2018-2019学年内蒙古赤峰二中高一下学期第一次月考数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年内蒙古赤峰二中高一下学期第一次月考数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年内蒙古赤峰二中高一下学期第一次月考数学（理）试题 一、单选题 ‎1．若 ，则的值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先根据诱导公式化简，再根据平方差公式以及二倍角余弦公式得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以,因此,选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查诱导公式以及二倍角余弦公式，考查基本分析求解能力.属基本题.‎ ‎2．函数的最大值为　　‎ A．2 B． C． D．1‎ ‎【答案】A ‎【解析】由两角和差的正余弦公式得：，由三角函数的有界性得：，可得解．‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 因为，‎ 所以，‎ 故函数的最大值为2，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了两角和差的正余弦公式及三角函数的有界性，属简单题．‎ ‎3．已知数列是等比数列，其前项和为，，则（ ）‎ A． B． C．2 D．4‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意，根据等比数列的通项公式和求和公式，求的公比，进而可求解，得到答案。‎ ‎【详解】‎ 由题意得，，，公比，则，故选A。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等比数列的通项公式和求和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式和求和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。‎ ‎4．若sinα=，α是第二象限角，则sin（2α+）=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据，求出的值，再将所求式子展开，转化成关于和的式子，然后代值得出结果。‎ ‎【详解】‎ 因为且为第二象限角，‎ 根据得，‎ ‎，‎ 再根据二倍角公式得原式=，‎ 将，代入上式得，‎ 原式=‎ 故选D。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数给值求值，在已知角的取值范围时可直接用同角公式求出正余弦值，再利用和差公式以及倍角公式将目标式转化成关于和的式子，然后代值求解就能得出结果。‎ ‎5．已知为三角形的一个内角，若，则这个三角形的形状为（ ）‎ A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定 ‎【答案】B ‎【解析】由已知为三角形的一个内角，则 ‎ 又 且 ‎ 故为钝角三角形 选B ‎6．一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴…如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂(　　)‎ A．55986只 B．46656只 C．216只 D．36只 ‎【答案】B ‎【解析】先由题得到{an}是公比为6的等比数列，再利用等比数列的通项求出a6得解.‎ ‎【详解】‎ 设第n天所有的蜜蜂都归巢后共有an只蜜蜂，则有an＋1＝6an，a1＝6，‎ 则{an}是公比为6的等比数列，则a6＝a1q5＝6×65＝46656.‎ 故答案为：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查等比数列性质的判定和等比数列的通项，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.‎ ‎7．已知等差数列的公差和首项都不等于0，且成等比数列，则＝（）‎ A．2 B．3 C．5 D．7‎ ‎【答案】B ‎【解析】由等差数列{an}的通项公式和等比中项的性质，化简得d＝a1，即可求出 ‎．‎ ‎【详解】‎ ‎∵在等差数列{an}中，成等比数列，∴＝，∴(＋3d)＝(＋d)(＋7d)，∴d＝d，∵d≠0，∴d＝，‎ ‎∴＝＝3.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的通项公式和等比中项的性质，也考查了学生的计算能力，属于基础题．‎ ‎8．在中，内角，，所对应的边分别为，，，若，且，则（ ）‎ A． B． C．2 D．0‎ ‎【答案】D ‎【解析】由，利用正弦定理可得，由求得，由两角和的余弦公式可得，由两角差的余弦公式可得，可得，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 所以，由正弦定理可得，‎ 即，‎ 因为 ，‎ 因为，‎ 所以，‎ ‎，‎ 所以，，‎ ‎，又因为，‎ 所以，所以，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查两角和与差的余弦公式，以及正弦定理的应用，属于难题. 正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.‎ ‎9．函数的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意，得 ‎；故选A.‎ ‎10．已知函数图象的一条对称轴是，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】化简函数f（x）＝acosx+sinx为一个角的一个三角函数的形式，利用图象关于直线对 称，就是时，函数取得最值，求出a即可．‎ ‎【详解】‎ 函数f（x）＝acosx+sinxsin（x+θ），其中tanθ＝a，，‎ 其图象关于直线对称，所以θ，θ，所以tanθ＝a，‎ 故答案为：D ‎【点睛】‎ 本题考查正弦函数的对称性，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题．‎ ‎11．等差数列中，，若其前项和为，且有，那么当取最大值时，的值为（ ）‎ A．8 B．9 C．10 D．11‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据 S14=S8，可得a9+a10+…+a14=0，故有a11+a12=0．再由 a1＞0，可得d＜0，故a11＞0，a12＜0，可得S11最大．‎ ‎【详解】‎ ‎∵S14=S8，∴a9+a10+…+a14=0，∴a11+a12=0． 再由 a1＞0，∴d＜0，故a11＞0，a12＜0，∴S11最大． 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前n项和公式的应用，数列的函数特性，属于基础题．‎ ‎12．已知数列：；，，；，，…，；…，，，，…；…，则此数列的前2036项之和为（ ）‎ A．1024 B．2048 C．1018 D．1022‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据数列的规律，先将数列分组，第一组个数，第二组个数，……，第组个数，分别计算出各组数的和.计算出组数的项数和，令这个项数和等于列方程，解方程求出组数为.然后求出前组数的和得出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 将此数列分组，第一组：；第二组：；第三组：；…；第组：.而由，得，所以.因此前2036项之和正好等于前10组之和，由于.故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查数列求和，考查观察能力，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.‎ 二、填空题 ‎13．《莱因德纸草书》(Rhind Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一。书中有一道这样的题目：把100个面包分给五人，使每人成等差数列，且使最大的三份之和的是较小的两份之和，则最小1份的大小是________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设此等差数列为{an}，公差为d，则 ‎ ‎（a3+a4+a5）×=a1+a2，即，解得a1=，d=．最小一份为a1，‎ 故答案为：．‎ ‎14．已知的内角 的对边分别为 ，若，，且的面积为，则的周长为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先由余弦定理，结合，，得到的关系式，再由的面积为，得到的关系式，两式联立可求出，进而可确定结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，，由余弦定理可得：；‎ 又的面积为，所以，所以，‎ 所以,‎ 所以周长为.‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查解三角形的问题，熟记余弦定理和三角形面积公式即可求解，属于基础题型.‎ ‎15．在中，A＝60°，，则c＝________.‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】利用三角形的面积公式直接计算即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎,‎ 解得c=6,‎ 故答案为：6‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角形面积公式的应用，属于简单题.‎ ‎16．数列中， （2，且），且，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的最大值___．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由，变形为：an+1=，‎ a1+1=2．‎ ‎∴数列{an+1}是等比数列，首项为2，公比为﹣．‎ ‎∴an+1=，可得an=，‎ ‎∴Sn=n=n，‎ 则，‎ ‎，∴‎ 当n为偶数时，恒成立，而，∴1‎ 当n为奇数时，恒成立，而，∴‎ 综上所述，，即的最大值为 故答案为：‎ 三、解答题 ‎17．的内角，，所对的边分别为，，，且的面积.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若、、成等差数列，的面积为，求.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】分析：（1）可得，求得B值；‎ ‎（2）由a、b、c成等差数列，可得2b=a+c，两边同时平方得：a2+c2=4b2-2ac，又由，可得ac=6，a2+c2=4b2-12，由余弦定理cosB即可求得b.‎ 详解：‎ ‎（1）∵，‎ ‎∴，即，‎ ‎∵，∴.‎ ‎（2）∵、、成等差数列，‎ ‎∴，两边同时平方得：，‎ 又由（1）可知：，∴，‎ ‎∴，，‎ 由余弦定理得，，解，‎ ‎∴.‎ 点睛：本题考查了余弦定理、三角形面积计算公式、等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎18．一支车队有辆车，某天依次出发执行运输任务。第一辆车于下午时出发，第二辆车于下午时分出发，第三辆车于下午时分出发，以此类推。假设所有的司机都连续开车，并都在下午时停下来休息.‎ ‎（1）到下午时，最后一辆车行驶了多长时间？‎ ‎（2）如果每辆车的行驶速度都是,这个车队当天一共行驶了多少?‎ ‎【答案】（1）到下午时，最后一辆车行驶了小时分钟；（2）这个车队当天一共行驶了 ‎ ‎【解析】第一问中，利用第一辆车出发时间为下午2时，每隔10分钟即小时出发一辆 则第15辆车在小时，最后一辆车出发时间为：小时 第15辆车行驶时间为：小时（1时40分）‎ 第二问中，设每辆车行驶的时间为:,由题意得到 是以为首项，为公差的等差数列 则行驶的总时间为：‎ 则行驶的总里程为：运用等差数列求和得到。‎ 解：（1）第一辆车出发时间为下午2时，每隔10分钟即小时出发一辆 则第15辆车在小时，最后一辆车出发时间为：小时 第15辆车行驶时间为：小时（1时40分） ……5分 ‎（2）设每辆车行驶的时间为:,由题意得到 是以为首项，为公差的等差数列 则行驶的总时间为：……10分 则行驶的总里程为：‎ ‎19．如图，在中，已知点D在边BC上，且，，，．‎ 求BD长；‎ 求 ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】由已知利用诱导公式可求的值，利用余弦定理即可计算BD的长．‎ 由可求的值，利用同角三角函数基本关系式可求，由正弦定理可求的值，根据诱导公式可求的值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，因为，‎ ‎，，‎ 在中，由余弦定理得，，‎ 即，得 由，得，‎ 在中，由正弦定理，得：．‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数的诱导公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．‎ ‎20．已知公差不为零的等差数列中，，且成等比数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前n项和.‎ ‎【答案】（1）an＝11－2n(n∈N)．（2）见解析．‎ ‎【解析】(1)S2＝16，成等比数列，解得首项和公差进而得到通项；（2）当n≤5时，Tn＝a1＋a2＋…＋an, 直接按照等差数列求和公式求和即可, n≥6,Tn＝a1＋a2＋…＋a5－a6－a7－ …－an =n2－10n＋50,写成分段即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由S2＝16，成等比数列，得解得 所以等差数列{an}的通项公式为an＝11－2n(n∈N)． ‎ ‎（2）当n≤5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋10n.‎ 当n≥6时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－a6－a7－ …－an＝2S5－Sn＝2×(－52＋10×5)－(－n2＋10n)＝n2－10n＋50，‎ 故Tn＝‎ ‎【点睛】‎ 数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1‎ 时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。‎ ‎21．在亚丁湾海域执行护航任务的中国海军“徐州”舰,在A处收到某商船在航行中发出求救信号后,立即测出该商船在方位角方位角(是从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角)为45°、距离A处为10 n mile的C处,并测得该船正沿方位角为105°的方向,以9 n mile/h的速度航行,“徐州”舰立即以21 n mile/h的速度航行前去营救.‎ ‎(1)“徐州”舰最少需要多少时间才能靠近商船?‎ ‎(2)在营救时间最少的前提下,“徐州”舰应按照怎样的航行方向前进?(角度精确到0.1°,时间精确到1min,参考数据:sin68.2°≈0.9286)‎ ‎【答案】（1）最少需要40min才能靠近商船；（2）前进的方位角约为．‎ ‎【解析】(1) 由题知舰艇沿直线航行时所需时间最少，设舰艇在B处靠近商船，从A处到靠近商船所用的时间为x h．根据余弦定理，可得,解方程即得x的值，即得“徐州”舰最少需要多少时间才能靠近商船.(2)由余弦定理可得大小，再求“徐州”舰前进的方位角.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题知舰艇沿直线航行时所需时间最少，设舰艇在B处靠近商船，从A处到靠近商船所用的时间为x h．‎ 则，，‎ ‎．‎ 又，‎ 根据余弦定理，可得 ‎，即 ‎，‎ 即，‎ 解得，（舍去）．‎ 故“徐州”舰最少需要40min才能靠近商船．‎ ‎（2）由（1）知，，‎ 由余弦定理可得，‎ ‎，‎ 故“徐州”舰前进的方位角约为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎22．已知公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列。‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设数列满足：，求的前n项之和；‎ ‎（3）设数列满足：，为的前n项和，求证：‎ ‎【答案】（I）；（II）；（III）详见解析.‎ ‎【解析】（I）根据等比中项的性质列方程，转化为的形式，解方程求得的值，进而求得通项公式.（II）利用错位相减求和法求得数列的前项和.（III）利用裂项求和法求得的值，由此证得.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由于，，成等比数列，所以，故，由于，解得，所以.‎ ‎（II）由（I）得，‎ 故，‎ ‎，‎ 两式相减得 ‎ ‎，‎ 即.‎ ‎（III）由（I）得，‎ 故 .‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查等比中项的性质，考查等差数列基本量的计算以及等差数列通项公式的求解，考查错位相减求和法，考查裂项相消求和法.如果一个数列是由等差数列乘以等比数列所构成，那么可以利用错位相减法求得前项和.如果一个数列的分母是由两个公差相同的等差数列相乘所得，可以考虑用裂项求和法求和.‎