【数学】2020届一轮复习北师大版简易逻辑课时作业
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．下列语句中是命题的个数有( )
①“等边三角形难道不是等腰三角形吗？”；
②“平行于同一条直线的两条直线必平行吗？”；
③“一个数不是正数就是负数”；
④“x·y为有理数，则x，y也都是有理数”；
⑤“作△ABC∽△A′B′C′”．
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 根据命题的概念，判断是不是命题．
①不是陈述句，不是命题．
②疑问句．没有对平行于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题．
③是假命题.0既不是正数也不是负数．
④是假命题．如x＝，y＝－.
⑤是祈使句，不是命题．
2．设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则綈p为( )
A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n
C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n
答案 C
解析 命题p是一个特称命题，其否定是全称命题“∀n∈N，n2≤2n”．
3．命题“若x＋y＝1，则xy≤1”的否命题是( )
A．若x＋y＝1，则xy>1
B．若x＋y≠1，则xy≤1
C．若x＋y≠1，则xy>1
D．若xy>1，则x＋y≠1
答案 C
解析 命题“若x＋y＝1，则xy≤1”的否命题是“若x＋y≠1，则xy>1”．
4．若“p∧q”与“(綈p)∨q”均为假命题，则( )
A．p真q假 B．p假q真
C．p与q均真 D．p与q均假
答案 A
解析 “p∧q”为假，则p，q中至少有一假；“(綈p)∨q”为假，则綈p，q均为假．∴p真，q假．
5．已知命题p：若x≥a2＋b2，则x≥2ab，下列说法正确的是( )
A．命题p的逆命题：若x
y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是( )
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
答案 C
解析 由不等式的性质可知，命题p为真命题，命题q为假命题，故①p∧q为假命题，②p∨q为真命题，③綈q 为真命题，则p∧(綈q)为真命题，④綈p为假命题，则(綈p)∨q为假命题．
8．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 若直线a，b相交，设交点为P，则P∈a，P∈b.又a⊂α，b⊂β，所以P∈α，P∈β，故α，β相交．反之，若α，β相交，则a，b可能相交，也可能异面或平行．故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．
9．“a>3”是“函数f(x)＝ax＋2在区间[－1,2]上存在零点”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 当a>3时，f(－1)f(2)＝(－a＋2)(2a＋2)<0，即函数f(x)＝ax
＋2在区间[－1,2]上存在零点；但当函数f(x)＝ax＋2在区间[－1,2]上存在零点时，不一定是a>3，如当a＝－3时，函数f(x)＝ax＋2＝－3x＋2在区间[－1,2]上存在零点．所以“a>3”是“函数f(x)＝ax＋2在区间[－1,2]上存在零点”的充分不必要条件，故选A.
10．以下判断正确的是( )
A．命题“负数的平方是正数”不是全称命题
B．命题“∀x∈N，x3>x2”的否定是“∃x0∈N，x>x”
C．“a＝1”是“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的必要不充分条件
D．“b＝0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数”的充要条件
答案 D
解析 “负数的平方是正数”即为“∀x<0，x2>0”，是全称命题，所以A不正确；因为全称命题“∀x∈N，x3>x2”的否定为“∃x0∈N，x≤x”，所以B不正确；因为f(x)＝cos2ax－sin2ax＝cos2ax，当最小正周期为π时，有＝π，则|a|＝1⇒a＝±1.故“a＝1”是“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的充分不必要条件，所以C不正确，故选D.
11．△ABC中，“角A，B，C成等差数列”是“sinC＝(cosA＋sinA)cosB”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 若A，B，C成等差数列，则A＋C＝2B，∴B＝60°，若sinC＝(cosA＋sinA)cosB，则sin(A＋B)＝cosAcosB＋sinAcosB，
即sinAcosB＋cosAsinB＝cosAcosB＋sinAcosB.
∴cosAsinB＝cosAcosB.∴cosA＝0或tanB＝，即A＝90°或B＝60°，
∴角A，B，C成等差数列是sinC＝(cosA＋sinA)·cosB成立的充分不必要条件．
12．已知p：∃x∈R，mx2＋1≤0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0，若“p或q”为假命题，则实数m的取值范围为( )
A．[2，＋∞)
B．(－∞，－2]
C．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
D．[－2,2]
答案 A
解析 依题意，知p，q均为假命题．当p是假命题时，mx2＋1>0恒成立，则有m≥0；当q是假命题时，方程x2＋mx＋1＝0的判别式Δ＝m2－4≥0，即m≤－2或m≥2.由p，q均为假命题，得即m≥2.
第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．命题“末位数字是0或5的整数能被5整除”的否定是_____________________；它的否命题是____________________．
答案 末位数字是0或5的整数不能被5整除 末位数字不是0且不是5的整数不能被5整除
解析 命题的否定是只否定结论，而否命题是条件和结论都否定．
14．命题“对任意x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是____________________________．
答案 存在x0∈R，使得|x0－2|＋|x0－4|≤3
解析 全称命题的否定是特称命题，因此命题“对任意x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是“存在x0∈R，使得|x0－2|＋|x0－4|≤3”．
15．已知命题p：关于x的方程x2＋2x＋a＝0有实数根，命题q：函数f(x)＝(a2－a)x在R上是增函数．若p∧q为真命题，则实数a的取值范围是________．
答案 (－∞，0)
解析 当p是真命题时，Δ＝4－4a≥0，解得a≤1.
当q是真命题时，a2－a>0，解得a<0或a>1.
由题意，得p，q都是真命题，所以解得a<0，所以实数a的取值范围是(－∞，0)．
16．所给命题：
①菱形的两条对角线互相平分的逆命题；
②{x|x2＋1＝0，x∈R}＝∅或{0}＝∅；
③对于命题：“p且q”，若p假q真，则“p且q”为假；
④有两条边相等且有一个内角为60°是一个三角形为等边三角形的充要条件．
其中为真命题的序号为________．
答案 ②③④
解析 对于①，原命题的逆命题是“对角线互相平分的四边形是菱形”，对角线互相平分的四边形不一定是菱形，故错．
对于②，{x|x2＋1＝0，x∈R}＝∅正确，{0}中有一个元素0，∅中一个元素都没有，故∅{0}，所以②为真命题．
对于③，若p、q中只要有一个是假，则“p且q”为假，故正确．
对于④，满足有两条边相等且有一个内角为60°的三角形一定为等边三角形，等边三角形一定满足两条边相等且有一个内角为60°，故正确．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)π为圆周率，a，b，c，d∈Q，已知命题p：若aπ＋b＝cπ＋d，则a＝c且b＝d.
(1)写出綈p并判断真假；
(2)写出p的逆命题、否命题、逆否命题并判断真假．
解 (1)綈p：“若aπ＋b＝cπ＋d，则a≠c或b≠d”．
因为a，b，c，d∈Q，由aπ＋b＝cπ＋d，
所以π(a－c)＝d－b∈Q，则a＝c且b＝d.
故p是真命题，所以綈p是假命题．
(2)逆命题：“若a＝c且b＝d，则aπ＋b＝cπ＋d”．真命题．
否命题：“若aπ＋b≠cπ＋d，则a≠c或b≠d.”真命题．
逆否命题：“若a≠c或b≠d，则aπ＋b≠cπ＋d”．真命题．
18．(本小题满分12分)写出下列命题的否定并判断真假：
(1)所有自然数的平方是正数；
(2)任何实数x都是方程5x－12＝0的根；
(3)∀x∈R，x2－3x＋3>0；
(4)有些质数不是奇数．
解 (1)所有自然数的平方是正数，假命题；
否定：有些自然数的平方不是正数，真命题．
(2)任何实数x都是方程5x－12＝0的根，假命题；
否定：∃x0∈R,5x0－12≠0，真命题．
(3)∀x∈R，x2－3x＋3>0，真命题；
否定：∃x0∈R，x－3x0＋3≤0，假命题．
(4)有些质数不是奇数，真命题；
否定：所有的质数都是奇数，假命题．
19．(本小题满分12分)求证：方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是00，
且>0，
∴方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根．
(2)必要性：若方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根，
则有解得00，q：x2－2x＋1－a2>0(a>0)，若p是q的充分不必要条件，求正实数a的取值范围．
解 解不等式x2－8x－33>0，得p：A＝{x|x>11或x<－3}；
解不等式x2－2x＋1－a2>0，得q：B＝{x|x>1＋a或x<1－a，a>0}．
依题意p⇒q但qp，说明AB.
于是有或解得0，x∈R；q：－2
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