【数学】2019届一轮复习苏教版恒等变换伸压变换反射变换学案

【数学】2019届一轮复习苏教版恒等变换伸压变换反射变换学案

‎2019届一轮复习苏教版 恒等变换 伸压变换 反射变换 学案 ‎1.掌握恒等、伸压、反射变换的特点，熟知常用的恒等、伸压、反射变换矩阵的特点.‎ ‎2.了解恒等、伸压、反射变换的矩阵表示及其几何意义.‎ ‎3.能用矩阵变换把平面上的直线变成直线(或点).‎ ‎[基础·初探]‎ ‎1.恒等变换 对平面上任何一点(向量)或图形施以矩阵对应的变换，都能把自身变成自身.因此，我们把这种特殊的矩阵称为恒等变换矩阵或单位矩阵，所实施的对应变换称为恒等变换.我们把矩阵称为恒等变换矩阵或单位矩阵，可记为E.‎ ‎2.伸压变换 矩阵M1＝把平面上每一个点P都沿y轴方向垂直压缩为原来的一半，只有x轴上的点没变；‎ 矩阵M2＝把平面上每一个点P都沿x轴方向伸长为原来的2倍，只有y轴上的点没变.‎ 像矩阵，这种将平面图形作沿y轴方向伸长或压缩，或作沿x轴方向伸长或压缩的变换矩阵，通常称为沿y轴或x轴的垂直伸压变换矩阵，对应变换为垂直伸压变换，简称伸压变换.‎ ‎3.反射变换 ‎(1)反射变换的概念 像，，这样将一个平面图形F变为关于定直线或定点 对称的平面图形F′的变换矩阵，我们称之为反射变换矩阵，对应的变换叫做反射变换.关于定直线或定点对称的反射又分别称为轴反射和中心反射，其中定直线称为反射轴，定点称做反射点.‎ ‎(2)反射变换的分类 与矩阵M1＝对应的变换是关于x轴的轴反射变换.‎ 与矩阵M2＝对应的变换是关于y轴的轴反射变换.‎ 与矩阵M3＝对应的变换是关于原点的中心反射变换.‎ 与矩阵M4＝对应的变换是关于直线y＝x的轴反射变换.‎ ‎4.线性变换 一般地，二阶非零矩阵对应的变换把直线变为直线，这种把直线变为直线的变换，通常叫做线性变换.‎ ‎[思考·探究]‎ ‎1.设单位向量i＝(0，1)，j＝(1，0)，以i，j为邻边的正方形称为单位正方形，则单位矩阵对单位正方形作用后得到一个什么样的图形？‎ ‎【提示】　由于Ei＝＝，‎ Ej＝＝.所以单位矩阵对单位正方形作用后的图形仍为单位正方形.‎ ‎2.如何理解伸压变换？‎ ‎【提示】　伸压变换是指沿着特定坐标轴方向伸长或者压缩的变换，我们不能简单地把伸压变换理解为把平面上的点向下压，或者向上拉伸.以矩阵为例，它所对应的变换是将坐标平面上的点的横坐标保持不变，x轴上方的点垂直向x轴压缩，纵坐标压缩为原来的一半，而x轴下方的点也垂直向x轴压缩，纵坐标压缩为原来的一半，又因为x轴上的点的纵坐标都为0，所以“原地不动”.‎ 类似地，对应的变换则是将平面上点的纵坐标保持不变，将y轴左边的点的横坐标向左拉伸为原来的2倍，y轴右边的横坐标向右拉伸为原来的2倍，而 y轴上的点的横坐标都为0，所以“原地不动”.‎ ‎3.反射变换的作用是什么？‎ ‎【提示】　根据反射变换的定义知，其作用就是把一个点(向量)或平面图形变为它的轴对称或中心对称图形.‎ ‎[质疑·手记]‎ 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：‎ 疑问1：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 解惑：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 疑问2：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 解惑：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 疑问3：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 解惑：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 伸压变换的应用 ‎　求直线y＝4x在矩阵对应的变换作用下所得的图形. ‎ ‎【导学号：30650011】‎ ‎【精彩点拨】　矩阵对应的是沿y轴方向的伸压变换，它使得平面上的点变换前后横坐标保持不变，而纵坐标变为原来的一半，从而可用求轨迹方程的代入法(相关点法)求其轨迹.‎ ‎【自主解答】　任意选取直线y＝4x上的一点P(x0，y0)，它在矩阵对应的变换作用下变为P′(x0′，y0′)，则有＝＝.‎ 则有：故 又因为点P在直线y＝4x上，‎ 所以y0＝4x0，即有2y0′＝4x0′.‎ 因此y0′＝2x0′，从而直线y＝4x在矩阵作用下变成直线y＝2x.‎ 利用伸压变换解决问题的类型及方法：‎ ‎(1)已知曲线C与变换矩阵，求曲线C在变换矩阵对应的变换作用下得到的曲线C′的表达式，常先转化为点的对应变换再用代入法(相关点法)求解.‎ ‎(2)已知曲线C′是曲线C在伸压变换作用下得到的，求与伸压变换对应的变换矩阵，常根据变换前后曲线方程的特点设出变换矩阵，构建方程(组)求解.‎ ‎(1)若将本例变为：一直线l在矩阵对应的变换作用下变成直线y＝2x，求该直线的方程.‎ ‎(2)若本例变为：直线y＝4x在二阶矩阵M对应的沿y轴方向伸压变换作用下变成了另一条直线y＝2x，试求矩阵M.‎ ‎【解】　(1)任意选取直线l上的一点P(x0，y0)，它在矩阵对应的变换作用下变为P(x0′，y0′)，则有 ＝＝则有.‎ 又因为点P′(x0′，y0′)在直线y＝2x上，‎ 所以y0′＝2x0′，即有y0＝2x0，‎ 因此y0＝4x0，从而求得该直线为y＝4x.‎ ‎(2)设P(x0，y0)为直线y＝4x上的任意一点，P′(x0′，y0′)是P(x0，y0)在矩阵M对应的伸压变换作用下得到的点，则此点在直线y＝2x上.设伸压变换矩阵为(k≠0)，‎ 则有＝＝，‎ 即所以将其代入y＝4x中，得4x0′＝y0′，即y0′＝4kx0′.又y0′＝2x0′，∴4k＝2，得k＝，所以所求矩阵为.‎ 反射变换的应用 ‎　求直线y＝6x在矩阵对应的变换作用下所得的图形的表达式.‎ ‎【精彩点拨】　先求出y＝6x上任意一点P(x0，y0)在矩阵对应的变换作用下得到点P′(x0′，y0′)的坐标，再用代入法求解.‎ ‎【自主解答】　任意选取直线y＝6x上的一点P(x0，y0)，设它在矩阵对应的变换作用下得到的点为P′(x′0，y′0)，‎ 则有＝，所以 又因为点P(x0，y0)在直线y＝6x上，所以y0＝6x0，则有x′0＝6y′0.‎ 所以y′0＝，‎ 从而可知直线y＝6x在矩阵对应的变换作用下变成直线y＝.‎ 求曲线C(或点)在反射变换下得到的曲线C′的表达式(或点的坐标)同伸压变换，使用代入法(相关点法).‎ 在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx在矩阵 对应的变换下得到的直线过点P(4，1)，求实数k的值. ‎ ‎【导学号：30650012】‎ ‎【解】　设变换T：→，则 ＝＝，即 代入直线y＝kx，得x′＝ky′.将点P(4，1)代入上式，得k＝4.‎ ‎[真题链接赏析]‎ ‎　(教材第16页例2)验证圆C：x2＋y2＝1在矩阵A＝对应的伸压变换下变为一个椭圆，并求此椭圆的方程.‎ ‎　已知圆C：x2＋y2＝1在矩阵A＝(a＞0，b＞0)对应的伸压变换下变为椭圆x2＋＝1，试求a，b的值.‎ ‎【命题意图】　本题主要考查求伸压变换T作用下得到的曲线的方程，同时考查了函数方程思想、转化与化归思想.‎ ‎【解】　设P(x0，y0)为圆C上的任意一点，在伸压变换下变为另一个点P′(x′0，y′0)，‎ 则＝，‎ 所以即 又点P(x0，y0)在圆C：x2＋y2＝1上，‎ 所以x＋y＝1，‎ 所以＋＝1，即＋＝1.‎ 由已知条件可知，椭圆方程为x2＋＝1.‎ 所以a2＝1，b2＝4.因为a＞0，b＞0，所以a＝1，b＝2.‎ ‎1.恒等变换将直线x＋2y－1＝0变换为________.‎ ‎【解析】　恒等变换保持原图形不变.‎ ‎【答案】　x＋2y－1＝0‎ ‎2.如图221，把△ABC变成△A′B′C′的变换矩阵可能是________.(其中A(0，－1)，B(1，0)，C(0，1)，A′(0，－1)，B′(2，0)，C′(0，1))‎ 图221‎ ‎【解析】　注意到变换后三角形上的每个点的横坐标变为原来的2倍，而纵坐标保持不变，它可能对应的是沿x轴方向的伸压变换，对应的变换矩阵为M＝.‎ ‎【答案】　 ‎ ‎3.函数y＝x2在矩阵M＝变换作用下的结果为________. ‎ ‎【导学号：30650013】‎ ‎【解析】　＝＝⇒代入y＝x2，得：y′＝x′2.把x′，y′换为x，y，即得y＝x2.‎ ‎【答案】　y＝x2‎ ‎4.已知双曲线－＝1，矩阵对应的反射变换把双曲线变成的曲线是________.‎ ‎【解析】　设双曲线上任意一点P(x，y)在反射变换下对应点P′(x′，y′)，‎ 则＝＝，‎ ‎∴∴ 代入双曲线方程，得－＝1，‎ ‎∴双曲线－＝1在矩阵对应的反射变换下所得图形仍是它本身.‎ ‎【答案】　－＝1‎ 我还有这些不足：‎ ‎(1)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎(2)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 我的课下提升方案：‎ ‎(1)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎(2)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎