【数学】2019届一轮复习苏教版第4章三角函数解三角形第26讲学案

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第26讲　三角函数模型及其应用 考试要求　1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题(B级要求)；2.掌握三角函数模型的应用(B级要求).‎ 诊 断 自 测 ‎1.如图所示为一简谐运动的图象，则下列判断正确的是________(填序号).‎ ‎①该质点的振动周期为0.7 s；‎ ‎②该质点的振幅为－5 cm；‎ ‎③该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度最大；‎ ‎④该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零.‎ 解析　该质点的振动周期为T＝2×(0.7－0.3)＝0.8 s，故①是错误的；该质点的振幅为5 cm，故②是错误的；该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度是零，所以③是错误的；④正确.‎ 答案　④‎ ‎2.电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I＝5sin，则当t＝时，电流I为________.‎ 解析　直接将t＝代入计算即可.‎ 当t＝时，I＝5sin＝5sin ＝.‎ 答案　 A ‎3.如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s cm和时间t s的函数关系式为s＝6sin，那么单摆来回摆动一次所需的时间为________ s.‎ 解析　依题意是求函数s＝6sin的周期，T＝＝1 s.‎ 答案　1‎ ‎4.某人的血压满足函数关系式f(t)＝24sin 160πt＋110，其中，f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数是________.‎ 解析　∵T＝＝，∴f＝＝80.‎ 答案　80‎ ‎5.如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过周期后，乙的位置将移至________.‎ 解析　相邻的最大值与最小值之间间隔半个周期，故乙移至最高点.‎ 答案　最高点 知 识 梳 理 ‎1.解三角函数模型应用问题的一般步骤是：‎ ‎(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图.‎ ‎(2)建模：根据已知条件与求解目标，建立数 模型.‎ ‎(3)求解：利用三角形，求得数 模型的解.‎ ‎(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.‎ ‎2.解题流程：‎ 考点一　三角函数模型在物理中的应用 ‎【例1】 单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s (单位：cm)和时间t (单位：s)的函数关系式为s＝6sin.‎ ‎(1)作出函数的图象；‎ ‎(2)当单摆开始摆动(t＝0)时，离开平衡位置的距离是多少？‎ ‎(3)当单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是多少？‎ ‎(4)单摆来回摆动一次需多长时间？‎ 解　(1)利用“五点法”可作出其图象(列表略).‎ ‎(2)因为当t＝0时，s＝6sin ＝3，‎ 所以此时离开平衡位置3 cm.‎ ‎(3)离开平衡位置6 cm.‎ ‎(4)因为T＝＝1，‎ 所以单摆来回摆动一次所需的时间为1 s.‎ 规律方法　三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动中，其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查最多，‎ 尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表示方法.‎ ‎【训练1】 交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220sin来表示，求：‎ ‎(1)开始时电压；‎ ‎(2)电压值重复出现一次的时间间隔；‎ ‎(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间.‎ 解　(1)当t＝0时，E＝110(V)，即开始时的电压为110 V.‎ ‎(2)T＝＝(s)，即时间间隔为0.02 s.‎ ‎(3)电压的最大值为220 V，当100πt＋＝，即t＝ s时第一次取得最大值.‎ 考点二　三角函数模型在实际生活中的应用 ‎【例2】 心脏跳动时，血压在增加或减少，血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值.设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin 160πt，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：‎ ‎(1)求函数p(t)的周期；‎ ‎(2)求此人每分钟心跳的次数；‎ ‎(3)画出函数p(t)的草图；‎ ‎(4)求出此人的血压在血压计上的读数.‎ 解　(1)由于ω＝160π，代入周期公式T＝，可得T＝＝(min)，所以函数p(t)的周期为 min.‎ ‎(2)每分钟心跳的次数即为函数的频率 f＝＝80(次).‎ ‎(3)列表：‎ T ‎0‎ p(t)‎ ‎115‎ ‎140‎ ‎115‎ ‎90‎ ‎115‎ 描点、连线并向左右扩展得到函数p(t)的简图如图所示：‎ ‎(4)由图可知此人的收缩压为140 mmHg，舒张压为90 mmHg.‎ 规律方法　解三角函数应用问题的基本步骤 ‎【训练2】 如图所示，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转动一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径为40米，如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请回答下列问题：‎ ‎(1)求出你与地面的距离y(米)与时间t(分钟)的函数关系式；‎ ‎(2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？‎ 解　(1)可以用余弦函数表示该函数的关系式，由已知可设y＝40.5－40cos ωt，‎ t≥0，由周期为12分钟可知当t＝6时，摩天轮第1次到达最高点，即此函数第1次取得最大值，所以6ω＝π，即ω＝，所以y＝40.5－40cos t(t≥0).‎ ‎(2)设转第1圈时，第t0分钟时距地面60.5米，‎ 由60.5＝40.5－40cos t0，得cos t0＝－，‎ 所以t0＝或t0＝，‎ 解得t0＝4或8，‎ 所以t＝8(分钟)时，第2次距地面60.5米，故第4次距离地面60.5米时，用了12＋8＝20(分钟).‎ 考点三　三角函数模型的拟合应用 ‎【例3】 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后，在落潮时返回海洋，下面是某港口在某季节每天的时间与水深的关系表：‎ 时刻 水深(米)‎ 时刻 水深(米)‎ 时刻 水深(米)‎ ‎0：00‎ ‎5.0‎ ‎9：00‎ ‎2.5‎ ‎18：00‎ ‎5.0‎ ‎3：00‎ ‎7.5‎ ‎12：00‎ ‎5.0‎ ‎21：00‎ ‎2.5‎ ‎6：00‎ ‎5.0‎ ‎15：00‎ ‎7.5‎ ‎24：00‎ ‎5.0‎ ‎(1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出整点时的水深的近似数值(精确到0.001).‎ ‎(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与洋底的距离)，该船何时能进入港口？在港口能呆多久？‎ ‎(3)若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？‎ 解　(1)以时间为横坐标，水深为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图，根据图象，可以考虑用函数y＝Asin(ωx＋φ)＋h来刻画水深与时间之间的对应关系.从数据和图象可以得出：‎ A＝2.5，h＝5，T＝12，φ＝0；‎ 由T＝＝12，得ω＝.‎ 所以，这个港口的水深与时间的关系可以近似描述为：‎ y＝2.5sin x＋5，‎ 由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值：‎ 时刻 ‎0：00‎ ‎1：00‎ ‎2：00‎ ‎3：00‎ ‎4：00‎ ‎5：00‎ ‎6：00‎ ‎7：00‎ ‎8：00‎ ‎9：00‎ ‎10：00‎ ‎11：00‎ 水深 ‎5.000‎ ‎6.250‎ ‎7.165‎ ‎7.5‎ ‎7.165‎ ‎6.250‎ ‎5.000‎ ‎3.754‎ ‎2.835‎ ‎2.500‎ ‎2.835‎ ‎3.754‎ 时刻 ‎12：00‎ ‎13：00‎ ‎14：00‎ ‎15：00‎ ‎16：00‎ ‎17：00‎ ‎18：00‎ ‎19：00‎ ‎20：00‎ ‎21：00‎ ‎22：00‎ ‎23：00‎ 水深 ‎5.000‎ ‎6.250‎ ‎7.165‎ ‎7.5‎ ‎7.165‎ ‎6.250‎ ‎5.000‎ ‎3.754‎ ‎2.835‎ ‎2.500‎ ‎2.835‎ ‎3.754‎ ‎(2)货船需要的安全水深为4＋1.5＝5.5(米)，所以y≥5.5时就可以进港.‎ 令2.5sin x＋5＝5.5，化简得sin x＝0.2，‎ 由计算器计算可得x≈0.201 4，或π－x≈0.201 4.‎ 解得xA≈0.384 8，xB≈5.615 2.‎ 因为x∈[0，24]，所以有函数周期性易得 xC≈12＋0.384 8＝12.384 8‎ xD≈12＋5.615 2＝17.615 2.‎ 因此，货船可以在凌晨零时30分左右进港，早晨5时30分左右出港；或在中午12时30分左右进港，下午17时30分左右出港，每次可以在港口停留5小时左右.‎ ‎(3)设在时刻x船舶的安全水深为y，那么y＝5.5－0.3(x－2)(x≥2)，在同一坐标系内作出这两个函数的图象，可以看到在6时到7时之间两个函数图象有一个交点.‎ 通过计算可得在6时的水深约为5米，此时船舶的安全水深约为4.3米；6.5时的水深约为4.2米，此时船舶的安全水深约为4.1米；7时的水深约为3.8米，而船舶的安全水深约为4米，因此为了安全，船舶最好在6时30分之前停止卸货，将船舶驶向较深的水域.‎ 规律方法　(1)三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面，一是已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及其变量与函数之间的对应法则；二是把实际问题抽象转化成数 问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模.‎ ‎(2)三角函数模型的拟合应用 我们可以利用搜集到的数据，作出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行数据拟合，从而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题.‎ ‎【训练3】 平潭国际“花式风筝冲浪”集训队，在平潭龙凤头海滨浴场进行集训，海滨区域的某个观测点观测到该处水深y(米)是随着一天的时间t(0≤t≤24，单位：小时)呈周期性变化，某天各时刻t的水深数据的近似值如下表：‎ t(时)‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎12‎ ‎15‎ ‎18‎ ‎21‎ ‎24‎ y(米)‎ ‎1.5‎ ‎2.4‎ ‎1.5‎ ‎0.6‎ ‎1.4‎ ‎2.4‎ ‎1.6‎ ‎0.6‎ ‎1.5‎ ‎(1)根据表中近似数据画出散点图.观察散点图，从①y＝Asin(ωx＋φ)，②y＝Acos(ωx＋φ)＋b，③y＝－Asin ωt＋b(A>0，ω>0，－π<φ<0‎ ‎)中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的函数解析式；‎ ‎(2)为保证队员安全，规定在一天中的5～18时且水深不低于1.05米的时候进行训练，根据(1)中的选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队员的安全.‎ 解　(1)根据表中近似数据画出散点图，如图所示：‎ 依题意选②y＝Acos(ωt＋φ)＋b作为函数模型，‎ ‎∴A＝＝0.9，b＝＝1.5，‎ ‎∵T＝＝12，∴ω＝，‎ ‎∴y＝0.9cos＋1.5.‎ 又∵函数y＝0.9cos＋1.5的图象过点(3，2.4)，‎ ‎∴2.4＝0.9×cos＋1.5‎ ‎∴cos＝1，‎ ‎∴sin φ＝－1，‎ 又∵－π<φ<0，‎ ‎∴φ＝－，‎ ‎∴y＝0.9cos＋1.5＝0.9sin＋1.5.‎ ‎(2)由(1)知：y＝0.9sin＋1.5，‎ 令y≥1.05，即0.9sin＋1.5≥1.05，‎ ‎∴sin≥－，‎ ‎∴2kπ－≤t≤2kπ＋(k∈ )，‎ ‎∴12k－1≤t≤12k＋7(k∈ )，‎ 又∵5≤t≤18，‎ ‎∴5≤t≤7或11≤t≤18，‎ ‎∴这一天可以安排早上5点至7点以及11点至18点的时间段组织训练，才能确保集训队员的安全.‎ 一、必做题 ‎1.如图，表示电流强度I与时间t的关系为I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的图象，则该函数的解析式为________.‎ 解析　分析图象可知，A＝300，T＝2×＝，‎ ‎∴ω＝＝100π.又当t＝时，I＝0∴φ＝.‎ 答案　I＝300sin ‎2.如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b，则 ‎①这段曲线的一个函数解析式为y＝10sin＋20(6≤x≤14)；‎ ‎②该地温度变化的频率为；‎ ‎③该地温度变化的周期为16π；‎ ‎④该地温度变化的振幅为30.‎ 上述说法正确的有________(填序号).‎ 解析　从图可以看出：从6～14是y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图象，‎ ‎∴＝14－6＝8，∴T＝16，②对，③错；‎ ‎∵T＝，∴ω＝，‎ 又∵∴ ‎∴y＝10sin＋20，故振幅A＝10，④错；‎ 将点(6，10)代入得sin＝－1，故φ＝π正确，即①对.‎ 答案　①②‎ ‎3.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos (x＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________℃.‎ 解析　依题意知，a＝＝23，A＝＝5，‎ ‎∴y＝23＋5cos，‎ 当x＝10时，y＝23＋5cos＝20.5(℃).‎ 答案　20.5‎ ‎4.(2015·陕西卷)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________.‎ 解析　由图象知：ymin＝2，因为ymin＝－3＋k，所以－3＋k＝2，解得k＝5，‎ 所以这段时间水深的最大值是ymax＝3＋k＝3＋5＝8(m).‎ 答案　8‎ ‎5.如图，电流强度I(单位：安)随时间t(单位：秒)变化的函数I＝Asin(A>0，ω≠0)的图象，则当t＝秒时，电流强度是________安.‎ 解析　由图象可知A＝10，周期T＝2×＝，‎ 所以ω＝＝100π，所以I＝10sin.‎ 当t＝秒时，I＝10sin＝5(安).‎ 答案　5‎ ‎6.如图为一半径为3 cm的水轮，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮自点A开始旋转，15 s旋转一圈.水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则A与ω的值分别为________.‎ 解析　∵T＝15，故ω＝＝，显然ymax－ymin的值等于圆O的直径长，即ymax－ymin＝6，故A＝＝＝3.‎ 答案　3， ‎7.动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已知时间t＝0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是________.‎ 解析　由已知可得该函数的周期为T＝12，ω＝＝，又当t＝0时，A，‎ ‎∴y＝sin，t∈[0，12]，可解得函数的单调递增区间是[0，1]和[7，12].‎ 答案　[0，1]，[7，12]‎ ‎8.以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店的销售价格时发现：该商品的出厂价格是在6元基础上按月份随正弦曲线波动的，已知3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂价格最低为4元，而该商品在商店的销售价格是在8元基础上按月随正弦曲线波动的，并已知5月份销售价最高为10元，9月份销售价最低为6元，假设某商店每月购进这种商品m件，且当月售完，则估计________月份盈利最大.‎ 解析　由条件可得出厂价格函数为 y1＝2sin＋6，‎ 销售价格函数为y2＝2sin＋8，‎ 则利润函数为y＝m(y2－y1)‎ ‎＝m ‎＝m，‎ 所以当x＝6时，y＝(2＋2) m，即6月份盈利最大.‎ 答案　6‎ ‎9.如图是某简谐运动的图象.试根据图象回答下列问题：‎ ‎(1)这个简谐运动的振幅、周期和频率各是多少？‎ ‎(2)从O点算起，到曲线上的哪一点，表示完成了一次往复运动？如从A点算起呢？‎ ‎(3)写出这个简谐运动的函数表达式.‎ 解　(1)振幅为2 cm；周期为0.8 s；频率为.‎ ‎(2)如果从O点算起，到曲线上的D点，表示完成了一次往复运动；如果从A点算起，则到曲线上的E点，表示完成了一次往复运动.‎ ‎(3)设这个简谐运动的函数表达式为y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)，那么A＝2；由T＝0.8，得ω＝；由图象知初相φ＝0.‎ 于是所求函数表达式是y＝2sin(x)，x∈[0，＋∞).‎ ‎10.(2017·泰州模拟)如图，现要在一块半径为1 m，圆心角为的扇形白铁片AOB上剪出一个平行四边形MNPQ，使点P在弧AB上，点Q在OA上，点M，N在OB上，设∠BOP＝θ，平行四边形MNPQ的面积为S.‎ ‎(1)求S关于θ的函数关系式；‎ ‎(2)求S的最大值及相应的θ角.‎ 解　(1)分别过P，Q作PD⊥OB于D，QE⊥OB于E，则四边形QEDP为矩形.‎ 由扇形半径为1 m，得PD＝sin θ，OD＝cos θ.在Rt△OEQ中，‎ OE＝QE＝PD，MN＝QP＝DE＝OD－OE＝cos θ－sin θ，S＝MN·PD＝·sin θ＝sin θcos θ－sin2θ，θ∈.‎ ‎(2)由(1)得S＝sin 2θ－(1－cos 2θ)‎ ‎＝sin 2θ＋cos 2θ－＝sin－，‎ 因为θ∈，所以2θ＋∈，‎ sin∈.‎ 当θ＝时，Smax＝(m2).‎ 二、选做题 ‎11.某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－cost－sint，t∈[0，24).‎ ‎(1)求实验室这一天的最大温差；‎ ‎(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？‎ 解　(1)因为f(t)＝10－2 ‎＝10－2sin，‎ 又0≤t<24，所以≤t＋<，‎ ‎－1≤sin≤1.‎ 当t＝2时，sin＝1；‎ 当t＝14时，sin＝－1.‎ 于是f(t)在[0，24)上取最大值12，最小值8.‎ 故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.‎ ‎(2)依题意，当f(t)>11时实验室需要降温，‎ 由(1)得f(t)＝10－2sin，‎ 故有10－2sin>11，‎ 即sin<－.‎ 又0≤t<24，因此

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