甘肃省武威市第六中学2018-2019学年高一下学期第三次学段考试数学试题

甘肃省武威市第六中学2018-2019学年高一下学期第三次学段考试数学试题

武威六中2018-2019学年度第二学期第三次学段考试 高一数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.若、、为实数，则下列命题正确的是（ ）‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等式的性质或特殊值法来判断各选项中不等式的正误.‎ ‎【详解】对于A选项，若，则，故A不成立；‎ 对于B选项，，在不等式同时乘以，得，‎ 另一方面在不等式两边同时乘以，得，，故B成立；‎ 对于选项C，在两边同时除以，可得，所以C不成立；‎ 对于选项D，令，，则有，，，所以D不成立.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查不等式正误的判断，常用的判断方法有：不等式的基本性质、特殊值法以及比较法，在实际操作中，可结合不等式结构合理选择相应的方法进行判断，考查推理能力，属于基础题.‎ ‎2.已知倾斜角为的直线经过，两点，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：∵直线经过两点，，∴直线AB的斜率，‎ 又∵直线的倾斜角为，∴，∴．故选：A．‎ 考点：直线的斜率；直线的倾斜角．‎ ‎3.在△ABC中，若，，，则B等于(　　)‎ A. B. 或 C. D. 或 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由正弦定理可得：或．‎ 考点：正弦定理解三角形．‎ ‎4.圆与圆的位置关系为（ ）‎ A. 相离 B. 相交 C. 外切 D. 内切 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得两圆的圆心坐标和半径，根据圆心距和两圆半径的关系，即可判定，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，圆的圆心坐标，半径为，‎ 圆的圆心坐标，半径为，‎ 则圆心距为，所以，‎ 所以两圆相离，故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了两圆的位置关系的判定，其中解答中熟记两圆的位置关系的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎5.若正数满足，则的最小值为 A. B. ‎ C. D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，利用基本不等式，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，因为，‎ 则，‎ 当且仅当，即时等号成立，‎ 所以的最小值为，故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最小值问题，其中解答中合理构造，利用基本不是准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎6.已知数列是递增的等比数列, ,则数列的前项和等于(  )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，根据等比数列的性质和通项公式，求得，再由前n项和公式，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，根据等比数列的性质，可得，‎ 联立方程组，解得或，‎ 因为数列是递增的等比数列，所以，‎ 又由，解得，‎ 所以数列的前项和等于，故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了等比数列的性质，以及等比数列的通项公式和前n项和公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎7.已知过点和点的直线为，，.若，，则的值为（ ）‎ A. B. C. 0 D. 8‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎∵l1∥l2，∴kAB＝＝－2，解得m＝－8.‎ 又∵l2⊥l3，∴×(－2)＝－1，解得n＝－2，∴m＋n＝－10.选A.‎ ‎8.过坐标原点作圆的两条切线，切点为，直线被圆截得弦的长度为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得圆的圆心坐标和半径，借助，即可求解.‎ ‎【详解】如图所示，设圆的圆心坐标为，半径为，‎ 则,，‎ 则，可得，‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到圆的切线方程应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎9.关于的不等式的解集为，则的取值范围为 （ ）‎ A. B. C. 或 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分情况讨论，当时，求出满足条件的的值；当时，求出满足条件的的取值范围，即可得出结果.‎ ‎【详解】当时，，若，则原不等式可化为，显然恒成立；若，则原不等式可化为不是恒成立，所以舍去；‎ 当时，因为的解集为，‎ 所以只需，解得;‎ 综上，的取值范围为：.‎ 故选D ‎【点睛】本题主要考查一元二次不等式恒成立的问题，需要用分类讨论的思想来处理，属于常考题型.‎ ‎10.若，满足，且的最小值为，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：作出不等式组，所表示的平面区域，如下图：‎ 由图可知：由于直线过定点，只需它还过点即可，‎ ‎，解得：．‎ 故选D．‎ 考点：线性规划．‎ 此处有视频，请去附件查看】‎ ‎11.直线的倾斜角范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，设直线的倾斜角为，根据直线方程，求得，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，设直线的倾斜角为 ‎ 直线的斜率为，‎ 即，又由，所以，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线方程的应用，以及直线的斜率与倾斜角的关系的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎12.若直线与曲线有公共点，则的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简曲线得到表示以为圆心，以2为半径的一个半圆，利用圆心到直线的距离等于半径2，求得或，结合图象，即可求解.‎ ‎【详解】如图所示，曲线，即，‎ 表示以为圆心，以2为半径的一个半圆，‎ 由圆心到直线的距离等于半径2，可得，‎ 解得或，‎ 结合图象可得，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线和圆的位置关系的应用，以及点到直线的距离公式的应用，着重考查了数形结合法，以及推理与运算能力，属于中档试题.‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13.在中，若，，，则_______．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ 由题意，，‎ 整理可得：，解得．‎ ‎14.已知两条直线若与间的距离是 ‎，则____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化直线，利用平行线之间的距离，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，两条直线的距离是，‎ 可化为直线的距离是，‎ 所以，又由，可得.‎ ‎【点睛】本题主要考查了两平行线间的距离公式的应用，其中解答中熟记两平行线间的距离公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎15.记为数列的前项和，若，，则通项公式______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出，然后由得，两式相减得，从而由等比数列定义得数列为等比数列.‎ ‎【详解】∵，∴，又，∴，由得，两式相减得，即，而，∴是公比为2的等比数列，∴.故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列通项公式，解题关键是掌握数列前项和与项之间的关系，即，利用此式得出数列的递推关系，同时要注意此关系式中有，因此要考虑数列的首项与的关系是否与它们一致.‎ ‎16.已知圆和两点，，若圆上存在点使得，则的最大值为__________．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ 圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径r=1，‎ 设P（a，b）在圆C上，则=（a+m，b），=（a﹣m，b），‎ ‎∵∠APB=90°，∴，‎ ‎∴=（a+m）（a﹣m）+b2=0，‎ ‎∴m2=a2+b2=|OP|2，‎ ‎∴m的最大值即为|OP|的最大值，等于|OC|+r=5+1=6．‎ 故答案为：6．‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)‎ ‎17.求满足下列条件的圆的方程：‎ ‎(1)过三点的圆的方程；‎ ‎(2)圆心在直线上且与直线切于点.‎ ‎【答案】(1)；(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设出圆的一般方程，列出方程组，求得的值，即可求解；‎ ‎（2）设出圆标准方程，根据题设条件和圆的性质，求得的值，即可求解.‎ ‎【详解】（1）设过三点的圆的方程为 则，解得，‎ 所以圆的一般方程为，标准方程为.‎ ‎（2）由题意，圆心在直线上，设圆的标准方程为 又由圆直线切于点，则，解得，‎ 即圆心坐标为，所以，‎ 所以圆的方程为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了圆的方程的求解，其中解答中熟记圆的标准方程和圆的一般方程，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎18.在△ABC中，a=3，b−c=2，cosB=．‎ ‎（Ⅰ）求b，c的值；‎ ‎（Ⅱ）求sin（B–C）的值．‎ ‎【答案】(Ⅰ) ；‎ ‎(Ⅱ) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)由题意列出关于a,b,c的方程组，求解方程组即可确定b,c的值；‎ ‎(Ⅱ)由题意结合正弦定理和两角和差正余弦公式可得的值.‎ ‎【详解】(Ⅰ)由题意可得：，解得：.‎ ‎(Ⅱ)由同角三角函数基本关系可得：，‎ 结合正弦定理可得：，‎ 很明显角C为锐角，故，‎ 故.‎ ‎【点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，两角和差正余弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎19.求满足下列条件的直线的方程：‎ ‎(1)求与直线平行，且过点的直线方程；‎ ‎(2)已知正方形的中心为直线和的交点，其一边所在直线的方程为,求其他三边的方程.‎ ‎【答案】(1)；(2) ，，.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）过点与直线平行，斜率得到，利用点斜式方程，即可求解；‎ 由点斜式方程，可得直线方程是，即；‎ ‎（2）联立方程组，解得交点坐标为，分别设所求直线为，‎ ‎【详解】（1）过点与直线平行，即所求直线的斜率为，‎ 由点斜式方程，可得直线方程是，即；‎ ‎（2）联立方程组，解得交点坐标为，‎ 设与边所在直线平行的边的方程为，‎ 设与边所在直线垂直的边的方程为，‎ 又由正方形的中心到直线的距离为，‎ 所以点到其它边的距离也等于，‎ 所以，解得或，‎ 所以其它边所在的直线方程分别为，，.‎ ‎【点睛】本题主要考查了两条直线的位置关系的应用，直线方程的求解，以及点到直线的距离公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎20.等差数列前项和，且，．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）数列满足且，求的前项和．‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据等差数列中，，列出关于首项、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而可得数列的通项公式；（2）利用（1），由“累加法”可得，利用裂项相消法求和即可得结果.‎ ‎【详解】（1）等差数列的公差设为，前项和为，且，．‎ 可得，，‎ 解得，，‎ 可得；‎ ‎（2）由，‎ 可得 ‎，‎ ‎，‎ 则前项和 ‎．‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列的求和公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.‎ ‎21.在锐角中,角所对边为 若, ,且.‎ ‎(1)求角的值；‎ ‎(2)求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据三角恒等变换的公式和三角形的内角和定理，化简可得，即可求解；‎ 由正弦定理得，得到所以，利用三角函数的性质，即可求解.‎ ‎【详解】（1）由题意，因为，‎ 又由,则，‎ 所以,‎ 可得，‎ 因为，则，所以，‎ 即，又由为锐角，可得.‎ ‎（2）由正弦定理，则，‎ 所以，‎ 因为，‎ 可得，所以，‎ 可得，所以．‎ 故的取值范围．‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角恒等变换、三角函数的图象与性质的应用，以及正弦定理的边角互化的应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.‎ ‎22.已知等差数列满足，等比数列满足，且.‎ ‎（1）求数列，的通项公式；‎ ‎（2）若，求的前项和.‎ ‎【答案】（1）,；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由，求得，得到等差数列的通项公式，又由和，求得，得到等比数列的通项公式；‎ ‎（2）由（1），求得，利用乘公比错位相减法，即可求解数列的前项和.‎ ‎【详解】（1）设的首项为，公差为，则有，，‎ 解得，所以， ‎ 设，由，即，‎ 即，解得，‎ 由得，，‎ 可得，所以.‎ ‎（2）由知，，所以，‎ 则，‎ 两侧同乘公比2，可得，‎ 两式相减可得 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等.‎