高中数学讲义微专题81 排列组合——选择合适的数学模型

高中数学讲义微专题81 排列组合——选择合适的数学模型

微专题 81 排列组合——寻找合适的模型 在排列组合问题中，有一些问题如果直接从题目入手，处理起来比较繁琐。但若找到解决 问题的合适模型，或将问题进行等价的转化。便可巧妙的解决问题 一、典型例题： 例 1：设集合 由 个元素构成，即 ，则 所有子集的个数为_______ 思路：可将组成子集的过程视为 中的元素一个个进行选择，要不要进入到这个子集当中， 所以第一步从 开始，有两种选择，同样后面的 都有两种选择，所以总数 个 答案： 例 2：已知 ， 且 中有三个元素，若 中的元素可构成等差数列， 则这样的集合 共有（ ）个 A. B. C. D. 思路：设 中构成等差数列的元素为 ，则有 ，由此可得 应该同奇同偶， 而当 同奇同偶时，则必存在中间项 ，所以问题转变为只需在 中寻找同奇同偶数的 情况。 同为奇数的可能的情况为 ，同为偶数的可能的情况为 ，所以一共有 种 答案：C 例 3：设集合 ，那么集合 中满足条件 “ ”的元素个数为（ ） A. B. C. D. 思路：因为 或 ，所以若 ，则在 中至少有一个 ，且不多于 个。所以可根据 中含 0 的个数进行分类讨论。 ① 五个数中有 2 个 0，则另外 3 个从 中取，共有方法数为 ② 五个数中有 3 个 0，则另外 2 个从 中取，共有方法数为 A n  1 2, , , nA a a a  A A 1a 2 3, , , na a a 2 2 2 2n n N     个 2n  1,2,3, ,40S   A S A A A 460 760 380 190 A , ,a b c 2b a c  ,a c ,a c b 1 40 ,a c 2 20C 2 20C 2 202 380C        1 2 3 4 5, , , , | 1,0,1 , 1,2,3,4,5iA x x x x x x i   A 1 2 3 4 51 3x x x x x      60 90 120 130 0ix  1ix  1 2 3 4 51 3x x x x x       1,2,3,4,5ix i  1ix  3 ix 1, 1 2 3 1 5 2N C  1, 1 3 2 2 5 2N C  ③ 五个数中有 4 个 0，则另外 1 个从 中取，共有方法数为 所以共有 种 答案：D 例 4：设集合 ，设 的三元素子集中，三个元素的和分别为 ， 求 的值 思路： 的三元子集共有 个，若按照题目叙述一个个相加，则计算过于繁琐。所以不妨换 个思路，考虑将这些子集中的 各自加在一起，再进行汇总。则需要统计这 个子 集中共含有多少个 。以 1 为例，含 的子集可视为集合中有元素 1，剩下两个元素从 9 个数中任取，不同的选取构成不同的含 1 的子集，共有 个，所以和为 ，同理，含 2 的 集 合 有 ， 其 和 为 … … ， 含 10 的 集 合 有 个 ， 其 和 为 所 以 答案： 例 5：身高互不相同的 6 个人排成 2 横行 3 纵列，在第一行的每个人都比他同列的身后的个子 矮，则所有不同的排法种数是多少 思路：虽然表面上是排队问题，但分析实质可发现，只需要将这六个人平均分成三组，并且 进行排列，即可完成任务。至于高矮问题，在分组之后只需让个子矮的站在前面即可。从而 将问题转化为分组问题。则 （种） 答案：90 例 6：四面体的顶点和各棱中点共 10 个点，则由这 10 点构成的直线中，有（ ）对异面 直线 A. 450 B. 441 C. 432 D. 423 思路：首先要了解一个结论，就是在一个三棱锥中存在 3 对异面直线，而不共面的四个点便 可构成一个三棱锥，寻找不共面的四点只需用总数减去共面的四点即可。所以将问题转化为 寻找这 10 个点中共面四点的情况。首先 4 个面上共面的情况共有 ，每条棱与对棱 中点共面情况共有 6 种，连结中点所成的中位线中有 3 对平行关系，所以共面，所以四点共 1, 1 4 3 5 2N C  2 3 3 2 4 5 5 52 2 2 130N C C C       {1,2,3, ,10}A   A 1 2, , , na a a 1 2 na a a   A 3 10C 1,2, ,10 3 10C 1,2, ,10 1 2 9C 2 91 C 2 9C 2 92 C 2 9C 2 910 C  2 1 2 9 1 2 10 1980na a a C         1980 2 2 2 36 4 2 33 3 90C C CN AA   4 64 60C  面的情况共有 种，所以四点不共面的情况有 种，从而异面直 线的对数为 种 答案：D 小 炼 有 话 说：要熟悉异面直线问题的转化：即异面→三棱锥→四点不共面→四点共面，从而 将所考虑的问题简单化 例 7：设 是整数集的一个非空子集，对于 ，如果 且 ，那么称 是 集合 的一个“孤立元”，给定 ，则 的 3 个元素构成的所有集合中， 其元素都是“孤立元”的集合个数是（ ） A. B. C. D. 思路：首先要理解“ ，则 且 ”，意味着“独立元”不含相邻的数，元 素均为独立元，则说明 3 个元素彼此不相邻，从而将问题转化为不相邻取元素问题，利用插 空法可得： 种 答案：C 例 8：圆周上有 20 个点，过任意两点连接一条弦，这些弦在圆内的交点最多有多少个 思路：本题可从另一个角度考虑交点的来源，一个交点由两条弦构成，也就用去圆上 4 个点， 而这四个点可以构成一个四边形，在这个四边形中，只有对角线的交点是在圆内，其余均在 圆上，所以有多少个四边形就会有多少个对角线的交点，从而把交点问题转化为圆上的点可 组成多少个四边形的问题，所以共有 个 答案： 个 例 9：一个含有 10 项的数列 满足： ，则符合 这样条件的数列 有（ ）个 A. 30 B. 35 C. 36 D. 40 思路：以 为入手点可得： ，即可视为在数轴上， 向左或向右移 动一个单位即可得到 ，则问题转化为从 开始，点向左或向右移动，总共 9 次达到 ，所以在这 9 步中，有且只有 2 步向左移动 1 个单位，7 步向右移动 1 个单位。所以 不同的走法共有 种，即构成 36 种不同的数列 4 64 6 3 69C    4 10 69 141C   141 3 423N    A k A 1k A  1k A  k A  1,2,3,4,5,6,7,8S  S 6 15 20 25 k A 1k A  1k A  3 6 20C  4 20 4845C  4845  na 1 10 10, 5, 1,( 1,2, ,9)k ka a a a k       na 1 1k ka a   1 1k ka a   ka 1ka  1 0a  10 5a  2 9 36C  答案：36 种 例 10：方程 的正整数解有多少组？非负整数解有多少组？ 思路：本题可将 10 理解为 10 个 1 相加，而 相当于四个盒子，每个盒子里装入了多 少个 1，则这个变量的值就为多少。从而将问题转化为相同元素分组的模型，可以使用挡板法 得： 种；非负整数解相当于允许盒子里为空，而挡板法适用于盒子非空的情况，所以 考 虑 进 行 化 归 ： ， 则 这四个盒子非空即可。所以使用挡板法得： 种 答案：正整数解有 84 种，非负整数解有 286 种 二、历年好题精选 1、在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施 6 个程序，其中程序 A 只能出现在第一步或 最后一步，程序 B 和 C 在实施时必须相邻，则在该实验中程序顺序的编排方法共有（ ） A．144 种 B．96 种 C．48 种 D．34 种 2、现有 16 张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张．从中任取 3 张，要求 这 3 张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多 1 张．不同取法的种数为 （ ） A. 232 B. 252 C.472 D. 484 3、在 1，2，3，4，5 这五个数字所组成的允许有重复数字的三位数中，其各个数字之和为 9 的三位数共有（ ） A. 16 个 B. 18 个 C.19 个 D.21 个 4、把座位号为 1、2、3、4、5 的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张， 且分给同一人的多张票必须连号，那么不同的分法种数为（ ） A．96 B．240 C．48 D．40 5、某班组织文艺晚会，准备从 等 8 个节目中选出 4 个节目演出，要求： 两个节目 至少有一个选中，且 同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的和数 为（ ） A．1860 B．1320 C．1140 D．1020 6、某班一天中有 节课，上午 节课，下午 节课，要排出此班一天中语文、数学、英语、 物理、体育、艺术 堂课的课程表，要求数学课排在上午，艺术课排在下午，不同排法种数为 10x y z w    , , ,x y z w 3 9 84C         10 1 1 1 1 14x y z w x y z w             1, 1, 1, 1x y z w    3 13 286C  ,A B ,A B ,A B 6 3 3 6 （ ） A． B． C． D． 7、用 0、1、2、3、4 这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个 奇数数字之间的五位数的个数是（ ） A．48 B．36 C．28 D．12 8、某宾馆安排 A、B、C、D、E 五人入住 3 个房间，每个房间至少住 1 人，且 A、B 不能住同 一房间，则不同的安排方法有（ ）种 A．24 B ．48 C．96 D．114 9、（2014 重庆八中一月考，2）要从 名男生和 名女生中选出 人组成啦啦队，若按性别分 层抽样且甲男生担任队长，则不同的抽样方法数是 A． B． C． D． 10、（2015，广东文），若集合： ， ，用 表示集合 中的元 素个数，则 （ ） A. B. C. D. 11、（2014，浙江）在 8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张，其余 5 张无奖．将这 8 张奖券分 配给 4 个人，每人 2 张，不同的获奖情况有________种 12、（2014，安徽）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角 为 60°的共有( ) A．24 对 B．30 对 C．48 对 D．60 对 13、（2014，重庆）某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目、2 个小品类节目和 1 个相 声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是(　　) A．72 B．120 C．144 D．168 14、（2014，广东）设集合 ，那么集 合 中满足条件“ ”的元素个数为（ ） 72 216 320 720 10 5 6 2 5 3 9 CC 2 5 3 10CC 2 5 3 10 AA 2 5 4 10CC   , , , | 0 4,0 4,0 4, , , ,E p q r s p s q s r s p q r s N             , , , | 0 4,0 4, , , ,F t u v w t u v w t u v w N         card X X    card E card F  50 100 150 200     1 2 3 4 5, , , , | 1,0,1 , 1,2,3,4,5iA x x x x x x i    A 1 2 3 4 51 3x x x x x      A. B. C. D. 15、（2016，哈尔滨六中上学期期末考试）高一学习雷锋志愿小组共有 人，其中 一班、二班、三班、四班各 人，现在从中任选 人，要求这三人不能是同一个班 级的学生，且在三班至多选 人，不同的选取法的种数为 ( ) A. B. C. D. 16、集合 的 4 元子集 中，任意两个元素差的绝对值都不 为 1，这样的 4 元子集 的个数有_____个 60 90 144 168 16 4 3 1 484 472 252 232  1,2,3, ,20S    1 2 3 4, , ,T a a a a T 习题答案： 1、答案：B 解析： 相邻则考虑使用整体法，程序 有要求所以先确定 的位置，共有 2 种选法，然 后排剩下的元素 ，再排 间的顺序 ，所以总数为 2、答案：C 解析：考虑使用间接法，16 张卡片任取 3 张共有 种，然后三张卡片同色则不符合要求，共 有 种，然后若红色卡片有 2 张则不符合要求，共有 种，所以不同的取法种数为： 3、答案：A 解析：可按重复数字个数进行分类讨论，若没有重复数字，则数字只能是 或 ，三 位数共有 个；若有两个重复数字，则数字为 和 ，三位数有 个；若三 个数字相同，则只有 333，所以 4、答案：A 解析：5 张票分给 4 个人，则必有一人拿两张票，所以先确定哪个人有两张票，共 种选择， 然后确定给哪两张连号的票，共 4 种情况，剩下的票分给 3 人即可。所以 5、答案：C 解析：由题可知可分为两类：第一类 只有一个选中，则还需从剩下 6 个里选出 3 个节目， 然后全排列，所以不同的演出顺序有 ；第二类， 同时选中，则还需从剩下 6 个 里 选 出 2 个 ， 然 后 不 相 邻 则 进 行 插 空 ， 所 以 不 同 演 出 顺 序 有 。 综 上 6、答案：B 解析：先排数学与艺术各有 3 种共 9 种，其余的 4 个科目全排列有 种，所以 7、答案：C 解析：根据题意，在 0，1，2，3，4 中有 3 个偶数，2 个奇数，可以分 3 种情况讨论： ,B C A A 4 4A ,B C 2 2A 4 2 4 22 96N A A  3 16C 3 44 C 2 1 4 12C C 3 3 2 1 16 4 4 124 472N C C C C    1,3,5 2,3,4 3 32A 2,2,5 1,4,4 1 32 6C  3 1 3 32 2 1 19N A C    1 4C 1 3 4 34 96N C A   ,A B 1 3 4 2 6 4C C A ,A B ,A B 2 2 2 6 2 3C A A 1 3 4 2 2 2 2 6 4 6 2 3 1140N C C A C A A   4 4A 4 49 216N A  （1）0 被奇数夹在中间，先考虑奇数 1、3 的顺序，有 2 种情况；再将 1、0、3 看成一个整体， 与 2、4 全排列，有 种情况；故 0 被奇数夹在中间时，有 种情况； （2）2 被奇数夹在中间，先考虑奇数 1、3 的顺序，有 2 种情况；再将 1、2、3 看成一个整体， 与 0、4 全排列，有 种情况，其中 0 在首位的有 2 种情况，则有 种排法；故 2 被奇数夹在中间时，有 种情况； （3）4 被奇数夹在中间时，同 2 被奇数夹在中间的情况，有 8 种情况， 则这样的五位数共有 12+8+8=28 种. 8、答案：D 解析：由题可知，5 个人住三个房间，每个房间至少住一人，则有（3,1,1）和（2,2,1）两种， 当为（3,1,1）时，有 种，A、B 住同一房间有 种，故有 种，当为（2,2,1）时，有 种，A、B 住同一房间有 种，故有 种，根据分类计数原理共有 种 9、答案：A 解析：由分层抽样可得男生需要 4 名，女生需要 2 名，甲男生担任队长，则还需要出 3 名男 生，所以 10、答案：D 解析：分别统计 中元素的个数，在 中， 可取的值由 的值决定，当 时 分别可选 ，所以有 种，当 时；同理 有 种；当 时；同 理 有 种 ； 当 时 ； 同 理 有 种 ， 所 以 共 计 ；在 中，可知 一组， 一组，按照 的计算方式 可 得 和 的 选 择 各 有 10 种 ， 所 以 。 从 而 11、答案：60 解析：可按获奖人数进行分类讨论，若有 3 人，则一人获得一张中奖的奖券，即 ，若 2 人，则 1 人获 1 个奖，1 人获 2 个奖， ，所以共计 63 3 A 3 32 12A  63 3 A 6 2 4  2 4 8  603 3 3 5  AC 183 3 1 3  AC 421860  903 32 2 2 3 2 5  AA CC 182 2 2 3 1 3  ACC 90 18 72  42 72 114  3 2 9 5N C C ,E F E , ,p q r s 4s  , ,p q r 0,1,2,3 34 64 3s  , ,p q r 33 27 2s  , ,p q r 32 8 1s  , ,p q r 1   1 8 27 64 100card E      F ,t u ,v w E ,t u ,v w   10 10 100card F        200card E card F  3 1 4 24N A  2 2 4 3 36N A   60S  12、答案：C 解析：正方体的对角线共有 12 条，其所成角大致分为 ，可使用间接法， 2 个一对共有 种选法，其中成 的有 6 对，成 有 12 对，所以成 的共 有 对 13、答案：B 解析：不相邻则“插空”，可歌舞类节目搭架子，因为歌舞类节目也不能相邻，所以另外 3 个 节目插空时有两种情况，一种情况为 3 个节目插 3 个空，则有 2 种插法，再安排完顺序，合 计： ；另一种情况为相声与一个小品相邻，然后与另一个小品插两个 空，则 ，则共计 种 14、答案：D 解析： 可知在 中， 的情况至少 1 个，最多 3 个，从而分 三种情况讨论即可，每种讨论都分为两步，第一步 确定几个选 0，几个选 ；第二步确定选 的是选 1 还是 ： 15、答案：B 解析：分两种情况讨论，当三班没人时， ，当三班恰有一人时， ，所以 16、答案： 解析：两个元素差绝对值不为一，说明 中的四个元素两两不相邻，所以考虑插空法，剩下 16 个位置共 17 个空，选择四个孔即可，共有 个 0 ,60 ,90   2 12 66C  0 90 60 66 12 6 48   3 3 1 3 32 72N A A    1 2 2 3 2 2 2 2 3 48N C A A A     1 2 120S N N   1 2 3 4 51 3x x x x x      1 2 3 4 5, , , ,x x x x x 1ix   1,2,3 1 1 1 1 2 2 3 3 5 5 52 2 2 130N C C C      3 3 1 12 43 208N C C    1 2 2 4 12 264N C C  1 2 472S N N   4 17C T 4 17C