人教A版数学必修二3-2-1直线的点斜式方程

人教A版数学必修二3-2-1直线的点斜式方程

§3.2 直线的方程 §3.2.1 直线的点斜式方程 一、教材分析 直线方程的点斜式给出了根据已知一个点和斜率求直线方程的方法和途径.在求直线的 方程中，直线方程的点斜式是基本的，直线方程的斜截式、两点式都是由点斜式推出的.从 一次函数 y=kx＋b(k≠0)引入，自然地过渡到本节课想要解决的问题——求直线的方程问题. 在引入过程中，要让学生弄清直线与方程的一一对应关系，理解研究直线可以从研究方程及 方程的特征入手. 在推导直线方程的点斜式时，根据直线这一结论，先猜想确定一条直线的条件，再根据 猜想得到的条件求出直线的方程. 二、教学目标 1．知识与技能 （1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围； （2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程； （3）体会直线的斜截式方程与一次函数的关系. 2．过程与方法 在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素——直线上的一点和直线的倾斜角的基 础上，通过师生探讨，得出直线的点斜式方程，学生通过对比理解“截距”与“距离”的区 别. 3．情态与价值观 通过让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养学生数形结合的思 想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题. 三、教学重点与难点 教学重点:引导学生根据直线这一结论探讨确定一条直线的条件，并会利用探讨出的条 件求出直线的方程. 教学难点:在理解的基础上掌握直线方程的点斜式的特征及适用范围. 四、课时安排 1 课时 五、教学设计 （一）导入新课 思路 1.方程 y=kx＋b 与直线 l 之间存在着什么样的关系？ 让学生边回答，教师边适当板书.它们之间存在着一一对应关系,即 （1）直线 l 上任意一点 P(x1,y1)的坐标是方程 y=kx＋b 的解. （2）(x1,y1)是方程 y=kx+b 的解 点 P(x1,y1)在直线 l 上. 这样好像直线能用方程表示,这节课我们就来学习、研究这个问题——直线的方程(宣布 课题). 思路 2.在初中，我们已经学习过一次函数，并接触过一次函数的图象，现在，请同学们 作一下回顾： 一次函数 y=kx+b 的图象是一条直线，它是以满足 y=kx+b 的每一对 x、y 的值为坐标的 点构成的.由于函数式 y=kx+b 也可以看作二元一次方程,所以我们可以说，这个方程的解和 直线上的点也存在这样的对应关系.这节课我们就来学习直线的方程(宣布课题). （二）推进新课、新知探究、提出问题 ①如果把直线当做结论，那么确定一条直线需要几个条件？如何根据所给条件求出直线 的方程？ ②已知直线 l 的斜率 k 且 l 经过点 P1(x1,y1)，如何求直线 l 的方程? ③方程导出的条件是什么？ ④若直线的斜率 k 不存在，则直线方程怎样表示？ ⑤k= 1 1 xx yy   与 y-y1=k(x-x1)表示同一直线吗？ ⑥已知直线 l 的斜率 k 且 l 经过点（０，ｂ），如何求直线 l 的方程？ 讨论结果:①确定一条直线需要两个条件: a.确定一条直线只需知道 k、b 即可； b.确定一条直线只需知道直线 l 上两个不同的已知点. ②设 P(x，y)为 l 上任意一点，由经过两点的直线的斜率公式,得 k= 1 1 xx yy   ,化简,得 y－ y1=k(x－x1). ③方程导出的条件是直线 l 的斜率 k 存在. ④a.x=0；b.x=x1. ⑤启发学生回答:方程 k= 1 1 xx yy   表示的直线 l 缺少一个点 P1(x1,y1),而方程 y－y1=k(x－ x1)表示的直线 l 才是整条直线. ⑥y=kx+b. （三）应用示例 思路 1 例 1 一条直线经过点 P1(-2,3),倾斜角α=45°,求这条直线方程,并画出图形. 图 1 解:这条直线经过点 P1(-2,3),斜率是 k=tan45°=1.代入点斜式方程,得 y-3=x+2,即 x-y+5=0, 这就是所求的直线方程,图形如图 1 所示. 点评:此例是点斜式方程的直接运用,要求学生熟练掌握,并具备一定的作图能力. 变式训练 求直线 y=- 3 (x-2)绕点(2,0)按顺时针方向旋转 30°所得的直线方程. 解：设直线 y=- 3 (x-2)的倾斜角为α，则 tanα=- 3 ， 又∵α∈［0°,180°)， ∴α=120°. ∴所求的直线的倾斜角为 120°-30°=90°.∴直线方程为 x=2. 例 2 如果设两条直线 l1 和 l2 的方程分别是 l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2，试讨论: （1）当 l1∥l2 时，两条直线在 y 轴上的截距明显不同，但哪些量是相等的？为什么？ （2）l1⊥l2 的条件是什么？ 活动:学生思考：如果α1=α2，则 tanα1=tanα2 一定成立吗？何时不成立？由此可知：如果 l1∥l2，当其中一条直线的斜率不存在时，则另一条直线的斜率必定不存在.反之，问：如果 b1≠b2 且 k1=k2，则 l1 与 l2 的位置关系是怎样的？由学生回答，重点说明α1=α2 得出 tanα1=tanα2 的依据. 解:（1）当直线 l1 与 l2 有斜截式方程 l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2 时，直线 l1∥l2  k1=k2 且 b1≠b2. (2)l1⊥l2  k1k2=-1. 变式训练 判断下列直线的位置关系: (1)l1:y= 2 1 x+3,l2:y= 2 1 x-2; (2)l1:y= 3 5 x,l2:y=- 5 3 x. 答案：(1)平行；(2)垂直. 思路 2 例 1 已知直线 l1：y=4x 和点 P(6，4)，过点 P 引一直线 l 与 l1 交于点 Q，与 x 轴正半轴交 于点 R，当△OQR 的面积最小时，求直线 l 的方程. 活动:因为直线 l 过定点 P(6，4)，所以只要求出点 Q 的坐标，就能由直线方程的两点式 写出直线 l 的方程. 解：因为过点 P(6，4)的直线方程为 x=6 和 y－4=k(x－6), 当 l 的方程为 x=6 时，△OQR 的面积为 S=72； 当 l 的方程为 y－4=k(x－6)时，有 R( k k 46  ,0)， Q（ k k 46  , 4 1624   k k )， 此时△OQR 的面积为 S= 2 1 × k k 46  × 4 1624   k k = )4( )23(8 2   kk k . 变形为(S－72)k2＋(96－4S)k－32=0(S≠72). 因为上述方程根的判别式Δ≥0，所以得 S≥40. 当且仅当 k=－1 时，S 有最小值 40. 因此，直线 l 的方程为 y－4=－(x－6)，即 x＋y－10=0. 点评：本例是一道有关函数最值的综合题.如何恰当选取自变量，建立面积函数是解答 本题的关键.怎样求这个面积函数的最值，学生可能有困难，教师宜根据学生的实际情况进 行启发和指导. 变式训练 如图 2，要在土地 ABCDE 上划出一块长方形地面（不改变方向），问如何设计才能使 占地面积最大？并求出最大面积（精确到 1 m2）（单位：m）. 图 2 解：建立如图直角坐标系，在线段 AB 上任取一点 P 分别向 CD、DE 作垂线，划得一 矩形土地. ∵AB 方程为 2030 xx  =1,则设 P(x,20- 3 2x )(0≤x≤30), 则 S 矩形=(100-x)［80-(20- 3 2x )］ =- 3 2 (x-5)2+6 000+ 3 50 (0≤x≤30), 当 x=5 时，y= 3 50 ，即 P（5， 3 50 ）时，(S 矩形)max=6 017(m2). 例 2 设△ABC 的顶点 A(1，3)，边 AB、AC 上的中线所在直线的方程分别为 x－2y＋1=0， y=1，求△ABC 中 AB、AC 各边所在直线的方程. 活动:为了搞清△ABC 中各有关元素的位置状况，我们首先根据已知条件，画出简图 3, 帮助思考问题. 解:如图 3,设 AC 的中点为 F，AC 边上的中线 BF：y=1. 图 3 AB 边的中点为 E，AB 边上中线 CE：x－2y＋1=0. 设 C 点坐标为(m，n),则 F( 2 3,2 1  nm ). 又 F 在 AC 中线上,则 2 3n =1, ∴n=-1. 又 C 点在中线 CE 上，应当满足 CE 的方程，则 m－2n＋1=0. ∴m=－3.∴C 点为(－3，－1). 设 B 点为(a,1),则 AB 中点 E( 2 13,2 1  a ),即 E( 2 1 a ,2). 又 E 在 AB 中线上,则 2 1 a -4+1=0.∴a=5. ∴B 点为(5，1). 由两点式,得到 AB，AC 所在直线的方程 AC：x－y＋2=0,AB：x＋2y－7=0. 点评：此题思路较为复杂，应使同学们做完后从中领悟到两点： (1)中点分式要灵活应用； (2)如果一个点在直线上，则这点的坐标满足这条直线的方程，这一观念必须牢牢地树 立起来. 变式训练 已知点 M（1，0），N（－1，0）,点 P 为直线 2x-y-1=0 上的动点，则|PM|2+|PN|2 的最小 值为何？ 解：∵P 点在直线 2x-y-1=0 上,∴设 P（x0,2x0-1）. ∴|PM|2+|PN|2=10(x0- 5 2 )2+ 5 12 ≥ 5 12 . ∴最小值为 5 12 . （四）知能训练 课本本节练习 1、２、３、４. （五）拓展提升 已知直线 y=kx＋k＋2 与以 A(0，－3)、B(3，0)为端点的线段相交，求实数 k 的取值范围. 图 4 活动:此题要首先画出图形 4，帮助我们找寻思路，仔细研究直线 y=kx＋k＋2，我们发 现它可以变为 y－2=k(x＋1)，这就可以看出，这是过(－1，2)点的一组直线.设这个定点为 P(－1，2). 解：我们设 PA 的倾斜角为α1，PC 的倾斜角为α，PB 的倾斜角为α2，且α1＜α＜α2. 则 k1=tanα1＜k＜k2=tanα2. 又 k1= 1 32   =-5，k2= 31 2  =- 2 1 ， 则实数 k 的取值范围是-5＜k＜- 2 1 . （六）课堂小结 通过本节学习，要求大家： 1.掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线的点斜式方程，了解直线方程的斜 截式是点斜式的特例. 2.引导学生根据直线这一结论探讨确定一条直线的条件，并会利用探讨出的条件求出直 线的方程. （七）作业 习题 3.2 A 组 2、3、5.