广东省韶关市新丰县第一中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

广东省韶关市新丰县第一中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

2019—2020 学年高二第一学期期中考试 数学科试题 本试卷共 4 页,22 小题,满分 150 分.考试时间 120 分钟. 一、单项选择题：共 10 小题，每小题 5 分．每个小题只有一项是符合题目要求的． 1、设集合 M＝{x|x2－3x－4<0}，N＝{x|0≤x≤5}，则 M∩N＝( ) A、(0，4] B、[0，4) C、[－1，0) D、(－1，0] 2、已知命题 p：对任意 x∈R，总有 2x>0； q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，则下列 命题为真命题的是( ) A、 p q B、 p q   C、 p q  D、 p q  3、在等差数列 na 中，若 2 45, 2a a  ，则 6a  （ ） A、－1 B、0 C、1 D、6 4、已知函数 1( ) ( )x xf x e e   ，则 ( )f x （ ） A、是奇函数，且在 R 上是增函数 B、是偶函数，且在 R 上是增函数 C、是奇函数，且在 R 上是减函数 D、是偶函数，且在 R 上是减函数 5、从 2,3,4,5 中任取 2 个不同的数，则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是（ ） A、 1 2 B、 1 3 C、 1 4 D、 1 6 6、在 ABC 中，内角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ，已知 14, 3a A   ， sin 3sinB C ，则 ABC 的面积为（ ） A、 52 4 B、 3 6 2 C、 3 3 2 D、 3 6 4 7、已知直线 l 经过点  0,2 且倾斜角为 3  ，则圆 C： 2 2 2 3 2 3 0x y x y     的 圆心到直线 l 的距离为（ ） A、2 B、3 C、4 D、5 8、函数     1 2 0 x xf x x    的最小值为（ ） A、1 B、2 C、3 D、4 9、在 ABC ，内角 , ,A B C 所对的边长分别为 , ,a b c ．若 sin cosa B C  3sin cos 2c B A b ，且 a b ，则 B  （ ） A、 6  B、 3  C、 2 3  D、 5 6  10、等比数列 na 的前 n 项和为 nS ，已知 3 2 19S S a  ， 5 9a  ，则 1a  （ ） A、 1 3 B、 1 3  C、 1 9 D、 1 9  二、多项选择题：共 2 小题，每小题 5 分．每个小题有多项是符合题目要求的，全对 5 分， 少选 2 分，错选 0 分． 11、已知函数    sinf x A x   0, 0, 2A        的部分图像如图所示， 下列结论正确的是（ ） A、函数的最小正周期为 B、 12    C、  f x 在区间 ,2       上单调递减 D、 5 224f      12、已知直三棱柱 1 1 1ABC A B C 的各棱长相等，点 D 是棱 1AA 的中点， 点 P 是线段 1BC 上的动点，下列说法正确的是（ ） A、存在点 P 使得 DP  平面 1 1BCC B B、存在点 P 使得 BD CP C、点 P 从点 B 运动到点 1C 的过程中，直线 DP 与平面 ABC 所成角先减小后增大 D、点 P 从点 B 运动到点 1C 的过程中，直线 DP 与平面 ABC 所成角先增大后减小 三、填空题：共 4 小题，每小题 5 分，第 16 题第一个空 2 分，第二个空 3 分. 13、已知向量 (1,2)a  ， (2, 2)b   ， (1, )c  ．若 (2 )c a b    ，则   ； 14、已知 x ， y 满足 3 0 3 5 0 3 0 x y x y x        ≤ ≤ ≥ ，则 2z x y  的最大值是 ； 15、函数   3 2sin cos4f x x x      的最大值为 . 16、已知  R ，函数 2 4 ,( ) 4 3, x xf x x x x        ≥ ，当 2  时，不等式 ( ) 0f x  的解集是 ；若函数 ( )f x 恰有 2 个零点，则  的取值范围是 ． 四、解答题：本大题共 6 个小题，满分 70 分，其中 17 题 10 分，其它各题 12 分．解答应写 出文字说明，证明过程或演算步骤． 17、（10 分） 记 nS 为等差数列{ }na 的前 n 项和，已知 1 7a   ， 3 15S   ． (1)求{ }na 的通项公式； (2)求 nS ，并求 nS 的最小值． 18、（12 分） 在 ABC 中，角 , ,A B C 所对的边分别是 , ,a b c ， S 为其面积， 若4 2 cosS ac B ． （1）求角 B 的大小； （2）设 BAC 的角平分线 AD 交 BC 于 D ， 3AD  ， 6BD  ，求cos BAC 的值。 19、（12 分） 设  21( ) sin cos sin cos2f x x x x x   ． （Ⅰ）求 ( )f x 的最小正周期及单调递增区间； B D C A （Ⅱ）在锐角 ABC 中，角 , ,A B C ，的对边分别为 , ,a b c ，若 ( ) 02 Af  ， 1a  ，求 ABC 面积的最大值． 20、（12 分） 如图，正方形 ABCD 的边长为 4， E ， F 分别为 AD ， BC 的中点，以 DF 为折痕把 DFC△ 折起，使点C 到达点 P 的位置，且 PF BF ． (1)证明：平面 PEF  平面 ABFD ； (2)求三棱锥 P DEF 的体积； (3)求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值． 21、（12 分） 已知公差为正数的等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 2 3 40a a  ， 4 26S  ,数列 nb 的前 n 项和  12 2n nT n N    。 （1）求数列 na 与 nb 的通项公式； （2）求数列 n na b 的前 n 项和 nM ． 22、（12 分） 设二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)满足下列条件： ①当 x∈R 时，其最小值为 0，且 f (x－1)＝f(－x－1)成立； ②直线 y x 与函数  f x 相切于点   1, 1f . (1)求 f(1)的值； (2)求 f(x)的解析式； (3)求最大的实数 m(m>1)，使得 t R  ，只要当 x∈[1，m]时，就有 f(x＋t)≤x 成立． 2019-2020 学年高二第一学期第一次调研考试数学科试题参考答案 一、单项选择题： BDAAB CBDBC 1、解析 由题意可得 M＝{x|－12⇒x>1，而 x>1 x>2，因此“x>1”是“x>2”的必 要不充分条件，故命题 q 是假命题，则¬q 是真命题，p∧¬q 是真命题，选 D. 3、解析 由等差数列的性质得 ，选 A． 4、【解析】 ，得 为奇函数，易 知 在 R 上是增函数．选 A． 5、B【解析】任取两个不同的数有 共 6 种，2 个数之差的绝对值为 2 的有 ，故 6、由正弦定理得 ，由余弦定理得： ，解得 ， ∴ 7、由题意得直线的方程为： ，圆 的圆心为 ， ∴圆心到直线的距离为： 8、由基本不等式得： ，当且仅当 ，即 时取等，∴ 9、B【解析】边换角后约去 ，得 ，所以 ，但 B 非最大角，所 以 ． 10、C【解析】设等比数列 的公比为 ，∵ ，∴ ， 即 ，∴ ，由 ，即 ，∴ ． 二、多项选择题： AD ABC 11、由图可知 ，故 A、D 正确 三、填空题：13、 -2 14、5 15、5 16、 ； 【解析】若 ，则当 时，令 ，得 ； 当 时，令 ，得 ．综上可知 ，所以不等式 的 解集为 ．令 ，解得 ；令 ，解得 或 ．因为函数 恰有 2 个零点，结合函数的图象（图略）可知 或 ． 四、解答题： 17、【解析】(1)设 的公差为 d，由题意得 ．……2 分 由 得 d=2．……3 分 所以 的通项公式为 ．……5 分 (2)由(1)得 ．……7 分 所以当 时， 取得最小值，最小值为−16．……10 分 18、【解析】（1）由三角形的面积公式得: 1 分 …… 3 分 ∴ ……4 分 ∵ ……5 分 ∴ ……6 分 （2）在 中,由正弦定理得 ……8 分 所以 ……10 分 ∴ ……12 分 19、【解析】（Ⅰ）由题意 ．2 分 ∴函数 的最小正周期为 ……3 分 由 ( )，可得 ( )；……5 分 所以 的单调递增区间是 （ ）；……6 分 （Ⅱ） ， ，……7 分 由题意 是锐角，所以 ．……8 分 由余弦定理： ，……9 分 可得 ……10 分 ，且当 时成立．……11 分 ． 面积最大值为 ．……12 分 20、【解析】(1)由已知可得， ⊥ ， ⊥ ，1 分 ∵PF、EF 在平面 PEF 上，PF 交 EF 于点 F……2 分 所以 ⊥平面 PEF．……3 分 又 平面 ，所以平面 ⊥平面 ．……4 分 (2)作 ⊥ ，垂足为 ．由(1)得， ⊥平面 ．……5 分 由(1)可得， ⊥ ．又 =4， =2，所以 = ．……6 分 又 =2， =4，故 ⊥ ．……7 分 可得 , ．……8 分 ∴ ……9 分 （3）连接 ，由（2）知， 是 在平面 上的射影，……10 分 ∴ 就是 与平面 所成角，……11 分 ∴ 与平面 所成角的正弦值为 ……12 分 21、【解析】（1）由题意知 ， ∴ ， 1 分 又公差为正数，故 ， , ， 2 分 ∴ ， 3 分 由 得 当 ， 4 分 当 时， 5 分 综上得 ． 6 分 （2）由（1）知 ∴ 7 分 〖解法 1〗（错位相减法） 8 分 得 10 分 ． 12 分 〖解法 2〗（待定系数法的简单解答过程） 设 8 分 由 ，得 解得 9 分 所以 10 分 注意：用待定系数法没有说明 的原理，最后结果正确也要扣 2 分。 〖解法 3〗（分合法） 7 分 8 分 ∴ 10 分 化简得 12 分 22、解 (1)由②知，点 在直线 上，∴f(1)＝1.……2 分 (2)由①知二次函数的开口向上且关于 x＝－1 对称，故可设此二次函数为 f(x)＝a(x＋ 1)2(a>0)，又由 f (1)＝1 代入求得 a＝ 1 4，故 f(x)＝ 1 4(x＋1)2.……5 分 (3)假设存在 t∈R，只要 x∈[1，m]，就有 f(x＋t)≤x. 取 x＝1，有 f(t＋1)≤1，……6 分 即 1 4(t＋2)2≤1， 解得－4≤t≤0.……7 分 对固定的 t∈[－4,0]，取 x＝m，有 f(t＋m)≤m， 即 1 4(t＋m＋1)2≤m，……8 分 化简得 m2＋2(t－1)m＋(t2＋2t＋1)≤0， 解得 1－t－≤m≤1－t＋，……9 分 故 m≤1－t＋≤1－(－4)＋＝9，……10 分 t＝－4 时，对任意的 x∈[1,9]， 恒有 f(x－4)－x＝ 1 4(x2－10x＋9)＝ 1 4(x－1)(x－9)≤0，……11 分 所以 m 的最大值为 9.……12 分