ a 2 ( a ∈ R ) 的解集 . 解答 ∵ 12 x 2 － ax ＞ a 2 ， ∴ 12 x 2 － ax － a 2 ＞ 0 ， 即 (4 x ＋ a )(3 x － a ) ＞ 0 ， 令 (4 x ＋ a )(3 x － a ) ＝ 0 ， 得 x 1 ＝ ， x 2 ＝ . ① 当 a ＞ 0 时 ， ， 解集 为 ； ② 当 a ＝ 0 时， x 2 ＞ 0 ，解集为 { x | x ∈ R 且 x ≠ 0} ； ③ 当 a ＜ 0 时 ， ， 解集 为 . 综上所述，当 a ＞ 0 时，不等式的解集 为 ； 当 a ＝ 0 时，不等式的解集为 { x | x ∈ R 且 x ≠ 0} ； 当 a ＜ 0 时，不等式的解集 为 . 题型二　一元二次不等式恒成立问题 命题点 1 　在 R 上的恒成立问题 例 3 　 (1) 若一元二次不等式 2 kx 2 ＋ kx － < 0 对一切实数 x 都成立，则 k 的取值范围为 ____ _ __. 答案 解析 ( － 3,0) ∵ 2 kx 2 ＋ kx － < 0 为一元二次不等式， ∴ k ≠ 0 ， 又 2 kx 2 ＋ kx － < 0 对一切实数 x 都成立， 则必有 解得－ 3< k <0. (2) 设 a 为常数，对于 ∀ x ∈ R ， ax 2 ＋ ax ＋ 1>0 ，则 a 的取值范围是 ______. 答案 解析 [0,4) 对于 ∀ x ∈ R ， ax 2 ＋ ax ＋ 1>0 ， 则必 有 或 a ＝ 0 ， ∴ 0 ≤ a <4. 命题点 2 　在给定区间上的恒成立问题 例 4 　 设函数 f ( x ) ＝ mx 2 － mx － 1. 若对于 x ∈ [1,3] ， f ( x )< － m ＋ 5 恒成立，求 m 的取值范围 . 解答 要使 f ( x )< － m ＋ 5 在 x ∈ [1,3] 上恒成立， 即 在 x ∈ [1,3] 上恒成立 . 有以下两种方法： 方法一　令 g ( x ) ＝ ， x ∈ [1,3]. 当 m >0 时， g ( x ) 在 [1,3] 上是增函数 ， 所以 g ( x ) max ＝ g (3) ⇒ 7 m － 6<0 ， 所以 m < ， 所以 0< m < ； 当 m ＝ 0 时，－ 6<0 恒成立； 所以 g ( x ) max ＝ g (1) ⇒ m － 6<0 ，所以 m <6 ，所以 m <0 . 当 m <0 时， g ( x ) 在 [1,3] 上是减函数， 综上所述， m 的取值范围是 { m | m < }. 方法二　因为 x 2 － x ＋ 1 ＝ ， 又因为 m ( x 2 － x ＋ 1) － 6<0 ，所以 m < . 因为函数 y ＝ 在 [1,3] 上的最小值 为 ， 所以只需 m < 即可 . 所以 m 的取值范围 是 . 命题点 3 　给定参数范围的恒成立问题 例 5 　 对任意 m ∈ [ － 1,1] ，函数 f ( x ) ＝ x 2 ＋ ( m － 4) x ＋ 4 － 2 m 的值恒大于零，求 x 的取值范围 . 解答 由 f ( x ) ＝ x 2 ＋ ( m － 4) x ＋ 4 － 2 m ＝ ( x － 2) m ＋ x 2 － 4 x ＋ 4 ， 令 g ( m ) ＝ ( x － 2) m ＋ x 2 － 4 x ＋ 4. 由题意知在 [ － 1,1] 上， g ( m ) 的值恒大于零 ， 故 当 x 的取值范围为 ( － ∞ ， 1) ∪ (3 ，＋ ∞ ) 时，对任意的 m ∈ [ － 1,1] ，函数 f ( x ) 的值恒大于零 . 解得 x <1 或 x >3. (1) 对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴上方，恒小于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴下方 . 另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值 . (2) 解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数 . 思维 升华 跟踪训练 2 　 (1) 已知函数 f ( x ) ＝ x 2 ＋ mx － 1 ，若对于任意 x ∈ [ m ， m ＋ 1 ] ， 都 有 f ( x )<0 成立，则实数 m 的取值范围 是 _ _ ________. 答案 解析 作出二次函数 f ( x ) 的草图，对于任意 x ∈ [ m ， m ＋ 1] ，都有 f ( x )<0 ， 解得 － < m <0. (2) 已知不等式 mx 2 － 2 x － m ＋ 1<0 ，是否存在实数 m 对所有的实数 x ，使不等式恒成立？若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由 . 解答 不等式 mx 2 － 2 x － m ＋ 1<0 恒成立， 即函数 f ( x ) ＝ mx 2 － 2 x － m ＋ 1 的图象全部在 x 轴下方 . 当 m ＝ 0 时， 1 － 2 x <0 ，则 x > ， 不满足题意； 当 m ≠ 0 时，函数 f ( x ) ＝ mx 2 － 2 x － m ＋ 1 为二次函数， 需满足开口向下且方程 mx 2 － 2 x － m ＋ 1 ＝ 0 无解，即 不等式组的解集为空集，即 m 无解 . 综上可知，不存在这样的 m . 题型三　一元二次不等式的应用 例 6 　 甲厂以 x 千克 / 小时的速度匀速生产某种产品 ( 生产条件要求 1 ≤ x ≤ 10) ，每小时可获得的利润是 100(5 x ＋ 1 － ) 元 . (1) 要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3 000 元，求 x 的取值范围； 解答 根据题意，得 200(5 x ＋ 1 － ) ≥ 3 000 ， 整理得 5 x － 14 － ≥ 0 ，即 5 x 2 － 14 x － 3 ≥ 0 ， 又 1 ≤ x ≤ 10 ，可解得 3 ≤ x ≤ 10. 即要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3 000 元， x 的取值范围是 [3,10 ]. (2) 要使生产 900 千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润 . 解答 设利润为 y 元，则 故当 x ＝ 6 时， y max ＝ 457 500 元 . 即甲厂以 6 千克 / 小时的生产速度生产 900 千克该产品时获得的利润最大，最大利润为 457 500 元 . 跟踪训练 3 　 某商场若将进货单价为 8 元的商品按每件 10 元出售，每天可销售 100 件，现准备采用提高售价的方法来增加利润 . 已知这种商品每件销售价提高 1 元，销售量就要减少 10 件 . 那么要保证每天所赚的利润在 320 元以上，销售价每件应定为 _________ _ _____. 答案 设销售价定为每件 x 元，利润为 y ， 则 y ＝ ( x － 8)[100 － 10( x － 10)] ， 依题意有 ( x － 8)[100 － 10( x － 10)]>320 ， 即 x 2 － 28 x ＋ 192<0 ，解得 12< x <16 ， 所以每件商品销售价应定为 12 元到 16 元之间 . 12 元到 16 元之间 解析 典例 　 (1) 已知函数 f ( x ) ＝ x 2 ＋ ax ＋ b ( a ， b ∈ R ) 的值域为 [0 ，＋ ∞ ) ，若关于 x 的不等式 f ( x )< c 的解集为 ( m ， m ＋ 6) ，则实数 c 的值为 ___. (2) 已知函数 f ( x ) ＝ ， 若对任意 x ∈ [1 ，＋ ∞ ) ， f ( x )>0 恒成立，则实数 a 的取值范围是 ______ _ __. 函数的值域和不等式的解集转化为 a ， b 满足的条件；不等式恒成立可以分离常数，转化为函数值域问题 . 答案 解析 转化 与化归思想在不等式中的应用 思想与方法系列 14 思想方法指导 9 { a | a > － 3} ( 1) 由题意知 f ( x ) ＝ x 2 ＋ ax ＋ b ∵ f ( x ) 的值域为 [0 ，＋ ∞ ) ， ∴ b － ＝ 0 ，即 b ＝ . 又 ∵ f ( x )< c ， ∴ < c ， ② － ① ， 得 ＝ 6 ， ∴ c ＝ 9. (2) ∵ x ∈ [1 ，＋ ∞ ) 时， f ( x ) ＝ > 0 恒成立， 即 x 2 ＋ 2 x ＋ a >0 恒成立 . 即当 x ≥ 1 时， a > － ( x 2 ＋ 2 x ) ＝ g ( x ) 恒成立 . 而 g ( x ) ＝－ ( x 2 ＋ 2 x ) ＝－ ( x ＋ 1) 2 ＋ 1 在 [1 ，＋ ∞ ) 上单调递减， ∴ g ( x ) max ＝ g (1) ＝－ 3 ，故 a > － 3. ∴ 实数 a 的取值范围是 { a | a > － 3}. 课时作业 1.( 教材改编 ) 不等式－ 3 x 2 ＋ 5 x － 4 ＞ 0 的解集为 ____. 答案 解析 ∅ 原不等式变形为 3 x 2 － 5 x ＋ 4 ＜ 0. 因为 Δ ＝ ( － 5) 2 － 4 × 3 × 4 ＝－ 23 ＜ 0 ， 所以 3 x 2 － 5 x ＋ 4 ＝ 0 无解 . 由函数 y ＝ 3 x 2 － 5 x ＋ 4 的图象可知， 3 x 2 － 5 x ＋ 4 ＜ 0 的解集为 ∅ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.( 教材改编 ) 不等式 ≤ 0 的解集为 _________. 答案 解析 原不等式等价于 故原不等式的解集为 ( ， 1]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3. 若集合 A ＝ { x | ax 2 － ax ＋ 1<0} ＝ ∅ ，则实数 a 的取值范围是 ______. 答案 解析 由题意知 a ＝ 0 时，满足条件 . [0,4] 当 a ≠ 0 时，由 得 0< a ≤ 4 ，所以 0 ≤ a ≤ 4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.(2016· 南京三模 ) 记不等式 x 2 ＋ x － 6<0 的解集为集合 A ，函数 y ＝ lg( x － a ) 的定义域为集合 B . 若 “ x ∈ A ” 是 “ x ∈ B ” 的充分条件，则实数 a 的取值范围为 _______ __ ___. 答案 解析 由题意得 A ＝ ( － 3,2) ， B ＝ ( a ，＋ ∞ ) ， A ⊆ B ， ∴ a ≤ － 3. ( － ∞ ，－ 3] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5. 已知函数 f ( x ) ＝ ( ax － 1)( x ＋ b ) ，如果不等式 f ( x )>0 的解集是 ( － 1,3) ， 则 不等式 f ( － 2 x )<0 的解集是 _______________ __ _____. 由题意得 f ( x ) ＝ 0 的两个解是 x 1 ＝－ 1 ， x 2 ＝ 3 且 a <0 ， 由 f ( － 2 x )<0 得－ 2 x >3 或－ 2 x < － 1 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 6. 若不等式 x 2 － 2 x ＋ k 2 － 2>0 对于任意的 x ∈ [2 ，＋ ∞ ) 恒成立，则实数 k 的取值范围是 ________________________. 答案 解析 由 x 2 － 2 x ＋ k 2 － 2>0 ，得 k 2 > － x 2 ＋ 2 x ＋ 2 ， 设 f ( x ) ＝－ x 2 ＋ 2 x ＋ 2 ， f ( x ) ＝－ ( x － 1) 2 ＋ 3 ， 当 x ≥ 2 ，可求得 f ( x ) max ＝ 2 ， 则 k 2 > f ( x ) max ＝ 2 ，所以 k > 或 k < . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7. 已知不等式 ax 2 － bx － 1 ≥ 0 的解集 是 ， 则不等式 x 2 － bx － a <0 的解集是 ______. 答案 解析 由 题意 知 ， 是 方程 ax 2 － bx － 1 ＝ 0 的根 ， 所以由根与系数的关系得 解得 a ＝－ 6 ， b ＝ 5 ，不等式 x 2 － bx － a <0 即为 x 2 － 5 x ＋ 6<0 ， 解集 为 (2,3). (2,3) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8.( 教材改编 ) 某厂生产一批产品，日销售量 x ( 单位：件 ) 与货价 p ( 单位：元 / 件 ) 之间的关系为 p ＝ 160 － 2 x ，生产 x 件所需成本 C ＝ 500 ＋ 30 x 元 . 若使得日获利不少于 1 300 元，则该厂日产量所要满足的条件是 ________. 答案 解析 [20,45] 由题意得 (160 － 2 x )· x － (500 ＋ 30 x ) ≥ 1 300 ， 解得 20 ≤ x ≤ 45 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9. 已知关于 x 的 不等式 < 0 的解集是 { x | x < － 1 或 x > } ，则实数 a ＝ ___. 答案 解析 <0 ⇔ ( x ＋ 1)( ax － 1)<0 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 － 2 *10. 已知 f ( x ) 是定义域为 R 的偶函数，当 x ≥ 0 时， f ( x ) ＝ x 2 － 4 x ，那么，不等式 f ( x ＋ 2)<5 的解集是 ____________. 答案 解析 { x | － 7< x <3} 由于 f ( x ) 向左平移两个单位即得 f ( x ＋ 2) ， 故 f ( x ＋ 2)<5 的解集为 { x | － 7< x <3}. 令 x <0 ，则－ x >0 ， ∵ x ≥ 0 时， f ( x ) ＝ x 2 － 4 x ， ∴ f ( － x ) ＝ ( － x ) 2 － 4( － x ) ＝ x 2 ＋ 4 x ， 又 f ( x ) 为偶函数， ∴ f ( － x ) ＝ f ( x ) ， ∴ x <0 时， f ( x ) ＝ x 2 ＋ 4 x ， 故有 f ( x ) ＝ 再求 f ( x )<5 的解， 得 0 ≤ x ＜ 5 ； 得－ 5< x <0 ， 即 f ( x )<5 的解集为 ( － 5,5). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11. 已知 f ( x ) ＝ 则 不等式 f ( x 2 － x ＋ 1)<12 的解集 是 _ _ _____. 答案 解析 ( － 1,2) 由题意得当 x ≥ 0 时， f ( x ) ≥ 0 ，且 f ( x ) 单调递增 ； 当 x <0 时， f ( x )< 0 ， 且 f ( x ) 单调递增 ， 因为 0 2 ＋ 0 ＝－ 0 2 ＋ 0 ， 所以 f ( x ) 在 R 上单调递增 ， 又 f (3) ＝ 12 ， 所以 f ( x 2 － x ＋ 1)<12 ⇒ f ( x 2 － x ＋ 1)< f (3) ⇒ x 2 － x ＋ 1<3 ⇒ － 1< x <2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12. 已知关于 x 的 不等式 < 1 . (1) 当 a ＝ 1 时，解该不等式 ； 解答 当 a ＝ 1 时，不等式 化为 < 1 ， 化为 < 0 ， 所以 1< x <2 ，解集为 { x |1< x <2}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 当 a 为任意实数时，解该不等式 . 解答 即 ( ax － 2)( x － 1)<0. 当 ＝ 1 ，即 a ＝ 2 时，解集为 ∅ ； 当 > 1 ，即 0< a <2 时，解集为 { x |1< x < } ； 当 < 1 ，即 a >2 时，解集为 { x | < x <1} ； 当 a ＝ 0 时，解集为 { x | x >1} ； 当 a <0 时，解集为 { x | x < 或 x >1}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13. 设二次函数 f ( x ) ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ，函数 F ( x ) ＝ f ( x ) － x 的两个零点为 m ， n ( m < n ). (1) 若 m ＝－ 1 ， n ＝ 2 ，求不等式 F ( x )>0 的解集； 解答 由 题意知， F ( x ) ＝ f ( x ) － x ＝ a ( x － m )( x － n ). 当 m ＝－ 1 ， n ＝ 2 时，不等式 F ( x )>0 ， 即 a ( x ＋ 1)( x － 2)>0. 当 a >0 时，不等式 F ( x )>0 的解集为 { x | x < － 1 或 x >2} ； 当 a <0 时，不等式 F ( x )>0 的解集为 { x | － 1< x <2}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 若 a >0 ，且 0< x < m < n < ， 比较 f ( x ) 与 m 的大小 . 解答 f ( x ) － m ＝ F ( x ) ＋ x － m ＝ a ( x － m )( x － n ) ＋ x － m ＝ ( x － m )( ax － an ＋ 1) ， ∵ a >0 ，且 0< x < m < n < ， ∴ x － m <0,1 － an ＋ ax >0. ∴ f ( x ) － m <0 ，即 f ( x )< m . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13