【数学】2020届江苏一轮复习通用版4-5二倍角的三角函数作业

【数学】2020届江苏一轮复习通用版4-5二倍角的三角函数作业

‎4.5　二倍角的三角函数 挖命题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 二倍角的三角函数的基本运用 ‎1.利用公式求三角函数值 ‎2.利用公式化简三角函数 ‎2018江苏,16‎ 二倍角公式 同角三角函数的关系,两角差的正切公式 ‎★★★‎ 公式的综合运用 ‎1.求三角函数值 ‎2.和平面向量等知识综合应用 ‎★★★‎ 分析解读　　二倍角的三角函数是高考的重点,常与两角和与差的三角函数综合在一起考查,主要考查三角函数求值及公式的变形运用,试题一般为中档题.‎ 破考点 ‎【考点集训】‎ 考点一　二倍角的三角函数的基本运用 ‎1.若tanα+‎π‎4‎=3+2‎2‎,则‎1-cos2αsin2α=　　　　. ‎ 答案　‎‎2‎‎2‎ ‎2.已知α为锐角,cosα+‎π‎4‎=‎5‎‎5‎.‎ ‎(1)求tanα+‎π‎4‎的值;‎ ‎(2)求sin‎2α+‎π‎3‎的值.‎ 解析　(1)因为α∈‎0,‎π‎2‎,‎ 所以α+π‎4‎∈π‎4‎‎,‎‎3π‎4‎,‎ 所以sinα+‎π‎4‎=‎1-cos‎2‎α+‎π‎4‎=‎2‎‎5‎‎5‎,‎ 所以tanα+‎π‎4‎=sinα+‎π‎4‎cosα+‎π‎4‎=2.‎ ‎(2)因为sin‎2α+‎π‎2‎=sin‎2‎α+‎π‎4‎ ‎=2sinα+‎π‎4‎cosα+‎π‎4‎=2×‎2‎‎5‎‎5‎×‎5‎‎5‎=‎4‎‎5‎,‎ cos‎2α+‎π‎2‎=cos‎2‎α+‎π‎4‎ ‎=2cos2α+‎π‎4‎-1=2×‎5‎‎5‎‎2‎-1=-‎3‎‎5‎,‎ 所以sin‎2α+‎π‎3‎=sin‎2α+‎π‎2‎‎-‎π‎6‎ ‎=sin‎2α+‎π‎2‎cosπ‎6‎-cos‎2α+‎π‎2‎sinπ‎6‎ ‎=‎4‎‎5‎×‎3‎‎2‎-‎-‎‎3‎‎5‎×‎1‎‎2‎=‎4‎3‎+3‎‎10‎.‎ 考点二　公式的综合运用 ‎1.(2017江苏常州调研,10)若f(x)=sin‎8x+‎π‎4‎的周期为α,tan(α+β)=‎1‎‎3‎,则‎1-cos2βsin2β的值为　　　　. ‎ 答案　-‎‎1‎‎2‎ ‎2.(2018江苏东台安丰高级中学月考)已知函数f(x)=4tan x·sinπ‎2‎‎-xcosx-‎π‎3‎-‎3‎.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期;‎ ‎(2)求f(x)在区间‎-π‎4‎,‎π‎4‎上的单调递增区间及最值.‎ 解析　f(x)=4tan xcos xcosx-‎π‎3‎-‎‎3‎ ‎=4sin xcosx-‎π‎3‎-‎‎3‎ ‎=4sin x‎1‎‎2‎cosx+‎3‎‎2‎sinx-‎‎3‎ ‎=2sin xcos x+2‎3‎sin2x-‎‎3‎ ‎=sin 2x+‎3‎(1-cos 2x)-‎3‎=sin 2x-‎3‎cos 2x=2sin‎2x-‎π‎3‎.‎ ‎(1)f(x)的最小正周期T=‎2π‎2‎=π.‎ ‎(2)由-π‎2‎+2kπ≤2x-π‎3‎≤π‎2‎+2kπ,k∈Z,得-π‎12‎+kπ≤x≤‎5π‎12‎+kπ,k∈Z.‎ 设A=‎-π‎4‎,‎π‎4‎,B=x‎-π‎12‎+kπ≤x≤‎5π‎12‎+kπ,k∈Z,易知A∩B=‎-π‎12‎,‎π‎4‎.‎ 所以当x∈‎-π‎4‎,‎π‎4‎时,f(x)的增区间为‎-π‎12‎,‎π‎4‎.‎ f(x)的最小值为-2,最大值为1.‎ 炼技法 ‎【方法集训】‎ 方法一　三角函数式的化简 ‎1.化简‎1+sin2θ-cos2θ‎1+sin2θ+cos2θ=　　　　. ‎ 答案　tan θ ‎2.化简cos2(θ+15°)+sin2(θ-15°)+sin(θ+180°)cos(θ-180°)=　　　　. ‎ 答案　1‎ ‎3.若θ是第二象限的角,且cosθ‎2‎<0,则‎1-sinθsinθ‎2‎-cosθ‎2‎=　　　　. ‎ 答案　-1‎ 方法二　三角函数式的求值 ‎　已知sinπ‎6‎‎+α=‎1‎‎3‎,则cos‎2π‎3‎‎-2α等于　　　　. ‎ 答案　-‎‎7‎‎9‎ 过专题 ‎【五年高考】‎ 统一命题、省(区、市)卷题组 考点一　二倍角的三角函数的基本应用 ‎1.(2018课标全国Ⅲ理改编,4,5分)若sin α=‎1‎‎3‎,则cos 2α=　　　　. ‎ 答案　‎‎7‎‎9‎ ‎2.(2017山东文改编,4,5分)已知cos x=‎3‎‎4‎,则cos 2x=　　　　. ‎ 答案　‎‎1‎‎8‎ ‎3.(2016课标全国Ⅲ改编,6,5分)若tan θ=-‎1‎‎3‎,则cos 2θ=　　　　. ‎ 答案　‎‎4‎‎5‎ ‎4.(2016四川理,11,5分)cos2π‎8‎-sin2π‎8‎=　　　　. ‎ 答案　‎‎2‎‎2‎ 考点二　公式的综合运用 ‎　(2016课标全国Ⅱ改编,11,5分)函数f(x)=cos 2x+6cosπ‎2‎‎-x的最大值为　　　　. ‎ 答案　5‎ 教师专用题组 ‎1.(2013浙江理改编,6,5分)已知α∈R,sin α+2cos α=‎10‎‎2‎,则tan 2α=　　　　. ‎ 答案　-‎‎3‎‎4‎ ‎2.(2013广东理,16,12分)已知函数f(x)=‎2‎cosx-‎π‎12‎,x∈R.‎ ‎(1)求f‎-‎π‎6‎的值;‎ ‎(2)若cos θ=‎3‎‎5‎,θ∈‎3π‎2‎‎,2π,求f‎2θ+‎π‎3‎.‎ 解析　(1)f‎-‎π‎6‎=‎2‎cos-π‎6‎-π‎12‎=‎2‎cos‎-‎π‎4‎ ‎=‎2‎cosπ‎4‎=1.‎ ‎(2)f‎2θ+‎π‎3‎=‎2‎cos‎2θ+π‎3‎-‎π‎12‎ ‎=‎2‎cos‎2θ+‎π‎4‎ ‎=cos 2θ-sin 2θ.‎ 因为cos θ=‎3‎‎5‎,θ∈‎3π‎2‎‎,2π,‎ 所以sin θ=-‎4‎‎5‎,‎ 所以sin 2θ=2sin θcos θ=-‎24‎‎25‎,‎ cos 2θ=cos2θ-sin2θ=-‎7‎‎25‎,‎ 所以f‎2θ+‎π‎3‎=cos 2θ-sin 2θ=-‎7‎‎25‎-‎-‎‎24‎‎25‎=‎17‎‎25‎.‎ ‎【三年模拟】‎ 一、填空题(每小题5分,共30分)‎ ‎1.(2018江苏南京秦淮中学期末)若sinπ‎2‎‎+α=‎3‎‎5‎,则cos 2α=　　　　. ‎ 答案　-‎‎7‎‎25‎ ‎2.(2019届江苏徐州第一中学高三月考)已知cosπ-α‎2‎=‎2‎‎3‎,则cos α=　　　　. ‎ 答案　‎‎1‎‎9‎ ‎3.(2019届江苏启东高三调研)已知tanπ‎4‎‎+α=-2,则‎1-sin2αcos2α=　　　　. ‎ 答案　-‎‎1‎‎2‎ ‎4.(2017江苏扬州中学四模,6)函数y=sin α(sin α-cos α)α∈‎‎-π‎2‎,0‎的最大值为　　　　. ‎ 答案　‎1‎‎2‎+‎‎2‎‎2‎ ‎5.(2017江苏扬州期末,10)已知θ∈π‎2‎‎,π,‎1‎sinθ+‎1‎cosθ=2‎2‎,则sin‎2θ+‎π‎3‎=　　　　. ‎ 答案　‎‎1‎‎2‎ ‎6.(2018江苏南通启东中学高三第一次月考,10)设α为锐角,若cosα+‎π‎6‎=‎3‎‎5‎,则sin‎2α+‎π‎12‎=　　　　. ‎ 答案　‎‎31‎‎2‎‎50‎ 二、解答题(共20分)‎ ‎7.(2017江苏扬州、泰州、南通、淮安、宿迁、徐州六市二模,15)已知sinα+‎π‎4‎=‎2‎‎10‎,α∈π‎2‎‎,π.‎ 求:(1)cos α的值;‎ ‎(2)sin‎2α-‎π‎4‎的值.‎ 解析　(1)因为α∈π‎2‎‎,π,‎ 所以α+π‎4‎∈‎3π‎4‎‎,‎‎5π‎4‎,‎ 又sinα+‎π‎4‎=‎2‎‎10‎,‎ 所以cosα+‎π‎4‎=-‎1-sin‎2‎α+‎π‎4‎=-‎1-‎‎2‎‎10‎‎2‎=-‎7‎‎2‎‎10‎.‎ 所以cos α=cosα+‎π‎4‎‎-‎π‎4‎ ‎=cosα+‎π‎4‎cosπ‎4‎+sinα+‎π‎4‎sin ‎π‎4‎ ‎=-‎7‎‎2‎‎10‎×‎2‎‎2‎+‎2‎‎10‎×‎‎2‎‎2‎ ‎=-‎3‎‎5‎.‎ ‎(2)因为α∈π‎2‎‎,π,cos α=-‎3‎‎5‎,‎ 所以sin α=‎1-cos‎2‎α=‎1-‎‎-‎‎3‎‎5‎‎2‎=‎4‎‎5‎.‎ 所以sin 2α=2sin αcos α=2×‎4‎‎5‎×‎-‎‎3‎‎5‎=-‎24‎‎25‎,‎ cos 2α=2cos2α-1=2×‎-‎‎3‎‎5‎‎2‎-1=-‎7‎‎25‎.‎ 所以sin‎2α-‎π‎4‎ ‎=sin 2αcosπ‎4‎-cos 2αsinπ‎4‎ ‎=‎-‎‎24‎‎25‎×‎2‎‎2‎-‎-‎‎7‎‎25‎×‎‎2‎‎2‎ ‎=-‎17‎‎2‎‎50‎.‎ ‎8.(2019届江苏高邮高三期初)已知α∈‎0,‎π‎2‎,β∈π‎2‎‎,π,cos β=-‎1‎‎3‎,sin(α+β)=‎4-‎‎2‎‎6‎.‎ ‎(1)求tan 2β的值;‎ ‎(2)求α的值.‎ 解析　(1)∵β∈π‎2‎‎,π,cos β=-‎1‎‎3‎,‎ ‎∴sin β=‎1-cos‎2‎β=‎1-‎‎-‎‎1‎‎3‎‎2‎=‎2‎‎2‎‎3‎,‎ ‎∴tan β=sinβcosβ=‎2‎‎2‎‎3‎‎-‎‎1‎‎3‎=-2‎2‎,‎ 则tan 2β=‎2tanβ‎1-tan‎2‎β=‎2×(-2‎2‎)‎‎1-(-2‎‎2‎‎)‎‎2‎=‎4‎‎2‎‎7‎.‎ ‎(2)由α∈‎0,‎π‎2‎,β∈π‎2‎‎,π,‎ ‎∴α+β∈π‎2‎‎,‎‎3π‎2‎,‎ 又∵sin(α+β)=‎4-‎‎2‎‎6‎,‎ ‎∴cos(α+β)=-‎1-sin‎2‎(α+β)‎=-‎1-‎‎4-‎‎2‎‎6‎‎2‎=-‎4+‎‎2‎‎6‎,‎ 由α=α+β-β得 cos α=cos(α+β-β)=cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β ‎=‎-‎‎4+‎‎2‎‎6‎×‎-‎‎1‎‎3‎+‎2‎‎2‎‎3‎×‎4-‎‎2‎‎6‎=‎2‎‎2‎.‎ ‎∵α∈‎0,‎π‎2‎,∴α=π‎4‎.‎