2013南平3月份质检文数试卷(2)

2013南平3月份质检文数试卷(2)

福建省南平市2013年普通高中毕业班质量检查 文科数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟．‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．‎ ‎2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．‎ ‎3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．‎ ‎4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．‎ 参考公式：‎ ‎ 样本数据，， …，的标准差： ，‎ 其中为样本平均数；‎ 柱体体积公式：，‎ 其中为底面面积，为高；‎ 锥体体积公式：，‎ 其中为底面面积，为高；‎ 球的表面积、体积公式：‎ ‎，，‎ 其中为球的半径．‎ ‎ 第Ⅰ卷（选择题　共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．抛物线的焦点坐标为 A．(2，0) B．(1，0) C．(0，－4) D．(－2，0) ‎ ‎2．命题“”的否定是 A． B．≤0 ‎ C． D．≤0‎ ‎3．已知直线与直线，若，则的值为 A．1 B．‎2 ‎C．6 D．1或2‎ ‎4．复数等于 ‎ A． B． C． D．‎ ‎5．下列函数中，是奇函数且在区间（0,1）内单调递减的是 A． B． C． D． ‎ ‎6．方程实根所在的区间为 A. （1，2） B. （2，3） ‎ C. （3，4） D. （4，5）‎ ‎7．已知向量a, b均为单位向量，若它们的夹角是60°，则等于 A．2 B． ‎ C． D．3‎ ‎8．右图是某几何体的三视图，其中正视图是正方形，侧视图是 矩形，俯视图是半径为2的半圆，则该几何体的表面积等于 A．16＋12π　　 B．24π ‎≤‎ C．16+4π　　　 D．12π ‎9．已知函数 则的值为 A．－1 B．－2 ‎ C．1 D．2‎ ‎10．将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是 A． B．‎ C． D．‎ ‎11．函数的导函数的图象如右图所示，‎ 则的图象可能是 ‎≤‎ ‎≥‎ ‎12．已知平面区域≤，，在区域上随机取一点,点落在区域内的概率为P(N)，若P(N)，则实数的取值范围为 A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置．‎ ‎13．已知集合≤，，那么　　　　　．‎ ‎14．执行右边的程序框图，输出的=　　　　　．‎ ‎15．若函数在［－1，2］上的 最大值为4，最小值，则＝　　　　　．‎ ‎16．已知数列{}满足＝l，＋＝（n∈），记＝＋·4＋·＋…＋·，类比 课本中推导等比数列前n项和公式的方法，可求得 ‎5－＝　　　　　． ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ ‎ 为调查民营企业的经营状况，某统计机构用分层抽样的方法从A、B、C三个城市中，抽取若干个民营企业组成样本进行深入研究，有关数据见下表：（单位：个）‎ 城市 民营企业数量 抽取数量 A ‎28‎ ‎2‎ B ‎14‎ C ‎3‎ ‎（Ⅰ）求、的值；‎ ‎（Ⅱ）若从城市A与C抽取的民营企业中再随机选2个进行跟踪式调研，求这2个都来自城市C的概率.‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 如图，菱形的边长为2，△为正三角形，现将△沿向上折起，折起后的点记为，且，连接．‎ D A B C E ‎（Ⅰ）若为的中点，证明：平面；‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥的体积．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 已知函数π)在π处取最小值．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）在中，分别是角A，B，C的对边，已知 求角C．‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 已知等差数列{}的各项都不相等，前3项和为18，且、、成等比数列．‎ ‎（Ⅰ）求数列{}的通项公式； ‎ ‎（Ⅱ）若数列{}满足，且，求数列的前n项和．‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知函数（为实数）．‎ ‎（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求函数的单调减区间；‎ ‎（Ⅲ）若，证明：当时，．‎ ‎ ‎ ‎22.（本小题满分14分）‎ 如图，设椭圆C:（）的离心率，顶点M、N的距离为,‎ O y x A M B N O为坐标原点.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A，B两点.‎ ‎（ⅰ）试判断点O到直线AB的距离是否为定值.若是请求出这个定值，若不是请说明理由；‎ ‎（ⅱ）求的最小值.‎ ‎ ‎ ‎2013年南平市普通高中毕业班质量检查 文科数学试题评分标准 说明：‎ ‎1、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.‎ ‎2、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.‎ ‎3、只给整数分数. 选择题和填空题不给中间分.‎ 一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分.‎ ‎1. B； 2. D； 3. D； 4.C； 5. B； 6. B； 7. C； 8. A； 9. C； 10. A； 11. B； 12. D.‎ 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分16分.‎ ‎13．； 14．26； 15．； 16．n.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．解：（Ⅰ）由题意得所以………6分 ‎（Ⅱ）记从城市A所抽取的民营企业分别为，从城市C抽取的民营企业分别为，‎ 则从城市A、C抽取的5个中再随机选2个进行跟踪式调研的基本事件有 共10种. ………9分 设选中的2个都来自城市C的事件为X,则X包含的基本事件有 ‎3种，因此.故这2个都来自城市C的概率为.………12分 ‎18.解：（Ⅰ）连接，交于点，连接、，‎ D A B C E O ‎∵为菱形，∴为中点………2分 又∵E为的中点，∴………4分 又平面，平面 ‎∴平面.………6分 ‎（Ⅱ）解法一：‎ 在菱形中，，‎ ‎∵△沿折起, ∴………7分 又,∴平面………8分 ‎∵，‎ ‎∴＝，………10分 ‎∴＝＝………12分 解法二：在△内，过作于H，‎ 在菱形中，，又△沿折起, ‎ ‎∴………7分 ‎∵ ∴平面 ∴………8分 又，∴平面………9分 ‎∵，∴………10分 ‎∴＝＝………12分 ‎19.解：（Ⅰ）‎ ‎＝sin(x+).………3分 因为f(x)在x＝π时取最小值，所以sin(π+)=－1，故sin=1. ………5分 又0＜＜π，所以＝………6分 ‎ （Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=sin(x+)=cosx. ………7分 因为f(A)=cosA=，且A为△ABC的角，所以A＝.………8分 由正弦定理得　sinB＝=，所以或………10分 当时，‎ 当时，‎ 综上所述，………12分 ‎20. 解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，则………2分 解得或………4分 ‎∵　∴　∴．………5分 ‎（Ⅱ）由，∴………6分 ‎∴当≥2时，………8分 ‎＝‎ ‎＝………10分 又符合上式 ‎∴………11分 ‎＝．………12分 ‎21. （Ⅰ）解：由题意得所求切线的斜率………2分 切点则切线方程为 ‎ 即………4分 ‎（Ⅱ）解： ‎ ‎（1）当≤0时，≤0，则的单调减区间是；………6分 ‎（2）当时，令＜0，解得或，‎ 则的单调减区间是，………8分 ‎（Ⅲ）证明：令，，‎ 则是上的增函数，故当时，‎ 所以，即………10分 令，，‎ 令，，，则是上的增函数，‎ 故当时，，即，因此是上的增函数，‎ 则当时，，即，‎ 综上若m＝1时，得时，．……12分 ‎22. 解：（Ⅰ）由得………1分 由顶点M、N的距离为，得………2分 又由，解得 所以椭圆C的方程为………4分 ‎（Ⅱ）解法一：（ⅰ）点O到直线AB的距离为定值………5分 设,‎ ‎① 当直线AB的斜率不存在时，则为等腰直角三角形，不妨设直线OA：‎ 将代入，解得 所以点O到直线AB的距离为；………6分 ‎② 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为与椭圆C：‎ 联立消去得………7分 ‎，………8分 因为，所以，‎ 即………10分 所以，整理得，‎ 所以点O到直线AB的距离 综上可知点O到直线AB的距离为定值………11分 ‎（ⅱ）在Rt中，因为 又因为≤，所以≥………13分 所以≥，当时取等号，即的最小值是………14分 解法二：（ⅰ）点O到直线AB的距离为定值………5分 设,‎ ‎①当直线OA的斜率为0时，，，此时 同理，当直线OA的斜率不存在时，………6分 ‎②当直线OA的斜率存在且不为0时，设直线OA的方程为与椭圆C：‎ 联立，解得………7分 ‎………8分 同理，………9分 所以………10分 所以，即 综上可知点O到直线AB的距离为定值………11分 ‎（ⅱ）………12分 ‎≥………13分 当且仅当，即时，的最小值是………14分