2020届江苏省天一中学高三上学期12月份调研考试数学（文）试题

2020届江苏省天一中学高三上学期12月份调研考试数学（文）试题

2019 年江苏省天一中学十二月份调研考试 高三数学文科试题 2019.12 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1. 设全集 ，集合 ， ， ， ，则 _____. 答案： ， 2. 已知 是虚数单位，若复数 的实部与虚部相等，则实数 的值为　　． 答案： 3. 函数 的定义域为_____. 答案： 4. 从甲，乙，丙，丁 4 个人中随机选取两人，则甲、乙两人中有且只一个被选取的概率为　　． 答案： 5. 对一批产品的质量（单位：克）进行抽样检测，样本容量为 800，检测结果的频率分布直方图如图所 示．根据标准，单件产品质量在区间 ， 内为一等品，在区间 ， 和 ， 内为二等品，其余 为次品．则样本中次品件数为　 　． { | 5, *}U x x x N= < ∈ {1A = 3} {3B = 4} ( )UC A B = {2} i (1 2 )( )z i a i= + + a 3− 2( ) log (1 )f x x x= + − [0,1) 2 3 [25 30) [20 25) [30 35) 注　意　事　项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共 4 页包含填空题（第 1~14 题）、解答题（第 15~20 题）.本卷满分为 160 分， 考试时间为 120 分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷 及答题卡的规定位置. 3．作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位 置作答一律无效. 4．如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗. 5.请保持答题卡卡面清洁不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠 笔. 答案：200 6. 如图是一个算法流程图，则输出的 的值为　　． 答案：8 7.若抛物线 的焦点恰好是双曲线 的右焦点，则 ____． 答案为：6 8. 已知函数 是定义在 上的奇函数，则 的值为　　． 答案： 9. 已知数列 与 均为等差数列 ，且 ，则 　　． 答案：20 10. 如图，在 中， ， ， ，已知点 ， 分别是边 ， 的中点，点 在边 上，若 ，则线段 的长为　　． 答案： 11. 已知点 ， ，若圆 上恰有两点 ， ，使得 和 的面 积均为 4，则 的取值范围是　　． 答案： ， 12. 已知函数 ，其中 为自然对数的底数，若存在实数 使 成立， 则实数 的值为　　． 答案： 13.已知函数 ，若函数 有三个不同的零点，则实数 的取值范围是 _____. 答案： 14. 在锐角三角形 ， 是边 上的中线，且 ，则 的最小值为　　． 答案： b 2 2y px= ( 0)p > 2 2 45 1x y− = p = ( ) 3sin(2 ) cos(2 )(0 )f x x xϕ ϕ ϕ π= + − + < < R ( )8f π− 2− { }na 2 { }na n ( *)n N∈ 1 2a = 10a = ABC∆ 4AB = 2A C = 60BAC∠ = ° E F A B A C D B C 13 4DE DF =   B D 3 2 ( 3,0)A − ( 1, 2)B − − 2 2 2( 2) ( 0)x y r r− + = > M N MAB∆ N A B∆ r 2( 2 9 2)2 2( ) 2 3 4x a a xf x x x lnx e e− −= − − + + e 0x 0( ) 3f x = a 1 2ln− 3 2 ln , 0( ) , 0 e x xf x x x x >=  + ≤ 2( ) ( )g x f x ax= − a (0,1) { 2}− A B C AD B C AD AB= 1 1 1 tan tan tanA B C + + 13 2 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤 15. （本小题满分 14 分） 如图，在平面直角坐标系 中，以 轴正半轴为始边的锐角 的终边与单位圆 交于点 ，且点 的纵 坐标是 ． （1）求 的值； （2）若以 轴正半轴为始边的钝角 的终边与单位圆 交于点 ，且点 的横坐标为 ，求 的 值． 分析：（1）直接利用三角函数的定义的应用求出结果． （2）利用三角函数的定义和角的变换的应用求出结果． 解：因为锐角 的终边与单位圆 交于点 ，且点 的纵坐标是 ， 所以由任意角的三角函数的定义可知 ． 从而 ． （1） ， ． （2）因为钝角 的终边与单位圆 交于点 ，且点 的横坐标是 ， 所以 ，从而 ． 于是 ． 因为 为锐角， 为钝角，所以 ， ， 从而 ． 16. （本小题满分 14 分） xOy x α O A A 10 10 3cos( )4 πα − x β O B B 5 5 − α β+ α O A A 10 10 sin 10 10 α = cos 3 101 sin 2 10 α α= − = 3cos( ) cos4 πα − = cosα 3 sin4 π + sinα 3 4 π 3 10 2 10 2 5( )10 2 10 2 5 = × − + × = − β O B B 5 5 − cos 5 5 β = − sin 2 51 cos2 5 β β= − = sin( ) sinα β+ = cosα cosβ + sinα 10 5 3 10 2 5 2( )10 5 10 5 2 β = × − + × = α β ( 2 πα β+ ∈ 3 )2 π 3 4 πα β+ = 如图，在正三棱柱 中，点 在棱 上， ，点 ， 分别是 ， 的中点． （1）求证： 为 的中点； （2）求证： 平面 ． 分析：（1）推导出 ， ，从而 平面 ，进而 ，由此能证明 为 的中点． （2）连结 ， ，交于点 ，连结 ， ，推导出 ， ，从而 ，由此 能证明 平面 ． 证明：（1） 在正三棱柱 中，点 在棱 上， ， ， ， ， 平面 ， ， 为 的中点． （2）连结 ， ，交于点 ，连结 ， ， 正三棱柱 中， 是矩形， 是 的中点， ， 点 ， 分别是 ， 的中点， ， ， 平面 ， 平面 ． 平面 ． 17. （本小题满分 14 分） 1 1 1ABC A B C− D B C 1AD C D⊥ E F 1BB 1 1A B D B C / /E F 1ADC 1CC ABC⊥ 1AD CC⊥ AD ⊥ 1 1BCC B A D B C⊥ D B C 1AC 1AC O D O 1A B 1/ /OD A B 1/ /EF A B / /E F O D / /E F 1ADC  1 1 1ABC A B C− D B C 1AD C D⊥ 1CC ABC∴ ⊥ 1AD CC∴ ⊥ 1 1 1C D CC C=  AD∴ ⊥ 1 1BCC B AD BC∴ ⊥ D∴ B C 1AC 1AC O D O 1A B  1 1 1ABC A B C− 1 1ACC A O∴ 1AC 1/ /OD A B∴  E F 1BB 1 1A B 1/ /EF A B∴ / /EF OD∴ EF ⊂/ 1ADC D O ⊂ 1ADC / /EF∴ 1ADC 某市有一特色酒店由 10 座完全相同的帐篷构成（如图 ．每座帐篷的体积为 ，且分上下两层，其中 上层是半径为 （单位： 的半球体，下层是半径为 ，高为 的圆柱体（如图 ．经测算，上层 半球体部分每平方米建造费用为 2 千元，下方圆柱体的侧面、隔层和地面三个部分平均每平方米建造费用 为 3 千元设所有帐篷的总建造费用为 千元． （1）求 关于 的函数解析式，并指出该函数的定义域； （2）当半径 为何值时，所有帐篷的总建造费用最小，并求出最小值. 分 析 : （ 1 ） 由 图 可 知 帐 篷 体 积 半 球 体 积 圆 柱 体 积 ， 即 ， 表 示 出 ， 则 ，化简得 ；再由 ，则 ，所以定 义域为 ， （2） ， ，根据导函数求出其最小值即可． 解：（1）由题意可得 ，所以 ， 所以 ，即 ； 因为 ， ，所以 ，则 ，所以定义域为 ， （2）设 ， ，则 ，令 ，解得 ， 当 ， 时， ， 单调递减； 当 ， 时， ， 单调递增， 所以当 时， 取极小值也是最小值，且 ． 答：当半径 为 时，建造费用最小，最小为 千元． 18．（本小题满分 16 分） 1) 354 mπ ( 1)r r )m rm hm 2) y y r r = + 3 22 543 r r hπ π π+ = h 2 2(2 2 2 3 2 3) 10y r r rhπ π π= × + × + × × 2 5460 ( )y r r π= + 2 54 2 03 rr − > 31 3 3r < 3{ |1 3 3}r r < 2 54( )f r r r = + 31 3 3r < 3 22 543 r r hπ π π+ = 2 54 2 3h rr = − 2 2 2 2 54 2(2 2 2 3 2 3) 10 100 60 ( )3y r r rh r r rr π π π π π= × + × + × × = + − 2 5460 ( )y r r π= × + 1r 0h > 2 54 2 03 rr − > 31 3 3r < 3{ |1 3 3}r r < 2 54( )f r r r = + 31 3 3r < 2 54( ) 2f r r r ′ = − ( ) 0f r′ = 3r = [1r ∈ 3) ( ) 0f r′ < ( )f r (3r∈ 33 3) ( ) 0f r′ > ( )f r 3r = ( )f r ( ) 1620minf r π= r 3m 1620π 如图，已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，若椭圆 经过点 ，离心率为 ， 直线 过点 与椭圆 交于 ， 两点． （1）求椭圆 的方程； （2）若点 为△ 的内心（三角形三条内角平分线的交点），求△ 与△ 面积的比值； （3）设点 ， ， 在直线 上的射影依次为点 ， ， ．连结 ， ，试问：当直线 的倾斜 角变化时，直线 与 是否相交于定点 ？若是，请求出定点 的坐标；若不是，请说明理由． 分析：（1）由题意知 ． ，可得 ，解得 即可得出椭圆 的方程． （ 2 ） 由 点 为 △ 的 内 心 ， 可 得 点 为 △ 的 内 切 圆 的 圆 心 ， 设 该 圆 的 半 径 为 ， 可 得 ． （3）若直线 的斜率不存在时，四边形 是矩形，此时 与 交于 的中点 ．下面证明： 当直线 的倾斜角变化时，直线 与 相交于定点 ． 设直线 的方程为 ，与椭圆方程联立化简得 ．设 ， ， ， ，由题意，得 ， ，则直线 的方程为 ．令 ，此时 ，把根与系数关系代入可得 ，因此点 在直线 上．同理可证，点 在直线 上．即可得出结论． 解：（1）由题意知 ．因为 ，所以 ，解得 ， 所以椭圆 的方程为： ． （2）因为点 为△ 的内心， 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 1F 2F C (0, 3) 1 2 l 2F C A B C N 1 2F AF 1 2F NF 1 2F AF A 2F B 4x = D G E A E B D l A E B D T T 3b = 1 2 c a = 3 2 b a = a C N 1 2F AF N 1 2F AF r 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 | |2 1 (| | | | | |)2 F NF F AF F F rS S AF AF F F r = + +     l ABED A E B D 2F G 5( ,0)2 l A E B D 5( , 0)2T l ( 1)y k x= − 2 2 2 2(3 4 ) 8 4 12 0k x k x k+ − + − = 1(A x 1)y 2(B x 2 )y 1(4, )D y 2(4, )E y A E 2 1 2 1 ( 4)4 y yy y xx −− = −− 5 2x = 2 1 2 1 5( 4)4 2 y yy y x −= + −− 0y = 5( , 0)2T A E 5( , 0)2T B D 3b = 1 2 c a = 3 2 b a = 2a = C 2 2 14 3 x y+ = N 1 2F AF 所以点 为△ 的内切圆的圆心，设该圆的半径为 ， 则 ． （3）若直线 的斜率不存在时，四边形 是矩形， 此时 与 交于 的中点 ． 下面证明：当直线 的倾斜角变化时，直线 与 相交于定点 ． 设直线 的方程为 ， 联立 化简得 ． 因为直线 经过椭圆 内的点 ，所以△ ． 设 ， ， ， ，则 ， ． 由题意，得 ， ，则直线 的方程为 ． 令 ，此时 ， 所以点 在直线 上． 同理可证，点 在直线 上． 所以当直线 的倾斜角变化时，直线 与 相交于定点 ． 19. （本小题满分 16 分） 设数列 ， 分别是各项为实数的无穷等差数列和无穷等比数列． （1）已知 ， ，求数列 的前 项的和 ； （2）已知 ， ，且数列 的前三项成等比数列，若数列 唯一，求 的值. （3）已知数列 的公差为 ，且 ，求数列 ， 的通项公 N 1 2F AF r 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 | | 2 12 1 2 2 3(| | | | | |)2 F NF F AF F F rS c c S a c a cAF AF F F r = = = =+ ++ +     l ABED A E B D 2F G 5( ,0)2 l A E B D 5( , 0)2T l ( 1)y k x= − 2 2 ( 1) 14 3 y k x x y = − + = 2 2 2 2(3 4 ) 8 4 12 0k x k x k+ − + − = l C (1,0) 0> 1(A x 1)y 2(B x 2 )y 2 1 2 2 8 3 4 kx x k + = + 2 1 2 2 4 12 3 4 kx x k −= + 1(4, )D y 2(4, )E y A E 2 1 2 1 ( 4)4 y yy y xx −− = −− 5 2x = 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2( 4) 3( )5( 4)4 2 2( 4) y y x y y yy y x x − − + −= + − =− − 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2( 4) ( 1) 3 ( ) 8 2 5 ( ) 2( 4) 2( 4) x k x k x x k kx x k x x x x − − + − + − += =− − 2 2 2 2 1 4 12 88 2 53 4 3 4 2( 4) k kk k kk k x −+ −+ += −   3 3 3 2 1 24 32 8 24 40 02( 4)(3 4 ) k k k k k x k + + − −= =− + 5( , 0)2T A E 5( , 0)2T B D l A E B D 5( , 0)2T { }na { }nb 1 1b = 2 3 2 6 0b b b− + = { }nb n nS 2 2a = 4 7 10+ + 21a a a = { + }n na b { }nb 1b { }na ( 0)d d ≠ 1 1 1 2 2 ( 1)2 2n n na b a b a b n ++ + … + = − + { }na { }nb 式（用含 ， 的式子表达）； （1）解：设 的公比为 ， 则有 ，即 ； 解得 ； ； （2）∵ 为等差数列，又∵ ， ∴ ， ，则公差 ，则 数列 的前三项成等比数列，即 ， ， 成等比， ，整理得 设数列 的公比为 ，显然 则 ， ∵数列 唯一确定， ∴ 解得： 或 （舍） 即 （3）解： ① ② ① ②，得 ； ； ③ ④ 令③ ④，得 ⑤；其中 是数列 的公比； ⑥ n d { }nb q 3 6 0q q− + = 2( 2)( 2 3) 0q q q+ − + = 2q = − ∴ 1 ( 2) 3 n nS − −= { }na 2 2a = 4 7 10+ + 21a a a = 73 21a = 7 7a = 1d = na n= { + }n na b 11+b 22+b 33+b 2 2 1 3(2+ ) (1+ )(3+ )b b b= 1 31+ =b b { }nb q 1 0b ≠ 2 1 11+ =b b q 2 1 1 1 0b q b− − = { }nb 1 10 4 (1 ) 0b b∆ = + + = 1 1b = − 1 0b = 1 1b = −  1 1 1 2 2 ( 1)2 2n n na b a b a b n ++ + … + = − + … 1 1 2 2 1 1 ( 2)2 2n n na b a b a b n− −+ + … + = − + … ∴ − 2 ( 2)n n na b n n=   1 1 2a b = ∴ *2 ( )n n na b n n N= ∈ … ∴ 1 1 1 ( 1)2 ( 2)n n na b n n− − − = − … ÷ 1 2 ( 2)1 n n a nq na n− = …−  q { }nb ∴ 1 2 2( 1) ( 3)2 n n a nq na n − − −= …−  令⑤ ⑥，得 ； ，即 ； 解得 或 ； 若 ，则 ，有 ，矛盾； 满足条件，此时 ； ； 20. （本小题满分 16 分） 设 为实数，已知函数 ． （1）当 时，求函数 的单调区间； （2）设 为实数，若不等式 对任意的 及任意的 恒成立，求 的取值范围； （3）若函数 有两个相异的零点，求 的取值范围． 分析：（1）根据导数和函数单调性的关系即可求出， （2）分离参数，可得 对任意的 恒成立，构造函数 ，利用导数求出函数的最值 即可求出 的范围， （3）先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调性以及最值得关系即可求出 的范围． 解：（1）当 时，因为 ，当 时， ； 当 时， ．所以函数 单调减区间为 ，单调增区间为 ． （2）由 ，得 ，由于 ， 所以 对任意的 及任意的 恒成立． 由于 ，所以 ，所以 对任意的 恒成立． 设 ， ，则 ， 所以函数 在 ， 上单调递减，在 2， 上单调递增， 所以 2， 所以 2． （3）由 ，得 ，其中 ． ①若 时，则 ，所以函数 在 上单调递增，所以函数 至多有一个零点，不合题意； ÷ 2 2 2 1 ( 2) ( 3)( 1) n n n a a n n na n − − −= −  ∴ 3 1 2 3 4 a a a = 1 1 2 1 ( 2 ) 3 ( ) 4 a d a a d + =+ 1a d= 1 3a d= − 1 3a d= − 4 0a = 4 4 44 2 0a b× = = 1a d∴ = na dn= 2n nb d = a ( ) xf x axe= ( )a R∈ 0a < ( )f x b 2( ) 2f x x bx+ 1a 0x > b ( ) ( ) lng x f x x x= + + ( 0)x > a 2xe x b−  0x > ( ) 2xx e xϕ = − b a 0a < ( ) ( 1) xf x a x e′ = + 1x < − ( ) 0f x′ > 1x > − ( ) 0f x′ < ( )f x ( , 1)−∞ − ( 1, )− +∞ 2( ) 2f x x bx+ 22xaxe x bx+ 0x > 2xae x b+ 1a 0x > 0xe > x xae e 2xe x b−  0x > ( ) 2xx e xϕ = − 0x > ( ) 2xx eϕ′ = − ( )xϕ (0 ln 2) (ln )+∞ ( ) (minx lnϕ ϕ= 2) 2 2ln= − 2 2b ln− ( ) lnxg x axe x x= + + 1 ( 1)( 1)( ) ( 1) 1 x x x axeg x a x e x x + +′ = + + + = 0x > 0a ( ) 0g x′ > ( )g x (0, )+∞ ( )g x ②若 时，令 ，得 ． 由第（2）小题知，当 时， ，所以 ，所以 ，所以当 时， 函数 的值域为 ． 所以存在 ，使得 ，即 　①， 且当 时， ，所以函数 在 上单调递增，在 ， 上单调递减． 因为函数有两个零点 ， ， 所以 　②． 设 ， ，则 ，所以函数 在 上单调递增． 由于 ，所以当 时， ，所以②式中的 ． 又由①式，得 ． 由第（1）小题可知，当 时，函数 在 上单调递减，所以 ， 即 ， ． 由于 ，所以 ． 因为 ，且函数 在 上单调递减，函数 的图象在 上不间断， 所以函数 在 上恰有一个零点； 由于 ，令 ， 设 ， ， 由于 时， ， ，所以设 ，即 ． 由①式，得当 时， ，且 ， 同理可得函数 在 ， 上也恰有一个零点． 综上， ， ． 0a < ( ) 0g x′ = 1 0xxe a = − > 0x > ( ) 2 2 2xx e x lnϕ = − − 2 0> 2xe x> 22xxe x> 0x > xxe (0, )+∞ 0 0x > 0 0 1 0ax ex + = 0 0 1ax ex = − 0x x< ( ) 0g x′ > ( )g x 0(0, )x 0(x )+∞ 1x 2x 0 0 0 0( ) ( )maxg x g x ax ex x ln= = + + 0 01x x ln= − + + 0 0x > ( ) 1 lnx x xϕ = − + + 0x > 1( ) 1 0x x ϕ′ = + > ( )xϕ (0, )+∞ (1)ϕ 0= 1x > ( ) 0xϕ > 0 1x > 0 0 1x ex a = − 0a < ( )f x (0, )+∞ 1 ea − > 1(a e ∈ − 0) ( )i 1 1 1( ) ( 1) 0 eaeg e e e = + − < 0 1( ) ( ) 0g g xe < 0 1 1 xe < < ( )g x 0(0, )x ( )g x 0(0, )x ( )g x 0(0, )x ( )ii 1 1 1 1( ) ( )g e lna a a a − = − − − + − 1t ea = − > ( ) tF t e t ln= − + + t t e> t e> ln t t< 2te t> ( ) 0F t < 1( ) 0g a − < 0 1x > 0 0 0 1 x ex xa − = > 0 1( ) ( ) 0g g xa − < ( )g x 0(x )+∞ 1(a e ∈ − 0)