2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题11 排列组合、二项式定理（练）（解析版）

2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题11 排列组合、二项式定理（练）（解析版）

专题11 排列组合二项式定理 ‎1．【2017新课标Ⅲ】的展开式中的系数为 A．80 B．40 C．40 D．80‎ ‎【答案】C ‎【解析】的展开式的通项公式为：，当时，展开式中的系数为，当时，展开式中的系数为，‎ 所以的系数为．选C． ‎ ‎2．【2016四川】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 A．24 B．48 C．60 D．72‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意，要组成没有重复的五位奇数，则个位数应该为1、3、5中任选一个，有 种方法，其他数位上的数可以从剩下的4个数字中任选，进行全排列,有种方法，所以其中奇数的个数为，故选D．‎ ‎3．【2015四川】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有 A．144个 B．120个 C．96个 D．72个 ‎【答案】B ‎【解析】据题意，万位上只能排4、5.若万位上排4，则有个；若万位上排5，则有个.所以共有个，选B．‎ ‎4．(2018天津)在的展开式中，的系数为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，令，得，所以的系数为．‎ ‎5．【2018全国卷Ⅰ】从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1‎ 位女生入选，则不同的选法共有___种．(用数字填写答案)‎ ‎【答案】16‎ ‎【解析】法一： 可分两种情况：第一种情况，只有1位女生入选，不同的选法有(种)；第二种情况，有2位女生入选，不同的选法有(种)．根据分类加法计数原理知，至少有l位女生人选的不同的选法有16种．‎ 法二： 从6人中任选3人，不同的选法有(种)，从6人中任选3人都是男生，不同的选法有(种)，所以至少有1位女生入选的不同的选法有20–4 =16(种)．‎ ‎6．【2017山东】已知的展开式中含有项的系数是，则 ．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】，令得：，解得．‎ ‎7.【2019年高考江苏卷理数】设．已知．‎ ‎(1)求n的值； (2)设，其中，求的值．‎ ‎【答案】(1)；(2)．‎ ‎【解析】(1)因为，‎ 所以，．‎ 因为，所以，解得．‎ ‎(2)由(1)知．．‎ 解法一：因为，所以，‎ 从而．‎ 解法二：‎ ‎．因为，所以．‎ 因此．‎ ‎【名师点睛】本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力．‎ ‎1、某科室派出4名调研员到3个学校，调研该校高三复习备考近况，要求每个学校至少一名，则不同的分配方案种数为(　　)‎ A．144　　　　　　　　 B．72 C．36 D．48‎ ‎【答案】C ‎【解析】分两步完成：第一步将4名调研员按2,1,1分成三组，其分法有；第二步将分好的三组分配到3个学校，其分法有A种，所以满足条件的分配方案有·A＝36种．‎ ‎2、现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，并且红色卡片至多1张，不同取法的种数是 A．232 B．252 C．472 D．484‎ ‎【答案】C ‎【解析】若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色则有=64，若2张同色，则有，若红色1张，其余2张不同色，则有，其余2张同色则有，所以共有64+144+192+72=472．‎ 另解1：,答案应选C．‎ 另解2：．‎ ‎3、从1,2,3,4,5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有(　　)‎ A．51个 B．54个 C．12个 D．45个 ‎【答案】A ‎【解析】分三类：第1类，没有2,3，由其他三个数字组成三位数，有A(个)；第2类，只有2或3中的一个，需从1,4,5中选两个数字，可组成2CA(个)；第3类，2,3均有，再从1,4,5中选一个，因为2需排在3的前面，所以可组成(个)。由分类加法计数原理得共有A＋2CA＋＝51(个)。故选A。‎ ‎4、甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利70周年阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有(　　)‎ A．12种 B．24种 C．48种 D．120种 ‎【答案】B ‎【解析】甲乙相邻，将甲乙捆绑在一起看作一个元素，共有AA种排法，甲乙相邻且在两端有CAA种排法，故甲乙相邻且都不站在两端的排法有AA－CAA＝24(种)。故选B。‎ ‎5、某校高二年级共有6个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为(　　)‎ A．AC　　　B．AC C．AA　　　D．2A ‎【答案】B ‎【解析】法一：将4人平均分成两组有C种方法，将此两组分配到6个班级中的2个班有A种。所以不同的安排方法有CA种。故选B。‎ 法二：先从6个班级中选2个班级有C种不同方法，然后安排学生有CC种，故有CCC＝CA(种)。故选B。‎ ‎6．已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求：‎ ‎(1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)a0＋a2＋a4＋a6； (4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.‎ ‎【解析】令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1.①‎ 令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.②‎ ‎(1)∵a0＝C＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.‎ ‎(2)(①－②)÷2，得a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1 094.‎ ‎(3)(①＋②)÷2，得a0＋a2＋a4＋a6＝＝1 093.‎ ‎(4)∵(1－2x)7展开式中a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，‎ ‎∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)＝1 093－(－1 094)＝2 187.‎ ‎7、教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教．现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法．‎ ‎(2)某科室派出4名调研员到3个学校，调研该校高三复习备考近况，要求每个学校至少一名，则不同的分配方案种数为________．‎ ‎(3)若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法．‎ ‎【解析】(1)先把6个毕业生平均分成3组，有种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有A＝6种方法，故将6个毕业生平均分到3所学校，共有·A＝90种不同的分派方法．‎ ‎(2)分两步完成：第一步，将4名调研员按2,1,1分成三组，其分法有种；第二步，将分好的三组分配到3个学校，其分法有A种，所以满足条件的分配方案有·A＝36种．‎ ‎(3)将6名教师分组，分三步完成：‎ 第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有C种分法；‎ 第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有C种分法；‎ 第3步，余下的3名教师作为一组，有C种分法．‎ 根据分步乘法计数原理，共有CCC＝60种分法．再将这3组教师分配到3所中学，有A＝6种分法，故共有60×6＝360种不同的分法．‎ ‎1、【山东省淄博市2019届部分学校高三阶段性诊断考试试题数学】展开式的常数项为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】展开式的通项公式为，‎ 令，得，∴所求常数项为：，故选D．‎ ‎【点睛】本题考查二项式定理中求解指定项系数的问题，属于基础题．‎ ‎2．【河南省濮阳市2019届高三5月模拟考试】安排，，，，，，共6名义工照顾甲，乙，丙三位老人，每两位义工照顾一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题，义工不安排照顾老人甲，义工不安排照顾老人乙，则安排方法共有 A．30种 B．40种 C．42种 D．48种 ‎【答案】C ‎【解析】名义工照顾三位老人，每两位义工照顾一位老人共有：种安排方法，其中照顾老人甲的情况有：种，照顾老人乙的情况有：种，照顾老人甲，同时照顾老人乙的情况有：种，∴符合题意的安排方法有：种，故选C．‎ ‎【点睛】本题考查利用排列组合解决实际问题，对于限制条件较多的问题，通常采用间接法来进行求解．‎ ‎3．【河北省唐山市2019届高三第二次模拟考试】将六名教师分配到甲、乙、丙、丁四所学校任教，其中甲校至少分配两名教师，其它三所学校至少分配一名教师，则不同的分配方案共有_________种．(用数字作答)‎ ‎【答案】660‎ ‎【解析】若甲校2人，乙、丙、丁其中一校2人，共有种，若甲校3人，乙、丙、丁每校1人，共有种，则不同的分配方案共有+种，故答案为：660．‎ ‎【点睛】本题考查排列组合，分类讨论思想，对每个学校人数讨论是关键，是基础题．‎ ‎4．【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评】二项式的展开式中，设“所有二项式系数和”为A，“所有项的系数和”为B，“常数项”值为C，若，则含的项为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】依题得，所以n=8，在的展开式中令x=1，则有，所以a+b=2，又因为展开式的通项公式为，．所以得到(舍)，当时，由得．所以，所以，故答案为：．‎ ‎【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：‎ ‎(1)求展开式中的特定项．可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可．‎ ‎(2)已知展开式的某项，求特定项的系数．可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数．‎ ‎5．【山东省烟台市2019届高三5月适应性练习(二)】设在，则展开式中的系数为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意，‎ ‎，的通项公式为，当时，，当时，，故展开式中的系数为．故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查了定积分的计算、二项式定理，正确求出值，是解题的关键．‎ ‎6．【湖南省师范大学附属中学2019届高三考前演练(五)】习近平总书记在湖南省湘西州十八洞村考察时首次提出“精准扶贫”概念，精准扶贫成为我国脱贫攻坚的基本方略．为配合国家精准扶贫战略，某省示范性高中安排6名高级教师(不同姓)到基础教育薄弱的甲、乙、丙三所中学进行扶贫支教，每所学校至少1人，因工作需要，其中李老师不去甲校，则分配方案种数为_________．‎ ‎【答案】360‎ ‎【解析】方法1：根据甲、乙、丙三所中学进行扶贫支教，每所学校至少1人，可分四种情况：‎ ‎(1)甲校安排1名教师，分配方案种数有；‎ ‎(2)甲校安排2名教师，分配方案种数有；‎ ‎(3)甲校安排3名教师，分配方案种数有；‎ ‎(4)甲校安排4名教师，分配方案种数有；‎ 由分类计数原理，可得共有(种)分配方案．‎ 方法2：由6名教师到三所学校，每所学校至少一人，可能的分组情况为4，1，1；3，2，1；2，2，2，‎ ‎(1)对于第一种情况，由于李老师不去甲校，李老师自己去一个学校有种，其余5名分成一人组和四人组有种，共(种)；李老师分配到四人组且该组不去甲校有(种)，则第一种情况共有(种)；‎ ‎(2)对于第二种情况，李老师分配到一人组有(种)，李老师分配到三人组有(种)，李老师分配到两人组有(种)，所以第二种情况共有(种)；‎ ‎(3)对于第三种情况，共有(种)；‎ 综上所述，共有(种)分配方案．‎ ‎【点睛】本题主要考查了分类计数原理，以及排列、组合的综合应用，其中解答中认真审题，合理分类讨论是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题． ‎