2017-2018学年宁夏银川一中高二下学期期中数学（理）试题（解析版）

2017-2018学年宁夏银川一中高二下学期期中数学（理）试题（解析版）

‎2017-2018学年宁夏银川一中高二下学期期中数学（理）试题 一、单选题 ‎1．若，则的值为( )‎ A. B. 70 C. 120 D. 140‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵，解得，∴，故选D.‎ ‎2．小孔家有爷爷、奶奶、姥爷、姥姥、爸爸、妈妈，包括他共7人，一天爸爸从果园里摘了7个大小不同的梨，给家里每人一个，小孔拿了最小的一个，爷爷、奶奶、姥爷、姥姥4位老人之一拿最大的一个，则梨子的不同分法共有（ ）‎ A. 96种 B. 120种 C. 480种 D. 720种 ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：梨子的不同分法共有,选C.‎ ‎【考点】排列组合 ‎【方法点睛】求解排列、组合问题常用的解题方法：‎ ‎(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.‎ ‎3．观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量之间关系最强的是（　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由等高条形图与分类变量之间的相关关系进行判断即可。‎ 详解：在频率等高条形图中，与相差很大时，我们认为两个分类变量有关系，四个选项中，即等高的条形图中所占比例相差越大，则分类变量x,y关系越强 故选D.‎ 点睛：本题考查相关关系，等高条形图的基础知识，属于基础题。‎ ‎4．数学竞赛前，某学校由3名教师对5名参赛学生进行“特训”，要求每名教师的“特训”学生不超过2人，则不同的“特训”方案有（　　）‎ A. 60 B. 90 C. 150 D. 120‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：先将5名参赛学生分为（2，2，1），再分配给3名教师即可得到答案。‎ 详解：5名参赛学生分为（2，2，1）,故其分组的方法有种, 再分配给3名教师,共有种, 所以B选项是正确的.‎ 点睛：本题主要考查排列组合的简单应用，属于较易题型。‎ ‎5．设，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（　　）‎ ‎（注：若，则 ‎，‎ A. 7539 B. 6038 C. 7028 D. 6587‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：求出，再求出正方形ABCD的面积，然后得到阴影部分面积，进而得到答案。‎ 详解：由题可知，，‎ 点落入阴影部分的概率为1-0.3413=0.6587‎ 落入阴影部分的点的个数为0.658710000=6587‎ 故选D 点睛：本题主要考查正态分布的相关知识，求出是本题的关键，属于基础题。‎ ‎6．随机变量的分布列如表所示，若，则（　　）‎ ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ A. 9 B. 7 C. 5 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：首先列出方程且+0，解出a,b，再用方差公式计算即可。‎ 详解：由题可知且+0‎ 解得 点睛：本题主要考查离散型随机变量的分布列和方差的计算，解题时计算要细心 是中档题。‎ ‎7．小赵、小钱、小孙、小李到 4 个景点旅游，每人只去一个景点，设事件 “4个人去的景点不相同”，事件 “小赵独自去一个景点”，则（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 选A.‎ ‎8．甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人的能荣获一等奖的概率分别为和，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设甲、乙获一等奖的概率分别是，不获一等奖的概率是，则这两人中恰有一人获奖的事件的概率为： ，‎ 应选答案D。‎ ‎9．设为随机变量，，若随机变量的数学期望，则（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：先由二项分布数学期望公式解出n，进而可计算 详解：由于X为随机变量，且服从二项分布变量的期待值公式为所以n=6,所以P(X=2)==。故本题正确答案为A。‎ 点睛：本题主要考查二项分布，数学期望的应用，属于基础题。‎ ‎10．下列有关线性回归分析的四个命题：‎ ‎①线性回归直线必过样本数据的中心点（）；‎ ‎②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线；‎ ‎③当相关性系数时，两个变量正相关；‎ ‎④如果两个变量的相关性越强，则相关性系数就越接近于．‎ 其中真命题的个数为（　　）‎ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据线性回归方程的几何特征及残差,相关指数的概论,逐一分析四个答案的正误,可得答案.‎ 详解：①线性回归直线必过样本数据的中心点（）,故①正确; ②回归直线在散点图中可能不经过任一样本数据点,故②错误; ③当相关性系数时,则两个变量正相关,故③正确; ④如果两个变量的相关性越强,则相关性系数r就越接近于1或-1,故④错误. 故真命题的个数为2个, 所以B选项是正确的 点睛：本题以命题的真假判断为载体,考查了相关关系,回归分析,相关指数等知识点,难度不大,属于基础题.‎ ‎11．展开式中的系数为（　　）‎ A. 10 B. 30 C. 45 D. 210‎ ‎【答案】B ‎【解析】（-1-x+x2）10=[（x2-x）-1]10 的展开式的通项公式为，所以 ‎ 或 ，故展开式中的系数为 故选B ‎12．假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障率为，且各引擎是否有故障是独立的，已知4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；2引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机也可成功飞行，要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，则的取值范围是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】解：每一架飞机的引擎在飞行中出现故障率为1-p，不出现故障的概率是p，‎ 且各引擎是否有故障是独立的，‎ ‎4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；‎ ‎4引擎飞机可以正常工作的概率是C43p3（1-p）+p4，‎ ‎2引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机也可成功飞行，‎ ‎2引擎飞机可以正常工作的概率是p2‎ 要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，‎ 依题意得到C43p3（1-p）+p4＞p2，‎ 化简得3p2-4p＜0，‎ 解得1 /3 ＜p＜1．‎ 故选B ‎13．江湖传说，蜀中唐门配制的天下第一奇毒“含笑半步癫”是由3种藏红花，2种南海蛇毒添加炼制而成，其中藏红花的添加顺序不能相邻，同时南海蛇毒的添加顺序也不能相邻，现要研究所有不同添加顺序对药效的影响，则总共要进行_____次试验．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：先考虑2种南海蛇毒，在考虑3种藏红花可得到结果。‎ 详解：先考虑2种南海蛇毒,再将3种藏红花插空 故总共要进行次试验。‎ 故答案为：12‎ 点睛：本题主要考查排列组合的实际应用，不相邻问题用插空法，属于基础题。‎ ‎14．_____（小数点后保留三位小数）．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：因为，由二项式定理计算即可 详解：‎ 点睛：本题主要考查二项式定理的计算，属于基础题。‎ 二、填空题 ‎15．事件相互独立，若，则_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：‎ 详解：设,‎ 因为，‎ 所以 所以 所以 点睛：本题主要考查相互独立时间的概率的乘法公式及对立事件的概率关系，属于中档题。‎ ‎16．“渐减数”是指每个数字比其左边数字小的正整数（如98765），若把所有的五位渐减数按从小到大的顺序排列，则第20个数为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：由于限制条件太多，且列举出前二十个数计算量也不是太大，故可采用列举法依次写出前20个渐减数，求得答案.‎ 详解：当首位是4时，只有1个结果43210，  当首位是5时，有5种结果，53210 54210 54310 54320 54321  当首位是6时，有15种结果， 从小到大列举出来：63210 64210 64310 64320 64321 65210 65310 65320 65321 65410 65420 65421 65430 65431 65432  故第20个渐减数是65431.‎ 点睛：本题考察排列组合及计数原理，解题的关键正确理解定义，知道渐减数的内部结构，用列举法得出第二十个数，列举法适合于研究对象不太多的情况，解题时要注意适时运用列举法，其适用范围是一些限制条件较多不易计数的题型．列举时易出错，做题时要认真严谨 三、解答题 ‎17．（1）计算：‎ ‎（2）解方程：．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】分析：灵活运用排列组合公式。‎ 详解：（1）（+）÷‎ ‎=÷‎ ‎==；‎ ‎（2）3=2+6，‎ ‎∴3x（x﹣1）（x﹣2）=2x（x+1）+6x（x﹣1），‎ 化简得3x2﹣17x+10=0，‎ 解得x=5，x=（不合题意，舍去）；‎ ‎∴x=5．‎ 点睛：本题主要考查了组合及组合数、排列公式的灵活应用，考查学生的计算能力，属于基础题。‎ ‎18．在二项式的展开式中，‎ ‎（1）若所有二项式系数之和为，求展开式中二项式系数最大的项．‎ ‎（2）若前三项系数的绝对值成等差数列，求展开式中各项的系数和。‎ ‎【答案】（1）;（2） .‎ ‎【解析】试题分析：（1）由所有二项式系数之和为， ，根据中间项的二项式系数最大可得结果；（2）由前三项系数的绝对值成等差数列可得n=8,，令计算的大小，即可得答案.‎ 试题解析：（1）由已知得， ，‎ 展开式中二项式系数最大的项是 ‎（2）展开式的通项为， ‎ 由已知：成等差数列，∴n=8, ‎ 在中令x=1，得各项系数和为 ‎ ‎19．某二手车交易市场对某型号的二手汽车的使用年数与销售价格（单位：万元/辆）进行整理，得到如下的对应数据：‎ 使用年数 ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎10‎ 售价 ‎16‎ ‎13‎ ‎9.5‎ ‎7‎ ‎4.5‎ ‎（1）试求关于的回归直线方程：（参考公式：, ．）‎ ‎（2）已知每辆该型号汽车的收购价格为万元，根据（1）中所求的回归方程，预测为何值时，销售一辆该型号汽车所获得的利润最大？‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】分析：（1）利用表中数据求出回归直线方程，（2）写出利润函数,利用二次函数的图像与性质求出x=3时z的最大值。‎ 详解：（1）由已知：，‎ 则 ，‎ 所以回归直线的方程为．‎ ‎（2）z=﹣1.45x+18.7﹣（0.05x2﹣1.75x+17.2）‎ ‎=﹣0.052x2+0.3x+1.5‎ ‎=﹣0.05（x﹣3）2+1.95，‎ 所以预测当x=3时，销售利润z取得最大值．‎ 点睛：本题主要考查了用最小二乘法求回归直线方程，第二问关键是结合（1）中的线性回归方程求得利润函数，利用二次函数的图像与性质求出x=3时z 的最大值，属于中档题。‎ ‎20．银川一中为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，抽取在校200名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间（单位：分钟）进行调查，将收集的数据分成，六组，并作出频率分布直方图（如图），将日均课外体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为“课外体育达标”．‎ 课外体育不达标 课外体育达标 合计 男 女 合计 ‎ （1）请根据直方图中的数据填写下面的列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？‎ ‎（2）在这两组中采取分层抽样，抽取6人，再从这6名学生中随机抽取2人参加体育知识问卷调查，求这2人中一人来自“课外体育达标”和一人来自“课外体育不达标”的概率．‎ 附参考公式与：‎ ‎【答案】（1）不能；（2）.‎ ‎【解析】分析：(1)根据频率分布直方图,计算对应的数据,填写列联表,计算观测值,对照数表得出结论; (2)根据分层抽样以及列举法求出对应的基本事件数,计算对应的概率值.‎ 详解：（1）由题意得“课外体育达标”人数：200×[（0.02+0.005）×10]=50，‎ 则不达标人数为150，‎ ‎∴列联表如下：‎ 课外体育不达标 课外体育达标 合计 男 ‎60‎ ‎30‎ ‎90‎ 女 ‎90‎ ‎20‎ ‎110‎ 合计 ‎150‎ ‎50‎ ‎200‎ ‎∴k2==≈6.060＜6.635，‎ ‎∴在犯错误的概率不超过0.01的前提下没有理由（或不能）认为“课外体育达标”与性别有关.‎ ‎（2）由题意在[0，10），[40，50）分别有20人，40人，‎ 则采取分层抽样在[0，10）抽取的人数为：人，‎ 在[40，50）抽取的人数为：人，‎ ‎[0，10）抽取的人为A，B，在[40，50）抽取的人为a，b，c，d，‎ 从这6任中随机抽取2人的情况为：AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd，ab，ac，ad，bc，bd，cd共15种，‎ ‎2人中一人来自“课外体育达标”和一人来自“课外体育不达标”共有：Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd共8种，‎ ‎∴．‎ 点睛：本题主要考查了频率分布直方图、独立性检验、分层抽样等相关知识，根据频率分布直方图,计算对应的数据,填写列联表,计算观测值是解决第一问的关键，第二问根据分层抽样以及列举法求出对应的基本事件数,计算对应的概率值，属于中档题。‎ ‎21．第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行，这是2017年我国重要的主场外交活动，对推动国际和地区合作具有重要意义．某高中政教处为了调查学生对“一带一路”的关注情况，在全校组织了“一带一路知多少”的知识问卷测试，并从中随机抽取了12份问卷，得到其测试成绩（百分制），如茎叶图所示．‎ ‎（1）写出该样本的众数、中位数，若该校共有3000名学生，试估计该校测试成绩在70分以上的人数；‎ ‎（2）从所抽取的70分以上的学生中再随机选取4人．‎ ‎①记表示选取4人的成绩的平均数，求；‎ ‎②记表示测试成绩在80分以上的人数，求的分布和数学期望．‎ ‎【答案】（1）；（2）①，②.‎ ‎【解析】试题分析：（1）众数为，中位数为，抽取的人中， 分以下的有人，不低于分的有人，从而求出从该校学生中任选人，这个人测试成绩在分以上的概率，由此能求出该校这次测试成绩在分以上的人数；（2）①由题意知分以上的有， ， ， ， ， ， ， ，当所选取的四个人的成绩的平均分大于分时，有两类：一类是： ， ， ， ，共1种；另一类是： ， ， ， ，共3种．由此能求出；②由题意得的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和．‎ 试题解析：(1)众数为76，中位数为76.抽取的12人中，70分以下的有4人，不低于70分的有8人，故从该校学生中人选1人，这个人测试成绩在70分以上的概率为，故该校这次测试成绩在70分以上的约有（人）‎ ‎(2)①由题意知70分以上的有72，76，76，76，82，88，93，94.‎ 当所选取的四个人的成绩的平均分大于87分时，有两类.‎ 一类是82，88，93，94，共1种；‎ 另一类是76，88，93，94，共3种.所以 .‎ ‎②由题意可得， 的可能取值为0，1，2，3，4‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎.‎ 的分别列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎.‎ ‎22．为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位： ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布．‎ ‎（1）假设生产状态正常，记表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；‎ ‎（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．‎ ‎（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；‎ ‎（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：‎ ‎9.95‎ ‎10.12‎ ‎9.96‎ ‎9.96‎ ‎10.01‎ ‎9.92‎ ‎9.98‎ ‎10.04‎ ‎10.26‎ ‎9.91‎ ‎10.13‎ ‎10.02‎ ‎9.22‎ ‎10.04‎ ‎10.05‎ ‎9.95‎ 经计算得，其中为 抽取的第个零件的尺寸， ．‎ 用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到0.01）．‎ 附：若随机变量服从正态分布，则， ．‎ ‎【答案】（1）， ；（2）（i）见解析，(ii) ,.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据题设条件知一个零件的尺寸在之内的概率为0.9974，则零件的尺寸在之外的概率为0.0026，而，进而可以求出的数学期望.（2）（i）判断监控生产过程的方法的合理性，重点是考虑一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在之外的零件的概率是大还是小，若小即合理；（ii）根据题设条件算出的估计值和的估计值，剔除 之外的数据9.22，算出剩下数据的平均数，即为的估计值，剔除之外的数据9.22，剩下数据的样本方差，即为的估计值.‎ 试题解析：（1）抽取的一个零件的尺寸在之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在之外的概率为0.0026，故.因此 ‎.‎ 的数学期望为.‎ ‎（2）（i）如果生产状态正常，一个零件尺寸在之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小.因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.‎ ‎（ii）由，得的估计值为， 的估计值为，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在之外，因此需对当天的生产过程进行检查.‎ 剔除之外的数据9.22，剩下数据的平均数为，因此的估计值为10.02.‎ ‎，剔除之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为，‎ 因此的估计值为.‎ 点睛:数学期望是离散型随机变量中重要的数学概念，反映随机变量取值的平均水平.求解离散型随机变量的分布列、数学期望时，首先要分清事件的构成与性质，确定离散型随机变量的所有取值，然后根据概率类型选择公式，计算每个变量取每个值的概率，列出对应的分布列，最后求出数学期望.正态分布是一种重要的分布，之前考过一次，尤其是正态分布的原则.‎